CC BY
29
УДК 681.587.344.7
А.Н. Сочнев, Г.М. Садчикова, В.П. Бирюков
РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ РЕАКЦИОННОЙ СПОСОБНОСТЬЮ РЕЗИНОВОЙ СМЕСИ
Произведена разработка многомерного регулятора реакционной способности резиновой смеси. Численное моделирование показало эффективность разработанной системы управления. При нестабильности коэффициента передачи объекта управления сохранение эффективности системы обеспечено путем изменения взаимного расположения спектральной плотности возмущающего воздействия и модуля амплитудной частотной характеристики по возмущающему воздействию.
A.N. Sochnev, G.M. Sadchikova, V.P. Birukov
BUILDING AND RESEARCH OF CONTROL SYSTEM OF REACTIONARY ABILITY OF A RUBBER MIXTURE
The article describes the development of a multivariate regulator of a reactionary ability of a rubber mixture. Numerical modelling shows control system efficiency. The system saves efficiency at change positioning of a spectral density and the module of an amplitude-frequency characteristic for unstable transmission coefficient of the object of control.
В [1-6] на примере производства муфты джуба для автомобилей ВАЗ в ОАО «Балаковорезинотехника» проведен анализ статистических характеристик разрывной прочности готовых изделий и показана актуальность создания системы управления качественными показателями выпускаемых резинотехнических изделий. Выявлено, что одним из основных возмущающих воздействий на характеристики готовых изделий является изменение реакционной способности резиновой смеси вследствие изменения характеристик исходных ингредиентов, предложено в качестве параметров пространства состояний резиновой смеси использовать параметры формальной кинетики вулканизации, построена математическая модель по расходу серы и сульфинамида и показана возможность их применения в качестве управляющих воздействий на кинетические параметры резиновой смеси. В данной работе производится синтез и исследование квадратичного линейного регулятора системы управления реакционной способностью резиновой смеси для технологического процесса производства муфты джуба.
Математическая модель объекта управления. Структурная схема математической модели расширенного объекта управления, включающего формирующие фильтры для генерации возмущающих воздействий, представлена на рис. 1.
На схеме расширенного объекта управления (рис. 1) обозначены: y1, y2 - управляемые параметры (максимальный момент, время 90% вулканизации); u1, u2 - управляющие параметры (объемы дозировок серы и сульфинамида); W1(p)^W4(p) - передаточные функции по управляющим воздействиям;
еп, е 12, е21, е22 - возмущающие воздействия вследствие нестабильности характеристик объекта управления;
/1,/2 - возмущающие воздействия, действующие на технологическом процессе;
^ (рХ Же12 (Р\ Же21 (р\ Же22 (рХ Ж (р\ Ж/2 (р) - ф°рмирующие фильтры;
^^2 - случайные процессы типа «белый шум» с единичными дисперсиями в рабочем диапазоне частот системы.
Рис. 1. Структурная схема расширенного объекта управления
Разложение спектральных плотностей возмущающих воздействий по частоте описано выражениями
0,0006 +1,6378 • /2 0,289
, ^2(/) = ■
8,2-10-5 + 0,0168 • /2 + 5,6022 • /4’ 0,0642 + 3,429 • /2 '
Оценки дисперсий смещений выходных переменных относительно расчетных значений, вследствие нестабильности объектов управления по управляющим воздействиям
< = 0,16(аВ 2), <2 = 0,0029 (аВ 2), ^ = 0,64 (Ш 2), <2 = 0,026 (Ш 2).
Передаточные функции:
- по каналам управления:
Жх(р) = 0,095 е-рт; Ж2(р) = -0,0068 е-рт; Жз(р) = 0,027 е~рт; Ж3(р) = -0,025 е~рт ,
где т = 1, т.к. управляющее воздействие действует на следующую группу партий резиновой смеси;
- формирования возмущений типа «белый шум»
Же11(р) = 0,4 Р) = 0,054; Же21(р) = 0,8; Же22(р) = 0,16;
- формирования возмущений на выходные переменные:
292р + 5,548 , ч 0,6
Гл( Р) =
; га(р) =
1000р2 +104 р + 3,86' 7,143 р +1
Математическая модель объекта управления в пространстве состояния имеет вид
\х [п +1] = Ах[п] + Ви [п]
IУ [п] = Сх [п] + Би [п].
