Разностные схемы повышенного порядка в задачах тепломассопереноса Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.15350/17270529.2023.3.26

УДК 532.5+519.6

1.2.2 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические, физико-математические науки

Разностные схемы повышенного порядка в задачах тепломассопереноса И. В. Анисимова, В. Н. Игнатьев

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, Россия, 420111, Казань, ул. К. Маркса, 10

Аннотация. Исследования многих физических процессов приводят к численному решению краевых задач для макроуравнений с малым параметром. Классические разностные схемы плохо описывают решение исходной дифференциальной задачи в областях пограничного слоя ввиду того, что имеют аппроксимационную вязкость, соизмеримую с величиной шага сетки. В данной работе предлагаются разностные схемы повышенного порядка аппроксимации (С'1 III). которые позволяют адекватно моделировать движение вязкой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также сократить время и объём вычислений на ЭВМ за счет эффективности методов, используемых при численном моделировании.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, разностные схемы, аппроксимационная вязкость, MatLab.

Н Ирина Анисимова, e-mail: anisimovaiv1@rambler. ru

Higher-Order Difference Schemes in Heat and Mass Transfer Problems Irina V. Anisimova, Victor N. Ignatyev

Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev - KAI (10, K. Marx St., Kazan, Tatarstan, 420111, Russian Federation)

Summary. The development of various technical devices in thermal power engineering using liquid or gas as a working medium and optimization of their operating modes necessitate using the numerical simulation of the processes of heat and mass transfer in this medium under appropriate conditions. Macroequations of heat and mass transfer are the the equations belonging to the type of differential equations with a small parameter at the highest derivative. The solutions of such equations have singularities of the boundary layer type. This is the reason why classical difference schemes poorly describe the original differential problem in the boundary layer region. Classical difference schemes can have an approximate (scheme) viscosity commensurate with the grid step, which can affect numerical simulation. In this paper, it is proposed to build schemes of high order of approximation ( HODS). As the order of approximation increases, theHODS more accurately takes into account the behavior of the boundary-layer type function in its solution. To increase the order of the approximation of the difference scheme, i.e. to reduce the approximation viscosity, the grid step reduction was not suitable, since the value of the small parameter was commensurate with the grid step. The order of the approximation of the constructed difference scheme on a three-point stencil was increased to 4 with the use of its first differential approximation and the introduction of a regularizer. HODSs were tested to calculate the flow of a viscous fluid in a pipe with a circular cross section. In comparison with the analytical solution, the error of the numerical calculations was 0.017% according to the space norm.

Keywords: Navier-Stokes equations, difference schemes, approximate viscosity, MatLab.

Н Irina Anisimova, e-mail: anisimovaiv1@rambler.ru

1. О схеме повышенного порядка аппроксимации для уравнений с малым параметром при старшей производной

Разработка различных технических устройств теплоэнергетики [1 - 2], использующих в качестве рабочей среды жидкость или газ, оптимизация режимов их работы [3 - 5] вызывает необходимость использования численного моделирования процессов тепломассопереноса этой среды в соответствующих условиях. В численных расчетах возникает проблема, связанная с аппроксимационной вязкостью разностной схемы уравнений, описывающих течение невязкой и вязкой жидкости (газа). В классических разностных схемах первого порядка аппроксимации данная величина может повлиять на численное моделирование.

Макроуравнения тепломассопереноса относятся к типу уравнений с малым параметром при старшей производной. В данной работе для их решения предлагается строить схемы повышенного порядка аппроксимации (СПП). В соответствии с [6, 7] такие схемы имеют меньшую аппроксимационную вязкость по сравнению с классическими разностными схемами. Это объясняется тем, что СПП по мере повышения порядка аппроксимации точнее учитывают в своем решении поведение функции типа пограничного слоя. Это служит основой для регуляризации классических разностных схем. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения с малым параметром s при старшей производной [6]:

Lu = su" + a (x) u' — b (x) u = f (x); (1)

u(0) = p; u(l) = f.

