CC BY
23
УДК 519.63
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ В ПОЛОСЕ
А.И. Задорин
Elliptic equation with a power boundary layer in a strip is considered. The difference scheme with the property of the uniform in a small parameter convergence is constructed. Then the scheme is reduced to the finite number of nodes.
При математическом моделировании стационарного распространения примеси в направлении ветра, согласно [1], возникает краевая задача для двумерного эллиптического уравнения в бесконечной полосе. Решение такой задачи содержит степенной пограничный слой. В данной работе для такой задачи строится равномерно сходящаяся схема. По одному из направлений схема содержит бесконечное число узлов. Предлагается способ редукции этой схемы к схеме с конечным числом узлов.
Итак, рассмотрим краевую задачу:
для бесконечной полосы: D = { — оо<ж<оо, 0 < у < 1}. Предполагаем, что £\ >0, е2 > 0, а(ж,у) > а > 0, w(y) > (3 > 0, j32> 0, с(ж,у) > а > 0,
Для оценки производных по х потребуется дополнительное ограничение:
lim а(х,у) = а±00(у), lim с(х, у) = с±00(у), lim /(ж,у) = 0. (3)
с(х, у) + 4бД > сг > 0.
0 2000 А.И. Задорин
E-mail: [email protected] Омский филиал Института математики СО РАН
Всюду под С и Сг будем понимать положительные постоянные, не зависящие от параметров щ и е2- Под нормой функции непрерывного аргумента или сеточной функции будем понимать максимальное по модулю значение, предполагаем, что норма матрицы согласована с векторной нормой.
Нетрудно убедиться, что справедлива оценка:
и(х,у)|| < /3 1||/(ж,у)||.
Лемма 1.
Для некоторой постоянной Со справедливы оценки:
дки
дхк
<Сф А: = 1,2,3,4,
ди
ду
<
Со
е2 + У
В случае (3 > 1
ди
ду
< Со + Со
£2 У"1 1
£2 + У J £2 + У
(5)
(6)
Доказать данную лемму можно с помощью принципа максимума, по аналогии с тем, как в случае обыкновенного уравнения это делалось в [2], [3].
1. Построение разностной схемы
Остановимся на вопросе построения разностной схемы для задачи (1)-(2). Согласно лемме 1 производные по х равномерно ограничены, а по переменной у имеет место степенной пограничный слой около границы у = 0. Для построения разностной схемы используем метод прямых по х. Будем предполагать сетку равномерной по обоим координатным направлениям, с шагами h\ и h2. При применении метода прямых от функции двух аргументов н(ж,у) перейдем к бесконечной системе дифференциальных уравнений с решением Ui(y) = u(xi,y), -оо < г < +оо, у€[0,1].
Итак, перейдем от (1)-(2) к системе уравнений:
(£2 + у)л^у{у) + = Р(Хг’ У’ и)’
ди'
щ(о) - £2/324^(0) = 0, щ( 1) = 0, |г| < оо, щ(у) -Д 0, |г| -Д оо, (7)
где
д^и ди
F(ж, у, и) = -£it^ + а(х, У)]Д; + с(ж’ У)и + Дж’ у)-> и(ж’ У)
0, ж —> =Ьоо.
Пусть Aj = (у j—1, У j ], j = 1,2 ,...,Аф Уо = 0, удг2 = 1. Перейдем от (7) к системе уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами:
д^и ■ ди ■ ~
(£2 + y)-Q~t(y) + ’й(у)~о^(у) = F(Xi>у’“)’
du'
щ(0) - £2[32~^{0) = о, щ( 1) = 0, щ(у) -Р 0, |г| -У оо,
где при у G Aj ш(у) = ш(уД, uhJ = й(хр уД.
(8)
F(xi,y,u) = -£i
^i+l,j 2^/?'j' -)- U^ — iy
Ц
+a(xi,Vj)
'LLi,j —
+ c{Xi,yj)Uij + f{Xi,yj).