Здесь: х=(х1з х2,...х7) - вектор параметров состояния размерностью п=7; и=(иь и2, м1, м2, м3, н,4, м5, м6) - вектор входных воздействий, включающий вектор управляющих воздействий размерностью г=3, и1, и2 и вектор возмущающих воздействий типа «белый шум» размерностью f=6, м1, м2, м3, м4, м5, м6; у=(у1гу2) - вектор управляемых переменных размерностью т=2.
Матрицы математической модели имеют вид
А =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.8658
0 2.0000 0 0
0
0
0
0
-0.4347
0
0
0
0
0
0
0
0 0.8694
В =
0.0950 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0270 0 0 0 0 0 0
-0.0068 0 0 0 0 0 0 0
0 -0.0250 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.5000 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.2500
С =
1.0000 1.0000 0 0 0.5122 -0.2513 0
0 0 1.0000 1.0000 0 0 0.3135
В =
0 0 0.8700 0 1.8300 0 0 0
0 0 0 0.0540 0 0.1600 0 0
Задача разработки оптимального стохастического регулятора. Имеется дискретный объект управления, описываемый математической моделью (1). На систему поступают управляющие воздействия и входные воздействия типа «белый шум» с нулевым средним. Внутри модели из «белого шума» формируются возмущающие воздействия с заданными характеристиками. Необходимо произвести синтез
оптимального линейного регулятора по критерию минимального среднего значения квадратичного функционала [7-13]:
У (и) = Е ¿(ЗДп] + и[п]гЯ2 и[п]), (2)
п=1
где Я1 - диагональная матрица размерности тхт весовых коэффициентов вклада координат состояния объекта управления в минимизируемую квадратичную ошибку системы,
% > 0 % = 0 їде і * І
Я2 - диагональная матрица размерности гхг весовых коэффициентов мощности управляющих воздействий, ^ > 0, Ту = 0 їде і * І .
Данный функционал (2) является обобщенным критерием, объединяющим квадратичную интегральную ошибку (первый элемент) и расход энергии на управление
(второй элемент). Выбор соотношений матриц весовых коэффициентов R1 и R2 обеспечивает получение минимально возможной ошибки при допустимой мощности управляющих воздействий.
Входные воздействия на систему являются случайными процессами. Поэтому регулятор должен быть стохастический. Согласно теореме разделения [9-11], оптимальный стохастический регулятор включает две составляющие:
- оптимальный фильтр, вычисляющий оценку состояния объекта управления в виде условного среднего при заданных значениях управляющих воздействий и наблюдений выходного сигнала;
- оптимальный детерминированный регулятор, определяющий линейную обратную связь относительно оцениваемого состояния объекта.
Таким образом, линейная обратная связь находится путем решения задачи оптимального детерминированного управления. При этом оптимальный закон управления имеет вид [7-13]
u = -K ■ X , (3)
Оптимальная матрица линейного регулятора определяется выражением
K = (R2 + BT (CTR1C + P)B)-1BT (CTR1C + P) A; (4)
где P - симметричная положительно определенная nxn матрица, определяемая уравнениями Риккати
P = R1 + ATPA - ATPB (R2 + BTPB)-1 BTBA ; (5)
X - оцениваемое состояние объекта, определяемое уравнением состояния наблюдающего устройства
Х(к +1) = A X(k) + Bu(k) + F(y(k) - C X(k) - D X(k)) . (6)
Здесь: F - матрица внутренней обратной связи фильтра Калмана, определяемая выражением
F = ASCT (Qe+ CSCT )-1; (7)
где S - симметричная положительно определенная матрица, определяемая уравнением Риккати
S = ASA-1 - ASCT (Q + CSCT)-1CSAT + Qa, (8)
где Qa, Qp - ковариационные матрицы белых шумов возмущающих воздействий и ошибок наблюдений.
Особенностями объекта управления являются наличие чистого транспортного запаздывания и отсутствие в исходном объекте матрицы А, а также нестабильность объекта управления по каналам управляющих воздействий. Это затрудняет исследование управляемости и наблюдаемости объекта управления, а также требует обеспечения грубости разрабатываемой системы.
Анализ управляемости объекта управления.