Сначала остановимся на случае f (х) = b (х) = 0, a (х) = -a (a - const) Vx e(0;l):

Lu = su" — au' = 0; (2)

u(0) = p; u(l) = f.

Пусть Пй = {x : xk = xk_x + h, к = l, 2,..., N +1, x0 = 0, xN+l = l} - сетка. Аппроксимируем

исходное дифференциальное уравнение (2) разностной схемой первого порядка точности. Имеем

Lnun = s^xxun — a^xun , n = ^ ^ - N , (3)

где "x и - разностные аналоги первой и второй производных:

u. 1 — u „ u., — 2и + u ,

л n+1 n л n+1 n n—1

A = - , Anr = -T- .

x fa xx J/j2

В соответствии с [6] выпишем для разностной схемы (3) первое дифференциальное приближение

Lu =

ah Л „

s--\u — au = 0,

. 2 J

где ак - аппроксимационная вязкость разностной схемы (3). Устраним эту вязкость, путем 2

повышения её точности на решении. Имеем:

г ак Л

Lu„ =

s + —j\un — a\un = 0, n = 1,2,...,N. (4)

Схему (4) можно переписать как схему второго порядка точности:

Ьи =\е + — к и - аЛ и = 0, п = 1,2,..., Ы, п п ^ 2 ) -- - - - ' - - - -

xx n x n

П _ un+1 Un

" = ~2T' (5)

_ u,, — 2u + u„,

xx ,2

к

В целях получения регуляризатора, который учитывал функции пограничного слоя при решении уравнений с малым параметром при старшей производной, продолжим этот процесс. Выпишем первое дифференциальное приближение для разностной схемы (5):

Lu =

f a2 h2 ^ s — -

u " — au" = 0.

12е

V у

Отсюда схема четвертого порядка аппроксимации имеет вид:

L,u„ =

s + -

2i2\ a h

12s

"„„u„ — aAu = 0, n = 1,2,..., N .

xx n x n

Аналогично строим разностные схемы шестого и восьмого порядка точности. Индуктивно можно выписать разностную схему 2и-порядка аппроксимации:

Ьы =

1+ £ (-1)-1

22тВ ( ак

т=1

2т

12е

Л„ы„ - аЛы„ = 0, п = 1,2,..., N

где В - числа Бернулли | В =1,В = - |. Устремляя п ^ да и свертывая ряд, получим

^ 6 30 у

схему бесконечного порядка аппроксимации

Ьы = —Мк(— \Л ы - аЛы = 0, п = 1,2,..., N . п п 2 I 2е

(6)

Теперь распространим описанный выше подход для уравнения с переменными коэффициентами при первой производной. Рассмотрим краевую задачу (1) с переменным коэффициентом а(х). Предполагаем, что а(х)еС2[0,1], не меняет знака на [0,1] и может

обращаться в нуль только в узлах сетки, причем, если а( х) = 0, то а' (х 0 [6]. Запишем для этой задачи разностную задачу второго порядка аппроксимации:

Ьпип = Лххып - апЛхЫп = 0 п = I ^ ..^ N, (7)

ы0 = <Р, ^+1 = ¥■

Построим для этого случая регуляризатор разностной схемы на основе повышения порядка аппроксимации с помощью первого дифференциального приближения. Первое дифференциальное приближение этой схемы имеет вид:

' '4']-а(х)( '

Ьы = е

V

ы н--ы

12

ы +—ы 6

= 0.

(8)

В соответствии с [6] схема повышенного порядка запишется следующим образом:

/г 2 еЬ2

Ьы „ = еЛи „ - а Лы „ + а — ы--ы (4) = 0, п = 1,2,..., N .

