CC BY
3
www.volsu.ru
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu
УДК 517.53
ББК 22.161.5, 22.162
Дата поступления статьи: 25.04.2023 Дата принятия статьи: 06.07.2023
РАЗНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Андрей Валерианович Павлов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики-1, Московский институт радиотехники, электроники и автоматики — РТУ [email protected] https://orcid.org/0000-0002-1082-2222
просп. Вернадского, 78, 117454 г. Москва, Российская Федерация
Аннотация. Доказано, что в относительно общих условиях после введения новой системы координат с центром в точке (—А, 0) уравнения аналитической функции f (р) в двух системах координат возможны только в случае периодичности исходной функции. Аналогичный результат получен для произвольных функций двух переменных. Приведен пример двух обратных функций с точки зрения новой системы координат. Для широкого класса функций доказана теорема о равенстве нулю на действительной оси аналитичной в некоторой открытой области этой оси функции.
Ключевые слова: регулярная функция, периодичность аналитической функции, двойное представление функций, разные системы координат, сдвинутые функции.
Введение
СО
0
^ В статье рассматривается обобщенная периодичность аналитических функций, воз-
га никающая при рассмотрении уравнений с точки зрения разных систем кординат (теоре-
1 мы 1-3) [3].
ч Возможность периодичности, которую мы не предполагали по условию, хорошо ил-
с люстрирует примеры 1, 2 из доказательства теорем 1, 3. Нам понадобятся обозначения:
@ сдвинутая направо на величину А функция f (р) совпадает при всех р = т с функцией
fi(w) = f(р — А), которая одновременно является уравнением одного и того же многообразия Cf = {(p,z) : z = f (p)} в системе координат с центром в точке (—А, 0) и комплексной переменной w, А> 0; аналогично ¿2^) = f (р + А) при всех р = г, и уравнение z = f2(r) является уравнением исходного многообразия Cf = {(p,z) : z = f (p)} в системе координат с центром в точке (А, 0) и комплексной переменной г, А> 0.
В первом примере по определению fright(r) = f2(r) = f(г + А), А > 0. Очевидно для обратных функций выполнено равенство f(-ght(z) + А = f(~1\Z) в области аналитичности и однолистности G обеих функций, А > 0; данный факт следует из fright(z) = — + W,f(~1\Z) = А — b + iy, при всех z из области значений z = f(р);
данное равенство влечет совпадение производных функций f(~hht(z), f(~1\Z) в случае аналитичности и однолистности обратных функций. Совпадение выражений производных обратных функций в свою очередь влечет совпадение аналитических выражений производных функций dfright(p)/dp = df (p)/dp в произвольной области однозначности данных функций. Совпадение аналитических выражений производных влечет периодичность производных с параметром А в области аналитичности и однолистности прямых и обратных функций fright, f. (Мы использовали то, что многообразие производных в исходной системе координат совпадает с многообразием производных Cf в системе координат с переменной г при любом А.) Доказанный факт, например, выполнен для функции z = 1/р в области G = {р : —п/2 < агдр < п/2 П Rep > е > 0} (теорема 3).
Данный пример в теореме 3 приводит к возможности аналитически продолжить любую производную аналитической в некоторой открытой области G функции сдвинутой направо на величину А > 0 функцией в условиях теоремы 3 (в виде аналитического выражения).
Аналогичный факт вытекает из рассуждения второго примера: уравнение z = f2(г) в системе координат с переменной р имеет вид z = f (р — А), г + А = р (переменная г — комплексное число в системе координат с центром в (А, 0), переменная р — комплексное число в системе координат с центром в (0,0)). При каждом z и комплексном числе R = р равенство z = f (R — А) также выполнено в системе координат с переменной г, так как, отложив вектор R = р от центра координат в точке (А, 0), после вычитания А > 0 мы получим вектор R — А = w, значение в котором совпадало с числом z из уравнения z = f (р — А) в системе координат с центром в (0, 0). Мы получили, что два одинаковых уравнения z = f (р — A), z = f (R — A), R = г, являются уравнением одного исходного многообразия в разных системах координат, сдвинутых одна относительно другой на А > 0. Данный факт возможен только в случае периодичности исходной функции (теорема 1).
