Двухслойные разностные схемы с согласованными аппроксимациями потоковых членов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:533.7

ДВУХСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С СОГЛАСОВАННЫМИ АППРОКСИМАЦИЯМИ ПОТОКОВЫХ ЧЛЕНОВ

Ф, В, Иванов

Введение

В книге [1] показано, что для устойчивости разностных схем (РС) для системы уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах важное значение имеет согласованность аппроксимации члена с давлением в уравнении движения с членами конвективного потока уравнений. В [2-4] и в ряде работ этих авторов были предложены разностные схемы со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. Эти разностные схемы обладают свойством полной консервативности (ПК) в смысле [5]. В работе [6] построена частично трехслойная ПК разностная схема. Исследовано связь свойства полной консервативности разностной схемы (ПКРС) с устойчивостью построенной разностной схемы.

В данной работе построена двухслойная разностная схема, обладающая свойством консервативности при решении нестационарной задачи, а при решении стационарных задач методом установления (т. е. при £ ^ то) она становится ПК. Исследуется связь свойства ПК с устойчивостью ПКРС.

© 2009 Иванов Ф. В.

1. Уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных

Рассмотрим систему одномерных нестационарных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных, замыкаемую уравнением состояния р = р{р, е):

др дри дЬ дх дри

= 0,

дри

~дГ

дре

дх дрие дх

+ ^ = 0

1 о >

дх ди дх

(1.1)

р

- давление.

Здесь Ь — время, х — эйлерова переменная, и -ер Уравнение баланса кинетической энергии и закон сохранения полной энергии имеют вид

дри

2 т

дрии 2 дх

др п ■и— = 0, дх

(1.2)

дрЕ дриЕ дри

= 0,

дЬ дх дх Газодинамическое уравнение для энтропии имеет вид

де

р(т

д

р

дЬ\р

де

Л^х

д

р

дх р

= 0.

(1.3)

(1.4)

Систему уравнений газовой динамики (1.1), кроме уравнения неразрывности, можно записать в недивергентном виде:

др дри = о

дЬ дх '

ди ди др

Р~КТ + Ри~£Г + -¿Г = 0,

дЬ дх дх

де де ди

дЬ дх дх

(1.5)

Стационарные уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных, замыкаемые уравнением состояния р = р(р, е), имеют вид

дри дх

^ + ^ = (1-6)

дх дх

дрие ди

+Р— = 0. дх дх

Уравнение баланса кинетической энергии и закон сохранения полной энергии имеют вид

1 дри2и др

2 ~дх и~дх = (1'7)

Э-^+д-Р=0, Е = е+%. (1.8)

дх дх

Газодинамическое уравнение для энтропии имеет вид

Систему уравнений газовой динамики (1.6), кроме уравнения неразрывности, можно записать в недивергентном виде:

ди др дх дх ди др дх дх

де ди ри— +Рт~ = 0.

дх дх

Систему уравнений (1.10) запишем в матричном виде: А^ = 0, А =

дх

2. Разностные схемы с фиксированной аппроксимацией члена

В данной работе для построения ПКРС применим метод, изложенный в работе [4]. Рассмотрим семейство разностных схем с четырьмя

свободными параметрами, которое аппроксимирует систему уравнений газовой динамики (1.10) с первым порядком точности: Ах

■[а^ри)(1 - а)(Н= 0,

Рх

(а(ри)

Ах

(1 — а%){ри

х-иГ

.п А

х

А

= о,

(2-1) (2.2)

+ (1 - «4)(НГ-1^еГ-1

■Р?^[в8«?+(1-азК_1]=0> (2.3)

где

Рхф) = 0.5(тх + Е)ф), Ахф(х) = 0.5(ТХ + Е)ф), Тх(р(х) = (р(х + К), Е<р(х) = <р(х), оц € [0,1], г = 1,4.

Заметим, что в разностной схеме (2.2) для уравнения движения аппроксимация члена || взята без числового параметра. Г-форма первого дифференциального приближения разностных схем (2.1)-(2.3) имеет вид

{ри)х + —0.5)(ри)хх = 0, (2.4)

римх+ рх + Н(а2 — 0.5)(ри) х их + 0 ЪНрхх = 0, (2.5)

риех+ рих + Ц2а4 — 1) (ри) хех + 0.5^(2а4 — 1 )риехх + Н(а3 — 0 Ъ)рихх = 0.