п п хх п п х п п п А г\ п 5 5 5 5

6 12

(9)

Для того чтобы повысить порядок аппроксимации разностной схемы выразим из исходного уравнения (1) старшие производные через вторую. Дифференцируя (1), получаем

т ( а а | „

ы =1 —н — 1ы V а е У

аналогично имеем

ы (4) =

С п о г 2 Л

а 3а а

V а е е

и

После подстановки (10) и (11) в (9), приходим к схеме повышенного порядка

е— а"

Ьы „ =

е--

12 а

'/2 2; 2 ап — , 0л—_

12 12е

Ли,„ - а Л„и = 0, п = 1,2,..., N .

хх п п х п

(10)

(11)

(12)

Проверка величины порядка аппроксимации показывает, что разностная схема (12) -четвёртого порядка. Аналогично могут быть получены разностные схемы шестого, восьмого, произвольного чётного порядка точности.

Теперь рассмотрим вопрос регуляризации разностных схем [6, 7]. Под регуляризацией

в нашем случае понимается учёт в разностной схеме функций типа

а ( х ) к ( а ( х) — ^

V 2е ,

Так, для разностной схемы 4-го порядка аппроксимации (12) после регуляризации соответствует схема вида:

Ь,„ ы ,„ =

ап—. с— (а— 0—1

2 I 2е ] 12 а 12

Л„ ы,„ - а„Л„ы,„ = 0, п = 1,2,..., N .

хх п п х п

(13)

У

У

Схема (13) - монотонна [7, 8], что является существенным при исследовании её устойчивости и равномерной сходимости.

2. Моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости

Рассмотрим ламинарное течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе кругового сечения радиуса Ь . Для описания такого течения удобно использовать цилиндрическую

систему координат (г, в,2), в которой ось 2 совпадает с осью трубы (рис. 1).

Рис. 1. Схематичное изображение трубы в цилиндрических координатах Fig. 1. Schematic representation of the pipe in cylindrical coordinates

Несжимаемая жидкость течет вдоль трубы. Рассмотрим стационарное течение. В каждой точке скорость направлена параллельно оси трубы, так что

V = 0 V = V(г,0,2) . С учетом допущений, система уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах сведется к дифференциальному уравнению [9]:

й ( Л др

v-

dr

dr

dz

- r.

(14)

Здесь V - вязкость среды, г - расстояние от оси трубы, - скорость жидкости вдоль

др

трубы, р - давление. Из системы уравнений Навье-Стокса [9] ясно, что величина

&

является постоянной. Введем постоянный напор жидкости:

dp ~dz

P - P po_P

l

= C,

где С - это константа, Р0, р - давления в двух точках М0 и М1 на оси 02, отстоящих одна от другой на расстоянии I. Тогда уравнение (14) примет вид:

й ( йО

V-

dr

dr

= C - r .

(15)

На твердой внутренней поверхности трубы выполняется условие прилипания жидкости:

' 0

v

r =b

(16)

В конечном итоге получаем следующую краевую задачу:

V-

^ d2v dv Л

v dr dr

■ C - r

(17)

И = 0, -b < r < b

z l|r|=b '

<

V

или:

Lv = v

d V v dv„

- C = 0,

ёг2 г ёг V (-Ь ) = 0, (Ь ) = 0. Задача (18) относится к типу дифференциальной задачи с малым параметром.

3. Апробация СПП для расчета течения вязкой жидкости в трубе кругового сечения

Примем V = (0;0; ) = V , и для дифференциальной задачи (18) построим разностную

задачу со схемой 4-го порядка аппроксимации для уравнений с малым параметром при старшей производной на равномерной сетке. При этом важно отметить, что по теореме из [6]

для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы а (г ) = — не меняла знака на

г

отрезке [-Ь, Ь] и 3 8 > 0:|а (г)|>8 УО = [-Ь; Ь]. Для этого отобразим [-Ь, Ь] в [0,2Ь] и

введем равномерную сетку 0.к = {гк : гк = гк-1 + к, к = 1,2,..., N +1, г0 = 0, = 2Ь }. Запишем разностную задачу:

L V =

a£.cth\ ah \ vh аn anh

2 I 2v ) 12 a 12

Kv„ - aKv. = 0, n = 1,2,..., N.

xx n n x n

(19)

v0 = ° vN+1 =

Численное решение задачи (19) осуществлялось методом прогонки [8]. На рис. 2 представлено распределение скоростей v по оси 02:

r

V = Г

— •• ч v = MSf-

пят

• =2244?

