Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ И ТОЧЕЧНЫМ ИСТОЧНИКОМ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

О.В. Величко, А.И. Задорин

A system of second order nonlinear equations with a small parameter effecting higher derivatives and a point source on an infinite interval is considered. The question of the transformation of the boundary problem to the finite interval is investigated. For reduced to finite interval problem difference scheme is investigated.

Введение

При математическом моделировании стационарного раепроетранения примеси от точечного источника возникает краевая задача е точечным источником для нелинейной автономной системы уравнений второго порядка в неограниченной области. Уравнения содержат малый параметр при старших производных, соответствующий коэффициенту диффузии. При численном решении такой задачи актуальной проблемой является перенос краевых условий из бесконечности и разработка разностной схемы, учитывающей погранелойный рост решения.

Для переноса краевых условий из бесконечности в соответствии с подходом, разрабатываемым в работах А.А. Абрамова, Н.Б. Конюховой и их коллег, например, в [1-4] и целом ряде других работ, выделяем одномерные многообразия решений исходной системы, удовлетворяющие предельным условиям на плюс и минус бесконечности. Наличие малого параметра позволяет решать вспомогательные сингулярные задачи Коши асимптотическим методом. Для редуцированной к конечному интервалу задачи построена разностная схема и доказана ее равномерная относительно малого параметра сходимость.

Под (' и С, будут подразумеваться положительные постоянные, не зависящие от параметра г и шагов разностной сетки. Используем нормы:

- для ограниченной функции р(х) ||р(а;)|| = max \р(х)\]

же/

- для вектора q из N компонент ||ц|| = max |цф

-для вектор-функции q(x) из N компонент ||ц(а;)|| = max тах|<Да;)|,

i<i<iv же/

Предполагаем, что норма матрицы согласована с векторной нормой. Под неравенством векторов будем понимать покомпонентное неравенство.

© 2001 О.В. Величко, А.И. Задорин

E-mail: zadorin@iitam .omsk. net. ru Омский государственный университет

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №01-01-01022)

Итак, рассмотрим исходную краевую задачу

Ти = —ей" + а а' + у (и) = 0, х ф 0. (1)

Т0и = еи'(+0) — ей'(—0) = —Q, (2)

lim и{х) = A, lim и{х) = В, X—У — ОО Х^НХ (3)

где г G (0,1], о - постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами a,, i = 1.2....Y. g(u) - непрерывно дифференци-

руемая вектор-функция, Q, А, В - векторы из N компонент.

Пусть

" ед = Щ е

dVj

- матрица Якоби вектор-функции g(v). Предполагаем, что

щ ф гп > 0, Qi ф 0, д(А) = 0, д(В) = О,

N

Gid(v) < 0, i ф j, ^2 Gi,j(v) ^ > о > 0, v е Rn, i = 1,N.

з=i

Задача (1) — (3) является модельной при описании переноса примеси от точечного источника с учетом химических реакций. Случай одного уравнения с точечным источником на бесконечном интервале рассматривался нами в [5,6].

1. Анализ решения исходной задачи

Рассмотрим линейный оператор

Ьи = —ей" + да/ + Ми, .г ф 0.

L0u = £т/(+0) — еи'(—0), lim и(х) = A, lim и(х) = В,

х^—оо Х^НХ)

где для матрицы М справедливы ограничения

N

Mi,j < о ,ъфз, ^2 Mi,i > ^1 > о. /' = 1.V.

