CC BY
6
УДК 681.515.6 : 510.644.4
Сарандаев Г.К., Лопатин А.Г., Брыков Б.А.
РАЗРАБОТКА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКОГО ПД КОНТРОЛЛЕРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АСТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
Сарандаев Герман Константинович - студент 3 курса кафедры автоматизации производственных процессов; Лопатин Александр Геннадиевич - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой автоматизации производственных процессов;
Брыков Богдан Александрович - магистр, старший преподаватель кафедры автоматизации производственных процессов; brybogdan@yandex.ru
ФГБОУ ВО «Новомосковский институт РХТУ им. Д.И. Менделеева», Россия, Тульская область, Новомосковск, 301665, ул. Дружбы, 8.
В статье рассматривается вопрос автоматизации технологического объекта управления вида «бак». Особенность этого вида объектов является астатический характер их переходной характеристики, следствием чего является целесообразность отказа от классического ПИДзакона управления и переход к ПД законам. Целью является синтез и последующее исследование нечеткого ПД подобного регулятора для управления вышеназванным объектом. Приведена структура контроллера и поставлен ряд исследований для качественного анализа работы контроллера.
Ключевые слова: нечеткая логика, астатический объект, ПД регулятор, система управления.
DEVELOPMENT AND EXPERIMENTAL RESEARCH OF A FUZZY PD CONTROLLER OF AN ASTATIC OBJECT CONTROL SYSTEM
Sarandaev G.K., Lopatin A.G., Brykov B.A.
Novomoskovsk institute of MUCTR, Novomoskovsk, Russian Federation
The article discusses the issue of automation of a technological control object of the "tank" type. The peculiarity of this type of objects is the astatic nature of their transient characteristics, the consequence of which is the expediency of abandoning the classical PID control law and the transition to the PD laws. The aim is to synthesize and subsequently study a fuzzy PD similar controller to control the above-mentioned object. The structure of the controller is given and a number of studies are set to analyze a quality of that controller. Key words: fuzzy logic, astatic object, PD controller, control system.
Введение
Существует ряд технологических объектов управления (ТОУ), управление которыми по ПИД закону не оптимально. Объекты такого рода называют астатическими. Классическим примером объекта такого рода является технологическая емкость (бак), у которого имеется входной трубопровод с клапаном для подачи жидкости и выходной трубопровод с подключенным насосом, вследствие чего жидкость принудительно удаляется из бака. Задачей управления баком является поддержание заданного уровня воды в условиях ее постоянного отбора. Для эффективного решения задачи целесообразен отказ от ПИД регулятора и переход к ПД регулятору. Причинами этого служит факт наличия интегральной составляющей в передаточной функции объекта, что компенсирует отсутствие её в законе управления регулятора. Наличие же интегральной составляющей в законе управления повышает порядок астатизма при управлении астатическим объектом, что приводит к ухудшению качества регулирования.
С учетом вышесказанного, вызывает интерес возможность синтеза нечеткого контроллера, подобного ПД регулятору и способного дополнительно улучшить качество управления астатическим объектом.
Экспериментальная часть
Переходная характеристика вышеуказанного объекта управления может быть с достаточной степенью точности аппроксимирована кривой, которой соответствует астатическое звено 2 порядка с транспортным запаздыванием. Передаточная функция этого звена имеет вид (1):
W-royCs) = т К+ Т е-™ (1 ) 7\ • s2 + i2 • s
где К - коэффициент усиления объекта управления
(К = 2.1), Ti и Т2 - постоянные времени объекта
управления (Ti = 32 сек, Т2 = 15 сек), т - время
транспортного запаздывания (т = 1.8 сек).
Для сравнительного анализа качества работы
синтезируемого нечеткого ПД регулятора необходимо
также разработать классическую систему
автоматического управления (КСАР) с ПД
регулятором и тем же объектом управления (1).
Определим параметры ПД регулятора с помощью
встроенного в Simulink блока «PID Controller» [1].
Таким образом, получаем ПД регулятор с
передаточной функцией (2):
Wm(s) = Кр + Td • s (2 )
где Кр - коэффициент усиления пропорциональной
части регулятора (Кр = 1.05), Td - время
дифференцирования (Td = 0.5 сек).
