CC BY
10
Some models of the phenomenon of hydrodynamic dispersion in radial filtration flows in areas with varying medium porosity are considered. These models are presented in the form of differential equations, which, by appropriate change of variable, are reduced to known equations of mathematical physics, the solutions of which are well studied.
Key words: hydrodynamic dispersion, mass transfer, equation of mathematical physics, boundary value problems.
Gorbunov Alexander Konstantinovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Kulikov Anatoly Nikolaevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky,
Loginova Alla Yurievna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Silaeva Natalya Albertovna, senior lecturer, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Popugaeva Ekaterina Alekseevna, student, katerina.popugaeva. 10@,yandex. ru, Russia, Kaluga Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University
УДК 004
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-383-387
ПОСТРОЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ С ПОСТОЯННЫМИ ПРОПОРЦИЯМИ МЕТОДОМ АНТИРОБАСТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
СИ. Носков
В статье сформулирована задача построения производственной функции с постоянными (фиксированными) пропорциями, называемая также кусочно-линейной функцией, функцией с нулевой эластичностью замещения ресурсов, а также функцией Леонтьева. Ее характерной особенностью является то, что производство продукции анализируемой экономической системой ограничено количеством лимитирующего ресурса, при этом любое наращивание объемов других ресурсов не приводит к росту производства. В рамках регрессионного анализа эта задача сводится к задаче идентификации неизвестных параметров кусочно-линейной регрессии, правая часть которой представляет собой минимум произведений объема каждого из ресурсов на соответствующий коэффициент. В качестве расстояния между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной выбрано расстояние Чебышева, минимизация которого приводит к определению неизвестных параметров методом антиробастного оценивания. В работе эта задача сведена к задаче линейно-булевого программирования. Развитие предлагаемого подхода возможно посредством использования в производственной функции Леонтьева вместо однофакторных компонент различных мультипликативных конструкций. С помощью методов наименьших модулей и антиробастного оценивания построены два альтернативных варианта производственной функции с постоянными пропорциями для грузооборота Красноярской железной дороги.
Ключевые слова: производственная функция с постоянными пропорциями, регрессия, оценивание параметров, метод антиробастного оценивания, задача линейно-булевого программирования, модель грузооборота железной дороги.
При построении математических моделей экономических систем весьма популярной является производственная функция с постоянными пропорциями (ПФПП), часто называемая также кусочно-линейной функцией, функцией с нулевой эластичностью замещения ресурсов, или производственной функцией Леонтьева. Ее характерной особенностью является то, что производство продукции системой ограничено объемом лимитирующего ресурса, при этом
любое наращивание объемов остальных ресурсов не приводит к росту производства. ПФПП имеет самостоятельное значение или входит в качестве составного элемента во многие известные модели. Так, в работе [1] анализируется линейная граница возможностей выпуска в рамках производственной функции Леонтьева. Эта проблема решается путем рассмотрения неуникальных первичных ресурсов в упрощенной двухсекторной экономике. В [2] с помощью ПФПП исследуется эластичность замещения между парниковыми газами, загрязняющими и не загрязняющими факторами в сельскохозяйственном производстве, которое является основным источником сырья для биотоплива в США. В статье [3] анализируется наличие эффекта масштаба в мировой черной металлургии для металлургических комбинатов. В монографии [4] изучается межотраслевое взаимодействие в замкнутой динамической модели многоотраслевой экономики на базе магистральной теории. При этом деятельность отдельных отраслей описывается производственными функциями с нулевыми эластичностями замещения ресурсов. Работа [5] посвящена оцениванию параметров двухфакторной производственной функции Леонтьева методом наименьших квадратов. Разработанный алгоритм применен для решения задачи моделирования потребления электроэнергии в Иркутской области.
Вычисление параметров ПФПП с помощью метода антиробастного оценивания. В математическом смысле задача построения ПФ Леонтьева сводится к задаче оценивания неизвестных параметров кусочно-линейной регрессии (уравнения)
Ук = тт{а1хк1,а2хк2, ...,атхкт} + гк, к=1, п, (1)
где у - объем выпуска продукции (зависимая переменная), Х(,£ = 1, т — объемы ресурсов производства (независимые переменные), = 1, т — подлежащие оцениванию параметры, £к, к=1, п, - ошибки аппроксимации, п - количество наблюдений (длина выборки). Без потери общности будем предполагать неотрицательность всех переменных модели (1).