3=1

Лемма 1. Пусть существует вектор-функция ф{х) с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами всюду, кроме точки нуль, где сама функция, непрерывна, а ее первая производная имеет разрыв первого рода, та,кая, что для, любого х е (—оо, +оо) при всех % = 1,N

ффх) > 0, Ьффх) > 0,х Ф 0, Ь0ффх) < 0. (4)

Тогда, если для, некоторой вектор-функции ф{х) с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами всюду, кроме точки нуль,

Ьф{х) ф 0, Ь$ф(х) < 0, lim ф{х) ф 0,

ж—г-±оо

то при всех х ф{х) ф О,

Доказательство. Предположим, что некоторые компоненты вектор-функции

ф(х) оказались меньше нуля. Определим // : ц, = Д/ДД = 1....Y. Тогда при

некоторых г,хо будет уфхф) < 0. В силу краевых условий функция уфх) имеет в некоторой точке локальный отрицательный минимум. Без ограничения общности можно считать, что уфхо) = min min yj (х), Рассмотрим два случая:

з %

1) Пусть xq = 0. Тогда

Уг(0) < о, у'(+0) Д О, уК-0) < 0, у?{+0) + у?(-0) > 0.

Получаем противоречие с условием леммы:

Ь^ф = £у'ф+0)фф+0) - еуХ-О)ф'(-О) + уфО)Ь0ф{ > 0.

2) Пусть т0 ф 0. Тогда уфхф) < 0, у'фхф) = 0, у”{хф) ф 0. В этом случае ь(г)ф(х о) = -£фг{х0)у'-(хо) + (-2 еф'фхф) + щффх0))у'фх0)+

N

+уфх0)Ь(-г)ф(хо) + ^М^ффх0){уфх0) - уфхо)) < 0,

3=1

что противоречит условию леммы. ■

Определим вектор-функцию ф(х) с компонентами

, , ч Г ехр(г?т), х < 0 Фг^ ~ { ехр(г°т), х ф 0,

где Д, г2 - положительный и отрицательный корни уравнения

—ег2 + ////• + 0. “)ГГ| = 0. Для офх) выполнены условия (4). В соответствии с леммой 1 для оператора L справедлив принцип максимума.

Лемма 2. Пусть и{х) - решение задачи, (1) - (3). Тогда при всех % = 1, ,.,N для любого х е (—оо, +оо)

kwi < - ii9(o)ii+-ф.м цац + или + цв||,

о т

где

ф (т) = f ехр(гг1х), х<0 Л } \ ехр(гг2т), хфО ’

гц,Гг2 - положительный и отрицательный корни уравнения

-sri + aiTi + с* = 0. (5)

Доказательство. Определим покомпонентно следующую вектор-функцию: Ффх) = ^\\д(0)\\ + ^Ффх) \\Q\\ + |И| + ||В|| ± щ(х).

Тогда

Lq-V < ~WQW (£Гр ~ er*i) + Qi < о.

Рассмотрим случай х < 0, Имеем

N N N

Ь">ф - 119(0)11 +ЕСу1ИИ + ЕС':.,,1|В|1 - 1я(0)| > 0.

3=1 i=1 i=1

Аналогично для случая х > 0 Ь^ф > 0,

Очевидно, что lim ф(х) ф 0, Используя принцип максимума, получим

ж—г-±оо

ф(х) ф 0, из чего следует утверждение леммы, ■

Из данной леммы и принципа максимума следует существование, единственность и ограниченность решения задачи (1) - (3),

Лемма 3. Пусть и{х) - решение задачи, (1) - (3). Тогда при всех % для х < 0

Iщ(х) - Ai\ < \щ(0) - Ai\exp(гах)-,

для х ф 0

щ(х) - Bi| < |щ(0) — Bi \ ехр(гйт),

где г и и r2i соответствуют (5).

Доказательство. Рассмотрим случай х < 0. Пусть z(x) = и(х) — А. Тогда z(x) является решением краевой задачи

Lz = —ez" + иz + Gz = 0, ;(()) = //(О) — A, lim z(.x) = 0,

x—>-—oc

Определим покомпонентно следующую вектор-функцию:

ффх) = |щ(0) - Д| ехр(гат) ± Zi(x).

Тогда для каждого г

Т^ф ф (—sr^ + щгц + оДгц(О) — Д | ехр(гат) = 0, ф(0)ф0, lim ф(х) ф 0.