Структурная схема КСАР приведена на рис. 1а, а
нечеткой системы автоматического регулирования
(НСАР) - на рис. 1б.
Коэффициент регуипорв Кр
—в-—
О'
Сгупенчагое Инерционное попдейстптте, tnaro v(l> = 1. при
ЕЬО
I рафпк исрс.чодыого процесса. ><<)
Птмшвсона. KlJJlW
ллрштт. Kde
ПфЬВНУШШ фу мша
Лстпгчгегс* •
skhoSuojmkb зшвдатшия (t - U cot)
Jib ЧХН
килеЛстме,
VI I) = I , IIJIII
•а
Рис.1 Структурная схема систем управления: а - классическая; б - нечеткая g(t) - уставка (задание), e(t) - ошибка рассогласования, u(t) - сигнал управления, v(t) - внешнее возмущение, y(t) - значение регулируемой величины; Ke - коэффициент нормализации ошибки рассогласования, Kde - коэффициент нормализации производной ошибки рассогласования, Ku - коэффициент денормализации сигнала управления
Рассмотрим подробнее структуру предлагаемого нечеткого ПД регулятора.
Как видно из рис. 2, у этого регулятора имеется две входные переменные и одна выходная. Входные переменные представляют собой сигналы ошибки регулирования и её производной, причем эти сигналы перед фаззификацией в нечетком регуляторе приводятся к нормированному диапазон изменения [-1;1]. Процедура нормализации выполняется для того, чтобы не перенастраивать внутреннюю структуру нечеткой системы вывода при изменении параметров ТОУ. Коэффициенты нормализации подбираются для каждого объекта управления с помощью алгоритмов минимизации функции цели (алгоритм отжига, генетический алгоритм и т.д.).
Надо отметить, что функционал МЛТЬЛБ позволяет выполнить процедуру подбора коэффициентов нормализации с помощью встроенной программы орйтШо1 [2]. Для ТОУ (1) при минимизации интегрального квадратичного критерия вида (3)
\
(e(t))2dt ^ min (3 )
значения коэффициентов нормализации имеют вид: Ke = 1, Kde = 2.21.
Денормализация сигнала управления с помощью коэффициента Ku здесь необходима по той же причине, чтобы не было необходимости перенастраивать внутреннюю структуру системы нечеткого вывода под новый ТОУ, диапазон изменения выходной переменной у неё [-1 ;1].
Рассмотрим подробнее устройство системы нечеткого вывода.
Лингвистическое описание всех трёх переменных включает три терма (рис. 2).
Входные переменные именуются Inputl и Input2 соответственно для нормированных значений ошибки рассогласования и её производной, а выходная переменная - Output, она представляет собой нормированный сигнал управления.
Главный компонент любой системы нечеткого вывода - её база знаний, в главной степени определяющая алгоритм работы регулятора. В данном случае за основу была взята известная база знаний [3], записанная для линейного нечеткого ПИ подобного
регулятора (таблица 1), однако для синтеза нечеткого ПД подобного регулятора общее число правил сократили с 49 до 9 штук вследствие особенностей лингвистического описания переменных (рис.2).
МЮы г р
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 V Рис.2 Лингвистическое описание каждой из переменных системы нечеткого вывода: V- значение переменной, ц(У) - степень принадлежности переменной, N (negative) -
отрицательный, Z (zero) - ноль, P (positive) - положительный
Такое существенное упрощение структуры нечеткого регулятора было обосновано в работе [4], где проводились исследования о необходимом количестве функций принадлежности для переменных регулятора. Правила в базе знаний записываются по принципу (4):
ЕСЛИ Inputl = ••• И Input2 = ••• ТО Output = ••• (4)
Таблица 1. База знаний нечеткого ПД регулятора
Input 1
N Z P
Input 2 N N N Z
Z N Z P
P Z P P
Проведем сравнительный анализ устойчивости НСАР и КСАР по методике, апробированной в работе [5]. В ней предполагается расчет таких параметров ТОУ, при которых КСАР окажется на границе устойчивости. Если при этих же параметрах НСАР останется устойчивой, то можно говорить о наличии свойства робастности в НСАР - т.е. сравнительно малой её чувствительности к изменениям параметров ТОУ.
