CC BY
1242
Из таблицы видно, что количество необнаруженных пикселей при использовании алгоритма ЛёарМеё7х7, устойчиво не превышает 1, а количество необнаруженных пикселей при использовании других алгоритмов увеличивается в соответствии с повышением плотности импульсного шума. Увеличение количества неправильно обнаруженных пикселей с ростом плотности наблюдается почти для всех алгоритмов.
Выводы
1. Разработана и реализована на языке С# программа для анализа работы алгоритмов по об-
наружению импульсного шума «соли и перца» на цифровых изображениях.
2. Показано, что использование алгоритма на основе адаптивного медианного фильтра с максимальным размером окна 7x7 пикселей дает возможность эффективного обнаружения импульсного шума «соли и перца» на цифровых изображениях.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта
РФФИ № 09-08-00309.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gonzalez R.C., Woods R.E. Digital image processing. - Boston, MA: Addison-Wesley. 2001. - 813 p.
2. Chan R., Ho C., Nikolova M. Salt-and-pepper noise removal by median-type noise detectors and detail-preserving regularization // IEEE Transactions on Image Processing. - 2005. - V. 14. -№ 10. - P. 1479-1485.
3. Kam H.S., Tan WH. Noise detection fuzzy (NDF) filter for removing salt and pepper noise // Intern. Visual Informatics Conf.
2009. - Lecture Notes in Computer Science. - 2009. - V. 5857. -P. 479-486.
4. Najeer A.J., Rajamani V. Design of hybrid filter for denoising images using fuzzy network and edge detecting // American Journal of Science Research. - 2009. - Iss. 3. - P. 5-14.
Поступила 25.02.2011 г.
УДК 004.932
РАЗЛОЖЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДВУМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХААРА
Тхи Тху Чанг Буй, В.Г. Спицын
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассматриваются перспективы применения двумерного дискретного вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Ха-ара для разложения цифровых изображений. Представлены формулы и результаты применения быстрого преобразования Ха-ара для разложения цифровых изображений.
Ключевые слова:
Обработка изображения, двумерное дискретное вейвлет-преобразование, быстрое преобразование Хаара. Key words:
Image processing, two-dimensional discrete wavelet transform, fast Haar wavelet transform.
Введение
Простота использования и экономическая эффективность способствовали растущей популярности цифровых систем обработки изображений. Однако низкое пространственное разрешение подобных изображений относительно традиционных пленочных фотоаппаратов все еще является недостатком. Главной задачей в каждом виде обработки изображения является нахождение эффективного представления, которое позволяет отобразить его в компактной форме. В современной теории и практике сигналов активно используются сигналы специального вида - вейвлеты, показавшие свою эффективность в спектральном анализе сигналов [1, 2].
В работах [3-5] представлены теория и практические применения различных вейвлетов. Практически важные вейвлеты традиционно определяются как функции одной вещественной переменной с вещественными значениями. В зависимости от математической модели (структуры области определения, структуры области возможных значений и вида преобразований) различаются дискретные и непрерывные вейвлеты. Так как разложение сигналов в базисе вей-влетов осуществляется с использованием арифметики с плавающей точкой, то возникают ошибки, величина которых зависит от степени приближения сигнала.
Двумерное дискретное вейвлет-преобразование (2Б) - один из самых важных инструментов. 2Б
получается в результате применения одномерного вейвлет-преобразования (1D) последовательно к строкам и столбцам изображения.
Вейвлеты Хаара [6] представляют собой кусочно-постоянные функции, заданные на конечных интервалах различных масштабов и принимающие два значения {-1; +1}. Вейвлет Хаара единичного масштаба и нулевого смещения (материнский вей-влет Хаара) - это функция, равная +1 на интервале [0; 1/2) и -1 на интервале [1/2; 1). Вейвлеты Ха-ара хорошо зарекомендовали себя в практических задачах обработки дискретных сигналов, таких, как массивы отсчетов аудиосигналов и цифровые фотографии. Самая отличительная особенность преобразования Хаара заключается в том, что оно является разделимым и легко вычисляется.