Х^ — ОС

В силу принципа максимума ф(х) ф 0, из чего следует утверждение леммы. Случай х ф 0 рассматривается аналогично, ■

Согласно лемме 3, при достаточно больших \х\ и(х) по каждой компоненте экспоненциально приближается к краевым условиям.

Лемма 4. Пусть и{х) - решение задачи (1) - (3). Найдется С такое, что при всех %, для, которых Qi ф 0, при х < 0

и^\х)\ < С

1 (т,х

1-1—г ехр ---

О \ :

(6)

При Qi = 0 для любого х, а также при Qi ф О для х > О

u*f\x) | < С.

(7)

Доказательство. 1) Пусть Qi ф 0, х < 0. Представим уравнение (1) покомпонентно в виде

Интегрируя (8) от г] до 0, используя теорему о среднем значении и лемму 2, получим |Д(0)| < Се-1. Интегрируя (8) от х до 0, получим (6) для j = 1.

Дифференцируя уравнение (1) и представляя его в виде (8), получим (6) при j = 2. Случай других j аналогичен.

2) Пусть Qi = 0, х Е (—оо, +оо) или Qi Ф 0, х > 0. Представим уравнение (1) в виде

Интегрируя от х до бесконечности, получим (7) для j = 1. Случай других j

2. Перенос краевых условий из бесконечности

В соответствие с подходом [1-4] многообразие решений уравнения (1), удовлетворяющих предельному условию на +оо, зададим соотношением

аналогичен.

и’ = 72(« - В) + /■ J' ■'■■■).

(9)

где 72 является решением матричного квадратного уравнения

£Д2 + 072 + С{В) = О,

(10)

N

к=О

где тр} определяется на основе рекуррентной формулы

.(о)

p+q=k

Нетрудно показать, что Ц72 — < Се.

На основе асимптотических разложений может быть решена и задача (11):

N

fc=0

F^^V,) = °

fe-1

Y F2(nfci_1)(F2(i))' + 72 ( F'Yl) + (u - B)(fY1})

i=0

(fe-1)

7fe-i)y

F2(0,(u)=a-1(G(B)(u-B)-j(a)).

Теперь выделим многообразие решений уравнения (1), удовлетворяющих предельному условию на ^оо :

eu'(x) = ji(u — А) + Fi(u), (12)

где 7i является решением матричного квадратного уравнения

jf — 071 — G(A)e = 0 (13)

и !■) (и) является решением задачи Ляпунова:

(Fiyu[ji(u-A) + Fl(u)} + (ji-a)Fl(u) = e[g(u)-G(A)(u-A)}, F'i(A) = 0. (14)

Пусть

N

7i = Y

(k)k

fe=0

Учитывая это разложение в (13), получим рекуррентную формулу

(к)

7i

а| ‘ У У’Т) р.я > о,

p+q=k

(0)

7i

о, 7^ = (27)Uj — о) lG{A).

(о)

Пусть

N

F,(u) =Y.T

{к,‘иД

к=0

Тогда получим следующую рекуррентную формулу:

fe-1 / ч fe-1

У’М = -((77)

(0)уч-1

Y, ( - Л) + } 1 + Y(Fij)yFYJ)

г=О ' ' j=l

Y](u - А).

Покажем, что решение уравнения (9) и(х) —>• В при х -У оо. Матрица — является М-матрицей, поэтому все ее собственные значения лежат в правой

полуплоскости, В силу непрерывной зависимости собственных значений от элементов матрицы, при достаточно малых г спектр матрицы 72 лежит в левой полуплоскости. Кроме того, ||-РЪ(w)11 = о(||и||) в соответствии с [4]. Поэтому по теореме Перрона ( [7, с,343]) решение уравнения (9) и{х) -7 В, х —>• +оо. Аналогичным образом решение уравнения (12) удовлетворяет предельному условию на ^оо.