Матрица управляемости объекта управления
Q1 = C ■[ B, AB, A2 B,..., An-1B],
имеет вид
Q1 = 0.0950 0.0270 0 0 0 0 0 0
-0.0068 -0.0250 0 0 0 0 0 0
Ее ранг равен 2, что говорит о неполной управляемости объекта управления.
Матрица управляемости по выходу QB = [ÑB,ÑAB,ÑA2B,...,ÑAn~lB] имеет ранг 2. При двух выходных параметрах системы это говорит о полной управляемости системы. Управляемость данной системы подтверждена в [6]. Проведенный на выборке объемом 256 точек анализ показал, что для всех точек задача расчета управляющих значений имеет
единственное решение и для отработки реальных практических возмущений требуются допустимые техпроцессом корректировки дозировок серы и сульфенамида.
Для окончательного решения вопроса после разработки системы управления исследуем замкнутую систему на устойчивость, что обеспечивает выполнение критерия стабилизируемости системы и является достаточным для решения задачи стабилизации технологического процесса [11,12].
Анализ наблюдаемости объекта управления. Наблюдаемость системы определяется детерминированными характеристиками системы и не учитывает свойства случайных возмущающих воздействий и помех [9]. Матрица А исходного нерасширенного объекта является нулевой, что также затрудняет исследование его наблюдаемости. Т.к. для построения стохастического регулятора все равно необходимо построение наблюдателя на основе фильтра Калмана, то используем экспериментальный метод анализа наблюдаемости [11]. Суть метода заключается в построении наблюдателя Калмана и последующей оценке его работоспособности. Т. к. фильтр Калмана для ненаблюдаемых систем не работает, то работоспособность построенного наблюдателя означает, что система наблюдаема.
Синтез регулятора. Этап 1.
Построение регулятора без учета нестабильности характеристик объекта управления по управляющему воздействию. Для математической модели (1) заданных весовых матриц Я1 и и заданных характеристик случайных процессов в пакете Соп1хо18у81етТоо1Ьох [14] системы МайаЬ получены линейный регулятор
0 0 0 0 5.1459 -2.5287 3.2793
0 0 0 0 -1.3484 0.6626 -11.5670
и наблюдающее устройство на основе фильтра Калмана с элементами а =
К =
х1 е х2 е х3 е х4е х5 е х6 е х7 е
х1_ е 0 0 0 0 0 0 0
х2 е 0 0 0 0 0 0 0
х3 е 0 0 0 0 0 0 0
х4~ е 0 0 0 0 0 0 0
х5 е -3.39 -3.39 -6.752е-016 -6.752е-016 8. 113е-005 0.4803 - -2.117е-016
х6 е -3.574 -3.574 -7.131е-016 -7.131е-016 5 0 0 - е 8 4 .3 2. 0.9812 - -2.236е-016
х7~ е -5.709е-020 -5.709е-020 -2.77 -2.77 -3.195е-020 О СЧ О - & >п 0.000838
Ь =
и1 и2 У1 У2
х1 е 0.095 0 0 0
<и 1 х 0 0.027 0 0
х3 е -0.0068 0 0 0
<и 1 0 -0.025 0 0
<и 1 х 0 0 3.39 6.752е-016
<и 1 ЧО х 0 0 3.574 7.131е-016
о г~- 0 0 5.709е-020 2.77
c =
x1 e x2_e _e 3 x e _ x _e 6 x _e 5 x _e x7_
Y1 e 7.581e-005 7.581e-005 -2.059e-020 -2.059e-020 4.243e-005 -2.082e-005 - 6.456e-021
Y2_e -2.059e-020 -2.059e-020 0.0009647 0.0009647 - ■1.152e-020 5.653e-021 0.0003025
x1 e 1 -3.942e-017 7.296e-017 7.296e-017 -2.206e-017 1.082e-017 2.288e-017
_e 2 x 3.941e-017 1 1.257e-016 1.257e-016 2.206e-017 -1.082e-017 3.942e-017
x3_e 4.385e-017 4.385e-017 1 7 01 - e 5 .2 6. - 2.454e-017 -1.204e-017 -1.958e-017
_e -4.385e-017 -4.385e-017 6.245e-017 1 -2.454e-017 1.204e-017 7 01 - e 8 5 .9
x5_e -1.787 -1.787 -3.565e-016 -3.565e-016 1.174e-005 0.4906 -1.118e-016
x6_e -0.0002334 -0.0002334 -3.038e-018 -3.038e-018 -0.0001306 1 -9.525e-019
to C-- -6.567e-020 -6.567e-020 -3.186 -3.186 -3.675e-020 1.803e-020 0.0009647
d =
u1 u2 Y1 Y2
Y1 e 0 0 0.9999 2.059e-020
Y2_e 0 0 2.059e-020 0.999
x1 e 0 0 3.942e-017 -7.296e-017
_e 2 x 0 0 -3.941e-017 -1.257e-016
_e x 0 0 -4.385e-017 6.245e-017
_e 0 0 4.385e-017 -6.245e-017
_e in x 0 0 1.787 3.565e-016
_e VO x 0 0 0.0002334 3.038e-018
о 0 0 6.567e-020 3.186
Объединение регулятора по оценкам переменных состояния с наблюдающим устройством в системе ControlSystemToolbox позволило создать многомерный регулятор с двумя входами - максимальным моментом и продолжительностью вулканизации и двумя выходами - корректировками дозировок серы и сульфенамида.