Представим уравнение (1) в виде:
л Ук = Ук+ , к=1, п (2)
где ук= тт{а1хк1,а2хк2,...,атхкт} - расчетные значения зависимой переменной.
Методы оценивания параметров, разработанные в регрессионном анализе, основываются на минимизации расстояния р между векторами у и у:
ттр(у,у). (3)
а
Здесь у = (уъ у2,..., уп), у = (уъ у2, .. ,,у„), а = (а 1,а2,..., ат).
В работах [6,7] показано, что для случая, когда в качестве расстояния (3) принято городское расстояние, при котором
р(у,у) = 1£=1Ы,
задача оценивания параметров ПФ (1) сводится к задаче линейного программирования (ЛП), реализующий метод наименьших модулей (МНМ).
Поставим задачу оценивания параметров уравнения (1) при выборе в качестве р в (3) расстояния Чебышева, где
Р(у,у) = тох|гк|.
к=1,п
Расстояние Чебышева эффективно в случае так называемых коротких выборок. Соответствующий ему метод антиробастного оценивания (МАО) параметров характерен тем, что он особенно чувствителен к аномальным наблюдениям, в отличие от МНМ, который их, по существу, игнорирует (см, например, [8]).
Используя стандартный прием представления модулей |гк| (см., например, [6]), введем в рассмотрение переменные ик и ук по правилу:
и ={Ук- ук,Ук>ук Р ={ук~Ук, ук>Ук
к (0, в пр. случае к (о, в пр. случае'
Очевидно, что икук = 0 для всех к.
Регрессия (1) представима в виде:
ук + ик-рк = ук, к = 1, п. (4)
Из задания переменных ук следует справедливость неравенств
ук<а1хк1, к = 1,п, 1 = 1, т. (5)
При этом для каждого к по крайней мере одно из них должно обращаться в строгое равенство. Для формализации этого требования введем тп булевых переменных , к = 1, п, ¡ = 1,ти сформируем ограничения:
«¿*fci -ук ^ (1- 0&гЖ к = 1,п, i = 1,m, (6)
21^ = 1, к = Ц, (7)
где M - заранее выбранное большое положительное число.
Поскольку в качестве расстояния р в настоящей задаче выбрано расстояние Чебышева, введем в рассмотрение максимальную по модулю ошибку аппроксимации г
г = max|sk|.
к = 1,п
Тогда справедливы неравенства
ик + vk - Г<0, к = 1, п. (8)
Целевая функция задачи примет вид:
г ^ min. (9)
Таким образом, задача построения ПФПП (1) методом антиробастного оценивания параметров сводится к задаче линейно-булевого программирования (4) - (9) с mn + 2n + m + 1 переменными (из которых mn - булевы) и 2 (mn + и) + 1 ограничениями.
Вызывает интерес модификация ПФПП (1) путем использования в ней вместо одно-факторных компонент «¿Xfci, i = 1,т различных мультипликативных конструкций (см., например, [9, 10]).
Построение производственной функции грузооборота Красноярской железной дороги. Применим предложенный способ оценивания параметров ПФПП с помощью МАО для построения модели грузооборота Красноярской железной дороги на основе статистической информации за 2001 - 2018 г.г. [11]. Введем обозначения: y - грузооборот (млн. т.км); хх - средний вес грузового поезда (тонн); х2 - погрузка (тыс. тонн); х3 - прием груженых вагонов (ваг.).
Вначале построим модель (1) с помощью МНМ:
ук = min{28.921xkl, 1.556xk2,20.605xk3} + sk, k= 1,18, (10)
Е=3.33%, г = 11723.35. Здесь Е - средняя относительная ошибка аппроксимации:
Е = 100% Vn .£fc.
Е П Zk=llyJ.
Применение МАО приводит к модели:
ук = min{29.968xkl, 1.512xk2,21.352xk3} + sk, k = 1,18, (11)
Е=4.84%, г = 7341.82.
Сравнение моделей (10) и (11) позволяет сделать следующие выводы. Различия в оценках их параметров не слишком существенны, что указывает, в частности, на отсутствие в обрабатываемых данных явных выбросов. Вместе с тем, значения критериев адекватности Е и г разнятся довольно сильно - при переходе от модели (10) к модели (11) средняя ошибка аппроксимации увеличивается в 1.45 раза, а максимальная по модулю ошибка, напротив, в 1.6 раза уменьшается. Последнее обстоятельство предопределяет выбор из этих двух моделей в пользу модели (11), построенной с помощью МАО.
