Разностная схема для задачи со степенным погранслоем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2000, вып. 6, с. 36-42

УДК 519.62

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧИ СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНСЛОЕМ

А.И. Задорин

Second order ordinary differential equation with a power boundary layer is considered. Suppose, that coefficient before first derivative may change a sign. The difference scheme with the property of the uniform in a small parameter convergence on any uniform mesh is constructed.

В работе рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, решение которой содержит особенность в виде степенного пограничного слоя. В [1]- [2] равномерная сходимость разностных схем для такой задачи достигается специальным сгущением сетки в пограничном слое. В данной работе равномерно сходящаяся разностная схема строится на произвольной равномерной сетке. Для построения равномерно сходящейся схемы на каждом сеточном интервале коэффициенты дифференциального уравнения заменяются на постоянные, выписывается точное решение полученной задачи, согласование производных на границе соседних сеточных интервалов приводит к разностной схеме. Доказано, что таким образом построенная разностная схема сходится равномерно по малому параметру. В случае задачи с экспоненциальным пограничным слоем такой подход применялся нами, например, в [3].

Определим норму непрерывной функции р(х) : ||р|| = max \р(х)\ и норму

же[од]

сеточной функции ph : \ \ph \ \ = max \pf \, Всюду ниже под С и (Д будем под-

г

разумевать положительные постоянные, не зависящие от параметра е и шагов разностной сетки.

1. Анализ дифференциальной задачи

Рассмотрим исходную краевую задачу:

Теи = (е + х)и” + а(х)и' — f(x, и) = 0, и(0) = А, и(1) = В. (1)

Предполагаем, что функции о, / непрерывно дифференцируемы по своим аргументам,

£■ > 0, о(0) >0, У- > 0.

ои

Получим оценку устойчивости для оператора задачи (1).

© 2000 А.И. Задорин

E-mail: zadorin@iitam.omsk.net.ru Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

37

Лемма 1. Пусть р{х) u q{х) - две произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Тогда для некоторой постоянной С справедлива оценка:

\\р(х) -q{x)|| < С\\Тер - Teq\ \ + |р(0) -g(0)| + \р(1) - q( 1)|.

Доказательство. Пусть z(x) = р{х) — q{x). Тогда z{x) является решением задачи:

Lz = (е + x)z" + a(x)z' — c{x)z = g(x),

z(0) = p(0) - q(0), z( 1) = p( 1) - q( 1), (2)

где

Ф) = [f(x,p) ~ f{x,q)]/(p- q), c(x)> 0, g(x) = Tep(x) - Teq(x).

Для заданного a : 0 < a < o(0) найдется S > 0, не зависимое от г такое, что при всех х < S а(х) > а. Без ограничения общности можно считать, что а < 1. В силу непрерывности а(х) для некоторого /3 > 0 а(х) > —j3. Нетрудно показать, что

Ьф{х) < —(/3 + 2)xl3+l, ф{х) = 1 - х/+2. (3)

Определим

тг, х _ Г М + п 1 (1 — х), если х < 6,

V {*Х) ~\ М + а"1^ - 6) + Мф(х) - Мф(6), если х > 6,

где

М = а-1(ф + 2)-15-Р-1.

Нетрудно убедиться, что при таком задании М функция V(x) является непрерывно дифференцируемой на интервале [0,1], LV(x) < — 1.

Определим

Ф(т) = \\Tep-Teq\\V{x) + \z{0)\ + \z{l)\±z{x).

Тогда выполнятся условия:

Ф(0) > 0, Ф(1) > 0, ТФ(т) < 0, 0 < х < 1. (4)

В силу принципа максимума Ф(.г) > 0. Это доказывает лемму. ■

Из леммы 1 следует единственность и равномерная по г ограниченность решения задачи (1).

2. Построение разностной схемы

Введем равномерную сетку О:

П = {хп: хп= xn-i + h, п = 1,..., N; х0 = 0, xN = 1, Д„ = (т„_ь хп]}

38 Л.11. Задорин. Разностная схема для задачи со степенным погранслоем

Для построения разностной схемы перейдем от (1) к уравнению с кусочнопостоянными коэффициентами:

(е + х)й" + а(х)й' — /(х, и) = 0, й(0) = А, й(1) = В, (5)

где при х Е Ап

а(х) = a(xn), f(x, й(х)) = f(xn, й(хп)).

Для заданного п будем отдельно рассматривать случаи о(xn) = 1, а{хп) = О, так как эти случаи влияют на вид решения уравнения (5) на интервале Ап. Пусть для заданного п

а(хп) ф 1, а(хп) ф 0, a(xn+i) ф 1, а(хп+Д ф 0.