Найдем критическое значение коэффициента усиления ТОУ К^г, применив следствие из частотного критерия устойчивости Найквиста [6], согласно
которому, если амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой КСАР на комплексной плоскости пройдет через точку с координатами (-1/0), значит замкнутая КСАР при этих же параметрах ТОУ находится в колебательном режиме.
Методика расчета критического значения коэффициента усиления ТОУ Ккг:
1. Путем замены 5 на /'ю (/ - мнимая единица) в звеньях (1) и (2) и разложения звена транспортного запаздывания в звене (2) по формуле Эйлера получим выражение комплексной передаточной функции разомкнутой КСАР (5):
разомнк V
О) = (Кр + Тй]щ) ^ + т . ) (С08(та) -] 8т(та)) (5 )
3. Из
2. Избавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя выражения (5) на комплексно сопряженный множитель (—Т^2 — Т2]ш) и получим выражение комплексной передаточной функции разомкнутой КСАР.
—ш3КТ1Та8т(та) — ш2ККрТг соб(т^) + ш2КТаТ2 СОБ(Т^) Яе(ш) =-
и/
полученного разомнк вещественную Яе(ш) (6) и мнимую частотные характеристики:
выделим 1т(ш) (7)
Т2 8т(та)
Т2
ш4 + Т22 • ш2
1т(ш) =
-ш3КТ1Тасоб(т^) + ш2ККрТг 8т(та) — ш2КТаТ2 8т(та) — шККрТ2соз(тш)
Т2
ш4 + Т72
ш2
(6)
(7)
4. Решим алгебраическую систему уравнений (8) относительно значения К:
(Яе(ш) = — 1 Ът(ш) = 0 (8) Таким образом, для ТОУ (1) критическое значение коэффициента усиления, при котором КСАР окажется на границе устойчивости КкГ = 11.32.
Проверим правильность теоретических расчетов, проведя имитационное моделирование. Получим графики переходных процессов для КСАР и НСАР при условии, что К = 2.1 (рис. 3) и К = 11.32 (рис. 4). ВД — Классическая СДР
— Нечеткая САР
0.5-
0
10 15 20 25 30 35 иск
Рис.3 Графики переходных процессов КСАР и НСАР при К = 2.1
Полученный результат наглядно показывает, что НСАР с нечетким ПД регулятором демонстрирует отличный результат при управлении астатическим объектом: при номинальных параметрах ТОУ (рис. 3) НСАР дает лучший переходный процесс по сравнению с КСАР по таким показателям качества, как:
- время регулирования ?рег = 22 сек у НСАР и tрег = 31 сек у КСАР;
- динамическое отклонение 7дин = 0.905 у НСАР и Тцин = 0.938 у КСАР;
- перерегулирование о = 0% у НСАР и о = 7% у КСАР.
При критическом значении коэффициента усиления ТОУ (рис. 4) КСАР действительно вышла на режим незатухающих колебаний, что в полной мере соответствует теории; в то же время, НСАР осталась
устойчива. Показатели качества переходного процесса
для НСАР: ?рег = 25 сек, 7Д1Ш = 0.876, о = 41%.
■ "1 ---Классическая СЛР
\ —Нечеткая САГ
0.5 / \\ / \ I
1 \ ^ / \ / у \ //--}
Ху 1 \ /
0,5- \ / \ /
0 5 10 15 20 25 30 35 1,«к
Рис.4 Графики переходных процессов КСАР и НСАР при К = 11.32
Проведем анализ устойчивости НСАР на основе критерия Попова, согласно которому «если статическая характеристика нелинейности лежит в границах сектора, определяемого прямой кх, то коэффициент нелинейности не больше значения к, следовательно, если устойчива соответствующая линейная система со статической характеристикой кх, то будет устойчива и нелинейная система» [6-8]. В НСАР нелинейным элементом является нечеткий ПД регулятор. Построим его статическую характеристику и выделим сектор нелинейности (рис. 5).