■: = :.ii- 7 _ Л1 '—W

• "'"-J/-

г

v= 1720.8

v= 1571.1 V = 14(й.й „--31

ТСТГОГ

v= 542 4

v = 280.5

z

Рис. 2. График распределения скоростей

Fig. 2. Graph of the distribution of speeds

Программная реализация выполнялась в математическом пакете MatLab, который содержит множество подходящих инструментов для решения данной прикладной задачи. Расчеты проводились при условиях: давление в начальной точке P0 = 200 Па, давление в

конечной точке P = 100 Па, радиус трубы b = 0.4 мм, длина трубы I = 1 мм, вязкость

жидкости (вода) v = 8.94 • 10-1, шаг сетки составлял h = — с количеством узлов n = 30 .

n

Погрешность численных расчетов по сравнению с аналитическим решением [9] составила 0.017 % по норме пространства E. Полученные результаты хорошо отражают динамику распределения скоростей ламинарного течения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе в задаче ламинарного течения при аппроксимации дифференциального уравнения разностной схемой были предложены и адаптированы схемы повышенного порядка аппроксимации. Данные схемы имеют малую аппроксимационную вязкость по сравнению с классическими разностными схемами. Это позволяет адекватно моделировать движение вязкой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также сократить время и объём вычислений на ЭВМ за счет эффективности методов, используемых при численном моделировании.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ и Кабинета Министров Республики Татарстан в рамках научного проекта № 23-21-10008 https://rscf.ru/proiect/23-21-10008/

The work was carried out with the financial support of the Russian Science Foundation and the Cabinet of Ministers of the Republic of Tatarstan within the framework of scientific project No. 23-21-10008 https://rscf.ru/project/23-21-10008/

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров В. Н., Левин К. А., Гортышов Ю. Ф., Евдокимов Ю. К. Автоматизированный измерительный комплекс Государственного первичного специального эталона массового расхода газожидкостной смеси ГЭТ 1952011 // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2019. Т. 75, № 3. С. 144148.

2. Аксянов Р. А., Коханова Ю. С., Куимов Е. С., Гортышов Ю. Ф., Попов И. А. Рекомендации по повышению эффективности систем охлаждения радиоэлектронного оборудования // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2021. № 2. С. 107-112.

3. Липанов А. М., Карсканов С. А. Решение уравнений Бюргерса методом правых частей // Химическая физика и мезоскопия. 2022. Т. 24, № 2. С. 218-227. https://doi.Org/10.15350/17270529.2022.2.17

4. Макаров С. С., Альес М. Ю. Математическая модель и численное моделирование сопряженного теплообмена при охлаждении высокотемпературного металлического тела потоком газожидкостной среды // Химическая физика и мезоскопия. 2022. Т. 24, № 3. С. 287-295. https://doi.Org/10.15350/17270529.2022.3.23

REFERENCES

1. Petrov V. N., Levin K. A., Gorty'shov Yu. F., Evdokimov Yu. K. Avtomatizirovannyy izmeritel'nyy kompleks Gosudarstvennogo pervichnogo spetsial'nogo etalona massovogo raskhoda gazozhidkostnoy smesi GET 195-2011 [Automated measuring complex of the State primary special standard of mass flow rate of gas-liquid mixture GET 195-2011]. Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo texnicheskogo universiteta im. A.N. Tupoleva [Bulletin of KSTU im. A.N. Tupolev], 2019,

vol. 75, no. 3, pp. 144-148. (In Russian).