Для задачи (8), с кусочно-постоянными коэффициентами, построим точную разностную схему. Для этого для каждого i и каждого сеточного интервала Aj для уравнений (8) выпишем точное решение. Условие непрерывности производной по у на границе двух соседних интервалов Aj и Aj+i приведет к конечноразностным соотношениям. Разностную аппроксимацию краевого условия получаем в результате подстановки решения задачи (8) на первом сеточном интервале в левое краевое условие. Построенная разностная схема имеет вид:
и
И ~ ПЬ-1 “ F+JWJ ^2
(1 + yJe~1)Wj [(1 + у3£~1)1 W] - (1 + yj-ie-1)1 Wj]
— uh — Ft)J+iwJ^1h2
4,3 + 1 иг,з
(1 + УМТ’*' [(1 + у1+1е-1Г"’ - (1 + а-ш)1-"’]
F.
i,j+1
F
e,
F;
U;
Ц — £2^2---1---/?2 (1 — Wi)-
U
W\
Ц - <0 - FPW1 hl2
(1 + h2£21)1~Wl ~ 1
— О, дг2 — 0,
j = 1,..., N2 — 1, —oo < i < +oo, ufj —> 0, i —> ±oo,
(9)
где
F\,j ^1"
ui+ij ~ 2uh + ut+
\j} . —
3 + a{x%, y3) 1,3 u l~1,3 + c{x%, Уз)и^ + /(Xi, y3).
h\ ' hi
Теорема 1. Для схемы (9) справедлива оценка точности:
\uhh3 - u(xi, yj)\ < Chi + C\ln(e2 + yj)\h2, -сю < i < +oo, 0 < j < N2. (10)
В случае (3 > 1
\u
(j — u(xi,yj)\ < C(hi + h2), —oo < i < +oo, 0 < j < N2.
(И)
Доказательство. По построению схема (9) является точной на решении задачи (8), поэтому достаточно оценить близость решений задач (7) и (8).
Пусть Zi = щ — щ, —oo < i < +оо. Нетрудно убедиться, что вектор -функция z(y) является решением краевой задачи:
Д2-, р) £ ~ 3d
Lz = (е2 + у)— + ш(у) — - Mz = F(х, у, и) - F(х, у, и) + (ш(у) - w(y))—,
О Z ■
2;(0) - £2(32-^(0) = 0, zt( 1) = О, |г| < оо, zt(y) —» О, г —» ±оо,
где М - трехдиагональная матрица бесконечного порядка, ненулевые элементы произвольной г-й строки которой имеют вид:
1
£у a(xj, у)
hi hi
„, 2ei a(xi,y)
мьг = —н----- h c(xi^ у),
u/2^
ЛГ
Учитывая оценки производных согласно лемме 1, получим:
max \Ltz{y)\ < C0h\ +
i
C0h2 e2 + У
(12)
Можно показать, что для оператора L справедлив принцип максимума и если для какой-либо дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функции Ф(у) выполнены условия:
Ф(0) - £2/32Ф'(0) > О, Ф(1) > 0, ТФ(у) < 0, lim Фг(у) > 0, (13)
V / v 7 — V / — , — г—>=Ь ОО
то Ф(у) > 0 при всех у £ [0,1].
Определим вектор-функцию Ф(у) с компонентами
Фг(у) = C7ii(l - у) - С ln(e2 + y)h2 ± Zi(y).
Учитывая оценку (12), заключаем, что для некоторой постоянной С для заданной функции Ф(у) выполнятся условия (13). В силу принципа максимума Ф(у) > 0. Следовательно, при всех г
Ыу)\ < Chi - С ln(e2 + y)h2.
Это доказывает оценку (10).
Остановимся на случае (3 > 1. Учтем оценку производной (6) и получим:
max \Liz(y)\ < C0hi + Coh2 + Coh2 f---■—^ ---■—• (14)
*' V£2 + yj e2 + y
Определим вектор-функцию Ф(у) с компонентами:
Фг(у) = Chi{ 1 - у) + Ch2 + Ch2 ± Zi(y).
V£2 + yj
Учитывая оценку (14), получим, что для некоторой постоянной С для Фг(у) будут выполнены условия (13). Тогда в силу принципа максимума Фг(у) > 0, у £ [0,1]. Это доказывает оценку (11). Теорема доказана. ■
2. Редукция схемы к конечному числу узлов
Итак, доказали, что схема (9) обладает свойством сходимости, равномерной по малым параметрам. Эта схема может быть записана в виде трехточечной векторной разностной схемы с бесконечным числом узлов по координате х. Для того, чтобы построенную схему можно было использовать для компьютерных вычислений, необходимо решить вопрос редукции этой схемы к конечному числу узлов. Асимптотическое поведение решения скалярных разностных уравнений первого и второго порядка исследуется в [4].
