Численное решение эллиптического уравнения с пограничными слоями в полубесконечной полосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 4, № 1, 1999

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ

А.И.Задорин Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия e-mail: [email protected]

An elliptic equation with a small parameter at the highest derivatives for a half-strip is considered. Method of the transition of the boundary conditions to the rectangular region is proposed. The estimates of the replacement error are obtained. For the problem in a rectangular region, the difference scheme on the special nonuniform grid is investigated.

При математическом моделировании различных физических явлений, например распространения примесей в направлении ветра, появляются краевые задачи для эллиптических уравнений в полуполосе. Для численного решения такой задачи необходимо предельное краевое условие из бесконечно удаленной точки перенести на границу ограниченной области. В данной работе этот вопрос рассматривается для случая двумерного эллиптического уравнения.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения для переноса краевого условия из бесконечно удаленной точки в [1] предлагается выделить устойчивое многообразие решений исходного уравнения, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности. Это дает граничное условие в конечной точке. В работе [2] в качестве граничного условия при x = L задается само дифференциальное уравнение, которое затем аппроксимируется вовнутрь области. При этом может не выполниться предельное условие на бесконечности.

В данной работе в качестве граничного условия рассмотрим вырожденное по координате x уравнение. При таком подходе сохранится предельное условие на бесконечности. Затем для задачи в прямоугольной области построим разностную схему и докажем ее равномерную сходимость.

Всюду под C и Ci будем понимать положительные постоянные, не зависящие от е и шагов сетки. Для непрерывной и ограниченной функции p(x) определим

||p|| = max |p(x) |, ||p||s = max |p(x) |,

x x>s

аналогично для функции двух аргументов p(x,y)

||p|| = max |p(x,y)|, ||p||s = max |p(x,y)|.

x,y x>s, y

Определим норму сеточной функции ph : ||ph || = max |рП m I •

n,m ’

© А.И. Задорин, 1999.

1.Сведение задачи к прямоугольной области

Рассмотрим краевую задачу

d2u d2u du

T-u = edx2 + edy2 - a(x,y) dx - b(x,y)u = f (x,У), (1)

u(x,y) = 0i, (x,y) G /i, i = 1,2,3, lim u(x,y) = 0 (2)

x—

для полубесконечной полосы

D = {0 < x < to, 0 < y < 1},

где 1ь l2, l3 — прямолинейные участки границы:

li = {y = 0, 0 < x < to}, l2 = {x = 0, 0 < y < 1}, l3 = {y =1, 0 < x < to},

= li U I2 U I3, D0 = D\.

Предполагаем достаточную гладкость функций a, b, f, фi, i =1, 2, 3:

е G (0,1], A > a(x,y) > a > 0, B > b(x,y) > в > 0, (3)

lim ф^) = 0, i = 1, 3, lim f (x,y) = 0. (3)

x—^ x—^

Предполагаем также, что выполнены условия согласования краевых условий [3, 4], когда функция u(x,y) является достаточно гладкой в области D.

Для задачи (1), (2) справедлив принцип максимума, в соответствии с которым для произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции Ф^,у), ограниченной при x ^ то, из условий

Ф^,у) > 0, (x,y) G , lim Ф^,у) > 0, T^(x,y) < 0, (x,y) G D0 (4)

x—^

следует Ф(x,y) > 0, (x,y) G D.

Лемма 1. При всех (x,y) G D

|u(x,y)| < $(x,y^

$(x,y) = ||f ||e-i + 11 ф2 11 exp{rox} + ||ф1|1 exp{-(e/e)0'5y} + ||фз|1 exp{(e/e)0'5(y - 1)} (5)

где _______

Г0 = -2в/{А + V2 + 4ве}.

Доказательство. Для функции Ф, определенной равенством

Ф^, у) = Ф(x, y) ± u(x,у),

справедливы соотношения (4). В силу принципа максимума Ф^,у) > 0, (x,y) G D. Это доказывает лемму.

Определим прямоугольную область:

Dl = {0 < x < L, 0 < y < 1}.

Пусть u(x,y) — решение задачи в области Dl :

T£u = f (x, y), (x, y) G DL, u(x, y) = фi, (x, y) G l0, i = 1, 2, 3, (6)

du д 2u

R£u(x,y) = a(x,y)dx + b(x,y)u - e— = -f (x,y), (x,y) G l0, (7)

где D°l, l0 соответствуют D0, li при переходе к прямоугольной области, l° = {x = L, 0 < y < 1}, l = l0 u l0 и l0.