1. Преобразование Хаара
и быстрое преобразование Хаара
Преобразование Хаара (ПХ) является одним из простейших и базисным вейвлет-преобразова-нием. Пусть имеется одномерный дискретный сигнал ffifb-jn). ПХ разлагает каждый сигнал на два компонента равного размера. Первый из компонентов называется средним или аппроксимацией (approximation), а второй известен как различие (difference) или деталь (detail). Точная формула для среднего значения подсигнала (subsignal), a'=(aba2,..,aN/2), на первом уровне для одного сигнала длины N, т. е. ffifb-jn) имеет вид
„ _ f2n-l ^ f2n
V2
n = 1,2,3,..., N/ 2,
и детализирующий подсигнал, d1=(d1,d2,..,dN/2), на этом же уровне представляется как
J _ f2n-1 - fin
V2
> = 1,2,3,..., N/ 2.
Эти значения формируют два новых сигнала a{an}neZ и d{dn}neZ, один из которых является огрубленной версией исходного сигнала (каждой паре элементов f соответствует их среднее арифметическое), а другой содержит информацию (будем называть ее детализирующей), необходимую для восстановления исходного сигнала. Действительно
f2n-1 = an + dn > fin = an - dn •
К сигналу a можно применить аналогичную операцию и также получить два сигнала, один из которых является огрубленной версией a, а другой содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления a.
Чтобы понять, как преобразование Хаара работает, рассмотрим простой пример. Предположим, что
f 1 2 3 4|
I =
4 5 6 7 8 9 12 3 4 5 6
В случае применения Ш ПХ вдоль первой строки, коэффициенты аппроксимации следующие
72(1+2) - 72(3+4).
и коэффициенты различия
Т2(1 -2) - Т2(3 -4)-
То же самое преобразование применяется к другим строкам I. Помещая коэффициенты аппроксимации каждой строки в первые два столбца и соответствующие коэффициенты различия в последующие два столбца, получим следующие результаты
' 3
f 1
4
3 4
4 ! 7 2 6
1D ПХ на строках
1
"72
17 7
7 13 3 11
-1 -1 -1 -1
- f! -1 -1 -1
В приведенном соотношении коэффициенты аппроксимации и коэффициенты различия отделяются точками в каждой строке. Применяя на следующем шаге Ш ПХ к столбцу результирующей матрицы, находим, что результирующая матрица на первом уровне имеет вид
1D ПХ на столбцах
f 3 7 : - -1 -Л
1 9 13 : - -1 -1
V2 17 3: -1 -1
1 7 11 : - -1
f 12 20 -2 -21
24 14 -2 -2
-6 -6 0 0
110 -8 0 0 J
Таким образом, имеем f 12 20л 24
A =
V =
14
у
-6 10 -8
V f-6
H =
f-2 -2
-2Л -2
и D=
j
f 0 0Л
00
j
У каждой части, показанной в приведенном выше примере, есть размерность (число строк/2) х (число столбцов/2) и эти области называются А, Н, V и Б соответственно. А (область приближения) включает информацию о глобальных свойствах проанализированного изображения. Удаление спектральных коэффициентов от этой области приводит к самому большому искажению в исходном изображении. Н (горизонтальная область), включает информацию о вертикальных строках скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области исключает горизонтальные детали из исходного изображения. V (вертикальная
область) содержит информацию о горизонтальных строках скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области устраняет вертикальные детали из исходного изображения. D (диагональная область) охватывает информацию о диагональных деталях скрытых в изображении. Удаление спектральных коэффициентов от этой области приводит к минимальному искажению в исходном изображении. Таким образом, ПХ подходит для приложения, когда матрица изображения имеет число строк и столбцов, кратное числу 2.
Быстрое преобразование Хаара (БПХ) включает сложение, вычитание и деление на 2, благодаря чему оно становится эффективнее и сводит задачу вычисления к сравнению с ПХ. Для разложения изображения сначала применяем 1D БПХ к каждой строке пиксельных значений ввода отображающей матрицы. Затем применяется 1D БПХ к каждому столбцу. Результирующими значениями являются все детализирующие коэффициенты, за исключением отдельного общего среднего коэффициента.
2. Двумерное дискретное вейвлет-преобразование
Двумерное дискретное вейвлет-преобразование состоит из поочередного одномерного вейвлет-преобразования строк и столбцов этой матрицы. Сначала выполняются одномерные вейвлет-преоб-разования каждой строки в отдельности, преобразованная строка записывается на прежнее место. Элементы нумеруются способом, указанным в предыдущих разделах. Далее вейвлет-преобразо-вания применяются ко всем столбцам. В результате изображение разбивается на четыре равные части (рис. 1). На рис. 1 показаны стандартные обозначения квадрантов преобразованного изображения: LL, LH, HL, HH. Квадрант LL соответствует низкочастотным вейвлет-коэффициентам, HH -высокочастотным вейвлет-коэффициентам (буква L означает Low, H - High) [7].