Рассмотрим вопрос редукции исходной задачи к задаче в ограниченной области, При этом уравнения (9), (12) при фиксированном значении х используем в качестве граничных условий. Вектор-функции I ) и матрицы г = 1,2, присутствующие в этих уравнениях, могут быть найдены приближенно на основе полученных асимптотических разложений, В связи с этим необходимо исследовать вопрос устойчивости получаемой краевой задачи по отношению к возмущению коэффициентов в краевых условиях.

Итак, перейдем от задачи (1) - (3) к задаче на конечном интервале

Ти = —ей" + an' + g{u) = 0. .г ф 0.

Т$и = ей'(+0) — еи'(—0) = —Q, su'(Li) = 7 i(u(Li) — А) + Fi(u(Li)), u'(L2) = y2(u(L2) - В) + F2(u(L2)). (15)

Предварительно рассмотрим линейный оператор

Lz(x) = —ez"(x) + az'(х) + Gz(x), х ф 0. L\ <х < Ь2,

L0z = ez'(+0) — ez'(—0), х = 0,

D\Z = Siz(Li) — £z'(Li), D2z = S2z(L2) + z'(L2). (16)

Лемма 5. Пусть G^j < 0, < 0 при всех i Ф j, i,j = 1..Y. Пусть

существует вектор-функция ф{х) с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами всюду, кроме точки нуль, где сама функция непрерывна, а ее первая производная имеет разрыв первого рода, та,кая, что при всех % = 1.Y

ффх) > 0, Ьффх) > 0, Li < х < Ь2, х Ф 0, L0ффх) < 0, £>i<^ > 0, 1)2о, > 0,

(17)

Тогда если ф{х) - вектор-функция, с дважды, непрерывно дифференцируемыми компонентами всюду, кроме точки х = 0, то из условий

Ьф{х) ф 0, Ь\ < х < Ь2,х Ф 0, Ь$ф(х) < 0, Dpp ф 0, В2ф ф 0 (18)

следует ф{х) ф 0, Li < х < Ь2.

Доказательство. Определим покомпонентно следующую функцию у: уфх) =

ффх)/ффх), % = 1....\. Пусть при некоторых i,x0 будет ффхф) < 0, Тогда

Vi(x0) < 0.

Без ограничения общности можно считать, что уЛхо) = min min уЛх).

je{i,..,N} х

Если L\ < хп < /.•_>. то получим противоречие, как и в лемме 1, Пусть xq = L\. Тогда y'(Li) ^ О,

N

Di )rlp < '^2slj^j(xo)(yj(xo) - Уг{хо)) + yi(xo)D^ф < 0.

3 =1

Получили противоречие е условиями (8), Случай хп = L-, аналогичен, ■

Лемма 6. Пусть G^j < 0, < 0 при всех i Ф j, i, j = 1,,,, N,

N N N

^2 Gij > Oi > о > 0, 'Y2 > V > 0, ^2 Sif

3=i i=1 i=1

Тогда для оператора L из (16) справедлив принцип максимума. Доказательство. Определим вектор-функцию ф{х) е компонентами ффх) = С. Для данной вектор-функции выполнены условия (17), Это доказывает лемму.

Вернемся к сформулированной на конечном интервале задаче (15), Векторфункции I ) и матрицы 7i в краевых условиях этой задачи из соответствующих вспомогательных задач могут быть найдены приближенно. Оценим влияние погрешностей г, I ) и ~ ( на решение задачи (15), Перейдем от (15) к задаче с возмущенными Д и 7*

Ти = —ей" + а и + д(и) = 0, .г ф 0.

Т0и = ://'(—()) — еи'(—0) = —Q, х = 0, eu’ih) = ъЩЬг) ^А) + ЫЦЬф), и'(Ь2) = ъ(и(Ь2) - В) + J2(u(L2)).