Для задачи (5) на интервале Ап выпишем точное решение:

Цх) = (l + -) + Т2П) + ~xi an = a(xn), f„ = f(xn, uhn),

\ е/ an

где и1', - решение задачи (5) в узле хп. Учитывая, что й(хп-1) = гф_1; й(хп) = инайдем значение 7^ :

гц

и:

П— 1

f-Ah

„ xn

1 + — £

1 an

1 +

Xn-l

£

1 (In

1

Выпишем соотношение, соответствующее непрерывности первых производных решения задачи (5) в точке хп:

lim v!{x) = lim v!(x).

x—*xn—0 i-+in+0

Учтем вид решения задачи (5) на интервалах Ап и Л„+1 и получим трехточечное разностное соотношение:

Lh h =_____________К - Ц»-1 - fnanlh){l - од)______________

" (1 + Xn£-lfn [(1 + Xn£-l)l^an - (1 + Xn^i£-l)l^an]

___________K+l 'U'n fn+lan+lh)(l ~ Q„+l)_____________ = / fn+l _ /пЛ ,gx

(1 + Xne^l)a,l+1 [(1 + Xn+\£^1) a’n — (1 + Xn£^1) а,г] \ fl'n+l Q’n)

Рассмотрим случай a(xn) = 1, В этом случае решение задачи (5) на интервале Ап имеет вид:

й(х) = j[n) In (г + х) + 7^ + fnx.

Вид разностного соотношения для узла хп зависит от значения а{хп+Д. В случае a(xn+1) = 1 это соотношение принимает вид:

и:

в+1

и‘‘

и"

и:

Т1 — 1

ln[ (е + xn+i)/(е + xn)] ln[ (е + xn)/(е + xn-i)}

(fn - fn+i)(e + xn). (7)

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

39

Рассмотрим случай а(х„) = О, В этом случае при х е Ап

ith — q,h

Цх) = uhn- fn[9(e + xn) - в(е + x)\ + " ^ n^l(x - xn)+

£

+-^-[9{e + xn) — в(е + — x), 6{x) = xln(x).

it

Разностное соотношение в узле хп зависит от того, an+1 = 0 или нет. Предположим, что an+1 = 0, Условие непрерывности производной в узле х„ приводит к разностному соотношению:

un+i - 2un + un-i = Kfn - fn+i)9'{e + Xn)+

+fn+i[9(s + xn+i) — 0{e + xn)\ — fn[9{e + xn) — 0{e + (8)

Аналогичным образом могут быть рассмотрены случаи

@<п — 0; O'n+l Ф1 0) 7^ 0; O'n+l — 0) — 1; ®я+1 7^ С 7^ С ®п+1 — 1-

В случае, когда при всех п ч(х„) ф 0, а{хп) Ф 1, разностную схему для задачи (1) можно записать в виде:

h„.h

L>

fn+1 fn ^n+1 &П

Un

A,

u

N

an = a(xn), fn = f(xn, uff), n = 1,2,..., N - 1. (9)

Предполагаем, что в случае условий а{хп) = 0, a{xn) = 1 разностная схема (9) дополняется соотношениями вида (7),(8), что не влияет на обоснование равномерной сходимости.

Теорема 1. Пусть uh - решение схемы (9). Для некоторой постоянной С при всех п

|— и(хп)| < Ch\ \nh\.

Доказательство. Согласно построению схема (9) является точной на решении задачи (5), поэтому достаточно оценить г = и — й. Нетрудно убедиться, что z(x) является решением краевой задачи:

Lz = (е + x)z" + az' — G(x, и, u)z = F(x, и, й), z(0) = 0, z( 1) = 0, (10)

где при х £ Ап

G(x, и, и) = [f(x, ип+1) - f(x, un+1)]/(un+1 - un+1) > 0,

F(x, u, u) = (a — a)u'(x) + f(x, u) — f(x, u) — G(x, u, u){u — u,n+i + un+1 — u), где и = u(x), un = u(xn), йп = й(хп). Докажем, что справедлива оценка:

С

£ + X

и'(х) | <

(11)

40 Л.11. Задорин. Разностная схема для задачи со степенным погранслоем

В соответствии с теоремой о среднем значении и(1) — и(0) = u'(s), 0 < s < 1, Интегрируя уравнение (1) от s до х и применяя формулу интегрирования по частям, получим оценку (11). Оценка (11) показывает, что в малой полуокрестности нуля производная решения по модулю может быть велика, порядка е-1, при возрастании х модуль производной решения убывает по степенной зависимости, что говорит о наличии в решении степенного пограничного слоя. Учитывая (11), нетрудно показать, что при всех х £ (0,1)

МШ < (12)

Определим барьерную функцию:

, _ Г — !п(: — п.г/2). если х < <).

V ^ \ - 1пД + аб/2) + Мф(х) - Мф(6), если х > 6,

где

М = а(2е + aS)-l(fj + 2)-16~р~1.

Нетрудно убедиться, что функция V(x) является непрерывно дифференцируемой на интервале [0,1]. Можно показать, что при х < 5

ьр{х)*-щпту ^) = ->ф + т)' <13>

Определим функцию

Ф(т) = Ci{C2 + V(x)}h ± z(x).