В теореме 2 аналогичный результат получен несколько другим методом. В данной теореме и теореме 1 в достаточно общих условиях доказана периодичность аналитической в открытой окрестности мнимой оси функции [2-6]. В теореме 2 не используются формулировки и доказательства примеров введения и теорем 1, 3. Теорема 1, как и примеры 1, 2 введения, является обоснованием основного утверждения теорем 2, 3 о том, что с точки зрения обратной функции и сопоставления точек плоскости, а не аналитических выражений функций, существует два уравнения одного многообразия z = f (w), z = f (w — А) в некоторой новой системе кординат, А > 0.
Результаты теорем 1, 2, 3 эквивалентны периодичности исходной функции [3;6].
Применение результатов статьи к задачам механики и математической физики очевидно вытекает из совпадения аналитических функций с результатом сдвига этих функ-
ций с точки зрения новых систем координат [1;3;6;7].
1. Периодичность аналитических функций
В теореме 1 приводится доказательство периодичности произвольной аналитической функции в относительно общих условиях [2;3]. Утверждение теоремы 1 становится естественным с точки зрения примеров введения, использующих только обыкновенные факты комплексного анализа.
Отметим, что два разных уравнения одного многообразия влечет периодичность с периодом А в случае аналитических функций f (р) [1; 3; 6], которую мы не предполагали. Теорема 1. С точки зрения разных систем координат с центрами в точках (0,0) и (А, 0) одно и то же многообразие имеет одинаковое аналитическое уравнение z = f (Р — А), А > 0, при всех Р = р и Р = г, для произвольной аналитической в открытой односвязной области G функции z = f (р), (0,0) е G, (А, 0) е G (пример 2 введения).
Доказательство. Теорема 1 является непосредственным следствием второго примера введения. (См. также пример 1 для производных аналитических функций.)
В доказательстве теоремы 2 используются несколько другие по сравнению с примерами 1, 2 введения методы.
Теорема 2. С точки зрения введения новых систем координат относительно переменных wi, w и р с центрами, соответственно, в точках (-2А, 0), (—А, 0) и (0,0) аналитическая в открытой односвязной области G, содержащей эти три точки, функция f (р) становится периодичной с периодом А > 0.
Доказательство. Как и во введении, рассматривается уравнение z = fi(w) = f (w — A) многообразия Cf во второй системе координат с центром в точке (—А, 0).
Заметим, что уравнение z = fi(р) = f (р — А) совпадает с уравнением многообразия Cf во второй системе кординат с переобозначенной переменной р вместо w. Перепишем равенство z = f (р) в форме z = f ((р + А) — А) = f (w — А). С точки зрения отмеченного факта это — уравнение перемещенного (сдвинутого) во второй центр (—А, 0) исходного многообразия Cf в третьей системе координат с центром в точке (—2А, 0) (для всего рисунка двух систем координат, сдвинутого налево на величину А > 0). Здесь мы находим wi = w по z как результат обратного отображения z = g(wi) = fi(wi) для такого «сдвинутого» многообразия для переменной wi в третьей системе координат с центром в (—2А, 0), g(w) = f (w — А). Существование двух обратных отображений одновременно возможно только при периодичности с периодом А аналитического выражения функции
* = f (Р).
Теорема 2 доказана.
В теореме 3 с помощью примеров введения и теорем 1, 2 доказана возможность аналитически продолжить аналитическую функцию f (р) через границу ее аналитичности в условиях теормы 1.
В теореме 3 мы предполагаем, что функция z = f (р) определена и аналитична в открытой области G, включающей в себя квадрат К = [р : 0 < Rep < —А <
< Imp < А] при некотором А > 0.
Теорема 3. Функция z = f (р), аналитичная в открытой области G, включающей в себя квадрат К, может быть аналитически продолжена через границу квадрата Rep = 2А функцией z = f (р — 2А), если обратная к ней функция р = f (-1\z) является однозначной аналитической функцией z в некоторой односвязной открытой области ImG, совпадающей с образом области G при отображении z = f (р), df (р)/dp = 0, р е G.
Доказательство. Теорема является непосредственным следствием примера 1 введения (можно также воспользоваться периодичностью исходной функции, доказанной в примере 2 введения и в теоремах 1, 2).
Заметим, что формально из результатов данной работы следуют все результаты статей [5-7].
Заключение
Из равенства z = f2(r) = f (р + А), р = г, получаем, что, как следствие примеров 1, 2, одно уравнение z = f (р + А) является уравнением исходного многообразия Cf как в исходной, так и сдвинутой налево второй системе координат, так как значения z из равенств z = f2(r) = f (r + A) и z = f (p + А) одни и те же при всех р = г из области аналитичности функции f2.