Лемма 2. Пусть Ф(x, y) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция в Dl. Тогда из условий

Ф^,у) > 0, (x,y) G l, T^(x,y) < 0, (x,y) G DL, R^(x,y) > 0 (8)

следует Ф(x,y) > 0, (x,y) G DL.

Доказательство. Предположим, что при каких-то (x,y) оказалось Ф^,у) < 0. Пусть (x0,y0) — точка глобального отрицательного минимума функции Ф^,у) в области Dl. Если (x0,y0) G D°l, то данная точка является точкой локального отрицательного минимума, что противоречит условию T^(x0,y0) < 0. Остается рассмотреть случай x0 = L: из условия Д£Ф > 0 следует ФX(x0,y0) > 0, а это противоречит тому, что (x0,y0) — точка глобального минимума. Лемма доказана.

Лемма 3. При всех у

lim u(L, y) = 0.

L—<^

Доказательство. Зададим M G (0,L). Докажем, что при всех x G [M, L]

|u(x,y)| < S(x,У), S(x,y) = ||u(M,y)|1 exp{ro(x - M)} + ||f ||mв-1 + ||ф1 ||m + ||фз||м. (9) Доказать (9) можно на основе принципа максимума, определив область {M < x < то, 0 < У < 1} и задав для этой области

Ф^, y) = S(x, y) ± u(x, y).

В силу условий (3б) для заданного А > 0 можно подобрать M таким образом, что

||f||мв-1 + ||ф1||м + ||ф3||м < А/2.

Учитывая (9), можно получить ||u(M, y)|| < C. Следовательно,

|U(L,y)| < Cexp{r0(L — M)} + А/2.

Таким образом, для некоторого L выполнится ||u(L, у) || < А. Это доказывает лемму.

Теперь оценим близость решения задачи (6), (7) к решению исходной задачи (1), (2) при x < L.

Лемма 4. При всех (x,y) G DL

д 2

е2

|u(x,y) — u(x,y)| < —

a2

ru(L,y)

exp{ae (x — L)}.

dx2

Доказательство. Определим z = u — u. Очевидно

0 д2

T£z(x,y) = 0, (x,y) G DL, z(x,y) = 0, (x,y) G l, = e—u(L,y).

Определим

е2 д2 Ф(;г-У) = 05 д?

u(L, y)

exp{ae (x — L)} ± z(x, y).

Для функции Ф(ж,у) выполнены условия (8). В силу принципа максимума Ф(ж,у) > 0, (ж, у) € Это доказывает лемму.

2 Оценка производных

Лемма 5. Пусть при всех (ж, у) € Д

Ь(ж,у) > в, Ь(ж,у) + 2аХ(ж,у) > в > 0. Тогда при всех (ж, у) € Д для некоторой постоянной С

< С.

ди д 2и

дж , дж2

(10)

(11)

Доказательство. Для оценки производных используем подход, применяемый в [4, 5]. Оцениваем Р(ж, у) = иХ(ж,у). Сначала проведем оценку на границах области Д. Остановимся на случае границы /2. Определим область Д2 = {0 < ж < 1, 0 < у < 1}. Для этой области определим

и±(ж, у) = и(0,у) ± Сж.

Для некоторой достаточно большой постоянной С

и+(ж,у) > и(ж,у), (ж,у) € (А;), Т£м+ (ж,у) < Т£м(ж,у), (ж,у) € Д0,

где (Д) — граница области Д. В силу принципа максимума

и+(ж,у) > и(ж,у), (ж,у) € Д;.

Учитывая, что и+(0,у) = и(0,у), получим

д д

джи(0,у) < дж^0^ 0 < у < 1

Аналогично можно доказать, что

дд аж“<0’у) > аж“-<0’у)'

Из этих двух оценок следует

д_

дж

и(ж,у)

< , (ж,у) € /;•

На границах /1 и /3 аналогичная оценка справедлива в силу ограниченности производных ф'(ж), г = 1, 3.

Перейдем к оценке производной внутри области. Нетрудно показать, что

д 2Р д 2Р дР

^Г*Р =е а? +- - (ь + аХ)Р = /х + b''“•

Определим

Ф(ж, у) = С ± Р(ж, у). Тогда для достаточно большой постоянной С

Ф(ж,у) > 0, (ж,у) € , Иш Ф(ж,у) > 0, Т£Ф(ж,у) < 0, (ж, у) € Д0

В силу принципа максимума Ф(ж, у) > 0, (ж, у) € Д. Это доказывает первую оценку в (11). Вторая оценка доказывается аналогично. Лемма доказана.