(2.6)

Рассмотрим преобразование, задаваемое матрицей

которое в разностных уравнениях (2.1)-(2.3) заменяет разностное уравнение (2.2) другим разностным уравнением, аппроксимирующим дивергентное уравнение импульса. ПДП преобразованной разностной

схемы имеет вид

{ри) 4 + Рх + Ца 1 — 0.5)(ри) ххи + Ма — 0.5)(ри) хих + 0.5крхх = 0.

п

Данное уравнение записывается в дивергентной форме лишь при следующем выборе числовых параметров:

« = «2- (2-7)

Применим к разностной схеме (2.1)-(2.3) преобразование, задаваемое матрицей

Получим разностную схему, которая аппроксимирует уравнение баланса внутренней энергии

дрие ди дх ^ дх

ПДП этой разностной схемы имеет вид

(рие)х+ рпх + Цаг -0-5)(ри)ххе+ Н(2а± - 1)(ри)хех

+ Ь{а± -0Ъ){риех)х + Н(а3 -0Ъ)рихх = 0. (2.8)

е

ные, записываются в дивергентном виде только тогда, когда числовые параметры связаны следующим образом:

а = а4. (2-9)

Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнение баланса кинетической энергии, которая получается из разностной схемы (2.1)-(2.3) после преобразования матрицей

1

(К)2

о

ПДП указанной разностной схемы имеет вид

2 \ 2

ии

Ри~2 ) + иРх + + Ма1 ~~ 0.5) —(ри)ххи

+ Ь\а2 -0-5)(ри)хиих = 0. (2.10)

При ограничении (2.7) это уравнение, кроме членов, включающих давление, записывается в дивергентном виде. Применим к разностной схеме (2.1)-(2.3) преобразование

Получающаяся при этом разностная схема должна аппроксимировать систему уравнений газовой динамики в форме законов сохранения, причем третье разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение полной энергии (1.8). Чтобы получить ПДП этого разностного уравнения, надо сложить уравнения (2.8) и (2.10). Новое уравнение запишется в дивергентном виде, если

Рассмотрим газодинамическое уравнение для энтропии (1.9). Чтобы получить разностную схему, которая вместо уравнения энергии аппроксимирует уравнение энтропии, надо применить к исходной разностной схеме (2.1)-(2.3) преобразование

ПДП разностного уравнения, аппроксимирующего уравнение энтропии, имеет вид

ри + рих + Ъ,(2а.\ — 1)(ри)хех + к(а\ — 0.5 )(ри)е

(2.11)

а = а = а = 0.

(2.12)

- Ь\а.1 - 0.5)-{рххи + 2рхих)х - кагрихх = 0. р

а

р

а а а а .

(2.13)

Это соотношение дает необходимое условие ПК.

Теперь рассмотрим применение преобразований непосредственно к разностной схеме. Выкладки показывают, что при параметрах (2.13) семейство схем (2.1)—(2.3) становится ПК, т. е. условие (2.13) является и достаточным условием ПКРС. Выпишем полученные разностные уравнения:

X МГ-1]= О,

Их

А*

К

х

Иму^-1

х

■Р?^ [<-!]= 0.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Разностная схема для энтропии имеет вид

1

(Н п

А» п

н £<-1

х

^п х

■Рг

= 0.

ь \Pi-i.

Ниже приведем ПКРС, полученные с применением вышеизложенной методики. Так как во всех случаях рассматриваемый алгоритм один и тот же, мы не будем его излагать, а запишем ограничения на числовые параметры, полученные из лемм 2 и 3 в [4]. Рассмотрим семейство разностных схем с четырьмя свободными параметрами, в котором в уравнении движения ^ аппроксимирована левой конечной разностью

А,

[а^ри)П+ (1 - а^ри)П-] = 0,

Их

(а2(НГ + (1"«2)(НГ-1^<-1

А,

к

Ат

—пп — п

(2.17)

(2.18)

п ^х г п

" Pi ~ 1аЗиг

(1 - аХ—] = 0.

(2.19)

Применяя предыдущий алгоритм вывода ПКРС, получим следующие ограничения на числовые параметры:

а = а = а = а = 1.

(2.20)

н

А именно, получим следующую ПКРС:

Мх

1

А

(НГ+

хпп _ п

Р г-1 — и!

Разностная схема для уравнения энтропии имеет вид

"Аж ,

{ри)

( 1

— £'." + Г)™— -

7 ^ъ ~ ¥ г 1 1 п

К К \рп

.