2. Aksyanov R. A., Kokhanova Y. S., Kuimov E. S., Gortyshov Y. F., Popov I. A. Recommendations for Improving the Efficiency of Radio-Electronic Equipment Cooling Systems, Russian Aeronautics, 2021, vol. 64, no. 2, pp. 291-296. https://doi.org/10.3103/S1068799821020173

3. Lipanov A. M., Karskanov S. A. Reshenie uravneniy Byurgersa metodom pravykh chastey [Solution of the Burger's Equations by the Right-Hand Side Method]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2022, vol. 24, no. 2, pp. 218-227. (In Russian). https://doi.org/10.15350/17270529.2022.2.17

4. Makarov S. S., Al'es M. Yu. Matematicheskaya model' i chislennoe modelirovanie sopryazhennogo teploobmena pri okhlazhdenii vysokotemperaturnogo metallicheskogo tela potokom gazozhidkostnoy sredy [Mathematical Model and Numerical Simulation of Conjugate Heat Transfer During Cooling of a High-Temperature Metal Body by a Gas-Liquid Medium Flow]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2022, vol. 24, no. 3, pp. 287-295. (In Russian). https://doi.org/10.15350/17270529.2022.3.23

5. Анисимова И. В., Гортышов Ю. Ф., Игнатьев В. Н.

К проблеме снижения гидродинамического сопротивления в устройствах энергоустановок // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2016. № 3. С. 111-115.

6. Задорин А. И., Игнатьев В. Н. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23, № 3. С. 620-628.

7. Игнатьева И. В. О некоторых численных алгоритмах решения приближенных и полных уравнений Навье-Стокса: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1998. 20 с.

8. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.

5. Anisimova I. V., Gortyshov Y. F., Ignat'ev V. N. On a problem of reducing the hydrodynamic drag in the pipelines of power plants. Russian Aeronautics (Iz VUZ), 2016, vol. 59, pp. 414-418. https://doi.org/10.3103/S1068799816030193

6. Zadorin A. I., Ignat'ev V. N. On the numerical solution of equations with a small parameter in the highest derivative. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1983, vol. 23, iss. 3, pp. 66-71. https://doi.org/10.1016/S0041-5553(83)80103-7

7. Ignat'eva I. V. O nekotoryx chislennyx algoritmax resheniya priblizhennyx i polny x uravnenij Nave-Stoksa: [On some numerical algorithms for solving approximate and complete Navier-Stokes equations]. Avtoref. diss. kand. fiz.-mat. nauk, Cheboksary, 1998. 20 p.

8. Godunov S. K., Ryaben'kij V. S. Raznostny'e sxemy' (vvedenie v teoriyu) [Difference schemes (introduction to theory)]. Moscow: Nauka Publ., 1977. 440 p.

9. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая 9. Kochin N. E. KibeF I. A., Roze N. V. Teoreticheskaya

гидромеханика. Часть II. Гидрогазодинамика. М.: gidromexanika. Chast'II. Gidrogazodinamika [Theoretical

Физматгиз, 1963. 728 с. hydromechanics. Part II. Hydrogasdynamics]. Moscow:

Fizmatgiz Publ., 1963. 728 p.

Поступила 22.05.2023; после доработки 02.10.2023; принята к опубликованию 05.10.2023 Received May 22, 2023; received in revised form October 2, 2023; accepted October 5, 2023

Информация об авторах

Анисимова Ирина Викторовна, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики и информатики КНИТУ-КАИ, Казань, Российская Федерация. e-mail: anisimovaiv1@rambler. ru

Information about the authors

Irina V. Anisimova, Dr. Sci. (Phys. Math.), Professor of the Department for Applied Mathematics and Informatics Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev - KAI, Kazan, Tatarstan, Russian Federation, e-mail: anisimovaivl @rambler. ru

Игнатьев Виктор Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики и математики КНИТУ-КАИ, Казань, Российская Федерация

Victor N. Ignatyev, Dr. Sci. (Phys. Math.), Professor of the Department for Theoretical and Applied Mechanics and Mathematics Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev - KAI, Kazan, Tatarstan, Russian Federation