Теорема 1. Пусть

Ш = fi + цм, йм = -72 - Щ(*),

N

N

я!.1/ < 0. я<5> < О, , Ф j, V S<‘> S ц > 0. Y, si’ > ') > °- ‘ = 1, ■■■ N.

3=1 3=1

Пусть

||Д(ЦД)) - Д(ЦД))|| < Дь ||F2(m(L2)) - F2(u(L2))\\< Д2,

IIti -Till < ||Т2 - ъ\\ < Дт

Тогда для любых i e {1,,,, N}, x e [Li, L2\

Iщ(х) - щ(х)I < ^ ^1 + \\u(Li) - A||^ — ^ 1 — ||m(L2) - B\

Доказательство. Пусть z(x) = u{x) — u(x). Тогда для некоторых @,@i,@2, получим следующую задачу относительно г:

Lz = ^ez" + az' + G(Q)z = О, .г ф 0.

Lqz = ez'(+0) — ez'(—0) = 0,

Dxz = Siz(Li) - ez'(Li) = (fi - ъ)(фг) ~ A) + Д (ЦД)) - Д(ЦД)),

D2z = S2z(L2) + z'(L2) = (72 - Ъ)(Ф2) ^B) + F2(u(L2)) - ¥2(u(L2)),

где

& = fi + ^'(00, S2 = ^72 - K'(e2).

В соответствии с леммой 6 для оператора L справедлив принцип максимума. Определим вектор-функцию ф(х) с компонентами

Фг(х) — ^1+1 \u(Ll) — А\ + — ( 1 + ||и(Ь2)

В\ \ ) ± Zi(x).

Тогда

Ь{г)ф > 0, Ь^ф = 0, И^ф > 0, И^ф > 0.

В силу принципа максимума ф(х) ф 0, что доказывает теорему.

3. Построение и анализ разностной схемы

Пусть О - равномерная сетка интервала [Li, L2] :

О = {xn : xn = xn-i + h, Х—м = Li,x0 = 0, хм = L2, n е {-М, М}}.

Определим разностную схему для численного решения задачи (15).

1. Рассмотрим случай (}, ф 0. В этом случае при х„ < 0 используем схему, подогнанную к экспоненциальному изменению решения в левой полуокрестности нуля [8]. Учтем экспоненциальный рост решения и при аппроксимации условия на скачок производной при х = 0. При хп > 0 используем схему направленных разностей. Тогда получим следующую разностную схему:

<«+1 - 2utn+utn-i, utn+1 - utn-1

h„.h

T*U.

-£i

h2

+ Щ

2 h

T 9i(Ul,n, ^N,n)

_ ajh , щф

£j =---- coth----, —M < n < 0,

2e

. h ___

rjih h Ui; 1 Ui;о ~ u'i,o ui-1

i0 Ui — £------------------------£io~

TS- = -£

h

h

~Qit ^iO

щф

1 - exp(-^)

n = 0,

,h

,h

Ui,n+1 2ui,n ^ Ui,n-l , Ui,n+1 Ui,n , j % ft, ^ n n ^ i /

fOi-------;-------= о, 0 < n < M,

h2

h

rrh ft Ui,-M+1 Щ-М / ft л nth \ n

T_Miy — £ ; ~ A) ~ Bi{llj_M) — 0,

h

Th uh

1 М u г

и:

г,М

- и:

т

h

г,М-1

~>Мм-в)-= 0.

(19)

2, Рассмотрим случай (}, = 0. В этом случае, как показано выше, решение задачи (15) не содержит погранелойной составляющей. Используем схему направленных разностей

= 0, —М < и < 0. 0 < и < М,

т0\

и:

г,1

U.

г,0

U.

г,0

li-

ft

h

-Qi

п

Th uh

1 ±M ui

0.

(20)

Теорема 2. Пусть и{х) - решение задачи, (15), uh - решение схемы (19) -(20). Тогда найдется постоянная С та,кая, что для, любых г е {1. Л }•. п е {-М,М}

\ui,n - щ(хп)\ < Ch.