(2.21) (2.22) (2.23)

Рассмотрим разностную схему с четырьмя параметрами. Здесь аппроксимируем центральной конечной разностью:

А

(2.24)

А

2^(Р?+Р?_1)=0, (2.25)

«4(НГ+1^Г + (1 -

+ + (1 " "з)<_1] = 0. (2.26)

Данная разностная схема будет ПК при следующих ограничениях на числовые параметры:

а = а = а = а = 0.5. (2.27)

Разностную схему (2.24)-(1.26) при (2.27) обозначим через

Лш = 0. (2.28)

Все производные по х аппроксимированы центральной разностью и имеют порядок аппроксимации О (К2). Тем самым доказана следующая

Лемма 1. Для того чтобы разностные схемы (2.1)-(2.3), (2.17)-(2.19) н (2.24)-(2.26) были ПК, необходимо н достаточно, чтобы Г-формы ПДП преобразованных разностных схем представлялись в дивергентном виде и аппроксимировалось уравнение энтропии.

Через

Л^ = 0, A2w = 0, A3W = 0 (2.29)

обозначим разностные схемы, полученные соответственно из (2.1)—(2.3) при а = 0, го (2.17)-(2-19) при а3 = 1 и из (2.24)-(2.26) при а3 = 0.5. Очевидно, справедливо

Следствие. Для того чтобы разностные схемы (2.29) были ПК, необходимо и достаточно, чтобы Т-формы ПДП преобразованных разностных схем представлялись в дивергептиом виде.

Заметим, что у построенных ПКРС все потоковые члены аппроксимированы согласованным образом. А именно, член с давлением в уравнении движения аппроксимирован сопряженно к конвективным членам системы уравнений газовой динамики (1.6). Отметим, что члены конвективного потока и член с давлением в уравнении движения разностной схемы (2.14)—(2.16) аппроксимированы сопряженно к соответствующим членам разностной схемы (2.21)—(2.23). Вводя числовой параметр а, объединим ПКРС (2.14)-(2.16), (2.21)-(2.23) и (2.28), при этом а определим следующим образом:

0 u > 0, а= < 0.5, u = 0, (2.30)

1, u < 0.

Получим ПКРС с противопотоковой аппроксимацией вида

^ [a(pu)ï + (1 - a)(pu)U] = 0, (2.31)

Их

(а2(ри)? + ( 1- а)(ри)Г-)

Л3

А,

((1- + «pub о,

(2.32)

u

i-1

h

h

х(рг

А

Н+1'

Ж пп

• (1 — а)(рь

п^-х г ,

■ Рг — Уаиг

Ах

\П х п ,<-1 ке<-1

+ (1 — «)<-!] = 0. (2.33)

Как видим, в ПКРС (2.31)—(2.33) члены конвективных потоков аппроксимированы против потока, а аппроксимирована по потоку. Исследуя методом гармоник линеаризованный вид разностной схемы (2.31)— (2.33), приходим к выводу, что она условно устойчива. Отсюда следует

Лемма 2. Полная консервативность разностных схем (2.1)-(2.3) (при и > 0), (2.17)-(2.19) (при и < 0) н (2.24)-(2.26) (при и = 0) является необходимым условием их условной устойчивости.

3. Разностные схемы с фиксированной аппроксимациеи конвективного члена

В этом пункте все ограничения на числовые параметры соответствующих разностных схем получены из необходимого условия ПК, выраженного в терминах ПДП. Но эти ограничения являются и достаточным условием их ПК.

Рассмотрим семейство разностных схем с левой аппроксимацией конвективного члена в уравнении неразрывности:

Ах

■[(Рг

(оЛ(ръ

(1— а^(ри) и

А

Ах

-и

)П-1] = о,

¿-1

(3.1)

((1 — а)рп + арП-1 )= 0,

(3.2)

Ах

еГ + (1 -

+ Р?^ + (1 " «з)ии] = 0. (3.3)

Применяя предыдущий алгоритм вывода ПКРС, получаем следующие ограничения на числовые параметры:

а = а = а = а = 0, а = 1-

(3.4)

п

а

Полученная разностная схема имеет вид (2.14)—(2.16). Как уже было показано, данная схема является полностью консервативной. Конвективный член в уравнении неразрывности следующего семейства разностных схем аппроксимируем правой разностью:

А,

■М Г] = о,

{а^ри) г + ( 1- а)(Н Г-

А,

4-1

А,

((1-

(3.5)

арГ-) = О,

(3.6)

+ (1 -

(3.7)

Из условия дивергентности Г-формы ПДП разностной схемы аппроксимированного уравнения полной энергии получаем

а = а = а = 1,

из Г-формы ПДП уравнения энтропии — а = 1. Окончательно имеем а = а = а = = 1, а = 0. (3-8)

Тем самым мы пришли к разностной схеме вида (2.21)^(2.23), которая, как уже было показано, является полностью консервативной.