Рис. 1. Однократное применение двумерного вейвлет-пре-образования к квадратному изображению
Если не оговорено противное, под Ж-кратным двумерным вейвлет-преобразованием понимается применение N раз двумерного вейвлет-преобразо-вания, причём очередное двумерное вейвлет-пре-образование применяется к младшей четверти матрицы (квадрант ЬЬ на рис. 1). В итоге Ж-кратное преобразование выглядит так, как показано на рис. 2 (при N=3).
Рис. 2. Трёхкратное применение двумерного вейвлет-пре-образования
На рис. 2 показаны принятые стандартные обозначения квадрантов изображения. Квадранты Ж-кратного двумерного вейвлет-преобразования имеют аналогичное обозначение.
Обратное двумерное вейвлет-преобразование рекурсивно восстанавливает младший квадрант. В случае, представленном на рис. 2, для получения (восстановления) нового квадранта ЬЬ2 используются квадранты ЬЬ3, ЬН3, НЬ3 и НН3. Далее для восстановления квадранта ЬЬ1 используются квадранты ЬЬ2, ЬН2, НЬ2, НН2 и т. д. Аналогично выполняется Ж-кратное обратное вейвлет-преобразо-вание.
Заметим, что указанное преобразование является иерархическим, т. е. если при применении обратного вейвлет-преобразования вычисляются не все уровни, а меньшее их количество, то в квадранте ЬЬ образуется уменьшенная копия изображения, как показано на рис. 3. В частности, если вообще не используется обратное вейвлет-преоб-разование, то самый младший квадрант тоже является уменьшенной копией изображения.
Благодаря этому свойству, обратное вейвлет-преобразование позволяет вырезать фрагменты изображений при различных масштабах. Следует отметить, что, во-первых, доступные масштабы определяются количеством уровней вейвлет-пре-образования и, во-вторых, масштабы не произвольны, а отличаются увеличением в два раза.
t/m "Ч
Рис. 3. Однократное применение двумерного вейвлет-пре-образования или применение (N-1)-кратного обратного вейвлет-преобразования к изображению, полученному N-кратным вейвлет-преобразованием
3. Результаты применения быстрого преобразования Хаара
Итогом исследования явилось создание приложения средствами C#, реализующего алгоритм быстрого преобразования Хаара. Это приложение способно обрабатывать файлы формата * .gif, размер изображения выбран небольшим, чтобы повысить скорость работы, и равен 256x256 пикселей. Примеры изображений, полученных с использованием быстрого преобразования Хаара в качестве базисной функции, представлены на рис. 4.
В действительности число возможных разложений часто бывает велико, и поэтому невозможно перебирать или исследовать каждое из них в отдельности. Весьма желательно иметь эффективный алгоритм нахождения разложений, оптимальных по отношению к некоторым критериям, связанным с конкретными приложениями.
Рассмотренное преобразование может быть использовано в задачах цифровой обработки сигна-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gonzalez R.C., Woods R.E. Digital image processing. - Boston: Addison-Wesley, 2001. - 813 p.
2. Pratt W.K. Digital Image Processing. - N.Y.: Wiley Interscience, 2001. - 738 p.
3. Чуи Ч. Введение в вейвлеты. - М.: Мир, 2001. - 412 с.
4. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования. - Новосибирск: НГТУ, 2003. - 104 с.
5. Mallat S.A Wavelet Tour of Signal Processing. - N.Y.: Academic Press, 1999. - 851 p.
лов. По-видимому, оно будет эффективно в системах высокоскоростной обработки данных и мультимедийных системах.
Выводы
1. Создана программа для разложения цифровых изображений с применением двумерного дискретного вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Хаара.
2. Показано, что использование двумерного дискретного вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Хаара представляет эффективный способ разложения цифровых изображений.
3. Представлены результаты численных экспериментов по применению алгоритмов двумерного дискретного вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Хаара для компактного отображения и разложения изображений.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-08-00309.
6. Anuj B., Rashid A. Image compression using modified fast Haar wavelet transform // World Applied Sciences Journal. - 2009. - V. 7. -№ 5. - P. 647-653.
7. Шокуров А.В., Михалёв А.В. Оптимальное использование вей-влет-компонент // Успехи математических наук. - 2007. -Т. 62. - № 4. - С. 171-172.
Поступила 25.02.2011 г.