Доказательство. Определим zh = uh — [и]. Тогда нетрудно получить линейную задачу относительно zh. В случае Qi ф 0

yh

Liz.

h

__ Q I -yit __

h h ___ ~ *i,n+l 1 . *г,п+1 1

~ ~£i гд г Щ —

N

h2

Щ,п+1 2u,itn u,itn—i

h2

eun + од u,n

2 h

l V'i,n+1 Щ,п—1

+ У

з=i

2 h

, —M < n < 0,

L\zht = T№ = 0, n = 0,

.Д

~<l __ О _i_ ~

h h ____ *i,n+l 1 . *г,п+1 ~г,в

~ &--------------7X-----------------Г Q,i--------

Liz.

z.

h N

h2

h

+ y^JGij(ei)Zj

3=1

Щ,п+1 -Ь Щ,п—1

h2

II \ . I I Щ,п+1 Щ,п 1 n . , u

uj+aj ttn-------;---1, 0 < n < M,

/г

= e[u'n

u.

i,-M+1 U4,-M\ Th h _ f > Ui;M Ui,M-1

5 ^ Д

h

h

В случае Qi = 0

j-h h (Щ,п+1 + Щ,п—1 n\ | / ^г,в+1 Щ,п—1

L„Za — &

h2

un) + a,i[u:.

"i t “n

2/i

n^0, —M < n < M,

L\zf = T*z? = 0, n = 0,

Th h _ ( I Ui,-M+l - Ut-M \ Th h _ ( I Ui,M~ui,M-1

Jj—MZi ~ • y'n i} ) ■ JjMZi ~ • Q'n i}

1, Рассмотрим случай Qi ф 0, xn < 0, Представляя u(x) в виде суммы: и(х) = р(х) + V(x) и учитывая, что схема точна на функции погранелоя V(x), содержащей основной рост решения, получим

Ch

I< С + — еМ-<чСхпД, \ЬД>\ < Ch. |Lh±tlz<‘\ < Ch.

£ ~r n

2, Рассмотрим случай Qi = 0, х Е [-L, L], а также случай Qi 'Д 0. х > 0. В силу

оценки производной \и^Ц < Ch, с учетом монотонности схемы, получим

|Ц4| < Ch, \1’Д\ < Ch, ЩЛД| < Ch.

Определим следующую сеточную функцию гф1г(х) :

( Ch[exр (щхп/(2е)) + о] ± z£n, Qi ф 0, п < 0,

Фд,. = < Ch± z\n, Q, ф 0. n > 0.

[ Ch ± Qt = 0,n = —M,M.

Тогда l.hu i:h 0, —M < n < M, x ф 0. < 0, Lh±Mil)h "д 0. В силу принципа

максимума при всех /. п ф^п ф 0, что доказывает теорему, ■

Литература

1. Абрамов А.А., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сообщ. по вы-числ. матем. М.: ВЦ АН СССР. 1981.

2. Биргер Е.С., Ляликова Н.Б. О нахождении для, некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным, условием на, бесконечности // Ж. ВВ1ЧИСЛ. матем. и матем. физ. 1965. Т.5, N 6. С.979-990.

3. Конюхова Н.Б., Пак Т.В. Сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. ввгаисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27, N 4. С.501-519.

4. Конюхова Н.Б. Гладкие многообразия Ляпунова и сингулярные краевые задачи // Сообщ. по ВВ1ЧИСЛ. матем. М.: ВЦ АН СССР, 1996.

5. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником, на, бесконечном, интервале // Сибирский журнал ввгаисл. матем. 1998. Т.1, N 3. С.249-260.

6. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение уравнения с точечным источником на, бесконечном, интервале // Математические структурв1 и моделирование. Омск. ОмГУ. Ввш.5. 2000. С.5-10.

7. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

8. Ильин А.М. Разностная схем,а, для, дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. 1969. Т.6, N 7. С.237-248.