Математическое моделирование системы управления показало, что построенный регулятор позволяет уменьшить дисперсию выходных параметров (рис. 2). Сумма квадратов отклонений максимального момента без регулятора равна 205 дНм2, с регулятором 69 дНм2, продолжительности процесса вулканизации без регулятора 44 мин2,
с регулятором 15 мин . Коэффициент эффективности по моменту
к1 =
времени вулканизации
к2 =— = 0,34, 2 44
технологической системы управления.
69
205
= 0,34, по
что является высоким показателем для
X
w
н
X
<и
2
1
0
-1
-2
50 100
150 200 250
Партии, шт
б
Партии, шт
Рис. 2. Результаты моделирования системы 1 по каналу максимального момента (а): по каналу времени 90% вулканизации (б) без регулятора (1) и с регулятором (2)
0
а
Этап 2. На данном этапе произведено построение регулятора с учетом нестабильности коэффициентов передачи объекта управления по управляющим воздействиям. Математическое моделирование данной системы показало, что эффективность регулятора несколько упала (рис. 3).
Анализ взаимного расположения амплитудных частотных характеристик замкнутых систем по возмущающим воздействиям и спектральных плотностей возмущающих воздействий [15, 16] (рис. 4) показал, что увеличилась мощность средне- и высокочастотных составляющих возмущающих воздействий (линия 4 на рис. 4) и снизилась эффективность отработки регулятором низкочастотных возмущений (АЧХ в области низких частот поднялись). Для обеспечения устойчивости замкнутой системы при увеличенном уровне возмущений, алгоритм синтеза уменьшил коэффициенты регулятора по замкнутым контурам.
2 3
к 3
« 2
к 1
и § 0 5-1
50
100
а
х 1,5
к
* 1
<и 0,5 о,
т 0
-0,5
-1
-1,5
150 200 250
Партии, шт
50 100
б
150 200 250
Партии, шт
0
0
Рис. 3. Результаты моделирования системы 2 без регулятора (1) и с регулятором (2): а) по каналу максимального момента; б) по каналу времени 90% вулканизации
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
£
л
ч
о
Частота, кол/партию
а
£
<
Л
£
о
Частота, кол /партию
б
Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики (линии 1, 2) и спектральные плотности (линии 3, 4) для систем 1, 2 каналов: а) момента; б) времени 90% вулканизации
Все это привело к повышению дисперсии ошибки регулирования. Суммы квадратов отклонений для разомкнутой системы увеличились, соответственно, до 391 дНм2 и 51 мин2. При замкнутой системе суммы квадратов отклонений составили, соответственно 314 дНм2 и 32 мин2. Коэффициенты эффективности составили по моменту Л1=0,8, по времени вулканизации Л2=0,63. Таким образом, при наличии нестабильности объекта управления по управляющим воздействиям дисперсия регулируемых переменных возросла как за счет повышения мощности возмущающих воздействий, так и за счет понижения эффективности работы регулятора.
Анализ корней разработанной замкнутой системы показал, что они все по модулю меньше единичного значения, т. е. разработанная система является устойчивой, что говорит о выполнении критерия стабилизируемости системы.
