CC BY
16УДК 517.9:533.7
ДВУХСЛОЙНЫЕ ПКРС ПРИ УСТАНОВЛЕНИИ С ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ, ОПРЕДЕЛЕННЫМИ В ЦЕНТРЕ РАСЧЕТНОЙ СЕТКИ Ф, В, Иванов
В книге В. М. Ковеня и Н. Н. Яненко [1] разностные схемы, обладающие свойством консервативности при решении стационарных задач газовой динамики в эйлеровых переменных методом установления, названы разностными схемами, консервативными при установлении. По аналогии с этим определением приведенные ниже разностные схемы будем называть полностью консервативными разностными схемами (ПКРС) при установлении. В книге [1] также показано, что для устойчивости разностной схемы (РС), аппроксимирующей систему уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных, важное значение имеет согласованность аппроксимации члена с давлением в уравнении движения с конвективными потоками уравнений.
В [2-4] и в ряде работ этих авторов предложены разностные схемы со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. Эти разностные схемы обладают свойством полной консервативности (ПК) в смысле [5].
В данной работе мы построили многопараметрические двухслойные разностные схемы, которые являются схемами с согласованными аппроксимациями потоковых членов. Эти РС при решении нестационарных задач газовой динамики в эйлеровых переменных являются консервативными, а при решении стационарных задач методом уста© 2010 Иванов Ф. В.
новления при установлении (т. е. при £ ^ то) — ПКРС. Также исследована связь свойства ПКРС с устойчивостью построенных РС для стационарного уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных.
Рассмотрим систему одномерных нестационарных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных, замыкаемую уравнением состояния р = р(р, е):
Здесь £ — время, х — пространственная переменная, р — плотность, р — давление, е — удельная внутренняя энергия, и — скорость частицы газа.
Уравнение баланса кинетической энергии и закона сохранения полной энергии имеют вид
Здесь Е = е + 0.5 * и2 — полная энергия. Газодинамическое уравнение для энтропии имеет вид
Систему уравнений газовой динамики (1.1), кроме уравнения нераз-
1. Уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных
(1.1)
дрЕ д
рывности, можно записать и в недивергентном виде:
дри
т 4 дх
ди ди др
+ ри— дх дх
де де ди
дх Р дх
(1.2)
Стационарные уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных, замыкаемые уравнением состояния р = р{р, е), имеют вид
дри = дх '
д
^(ри2+р) = 0, (1.3)
д(рие) ди дх Р дх
Уравнения баланса кинетической энергии и закона сохранения полной энергии таковы:
д { и2 \ др д
д^{рит)+ид^ = 0> д^{риЕ + ир) =
Газодинамическое уравнение для энтропии примет вид
(де , д [Г
Систему уравнений газовой динамики (1.3), кроме уравнения неразрывности, можно записать и в недивергентном виде:
дри _ дх
ди др
ри— + тг = 0, (1.4)
дх дх
де ди ри— +Рт~ = 0. дх дх
Заметим, что для систем уравнений газовой динамики (1.1)—(1.4) выполняются все законы сохранения баланса и полной энергии. Естественно, можно потребовать, чтобы выполнялись разностные аналоги этих законов сохранения для систем уравнений газовой динамики
(1.1Н1.4).
2. ПКРС, аппроксимирующие систему стационарного уравнения газовой динамики
Перейдем к описанию алгоритма построения ПКРС, аппроксимирующих систему стационарных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных. Данный алгоритм построения ПКРС, выраженный в терминах дифференциального приближения, изложен в работе [4].
Рассмотрим семейство РС с 16 числовыми параметрами для ста-
ционарного уравнения газовой динамики:
= 0, (2.1)
А1 С
X / П—т;\
-М)
а
Ах , , _1
= 0,
((/31Е+(1-/31)Т-1)/(ри)\^)^(ии)
в
.
А,
К
+ (1-а3)/(Н1о7<Т8Х<-| =°' (2'3)
где
дн1аГ2 = [«^х + а-^и^К2,^1 = + (1 -{р, £,р}, <2= + ( 1-
Ог, ау, /Зк € [0,1], г = 1,11, 2 = 1,3, к = 1, 2, — числовые параметры РС. Здесь все термодинамические величины берутся в центре расчетной сетки, а скорость — в целых узлах расчетной сетки.
Г-форму первого дифференциального приближения (ПДП) разностных схем (2.1) и (2.3) найдем в центре расчетной сетки (г + а Г-форму ПДП разностной схемы (2.2) — в узле (г, п):
(рм)х + Ь\а 1 - 0.5)(мрх)х + т(<71 - 0.5)(мр4)ж + та2(ри^х = 0, (2.4)
т
риих +рх - -(1 - 2а5)рхг + т{[(сг3 - 0.5)р(м + + сте/жм^}
+ ^(а - 1.5)рхМ - рмх]«х + + в)(рм)хм^ (в - 0.5)рммхх] = 0,
(2.5)
рпех+ рпх + Ь(а3 -0Ъ)((рп)£х)х + (а3 - ОЪ)Нпрх£х + та%рщех
- т(а9 - 0,5)рп,£гх + т(а7 - ОЪ)прфх + тацрщх + т{аю - ОЪ)ргПх = О.