Итак, если выполнены условия (3), (10), то в соответствии с леммами 4, 5 для некоторой постоянной С при всех (ж, у) € Дс

|м(ж,у) — М(ж,у)| < Се2ехр{ае-1(ж — £)}.

Оценим частные производные решения задачи (6), (7), сформулированной для прямоугольной области.

Лемма 6. Пусть в дополнение к (3а)

а = “(ж), Ь(ж,у) + 4“'(ж) > в > 0. Тогда для некоторой постоянной С при всех (ж, у) € Дс

(12)

7

ду7

и(ж,у)

< С [1 + е 7/2 (ехр{ —(т/е)1/2у} + ехр{(т/е)1/2(у — 1)})]

дж7

-и(ж,у)

в/2 < т < в, ^ = 1, 2, 3, 4,

< С [1 + е1-7 ехр{е-1а(ж — £)}] , ^ = 1, 2, 3, 4.

(13)

(14)

Доказательство. Оцениваем производные по аналогии с леммой 5. Начнем с обоснования оценки (13) при ] = 1. Оценим на границе с.

Начнем с /0. Как ив [4], определим

м±(ж, у) = м(ж, 0) ± С(1 — ехр{—у^л/ё}).

Определим г(ж,у) = м+(ж,у) — м(ж,у). Тогда для достаточно большой постоянной С выполнятся условия

г(ж,у) > 0, (ж, у) € с, Д£^(ж,у) > 0, (ж, у) < 0, (ж, у) € Д10.

В силу леммы 2 г(ж,у) > 0, (ж, у) € Дс. Следовательно, для достаточно большой постоянной С выполнятся условия

м+(ж,у) > м(ж,у), (ж, у) € Дс, м+(ж, 0) = м(ж, 0).

Следовательно,

Аналогично можно доказать, что

дд —м(ж, 0) < — м+(ж, 0). ду ду

дд —м(ж, 0) > — м-(ж, 0). ду ду

Из этих двух оценок следует

А

ду

м(ж, 0)

< С/^е.

Аналогичная оценка производной справедлива на границе /0.

Определим

д Р (х’у) = ду^^’

Ф(ж,у) = С 1 + е 1/2 ^ехр{ —Vте-1у} + ехр{л/те-1 (у — 1)}^ ± Р(ж, у).

Нетрудно убедиться, что Т£Р = / + 6^м. С учетом полученных оценок на границе области Дс, можно показать, что для достаточно большой постоянной С для функции Ф(ж,у) выполнятся условия (8). В силу леммы 2 Ф(ж,у) > 0, (ж, у) € Д^. Это доказывает оценку (13) при ] = 1.

В случае ] = 2 определим

С

и±(х, у) = Р(х, 0) ± (1 - ехр{—у/^}).

Vе

Если ввести

^(х’У)

І!.

дУ2

и(х’У)’

то

Т£^ = Д(х,у), |Д(х,у)| < С [1 + е 1/2 (ехр{-(те :)1/2у} + ехр{(те :)1/2(у - 1)})] .

И в этом случае при задании

Ф(х,у) = С 1 + е-1 ^ехр{ —Vте-1 у} + ехр{л/те-1 (у — 1)}^ ± ф(х,у)

выполнятся условия (8). В силу леммы 2 Ф(х,у) > 0, (х,у) Є Д^. Это доказывает оценку (13) при і = 2. Доказательство (13) при других і можно провести аналогичным образом.

Перейдем к обоснованию оценки (14) при і = 1. Запишем уравнение (6) в виде уравнения по переменной х:

д 2 и ди

е^ — а(х) ди = Д (х, у) ’ (16)

дх2

дх

где с учетом оценки (13) |Д(ж, у)| < . Уравнению (16) соответствуют краевые условия

м(0, у) = ф2 (у), #£мОж у) = —/(ж у). (17)

Учитывая, что в соответствии с условиями (17) производная мж(Ь,у) ограничена, на основании известного приема для обыкновенного дифференциального уравнения [6] можно убедиться в справедливости оценки (14) при ] = 1.

Докажем (14) при ] = 2. Из уравнения (6) следует, что

д 2й

дх2

Задавая

< у ’ (х,у) Є 10.

д

и±(х,у) = —“(0,у) ± ох,

по аналогии с обоснованием (13) можно показать

д 2

дх2

й(0,у)

< Со.