Снижение дисперсии регулируемых параметров говорит об эффективности системы и работоспособности наблюдающего устройства на основе фильтра Калмана, что позволяет сделать вывод о наблюдаемости системы.
Выводы
1. Разработана система управления формальными кинетическими параметрами процесса вулканизации резиновой смеси, уменьшающая влияние возмущающих воздействий на максимальный момент и на продолжительность вулканизации.
2. При использовании в системе управления управляющих воздействий по каналам с нестабильными характеристиками мощность возмущающих воздействий увеличивается.
3. Сохранение эффективности системы управления при нестабильности каналов управления может быть обеспечена путем снижения модуля амплитудной частотной характеристики системы по возмущающим воздействиям в зоне неэффективной работы обратной связи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бирюков В.П. Постановка задачи управления характеристиками резинотехнических изделий / В.П. Бирюков, Г.М. Садчикова // Проблемы шин и резинокордных композитов: докл. 17-го симпозиума: в 2 т. М.: ООО «НТЦ «НИИШП»,
2006. Т. 1. С. 61-69.
2. Система управления характеристиками резиновой смеси / А.Н. Сочнев, А.П. Климов, Г.М. Садчикова и др. // Проблемы шин и резинокордных композитов: докл. 17-го симпозиума: в 2 т. М.: ООО «НТЦ «НИИШП», 2006. Т. 2. С. 192-199.
3. Сочнев А.Н. Актуальность задачи управления характеристиками резинотехнических изделий / А.Н. Сочнев, Г.М. Садчикова, В.П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ,
2007. С. 199-205.
4. Сочнев А.Н. Анализ влияния характеристик ингредиентов на твердость резины /
A.Н. Сочнев, Г.М. Садчикова, В.П. Бирюков // Перспективные полимерные композитные материалы. Альтернативные технологии. Переработка. Применение. Экология: докл. Междунар. конф. «Композит-2007». Саратов: СГТУ, 2007. С. 181-185.
5. Сочнев А.Н. Анализ параметров состояния резиновой смеси для управления технологическим процессом его получения / А.Н. Сочнев, Г.М. Садчикова,
B.П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 206-209.
6. Сочнев А.Н. Анализ возможности использования дозировок сульфинамида и серы в качестве управляющих воздействий на параметры вулканизации резиновой смеси /
A.Н. Сочнев, Г.М. Садчикова, В.П. Бирюков // Проблемы шин и резинокордных композитов: докл. 18-го симпозиума: в 2 т. М.: ООО «НТЦ «НИИШП», 2007. Т.2. С. 169175.
7. Квакернак К. Линейные оптимальные системы управления / К. Квакернак, Р. Сиван; пер. с англ. М.: Мир, 1977. 654 с.
8. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А. Г. Александров. М.: Высшая школа, 1989. 263 с.
9. Рей У. Методы управления технологическими процессами / У. Рей; пер. с англ. М.: Мир, 1983. 368 с.
10. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления / К. Острем; пер. с англ. М.: Мир, 1973. 324 с.
11. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 4. Теория оптимизации систем автоматического управления / под ред. К. А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.
12. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц; пер. с англ. М.: Наука, 1985. 294 с.
13. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы / П.В. Куропаткин. М.: Высшая школа, 1980. 287 с.
14. Медведев В.С. Control System Toolbox / В.С. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог МИФИ, 1999. 287 с.
15. Бирюков В.П. Расширенная задача управления технологическим процессом /
B.П. Бирюков // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. № 3. С. 116-126.
16. Бирюков В.П. Некоторые принципы построения систем управления технологическими процессами с высоким уровнем неконтролируемых возмущений: автореф. дис. ... канд. техн. наук / В.П. Бирюков. Л., 1991. 20 с.
Сочнев Александр Николаевич -
аспирант кафедры «Технология и автоматизация машиностроения»
Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)
Саратовского государственного технического университета
Садчикова Галина Михайловна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Технология и автоматизация машиностроения»
Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)
Саратовского государственного технического университета
Бирюков Владимир Петрович -
доктор технических наук,
заведующий кафедрой «Технология и автоматизация машиностроения»
Балаковского института техники, технологии и управления (филиала)
Саратовского государственного технического университета Статья поступила в редакцию 05.09.07, принята к опубликованию 20.11.07