Учитывая оценки (3), (12), (13), получим, что для некоторых постоянных СД С2 выполнятся условия (4). Тогда в силу принципа максимума при всех х Ф(т) > 0. Итак, при всех х £ [0,1]

\и{х) — й(х)\ < С\

„ . , ах\

С2 - In (е + — J

h + Ch.

Учитывая, что схема (9) является точной на функции й(х), придем к утверждению теоремы. ■

Теорема 2. Пусть о(0) > 1. Тогда для схемы (9) справедлива оценка точности:

|— и(хп) | < Ch, п = 0,1,..., N.

Доказательство. В силу непрерывности а(х) найдется S > 0, такое, что а(х) > а > 1 при всех х < S. Докажем, что

а!{х)\ < Со + Со

£ + X

£ + X

(14)

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

41

В случаях х > 8 или г > 8 эта оценка следует из оценки (11). Рассмотрим случай х < 8, е < 8. Представим уравнение (1) в виде:

exp

X

О

£ + S

f{x,u)

£ + X

exp

X

О

£ + S

(15)

По теореме Лагранжа для некоторого г) < е и(е) — ЦО) = u'(r])£. Следовательно, \u'(r])\ < С/е. Интегрируя уравнение (15) от 0 до г], получим |и'(0)| < С/е. Интегрируя (15) от 0 до х, получим требуемую оценку (14).

Оценим правую часть в уравнении (10). Оценим сначала \f(x, u) — f(x, и)|. Пусть х е Д„ Тогда

|/(т, и{х)) - /(х, и{х))| = \f(x, и{х)) - f(xn+i, u(xn+i))\ <

%n-\-1 £?г+1

<CQh + CQ I \u'(s)\ds <CQh + CQ

< C0h + C0h

Co + Co

. a—1 i \ 1

£ + S J £ + S

ds <

. a—1 i \ 1

Д + X J £ + X

Оценивая аналогичным образом остальные слагаемые в функции F, получим:

а—1

\Lz(x)\ < C0h + C0h Определим барьерную функцию:

\СХ—1

е

1

£ + X J £ + X

(16)

ГЦ)

e/(e + x))a если х < 8,

£/{£ + 8))а^1 + Мф{х) - Мф(8), если х > 8,

1 / \ а~1

При таком задании М функция V(x) является непрерывно дифференцируемой на интервале [0,1]. Нетрудно показать, что при х < 8 для некоторой постоянной

= ОТ

Определим функцию

Ф(т) = (72{(7з + V(x)}h ± z(x).

Учитывая оценки (3),(16), (17), получим, что при некоторых постоянных С2, Сз выполнятся условия (4). В силу принципа максимума при всех х £ [0,1]

Ф(т) > 0. Итак, \и(х) — й(х) \ < Ch. Учитывая, что схема (9) является точной на функции й(х), придем к утверждению теоремы. ■

42 А.И. Задорин. Разностная схема для задачи со степенным погранслоем

Таким образом, краевая задача (1) для нелинейного дифференциального уравнения сведена к нелинейной системе алгебраических уравнений (9), Методы решения нелинейных систем алгебраических уравнений исследовались, например, в [4].

Рассмотрим случай линейной задачи (1), когда f(x,u) = c(x)u + g(x). Разностная схема (9) в этом случае принимает вид:

Qnun-1

Qn4RnA-h^ -Qnh un + Rn + Cn+l h c"+1 Rnh

ttn 0>п ®n+l ®n+l

и:

п+1

^(l-Qn)A + ^(i2»-l)A,

Q”n Q'n+l

(18)

где

£ \ £

„ Xn N

1 + —

е

1 +

Х„-1

1 CLn

(1

h

Rn = - 1 + —

xr.

&?г+1

1 &n+1

(1 + д^) Л1 + :т)

Покажем, что схема (18) монотонна при h < /г0, /г0 = 2 minan/c.

П

Используя теорему о среднем значении, нетрудно показать, что

(1 o„+i).

Qrt

£ + Ся £ + хг

Сп С (xn—i, Хп), Rn

£ + 6

п+1

£ + Хг

&?г+1

Сп+1 С (Xnj ^n+l)-

Из этих соотношений следует, что

О < Qn < 1, 1 < Rn < 2.

Теперь нетрудно убедиться в монотонности схемы (18) при h < /г0. Следовательно, метод прогонки [5] , используемый для нахождения решения схемы (18), устойчив.

Литература

1. Лисейкин В.Д. О численном решении уравнений со степенным погранслоем // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1986. Т.26. №12. С.1813-1820.

2. Vulanovic R. On numerical solution of a power layer problem // Numerical methods and approximation theory 111. Nis. August. 1987.

3. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т.38. №8. С. 12551265.

4. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем,. М.: Наука, 1989.