Определяя

д 2 и

Ф(ж, у) = С [1 + е-1 ехр{ае-1(ж — £)}] ± ,

дж2

на основании принципа максимума убедимся в справедливости оценки (14) при 3 = 2. Доказательство для 3 > 2 аналогично. Лемма доказана.

3 Обоснование разностной схемы

Согласно лемме 6 решение м(ж,у) может иметь пограничные слои около границ /0 и Построить равномерно сходящуюся схему, как известно [4, 7, 8], можно за счет мельчения сетки около этих границ. Пусть

П = {{ж*,у,}, г = 0,1,..., N1, 3 = 0,1,..., N2} —

сетка области Д, с постоянным шагом ^1 по координате ж и с неравномерными шагами по у. Предполагаем, что N2 — четно. Сетку по координате у определим в соответствии с [7]. Пусть

у, = АС), = 3^ 3 = 0 1 •••, А2.

Определим А(Ь) при Ь < 0.5 Зададим постоянные а0 и д, исходя из ограничений а0 > 4/в,

0 < д < 0.5.

В случае -^/е < 2д/а0 определим

А(.) = Г если 0 < Ь (18)

( ) | Ф(а0) + Ф'(а0)(Ь — а0), если а0 < Ь < 0.5, ( )

где

Ф(Ь) = а0—е 1п д

д — Ь

а0 = (5 — 1)5-1д, 5 является корнем нелинейного уравнения

1п(5) = ^— — 1 + 5 (1 — —

1 ' 2а^у/е V 2д

В работе [7] предлагается находить а0 на основе метода секущих в соответствии с итерационной формулой

а

(п) - 0.5

а'"'^' = д— в(п) — 0 5а0^ в(п) = Ф(а(п)) а(0) = д— (1 — ^Н^.

В случае -^/е > 2д/а0 зададим А(Ь) = Ь, что соответствует равномерной сетке. Для Ь € [0.5,1] зададим А(Ь) = 1 — А(1 — Ь). Предполагаем, что всюду ниже а = а(ж). На построенной сетке П определим разностную схему

М = еАХХм^ + еЛ,уи' — а(жг)АХ'и' — 6,и', = /(ж*,у,), (ж*,у,) € П0,

и^0 = Ф1(ж*), и^2 = Фз(ж*), г = 0,1,..., N1, М, = Ф2(у,), 3 = 0,1, •••, N2,

, и^1;, — еЛ^

Д, и' = а^Л^1-7 и' + 6^1и^1),- — еЛ^1-7 и' = —/(£, у,), 6*, = 6(ж*, у,), (19)

где П0 — множество внутренних узлов,

«"+1,7 — 2м^' + «"-1,7

Л?

л!7

- «"-1,7

Л-1

луу и'

Л(2) + Л(2)

' 7 + '7+1

Л

(2)

7+1

Л

(2)

(20)

Докажем, что для схемы (19) справедлив принцип максимума.

Лемма 7. Пусть для сеточной функции Ф" выполнены условия

< 0, (хг,у) € П°, ДФ > 0, 3 = 1, 2,...,N2 - 1, Ф^- > 0, (хг,у) € ь (21)

Тогда при всех г, 3 выполнится Ф^- > 0.

Доказательство. Предположим, что при некоторых (г°,3°) оказалось Ф"070 < 0. Без ограничения общности можно считать, что

Ф" • = штФ" •.

*0, 70 ,, ! ,7

Если (г° ,3°) — координаты внутреннего узла, то получим противоречие с условием Т070Ф" < 0. В случае (х!0 ,у70) € /° получаем противоречие с условием Ф" > 0. Это доказывает лемму.

Теорема 1. Пусть функция й(х,у) в области имеет непрерывные частные производные четвертого порядка по х и у и пусть выполнены условия (3а), (12), а — решение схемы (19) на сетке П, построенной согласно (18). Тогда найдется постоянная С, такая, что при всех (х^у,) € П

|И(х!,У7) - 1 < С

(22)

Доказательство. Определим г" = — [й]п. Очевидно

&г" I <

£ ( ^«(х!,У7) - - а(х!^дXм(x!, у7) - лХ7 [«]п

+

+£

52

«(х! ,У7) - луу [и]п

(23)

Для производных по у справедливы соотношения (13), поэтому в соответствии с [7] при всех г, 3

дУ2

■Й(хг ,У7) - луу [Й]п

<

_С N •

(24)

Учитывая (14), (23), (24), по аналогии с [6] можно показать:

1 +

1

Л-1 + £

ехр{а£ (х!+1 - £)}

+ N2, (х!,у7) € П°,

|^*Л| < Сз

Л

1 ■

Л1 + £ + N1

0 < 3 < N2, гЛ(х*, у7) = 0, (х*, у7) € ь.