(2.6)
Рассмотрим преобразование, задаваемое матрицей
1 О (Г
+ 10). О 0 1
.
Запишем ПДП разностной схемы для уравнения импульса
(рп2)х + Рх + т(а5 -0Я)рхг
+ та±рщпх + т[(а\ -0Ъ)(рьп)хП + (а3 -0Ъ)(рьп)пх] + т[^1{пр) хЩ + щпрпхл} + Н[ах(прг)хп + а2(прг) Пх] + та2(риг)хп + Нр2(рппх)х + Н[вп(рп) хх + р1{ри) хПх]
- НЦри)хПх = 0. (2.8)
Она запишется в дивергентном виде при следующем наборе числовых параметров:
0^ = 0.2, о1=о?>, ^б=7ь А = вз, о2 = о±. (2.9)
Запишем ПДП РС для уравнении баланса кинетической энергии. Чтобы получить ПДП РС для уравнении баланса кинетической энергии, применим следующее преобразование:
2 1 0 0\
[1+т71 «■§][£+М/34-0.5)£] [< + Т71§] 0 . (2.10) 0 0 1/
ПДП РС для уравнении баланса кинетической энергии имеет вид
ри-
пРх
п
"117\иРх
Н ( и2
"2 ИгТ
Р1{ри) хППх а2(р хП^ППх
Н(132 - о.5)[(рп)хиПхЛ рПпхх]
НI и"
(рхи)
х
X
■ та2(рщ)х— + та^рщиих
(сг3 - 0,5)рт2их + (о"1 - 0.5){ир1)х^-
+ т(ст5 - 0.5)прЖ( + т^гщрх + т[а6рпмпХ1 + 71 (рп)хпщ + ^\ргипх'п\= 0.
(2.11)
При ограничениях (2.9) и
Д = 0.5, Д = & (2.12)
дифференциальное приближение (2.11), кроме членов, включающих давление, записывается в дивергентном виде.
Применим к ПДП (2.4)-(2.6) разностной схемы (2.1)-(2.3) преобразование, задаваемое матрицей
1 0 0\
0 1 0 I . (2.13)
[£ + т(72_0.5)||] 0 I)
Получим ПДП разностной схемы, которая аппроксимирует уравнение баланса внутренней энергии из (1.3):
(рпе) х+ рпхх + Н(а3-0 .5)(ех( рп)) х + Н[(а-0 .5)е(прх)х + (а-0 Ъ)рхП£х] Н
+ та2{рщ)хе + ~{рих)х + 1г(а3 - 0.5){риех)х + г[(<Т1 - 0.5)е{ирг)х + (а7 - 0.5)преех] + т[(<т9 - 0.5)рпе4х + (72 - 0.5)е4(рп)х]
+ тст8рп4ех + то\\рМхл,Л~ т(стю - 0Ъ)ргп^ = 0. (2.14)
Данное уравнение записывается в дивергентном виде, кроме членов, включающих давление, только тогда, когда свободные числовые параметры удовлетворяют следующим условиям:
а = а, О = О, О = О, О = 72, (2.15)
<гю, оц произвольны.
Чтобы получить ПДП РС, аппроксимирующую уравнение полной энергии, применим к (2.4)-(2.6) преобразование
.
П [М + г7[Е+к([Зб-0.5)|^] "
где П =
и ди
Я+М&-0.5) —
Е + Нв - 0.5)
дх
£ + т^2 - 0.5)
д£ дг
ПДП РС для уравнении полной энергии имеет вид
Г ( 2 \ 1 и
р£ + г
ри \ е + — ) + ир
Н[(«1 - 0Ъ)£(ирх
+ («з - 0.5)рхи£х] + 1г(а3 - 0.5)(ех(ри))х + та2(рщ)х — -т[(ах -0.5)£(ир1)х + -05)ирфх}+т[(а9-0.5)ри£гх + (ъ-0Ъ)£г{ри)х] + т(7%ри,фх + тацрихь + т(а10 - 0.^ри
+ ¡31(ри)хииа
а1 -7г(иРх)х + а2(рхи)иих
Н ( и^ \ Н ( и _ 2 ( (Рхи^~2 ) ) + Ц/32-0.5)[(ри)хиих
■ та^ригиих
■ ри2ихх} + Н(вь - 0.5) [(ри£)хх + (ррих)х] (<73 - 0.5)рьи2их + (<Т1 - 0.5)(ирг)х-с
■ та2(рщ)х£
+ т(а5 - 0Ъ)ирхь + т^1Щрх + т[аврииихг + 71 (ри)хищ + 7\риихЩ}= 0.
(2.17)
Очевидно, что при выполнении условий (2.9), (2.13) (2.16) и
°ь = &10, ^п = Ъ (2.18)
новое уравнение записывается в дивергентном виде.
Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнение энтропии. Найдем Г-форму ПДП при помощи преобразования вида
1 0 0^
0 1 0
_ (р+тЫ-0.5)п 1
\р+тЫ-0-5)т£ )
.