Заключение. В работе решается задача построения производственной функции с постоянными (фиксированными) пропорциями, называемая также кусочно-линейной функцией, функцией с нулевой эластичностью замещения ресурсов, а также функцией Леонтьева. Ее отличительной особенностью является то, что выпуск продукции исследуемым экономическим объектом ограничен объемом лимитирующего ресурса, при этом любое наращивание количества других ресурсов не может привести к росту выпуска. В математическом смысле эта задача сводится к задаче оценивания неизвестных параметров кусочно-линейной регрессии, правая часть которой представляет собой минимум произведений объема каждого из ресурсов на соответствующий коэффициент. В качестве расстояния между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной выбрано расстояние Чебышева, минимизация которого приводит к определению параметров методом антиробастного оценивания. В работе эта задача сведена к задаче линейно-булевого программирования с mn+2n+m+1 переменными (из которых mn - булевы) и 2(mn+n)+1 ограничениями.
Список литературы
1. Jiang W., Fan J. Study on Production Possibility Fгontieг и^ег Différent Production Function Assumptions // Communications in СотрШет and Infoгmation Science. 2020. №11(79). Р. 121-131.
2. Liu B., Richard Shumway C. Substitution elasticities between GHG-polluting and nonpol-luting inputs in agricultural production: A meta-regression // Energy Economics. 2016. №54. Р. 123132.
3. Crompton P., Lesourd J.-B. Economies of scale in global iron-making // Resources Policy. 2008. №2(33). Р. 74-82.
4. Абрамов А.П. Математические модели экономики дефицита. Рос. Акад. Наук. Вы-числ. центр им. А. А. Дородницына. Москва. 2004. 142 с.
5. Базилевский М.П. МНК- оценивание параметров специфицированных на основе функций Леонтьева двухфакторных моделей регрессии // Южно-Сибирский научный вестник. 2019. № 2 (26). С. 66-70.
6. Носков С.И. Оценивание параметров аппроксимирующей функции с постоянными пропорциями//Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. №2(38). С.135-136.
7. Иванова Н.К., Лебедева С.А., Носков С.И. Идентификация параметров некоторых негладких регрессий // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2016. №.17. С. 111-114.
8. Носков С.И. О методе смешанного оценивания параметров линейной регрес-сии//Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2019. № 1 (2). С. 41-45.
9. Базилевский М.П. Носков С.И. Алгоритм построения линейно-мультипликативной регрессии // Современные технологии. Системный анализ, Моделирование. 2011. № 1. С. 88-92.
10. Базилевский М.П. Носков С.И. Формализация задачи построения линейно-мультипликативной регрессии в виде задачи частично-булевого линейного программирования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. №3. С.101-105.
11. Носков С.И., Врублевский И.П. Анализ регрессионной модели грузооборота железнодорожного транспорта // Вестник транспорта Поволжья. 2020. № 1 (79). С. 86-90.
Носков Сергей Иванович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения
CONSTRUCTION OF A PRODUCTION FUNCTION WITH CONSTANT PROPORTIONS BY
ANTIROBAST ESTIMATION METHOD
S.I. Noskov
The article formulates the problem of constructing a production function with constant (fixed) proportions, also called a piecewise linear function, a function with zero elasticity of substitution of resources, as well as the Leontiev function. Its characteristic feature is that the production of products by the analyzed economic system is limited by the amount of the limiting resource, while any increase in the volume of other resources does not lead to an increase in production. Within the framework of regression analysis, this problem is reduced to the problem of identifying unknown parameters of piecewise linear regression, the right side of which is the minimum of the products of the volume of each resource by the corresponding coefficient. The Chebyshev distance was chosen as the distance between the actual and calculated values of the dependent variable, the minimization of which leads to the determination of unknown parameters by the anti-robust estimation method. In this paper, this problem is reduced to a linear-boolean programming problem. The development of the approach proposed in the work is possible through the use of various multiplicative constructions in the Leontiev production function instead of one-factor components. Using the methods of least modules and anti-robust estimation, two alternative variants of the production function with constant proportions for the freight turnover of the Krasnoyarsk railway were constructed.
Key words: production function with constant proportions, regression, parameter estimation, anti-robust estimation method, linear-boolean programming problem, railroad freight turnover model.
Noskov Sergey Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Irkutsk, Irkutsk State Railway University