(25)

2

£

Определим сеточную функцию

ф& = Со <; ^ф^. + + hi + ^ \ ± zj,

где

и h I ahi

Ф • • = 1+-----1

ФМ I 1 + 2е

i-Ni

Нетрудно убедиться, что при всех i, j

Фhl7. > exp[a(2e)-1(x - L)], Tf7Фh < -

a2 a2

----- -------Ф^, R^h > a-----------------. (26)

4e + 2ahi ij, Rj > 2e + ahi ( 6)

Из соотношений (25), (26) следует, что при достаточно большой постоянной С0 для функции Ф^ выполнятся условия (21). В соответствии с леммой 7 Ф^- > 0, (Жг,у-) € П. Это доказывает требуемую оценку (22) при всех ] и при всех г < N1.

Получим требуемую оценку при г = N1. Определим А = ^1 + ^“2. Учитывая, что кдть-1 < С, из (25) получим

ам

zh zh

ZNi,j ZNi-1j _ едЛ?и'zh

h1

yy

< C.

(27)

Пусть zh 1 s = maxj z^ j. Без ограничения общности можно считать, что z^ s > zJh1-1 s, так как иначе zJh1 s < С А, что соответствует требуемой оценке. Следовательно, аналоги производных под модулем в (27) при j = s разных знаков, откуда следует, что |zN 1, s - zh 1-1 ,s| < Ca-1h1, поэтому z^, s < С1А.

Пусть теперь z^ s = minj z^ j. Аналогичным образом можно показать, что z^ s > —С1А. Следовательно, j | < С А при всех j. Требуемая оценка при i = N1 получена. Теорема доказана.

В работе [4, с. 219] предложен способ построения неравномерной сетки, не требующий, в отличие от [7], итераций для определения ао, начиная с которого функция A(t) принимается линейной. Функция A(t) из [4] имеет вид

A(t) =

— 2е1 ln(1 — pt)

если 0 < t < 0.25,

-£1 lnе + 2e1e-0-5p(t - 0.25) + d(t - 0.25)2, если 0.25 < t < 0.5;

(28)

Р

4(1 -ч/е), d = 8(1 + 2е1 lnе - е1ре 0'5), е1 = 4e(m + Юу^ё) 1, 0 < m < \/в.

Для £ € [0.5,1] А(£) = 1 — А(1 — £). Согласно [4], при построении узлов по координате у на основании такой функции А(£) выполнится оценка (24), поэтому и в случае такой сетки будет справедлива теорема 1.

Разностная схема (19) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, матрица этой системы обладает свойством диагонального преобладания. Согласно [10, с. 259], итерационный метод Гаусса — Зейделя в этом случае является сходящимся. Итерационный метод для задачи (19) можно записать в виде

А „,(га) I п „Л,<+1-' I п „Л,<+1-' I т? „Л") д

Aij Ui+1 , j + Cj Ui-1 ,j + Dij ui , j-1 + Eij ui , j+1

(n+1)

(n+1)

,(n)

ij Ui , j

(n+1)

1, 2,..., N1 - 1, j = 1, 2,..., N2 - 1,

<(Г)Л^и<“+1> + Ы,,иЙ, - еЛ",«<“+1> = -/(Г,у,),

(29)

где п — номер итерации. Разностное соотношение для правого краевого условия может быть разрешено методом прогонки по координате у.

Остановимся на случае, когда для прямоугольной области правое краевое условие вместо (7) задано в виде

дм

ДМ(х,у) = а(х,у) — + Ь(х,у)М = -/(х,у), (х,у) € I0.

Можно показать, что и в случае задачи (6), (7') справедлив принцип максимума:

Иш М(Г, у) = 0,

(7')

м(х, у) — М(х, у)

< —

а2

д2

дх2

и(Ду)

+

д 2

ду

;и(^,у)

ехр{ае (х — Ь)}, (х,у) € ДЬ.

По аналогии со случаем задачи (6), (7), для задачи (6), (7') может быть построена разностная схема, которая отличается от (19) правым краевым условием, и в данном случае будет справедлива оценка точности (22).