Рассмотрим в векторном виде трехточечную разностную схему:
L;U = C;U;_i — Gj'Uj- + Dj'U8'_|_i = Fp —oo < i < +oo, (15)
U; —> 0, i —У ±oo, (16)
где относительно входящих в (15) матриц предполагаем выполненными ограничения:
Ср D; - ненулевые неотрицательные диагональные матрицы порядка N; матрицы G; являются М-матрицами,
Сi -У С±00, Gi -у G±oo, D8 —> Dioo, Fj- —у 0, i —у ±оо,
||G-1C8|| + ||G-1D8|| <а< 1,
Сi > Dj- > О, Q; = Gj- — Сi — Dp
yJ>£l<?fl + A> Д>0, i > 0, 1 < j < JV. (17)
кфз
Рассмотрим отдельно перенос краевого условия из (+оо) и из ( — оо). Перенос краевого условия из (+оо) осуществляем на основе соотношения левой матричной прогонки, а перенос краевого условия из ( — сю) - на основе соотношения правой матричной прогонки. Для переноса условия из ( — сю) определим соотношение:
и,., = Аг(1)иг + Вг(1), (18)
где коэффициенты и являются решениями задач с предельным условием на ( — сю) :
Аг'+1 = (G; — СгАг) 1Dj- Аг- —> А-оо, г —> —оо, (19)
Сг(Вг+1 — ВД + [Gj- — Сi — Сг-Аг']Вг'+1 = —Fp Вг —> 0, г —> —оо, (20) матрица А-оо является решением уравнения
С_оо А2 — G-qqA + D-oo = О
с нормой, меньшей единицы. Можно показать, что при выполнении условий (17) такое решение существует. Тогда при всех i ЦА^Ц < a < 1. Из этого следует, что соотношение (18) выделяет многообразие решений разностного уравнения (15), удовлетворяющих предельному условию на ( —оо).
Решения задач (19) и (20) могут быть найдены на основе разложения коэффициентов разностного уравнения (15) в ряд по отрицательным степеням i. Можно доказать, что при этом точность вычисления и увеличивается с увеличением |г|. Если разностное уравнение (15) вырождается при стремлении некоторого параметра к нулю ( что случается при разностной аппроксимации уравнений с малым параметром при старших производных), для нахождения а С1) тэР)
А) и В) можно использовать асимптотические разложения по малому параметру. При этом точность вычисления этих коэффициентов не зависит от i.
Перейдем точным образом от (15)-(16) к разностной схеме с конечным числом узлов:
C;Uj_i — Gj'Uj- + Dj'U8'_|_i = Fy M < i < A,
U м = a£}+1Um+1 + b£}+1, Un = A^Ujv.! + В$. (21)
Коэффициенты в краевых условиях схемы (21) из соответствующих задач могут быть вычислены приближенно. На основании принципа максимума можно показать, что решение схемы (21) устойчиво к возмущению этих коэффициентов. Точнее это можно сформулировать следующим образом.
Лемма 2. Пусть U - решение схемы (21) в случае возмущенных
У1) тП1) д(2) тП2)
Ам+ы °м+к 5 dn ■
Пусть
1А(1) — А(1) II
I Ам+1 Ам+11Ь
IgW
jjT) II
-dm+ilb
| д(2) — Ay и \aN lb
(2) I
IIA(1) II
Тогда при всех i = M, \l • I...., N
max 11U,- — U,-11 <
|A^|| < a < 1.
A
1 — a
(1 +
max
|U,:
IB
(2)
N
В
(2) I
N \\ —
< A,
Пусть Ill'll < e. Тогда от (15)-(16) можно перейти к схеме с конечным числом узлов:
СгУг_! - G,-Vt- + D,-V,-+1 = F,-, М < г < А,
Cm+iVm — Gm+iVm+i = FM+1, СдгУдг_1 — GN\N = Fjv. (22)
С помощью принципа максимума можно доказать, что справедлива оценка:
е
max U,- — V,- <
Y3^1llGM+il
|UM+2|| + | (Gjy11
U
JV+l
ID-
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 5.
17
Литература
1. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
2. Багаев Б.М., Солусенко Н.П. Численное решение для задач со степенным пограничным слоем // Моделирование в механике. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1989. Т.З. N 1.С.54-59.
3. Лисейкин В.Д. О численном решении уравнений со степенным погранслоем // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1986. Т.26. N 12. С.1813-1820.
4. Balia К. On asymptotic behavior of solutions to some difference equations // Advances in difference equatoins. Proseedings of the second int. conf. on difference equations. Veszprem, Hungary. 1995. P.67-80. Gordon and Breach science publ. 1997.