На первый взгляд второе уравнение z = f (p + А) является уравнением сдвинутого многообразия z = f2(r), но с точки зрения другого рассуждения обратная функция к z = f (p + А) совпадает с уравнением обратной функции к исходному многообразию Cf (а не к сдвинутому), а именно, если существует единственное число z из множества значений f2(r), то уравнение z = f (p + А), верное при всех р, определяет единственную точку на плоскости комплексных аргументов, совпадающую с основанием высоты, опущенной из каждого z, по определению вообще говоря любого уравнения с тремя переменными; с этой точки зрения z = f (p+А) тоже уравнение исходного многообразия, а не сдвинутого (мы получаем несколько оснований высот в сдвинутых одна относительно другой точках P,W).
Применимость данных результатов к физическим задачам математической физики требует дальнейшего рассмотрения с точки зрения сравнения полей сдвигов с физически осуществимыми математическими моделями электромагнитных полей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1987. - 688 с.
2. Павлов, А. В. Отражение регулярных функций / А. В. Павлов // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2021. — Т. 24, № 4. — C. 79-82. — DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2021.4.6
3. Павлов, А. В. Отраженные функции и периодичность / А. В. Павлов // International Journal of Open Information Technologies. — 2022. — № 6. — C. 33-39.
4. Чубариков, В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И.М. Виноградова / В. Н. Чубариков // Тр. Матем. Ин-та АН СССР. — 1981. — Т. 157. — C. 214-232.
5. Pavlov, A. V. About the Equality of the Transform of Laplace to the Transform of Fourier / A. V. Pavlov // Issues of Analysis. — 2016. — Vol. 23, № 1. — P. 21-30.
6. Pavlov, A. V. Permutability of Cosine and Sine Fourier Transforms / A. V. Pavlov // Journal Moscow University Mathematics Bulletin. - 2019. - Vol. 74, № 2. - P. 75-78.
7. Pavlov, A. V. The Regularity of the Transform of Laplace and the Transform of Fourier / A. V. Pavlov // Chebyshevskii sbornik. - 2020. - Vol. 21, № 4. - P. 162-170.
REFERENCES
1. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo [The Methods of Theory Functions of Complex Variable]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 688 p.
2. Pavlov A.V. Otrazhenie regulyarnykh funktsiy [Reflection of Regular Functions]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2021, vol. 24, no. 4, pp. 79-82. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2021.4.6
3. Pavlov A.V. Otrazhennye funktsii i periodichnost [Reflected Functions and Periodicity]. International Journal of Open Information Technologies, 2022, no. 6, pp. 33-39.
4. Chubarikov V.N. Ob asimptoticheskikh formulakh dlya integrala I.M. Vinogradova [On Asymptotic Formulas for the I.M. Vinogradov Integral]. Tr. Matem. In-ta AN SSSR, 1981, vol. 157, pp. 214-232.
5. Pavlov A.V. About the Equality of the Transform of Laplace to the Transform of Fourier. Issues of Analysis, 2016, vol. 23, no. 1, pp. 21-30.
6. Pavlov A.V. Permutability of Cosine and Sine Fourier Transforms. Journal Moscow University Mathematics Bulletin, 2019, vol. 74, no. 2, pp. 75-78.
7. Pavlov A.V. The Regularity of the Transform of Laplace and the Transform of Fourier. Chebyshevskii sbornik, 2020, vol. 21, no. 4, pp. 162-170.
DIFFERENT COORDINATE SYSTEMS AND PERIODICITY
Andrey V. Pavlov
Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Higher Mathematics-1,
Moscow Institute of Radiotechnics, Electronics and Automatics - RTU
https://orcid.org/0000-0002-1082-2222
Prosp. Vernadskogo, 78, 117454 Moscow, Russian Federation
Abstract. In the article we consider a two new systems of coordinate for the p,w complex variables. The centers of coordinates of the systems are located in the (0,0), (—A, 0) points, A> 0. With point of view of the centers we obtain some new equations of the (p,f (p)) set of points for the f (p) function. The consideration of the equations results in periodicity of the f(p) function, if the f (pi) function is regular in some open G set of points. Similar theorems are proved for the irregular functions. The example of two reverse functions for a new system of coordinates is resulted. The theorem is proved about the f (p) = 0 equality for wide class of regular functions, if Imp = 0.
Key words: regular function, periodicity of analitic function, double representation of functions, different coordinate systems, moved functions.
