Разностные схемы расщепления с согласованными аппроксимациями потоковых членов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:533.7

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ С СОГЛАСОВАННЫМИ АППРОКСИМАЦИЯМИ ПОТОКОВЫХ ЧЛЕНОВ

Ф, В, Иванов

Введение

Для решения задач математической физики широко применяется метод расщепления по физическим процессам [1-4], учитывающий специфику задач и позволяющий эффективно получать их численное решение. Большой интерес представляет изучение возможности расщепления алгоритма численного решения задачи, обладающего такими важными свойствами, как устойчивость, консервативность, инвариантность и т. д.

В данной работе построены разностные схемы расщепления по физическим процессам, обладающие свойством полной консервативности (ПК). Здесь, следуя определению из книги [5], полностью консервативной разностной схемой (ПКРС) будем называть разностные схемы, для которых выполняются не только разностные аналоги основных законов сохранения, но также и дополнительные соотношения, выражающие баланс отдельных видов энергии. В работах [6-8] излагается алгоритм построения ПКРС и построен ряд семейств ПКРС. Данная работа является продолжением работы [9].

1. Уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных

Рассмотрим одномерные уравнения газовой динамики в эйлеровых © 2008 Иванов Ф. В.

переменных, замыкаемые уравнением состояния р = е):

&£ дри = о дх '

ЗРи ЗР _ Пч

"л!--1--Я--^ "о — и; '

дЬ дх дх дре дрие ди дЬ дх Р дх

Здесь Ь — время, х — эйлерова переменная, и — скорость газа, р е р

Уравнение баланса кинетической энергии и закон сохранения полной энергии соответственно имеют вид

1 дри2 1 дри2и др дрЕ дрЕи дри ^ и2

2 дЬ 2 дх дх ' дЬ дх дх ' 2

Газодинамическое уравнение для энтропии имеет вид

р(ж+4(1р))+ри(дх+ри1р)) = 0-

Для решения некоторых задач математической физики применяется двухэтапное расщепление системы (1). На первом этапе учитываются градиенты давления (в уравнении движения) и скорости (в уравнениях неразрывности и энергии), на втором этапе учитываются инерционные члены и производится перенос вектора состояния вдоль траектории. Подобные расщепления в два этапа применяются в методе частиц в ячейках, в методе больших частиц [4]. Первый этап:

др ди

т+рах= '

ди дР ,9ч

рт + эх = 0> (2)

де ди

рт+рах = 0-

Второй этап:

дР , дР п

д£ + идХ = 0'

О Л;

дри дрии д; дх дре дрие

= 0, = 0.

(3)

д; дх

2. Двухэтапные разностные схемы

Приведем двухэтапные ПКРС.

ПКРС расщепления с термодинамическими параметрами, определенными в центре расчетной сетки. Первый этап:

А+1/2 - рГ+1/2 , ,г ч АхЩ

(Дг+1/2

и-1

рг+1/

Ръ+1/2 — £¿+1/2 - е"+1/2

А,

,

,

(4)

Ат

■РЫ/2 XиГ = 0.

Второй этап:

п+1 -

^+1/2 - ^+1/2, - Аж . _

--Н Щ — {р— /2)а= и,

Т 7

(рД1/ 2)

и?+1 + и?

/2^в

- (р?-1 /2)

^в 2

А

"тК (Й-3 /2)^-1) в

(5)

,

Т (р?+1/2е 1+1/2 - р"+1/2е*+1/2) + "7х [(^-1 Л/2_ 0'

где

(<£>¿-1 /2)а = (аТ£ + (1 - а)Е)<г-1 ^ , < = {р,е,Р}.

Здесь а, в € [0; 1].

ПКРС расщепления с газодинамическими параметрами, определенными в узлах расчетной сетки.

Первый этап:

Т{к -рП)

рП-(и - и?-) +

Ах Рг~Г и— п

А

X г>п

(1-е

рП- (ё - £?) + Рп

'Ах

Второй этап:

-(рП -P¿)

= О, = О, = 0.

Ах

Щ-1— p¿-l

п

(6)

п+1 U¿

П+1

Ах

. " п

ЧрП+1 ёП+1 - РПё

)

, ,

^¿-1 £¿-1 )а = 0.

(7)

Легко проверить, что в разностных схемах (4)-(7) после исключения во временных разностях из второго этапа газодинамических параметров, найденных на первом этапе, получим ПКРС. Это означает, что построенные двухэтапные разностные схемы обладают свойством полной консервативности. Отличительной чертой изложенных разностных схем является то, что все потоковые члены взаимно согласованы.

Построенные двухэтапные разностные схемы (4)-(7) обладают суммарной аппроксимацией на уравнениях системы (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

2. Яненко Н. Н., Ковеня В. М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

3. Марчук Г. И. Метод расщепления. М.: Наука, 1988.

4. Белоцерковскнй О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982.

5. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.

6. Головизнин В. М., Разанов М. А., Самарский А. А., Сороковникова О. С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. М., 1984. 29 с. (Препринт / ИПМ им. Келдыша АН СССР; № 56).

7. ivanov F. V., Fedotova Z. I. On new classes of completely conservative difference schemes of gas dynamics // Sympos. on advanced problems and methods in fluid mechanics. Paland, Mragano, 1987. P. 190-191.

8. ivanov F. V., Fedotova Z. L, Shokin Yu. 1. On complete conservatism of difference schemes // Numerical methods in fluid dynamics. M.: Мир, 1984. P. 225-244.

9. Иванов Ф. В. Полностью консервативные двухэтапные разностные схемы // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т 10, вып. 1. С. 132-139.

г. Якутск

11 июня 2004 г■