2

4 Применение схемы Самарского

Оценка (22) дает лишь первый порядок точности по координате х. В случае равномерной сетки по х повысить точность при е > Л можно с помощью монотонной схемы Самарского [11, с. 169], как в случае обыкновенного дифференциального уравнения это делалось в [12]. Итак, в области Д^, определенной ранее, рассмотрим краевую задачу

д2м д 2м дм

т-м = едХ2 + еду2 - а(х)дх - Ь(х,у)м =/(х,у^ (30)

м(х,у)_ фг, (х,у) € /г г = 1, 2, 3, Дм = П4(у)м(Ь,у) + мХ(Г,у)_ 04(у). (31)

Предполагаем, что функция м(х, у) имеет непрерывные частные производные четвертого порядка по х и у во всей исходной области, относительно а и Ь предполагаются выполненными ограничения (3а), п4(у) ^ 0, у € [0,1]. В частности, при переходе от полубесконечной полосы в качестве (30), (31) может быть задача (6), (7'). К задаче (30), (31) по координате х применим монотонную схему А. А. Самарского. Аппроксимацию производной в краевом условии выполним так, чтобы не понизить точность разностной схемы. При этом матрица разностной схемы потеряет свойство диагонального преобладания. Покажем, что и в данном случае к оператору разностной схемы можно применять принцип максимума. Предварительно рассмотрим пятиточечную разностную схему

гЬ. А I с I д , е ^ в ^ /Ь,

гга,т,и Ага,тига+1,т + сгс,тип-1,т + Дгс,тип,т-1 + Еп,т ига,т+1 вгс,тип,т Уп,т,

п =1, 2,...,Ж1 - 1, т _ 1, 2,...ЛГ2 - 1 (32)

с краевыми условиями

мга,0 _ ФП, Мп,"2 _ ФП, 0 < п < N1, м0,т _ Фт, 0 < т < N2,

о „.V_____„.V I "1,т 4м"1 — 1,т + м"1-2,т ___ ^4 г\ ^ АТ (оо\

Дтм м"1 т + 07 0 < т < N2. (33)

’ 2Л1

Предполагаем, что при всех п, т

Ап,т > 0, Сп,т > 0, Дп,т > 0, Еп,т > ° С"1 —1,т > 0, ^т > 0.

Сформулируем условие, когда для оператора, соответствующего схеме (32), (33), справедлив принцип максимума.

Лемма 8. Пусть существует сеточная функция фн, такая, что

фл> 0, ГП,тФ/1< 0, п _ 1, 2,..., N - 1, т _ 1, 2,..., N2 - 1,

ф",,т - 4ф",-1,т + ф'"1-2,т < 0.

с"1-1,т

3ф"1,т - 4ф"1-1,т + ф"1-2,т > 0. (34)

Тогда из условий

Гп,тФ^" < 0, 0 < п < N1, 0 < т < N2, Фо,т > 0, 0 < т < N2,

Ф^о > 0, Ф^,"2 > 0, 0 < п < N1, Дтф^ > 0, 0 < т < N2 (35)

следует

Ф^,т > 0, 0 < n<N1, 0 < т < N2. (36)

Доказательство. Предположим, что при каких-либо п<^ и т оказалось Ф^т<0; по аналогии со случаем трехточечной разностной схемы [12] получим противоречие. Определим Vн :

Пусть

V71 _ шт , V71 < 0.

по, то ^ат п,т5 по, то

п< N1, тт

Предположим, что п0 _ N1 - 1. Нетрудно показать, что для произвольных п и т

Гп,тФ ^га.тЬп,тф + Ап,тфп+1,т(^га+1.т - ^га.т) + Сп,тфп-1,т(^п,-1.т - ^га.т) +

+Дп,тфп,т-1(^т-1 - + Еп,тфп,т+1(^т+1 - ^т^ (37)

Учитывая (35), получим

А"1-1,то ф"1 ,то <У"ьто - ^-Ьто ) + С"1-1,то ф"1-2,то <УД-2.то - ^1-1.то ) < 0. (38)

Если ^1-1то < ^1то, то в узле с координатами (N1 - 1,т0) — локальный отрицательный минимум для сеточной функции V\ В соответствии с (37) выполнено неравенство Г"1-1,тоФ^- > 0, что противоречит условиям (35).

Остается рассмотреть случай ^1— то > V^ то.

Из (34), (35) следует

3ф"1,то^ьто - 4ф"1-1,то^ьто + ф"1-2,то^ьто < 0,

3ф"1,то^"ъто 4ф"1-1,то^1-1,то + ф"1-2,то^"1-2,то > 0,

следовательно,

4ф"1-1,то <Умьто - ^ТУ1-1,то) + ф"1-2,то <УД-2,то - ^Мьто ) > °.