0.6 0,4 0.2 О -0.2 -0 4 -0.6
2
е(0
■1
-0.5
0
0.5
1
Рис.5 Статическая характеристика нечеткого ПД подобного регулятора (1) и её сектор нелинейности (2)
Для статической характеристики (рис. 4), сектор значении К НСАР окажется на границе устойчивости, нелинейности ограничен прямой кх, где к = 0.58. Если т.е. при каком КАФЧХ ТОУ будут пересекать точку (построить обычную №тоу(]ш) и модифицированную 1/к;Выражения №тоу(1&)) и ^'тоу(У^) имеют вид ^'ТОУ(]'ш) АФЧХ ТОУ (рис. 6), то можно определить (9) и (10): запас устойчивости НСАР, т.е. понять, при каком
ЩоуО^ =
—ш2КТг cos(ra) — шКТ2 sin(ra) —ш2КТг sin(ra) — шКТ2 cos(ra)
Т2 • ш4 + Т2 • ш2
+ J
Т2 • ш4 + Т2 • ш2
(9)
—ш2КТг cos(ra) — шКТ2 sin(ra) —ш2КТг sin(ra) — шКТ2 cos(ra) w Тву0'^)= -т,2 , ,4 , -+ -ч^2 ..4 , ч^2 . 2- (10)
Т2 ■ а)4 + Т2 ■ ш2
Т2 ■ ш4 + Т2 ■ ш2
°-4т //»(ю)
-2
1.6,' 1.2 0.
Рис.6 АФЧХ объекта управления: а - обычная, б - модифицированная 1 - АФЧХ ТОУ с номинальным значением К = 2.1, 2 - АФЧХ ТОУ с критическим значением К = 11.32, 3 - точка с координатами (-1/к;уО) при к = 0.58, 4 - прямая, проходящая через точку (-1/к;уО)
Проанализируем полученные результаты. Для предлагаемой в работе НСАР выполняются как необходимое, так и достаточное условие критерия Попова - т.е. график модифицированной АФЧХ ТОУ даже при критическом значении К проходит справа от прямой 4 (рис. 6б). Также, график обычной АФЧХ (рис. 6а) при критическом К не охватывает точку (-1/к;]0), что подтверждает полученный на рис. 4 результат имитационного моделирования.
Так, согласно полученным графикам, для того, чтобы обычная АФЧХ ТОУ пересекла точку (-1/к; уО), а модифицированная касалась прямой 4 (показана на рис. 6б), необходимо, чтобы коэффициент усиления ТОУ К был равен 16.08. Иными словами, система управления с нечетким ПД подобным регулятором выдерживает изменение параметров ТОУ на 42% больше, чем классическая система управления без дополнительной настройки.
Заключение
Методика анализа устойчивости нечеткой системы управления, представленная в этой работе, представляет собой существенный практический интерес, т.к. с её помощью легко определить критические значения параметров ТОУ, при которых уже нечеткая САР окажется на границе устойчивости. Эти данные удобно учитывать при настройке масштабирующих коэффициентов нечетких регуляторов, а также при синтезе их базы знаний и других частей их внутренней структуры.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ. Проект № 20-07-00914
Список литературы
1. PID Controller Tuning in Simulink [Электронный ресурс] - URL:https://www.mathworks.com/help/ slcontrol/gs/automated-tuning-of-simulink-pid-controller-block.html (Дата обращения: 20.05.2021).
2. MATLAB Optimization Toolbox [Электронный ресурс] - URL: http://www.cs.nthu.edu.tw/~cherung/ teaching/2009cs5321/link/MatlabOpt.pdf (Дата обращения: 20.05.2021).
3. Управление технологической безопасностью промышленных процессов на основе нечетко-определенных моделей / Д. П. Вент, В. И. Ерофеев, В. Н. Богатиков и др. Монография — Новомосковский институт (филиал) РХТУ им. Д.И. Менделеева, г. Новомосковск, 2019. — 208 с.
4. Сарандаев Г. К., Соколов И. С., Брыков Б. А. Об особенностях синтеза нечетких систем управления астатическими объектами // XXIII научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов. — Химические и технические науки. — НИ (ф) ФГБОУ ВО РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2021. — С. 76.
5. Брыков Б. А., Лопатин А. Г., Вент Д. П. Анализ устойчивости робастной системы управления с нечетким регулятором // Успехи в химии и химической технологии. — 2017. — Т. 31, № 8. — С. 13-15.
6. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия,2003.752с.
7. Частотный метод В.М. Попова [Электронный ресурс] - URL: https://helpiks.org/3-66514.html (Дата обращения: 21.05.2021)
8. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. 4-е изд. Лаборатория знаний. - 2020. - 800 с.