Рассмотрим разностную схему с центральной аппроксимацией конвективного члена в уравнении неразрывности:

^[(НГ + (НГ-1] =0,

(3.9)

а ри

(1- а^ри)Г_!

А,

А,

((1- а)рГ + арГ-Ь 0,

(3.10)

Ат Дт

«4(Н"+1у $ + (1 - 4-1

(3.11)

Г

а

X

1—1

Данная разностная схема будет ПК при следующих ограничениях на числовые параметры:

а = а = а = а = 0.5. (3.12)

При этих ограничениях получаем разностную схему (2.28). В целом, в итоге при предположении (2.30) — разностную схему (2.31)—(1.33). Таким образом, доказана следующая

Лемма 3. Для того чтобы разностные схемы (3.1)—(3.3), (3.5)-(3.7) н (3.9)—(3.11) были ПК, необходимо и достаточно, чтобы их Г-формы ПДП представлялись в дивергентном виде и аппроксимировалось уравнение для энтропии.

Через

Л^ = 0, Л2^ = 0, Л3^ = 0 (3.13)

обозначим разностные схемы, полученные соответственно из (3.1)—(3.3) при а = 0, из (3.5)-(3.7) при а = 1 и из (3.9)-(3.11) при а = 0.5. Из

леммы 3 вытекает

Следствие. Для того чтобы разностные схемы (3.13) были ПК, необходимо и достаточно, чтобы их Т-формы ПДП представлялись в дивергентном виде.

Исследуя методом гармоник линеаризованный вид разностной схемы (3.1)—(3.3), приходим к выводу, что при u > 0 и при ограничениях (3.4) она условно устойчива. Изучая схему (3.5)-(3.7), приходим к выводу, что при u < 0 и при ограничениях (3.8) она также условно устой-

u

тоже условно устойчива. Отсюда следует

Лемма 4. Полная консервативность разностных схем (3.1)-(3.3) (при u > 0), (3.5)-(3.7) (при u < 0) и (3.9)-(3.11) (при u = 0) является необходимым условием их условной устойчивости.

Заметим, что все потоковые члены разностной схемы (2.30)—(2.33) аппроксимированы согласованным образом.

В нестационарном уравнении газовой динамики в эйлеровых переменных члены с производными по времени аппроксимируем двухслойной разностью. При этом в разностной схеме временные разности аппроксимированы несогласованно. Поэтому при преобразовании недивергентных разностных схем к дивергентному виду возникает дисбаланс. Чтобы обеспечить выполнение закона сохранения полной энергии, введем искусственный член (е, который обеспечивает консервативность разностной схемы путем компенсирования дисбаланса в уравнении баланса кинетической энергии. Такой способ введения искусственного члена был применен в работе [2]. Окончательно, после аппроксимации членов с временными производными двухслойной разностью и введения искусственного члена (е, получим ПКРС при установлении. Выпишем построенную разностную схему:

1. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

О и > О,

0.5, и = 0,

1, и < 0;

гдед м = -Ш+1«+1-<))2-

ЛИТЕРАТУРА

2. Головизнин В. М., Рязанов М. А., Самарский А. А., Сороковикова О. С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. М., 1984. (Препринт / ИПМ им. Кельдыша АН СССР; № 56).

3. ivanov F. V., Fedotova Z. I. On new classes of completety conservative difference schemes of gas dynamics // Sympos. on advanced problems and methods in fluid mechanics. Poland, Mragano, 1987. P. 190-191.

4. ivanov F. V., Fedotova Z. L, Shokin Yu. 1. On complete conservatism of difference schemes // Numerical methods in fluid dynamics. M.: Mir, 1984. P. 225-244.

5. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач тазовой динамики. М.: Наука, 1980.

6. Иванов Ф. В. Разностные схемы с согласованными аппроксимациями потоковых членов // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 142-152.

г. Якутск

12 мая 2009 г.