Это неравенство можно записать в виде

(4ф^-1,то - ф"1-2,то)(^ьто - ^1-1,то) + ф"1-2,то <УД-2,то - ^1-1,то) > 0. (39)

Из (38), (39) вытекает, что

(^Мьто - ^1-1,то)[4ф"1-1,то - ф"1-2,то - А"1-1,тоСМ^-1,тоф"ьто] > 0.

Учитывая, что в данном случае ^1-1то > V* то, получим противоречие с условиями

(34).

Остается рассмотреть случай п0 < N1 -1. Из того, что узел (п0, т0) — точка локального отрицательного минимума сеточной функции V* и из (37), следует Гпо,тоФ* > 0, а это противоречит условиям (35). Лемма доказана.

Выпишем разностную схему для задачи (30), (31):

Г*,и* _ еДХУ + еЛ,м* - а(х*)Л£м* - Ь,м*, _ /(х*,у,), (х*,у,) € П°,

_ Ф1 (х*), м* "2 _ фз(х*), г _ 0,1,..., N1, м*, _ Ф2 (у,), з _ 0,1,...,^,

N2 г;> 6 —w, ..,иь u'0,j m7

?h h , n h , 3uNbj - 4uN1-i,j + <1-2,7 ^ ^ Г1 , , ^ //0 ^-1

= n4(y)uNi,j + — --------------2/Г 1 Ф (y) е = ^r1 ' 1

я?«л _ П4(у,Х, + ^^^ _ ф4(у,), е* _ г{1 + а(хг)Л1/(2е)Г^ (40)

Покажем, что к оператору схемы (40) можно применять принцип максимума. Определим

ф*, _ (1 + е-1^)*-"1.

Нетрудно убедиться, что для такой функции ф* выполняются соотношения (34). Следовательно, если для какой-либо функции Ф* выполнятся условия (35), то будут выполнены неравенства (36).

Лемма 9. Пусть г* — произвольная сеточная функция. Тогда при всех г < N и при всех ]

|Z 7 |< в || L z | + max |zj 71 + а (е + ah1)max |R7z | exp[a(e + ah1) (x* — L)], (41)

’ 7 (xi, yj )€l ’ 7 7 7

4 1 2

|zN 1,71 < 3|zNi-1 ,71 + 3 |zNi-271 + 3h1|R?zh|. (42)

Доказательство. Определим сеточную функцию Ф^-:

Фh = в-1||Lhzh|| + max |zh71 + а-1(е + ± zh.

(xi,yj )€l

Тогда для функции Ф^- выполнятся условия (34) и в силу принципа максимума Ф^7 > 0 при г < N1. Можно показать, что

ФП < exp[a(e + а^1)-1(х„ — L)].

Это доказывает (41). Неравенство (42) следует из краевого условия. Лемма доказана.

Из леммы 9 следуют единственность и ограниченность решения схемы (40). Получим оценку точности схемы (40).

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия (3а), (12). Пусть сетка О равномерна по х и неравномерна по у, построена согласно (18) или (28). Тогда для некоторой постоянной С

||м* - [м]п|| < С

Л2 1

1 +

Л1 + е N

(43)

Доказательство. Учитывая, что выбор сетки по координате у обеспечивает второй порядок аппроксимации второй производной по этому направлению, по аналогии с [12] можно показать:

|г**,[м]п - м*1 < С1 | л1 + е I1 + (Л1 + е) 1 ехр{ае 1(х*+1 - г)}] + . (44)

Определим -* _ м* - [м]п. Как это следует из [12], при всех ]

'Д, -'‘I ^ С2 (ТО • (45)

Определим сеточную функцию:

Ф**, _ С {лт+7 (ф**, + р**, +1) + N1} ±^,

где

ф£, _ [1 + а^/^е)]*-"1, р*, _ [1 + аЛ1/(2е)]г+1-М1.

Учитывая (44), (45), можно показать, что в случае достаточно большой постоянной С выполнятся условия (35), поэтому в силу леммы 8 при всех г < N1 Ф*, > 0. Учитывая соотношения (42) и (45), получим утверждение теоремы.

5 Результаты численных экспериментов

В полуполосе Д рассматривалась краевая задача для уравнения

д 2м д 2м дм

е&2 + - 55 - 2м _ /

имеющая решение

м(х,у) _ ехр(г0х){ехр(-у/^/е) + ехр((у - 1)/^) + вт(пу)}, Г0 _ -2/(1 + ^1 + 4е).