Н
Г-форма ПДП имеет вид
ри([£х+р{^ ^ -т(<71 -0.5)-^{ир1)х
- (1 - 274)+ (1 - 27з)^(Нж
I р* 2 р
т т т
- -(1 - 2о-1о)р4г(ж - -(1 - 1о%)ри£хЛ + та9рщех - (1 - 2а7)-иргех
т р
- -(1 - 2аъ)ргег - та2-(рщ)х + тацрщх
р
р
- к(а.\ - О.Ъ)-(рхи)х + /1(0:3 - 0.5)ирхех + /1(0:3 - 0.5){риех)х = 0. р
Заметим, что если разностная схема аппроксимирует уравнение энтропии, то вторые производные от р и е в ПДП не могут входить произвольно, а только в такой комбинации, в какой они встречаются в
£>хх, £>хг, Яш т. е. в виде ехх -р^—^-, и т. д. Из этого замечания сле-
р
дуют такие ограничения на параметры: а = а, а = а%. Из леммы 10.3 в [4] вытекает, что а2 = ац. Далее, ввиду того, что в уравнении для энтропии скорость и умножается только на производные по пространственным переменным, то в ПДП разностной схемы, аппроксимирующей это уравнение, не могут встретиться члены, содержащие ихрг и ихр4. Отсюда следует, что в уравнении (2.20) аю = 7з и а = 74 Таким образом, из ограничений на вид уравнения (2.20) дополнительно вытекают следующие связи между параметрами:
а = а = 74, аю = 73.
Итак, чтобы выполнялось необходимое условие ПКРС, надо, чтобы имели место соотношения:
А = А = А, ^5-произвольны, а = а = а, а = а = а = а9 = 72 = 74, (2.21)
а2 = а4=а8, а5 = аю = 7з, А = 0 .5.
Теперь проверим выполнение свойства полной консервативности непосредственной проверкой путем непосредственного применения еле-
дующих преобразований к разностным схемам (2.1)-(2.3) и (2.18):
1 О (Г
^ - 133)Т-] 1 0| ,
О 0 1
1 О (Г
о.б«1)" + -МТ-1] п1 о | , О 0 1
1 о
_Т2
0 0х
1 о
О 1
1 о о
< 1 о
п и71 [/З5Е + ( 1- /З^Т-1]
! 1
о
\ р;
0
1 о
О 1
где
П = [(35Е + (1 - ДОТ-1] + 0.5(иГ )2 [/.34Е + Н( 1 - /З^Т'1].
Эти преобразования являются соответственно разностными аналогами преобразований (2.7), (2.10), (2.12), (2.15). Семейство разностных схем (2.1)-(2.3) при ограничениях (2.21) на числовые параметры будет полностью консервативным. Построенная ПКРС имеет вид
= 0,
А1 С
—М)
Ах
((&Е+ (1 -ЫТ-^При)^*)^
0.5
(2.22)
,
.
Из вышеизложенного вытекает
Лемма 1. Для того чтобы разностные схемы (2.1)-(2.3) были ПК, необходимо и достаточно, чтобы Т-формы ПДП преобразованных разностных схем представлялись в дивергентном виде и выполнялся разностный аналог уравнения энтропии.
Заметим, что у построенных ПКРС все потоковые члены аппроксп-
а
следующпм образом:
Справедлива следующая
Лемма 2. Условие выполнения свойства полной консервативности для разностной схемы (2.1)^(2.3) при выборе числового параметра .
Рассмотрим нестационарное уравнение газовой динамики в эйлеровых переменных и члены с производной по времени аппроксимируем двухслойной разностью. При этом в разностной схеме временные разности будут аппроксимированы несогласованно. Поэтому при преобразовании недивергентных схем к дивергентному виду возникает дисбаланс. Чтобы обеспечить выполнение закона сохранения полной энергии, введем искусственный член который обеспечивает консервативность разностной схемы путем компенсирования дисбаланса в уравнении кинетической энергии. Окончательно после аппроксимации членов с временными производными и введения искусственного члена Qe получим шестипараметрическое семейство ПКРС при установлении. Выпишем построенное семейство разностных схем:
0, и > О, . , и ,
1, и < 0.
.
3. Двухслойная консервативная разностная схема
где
Qe=b +(i" ]
х [(1 - А)«++1 - <+i f + в (<+1 - <)2] •
Здесь {<1,72,76} = 0 или 1, <5, а, в ^ [О, 1]. Построенная разностная схема двухслойная и содержит явную и неявную разностные схемы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.
2. Головизнин В. М., Рязанов М. А., Самарский А. А., Сороковикова О. С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. М., 1984. (Препринт / ИПМ им. Кельдыша АН СССР; № 56).
3. ivanov F. V., Fedotova Z. I. On new classes of completely conservative difference schemes of gas dynamics // Sympos. on advanced problems and methods in fluid mechanics. Paland, Mragano, 1987. P. 190-191.
4. ivanov F. V., Fedotova Z. L, Shokin Yu. 1. On complete conservatism of difference schemes // Numerical methods in fluid dynamics. M.: Мир, 1984. P. 225-244.
5. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.
г. Якутск
8 июня 2010 г.