Пусть м* — решение схемы (19), применяемой после перехода от полуполосы к прямоугольной области. Сетка по координате х равномерна и неравномерна по у, определена согласно (18). В соответствии с леммой 4 и теоремой 1 при всех (х*,у,) € О

К, - м(х,К>)| < 2е2 ехр('Г0-Ц + С{^ + N} г0 < 0

(46)

Согласно (46), погрешность решения задачи в полубесконечной полосе складывается из погрешности разностной схемы и из погрешности, возникающей при переносе краевого условия из бесконечности.

Для задания краевого условия на правой границе /0 рассмотрим четыре способа:

1) и(Ду) = о,

2) иХ(^,У) = 0

3) мХ(Ь>У) + 2м(ЬУ) = -/(Ь>У),

4) «Х^у) + 2и(ь,у) - емУу(^,у) = -/(£,у)-

Решение схемы (19) находилось согласно (29), для погрешности между двумя соседними итерациями достигалась точность А = 10-6. В случаях 1-3 реализация правого краевого условия для разностной схемы упрощалась.

Итак, рассмотрим результаты вычислений. Определим — [и]п.

В табл. 1 приведена норма погрешности ||г^|| в зависимости от способа задания краевого условия при различных значениях е для Ь = 1, N1 = 100, N = 10, а0 = 2, q = 0.25. Из результатов вычислений следует, что задание правого краевого условия согласно способу 4 дает меньшую погрешность при всех значениях параметра е. Значительна погрешность при задании на правой границе условия Дирихле, соответствующего переносу нулевого краевого условия из бесконечности.

В табл. 2 приведена норма погрешности ||г^|| при различных значениях е и при различных способах задания краевого условия для Ь = 10, N = 1000, N = 10, а0 = 2, д = 0.25. Видно, что с увеличением длины интервала для всех рассматриваемых способов норма погрешности || выравнивается, переходя в норму погрешности разностной схемы.

Таблица 1

е Способ задания краевого условия

1 2 3 4

1.0 0.87 0.14 7.8Е-1 2.0Е-2

1.0Е-1 0.49 4.2Е-2 2.1Е-2 0.22Е-2

1.0Е-2 0.37 0.88Е-2 0.47Е-2 0.47Е-2

1.0Е-3 0.37 1.2Е-2 1.2Е-2 1.1Е-2

1.0Е-4 0.37 1.2Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2

1.0Е-5 0.37 1.2Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2

Т а б л и ц а 2

е Способ задания краевого условия

1 2 3 4

1.0 1.0Е-1 1.0Е-2 1.0Е-3 1.0Е-4 7.1Е-2 2.6Е-2 0.47Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 5.1Е-2 2.6Е-2 0.47Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 7.1Е-2 2.6Е-2 0.47Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 7.1Е-2 2.6Е-2 0.47Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2

Список литературы

[1] АБРАМОВ А. А., Балла К., Конюховл Н. Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сообщ. по вычисл. матем., ВЦ АН СССР, М., 1981.

[2] ЗАХАРОВ Ю. Н. Об одном методе решения уравнения с краевыми условиями на бесконечности. В “Вычисл. технологии”, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2, №7, 1993, 55-68.

[3] Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77, 1965, 89-112.

[4] ЛИСЕЙКИН В. Д., ПЕТРЕНКО В. Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1989.

[5] БОГЛАЕВ И. П. Численный метод решения квазилинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. Журн. вычисл. матем. и матем. физ, 28, №4, 1988, 492-502.

[6] ЗАДОРИН А. И. Численное решение обыкновенного уравнения второго порядка со слабо выраженным пограничным слоем. Моделирование в механике, 5, №1, 1991, 141152.

[7] БАХВАЛОВ Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 9, №4, 1969, 841-890.

[8] Шишкин Г. И. Решение краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. Там же, 26, №7, 1986, 1019-1031.

[9] KELLOG R. B., TSAN A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points. Math. Comput., 32, No. 144, 1978, 10251039.

[10] ВОЕВОДИН В. В., КУЗНЕЦОВ Ю. А.Матрицы и вычисления. Наука, М., 1984.

[11] САмАРский А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1989.

[12] ЗАДОРИН А. И. Монотонная схема Самарского для обыкновенного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи. Вычисл. технологии,

2, №5, 1997, 35-45.

Поступила в редакцию 21 апреля 1998 г., в переработанном виде 20 июля 1998 г.