CC BY
23
Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
УДК 517.98
Разложение функции Березина на пространстве Лобачевского по смешанным сферическим функциям 1
© А. А. Артемов
Ключевые слова: канонические представления, гиперболоиды, сферические функции, формула Планшереля.
Дается разложение функции Березина на пространстве Лобачевского по смешанным сферическим функциям.
Мы изучаем канонические представления обобщенной группы Лоренца (7 = ЗОо(1, п — 1) в функциях на единичной сфере Г2 в Мп с действием, порожденным надгруппой (7 = ЭЬ(п, Е). Сфера имеет три открытые (7-орбиты, они диффео-морфны однополсстному гиперболоиду и двум полам двуполостного гиперболоида. Одна из задач состоит в том, чтобы разложить форму Березина на этих гиперболоидах. Это эквивалентно тому, чтобы разложить функцию Березина на этих гиперболоидах по сферическим функциям - обычным и смешанным. Один из способов сделать это - косвенный, он использует "собственные числа" преобразования Березина. Интересно сделать прямое вычисление. Для обычных сферических функций мы выполнили это ранее, для смешанных - при п — 3 в [1]. В настоящей работе мы даем разложение по смешанным сферическим функциям для произвольного п.
Группа (2 транзитивно действует на верхней поле двуполостного гиперболоида: —у\ + У % + •■■+ У п = —1, У\ ^ 1, в М" (пространстве Лобачевского размерности п — ]).
Рассмотрим функцию
2~2а ( 1 — г\
Т{г) = Г(а,т-,г) = ---г ^ ( 2а+т+1, 2а-т; 2а+1; —J ,
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
где .Р - гипергеометрическая функция Гаусса, а, т - комплексные параметры. Функция 'Р(г) аналитична в плоскости г с разрезом (—оо, — 1]. Функция Т(г) тесно связана с функцией Лежандра первого рода Р~2а(г):
Р~2а(г) = (г2-1)°Г(г),
последняя является собственной функцией оператора Лежандра
П / 2 Л\<Р о <1 4а2
Д* = (г - 1)— + 2г— -
сіг2 дг г2 — 1 ’
Смешанная сферическая функция на выражается через функцию V от мнимого аргумента:
Ф<г,є(у) = (2тг)(п-1)/2(еі<Т7г/2 + (-І)^"^2)-1 х
- X (УІ + 1)(п-3)/4 + (_1)<Р(_І5,„)],
где а = (п — 3)/4 и т = (п — 3)/2. Функция Березина сейчас есть обобщенная функция у£'є = \yn\xsgnєyn.
Теорема 1 Для ЯеА < —1/2 обобщенная функция у*,е разлагается по смешанным сферическим функциям следующим образом:
/ОО
/і(А,є,а) ф2-п-а,е
•ОО
dp,
и=(2-п)/2+гр
где
/і(Л,є,<т) = ш(сг) • 2~V/2 Г ^ Л2+ ^ Г —”2 -<Т + 2
X
X
. Л + сг + п , ... . Х — о — п
Sin--------------7Г + (—1) Sin----------------7Г
= 2_п~2 7г_п (2сг+п—2) sin (cr+^'j ^ ' Г(—сг) Г(ст+п—2).
Здесь w(<j) - множитель в мере Планшереля для 3^+-
Доказательство. Для оператора Лежандра на мнимой оси имеет место следующее спектральное разложение. Пусть (/, h) - скалярное произведение из L2(Е). Обозначим
А(с) = H(c)V(ic), Н(с) = (c2+l)Q.
/ч
Для функции f(x) на Е пишем f(x) = f(—x). Тогда
/ОО ----
(2т + 1){П, [(ip,НА) (НА,у) + (ф,НА) (НА,Ч>)\ +
•оо
+ П2 [{ф, НА) (НА, ч>) + (Ф, Щ (НА, ¥>)]} dp, (1)
r=—\/2+ip
где
Г2х = —и sin2mr, Q2 = w sinr7r, r(2Q!-fr-(-l) Г(2а—r)cosr7r 8n sin(r—2a)ix sin(r+2o;)7r
и
Положим в (1) ^>(с) = сА,е. Функцию (р, принадлежащую 2? (К), мы можем не писать. Мы получаем разложение функции -0(с) = сА,е по Т>(±1с):
/ОО
(2т+ 1) {ф,НА) (n1 + (-iyn2)
•ОО
X
х Я (с) (Р(гс) + (-1)£Р(-гс)) Остается вычислить интеграл
/ОО
сА’е (с2+1)2аР(гс) dc
•ОО
dp.
т=—1/2+гр
-оо
г»оо
e~гатг
гоо
{аж cx(c2+l)aPт-2Q(ic)dc +
Jo
гоо
+ (-1)£е*а7Г / сА (с2+1)“ Р~2а(—гс) (1с. (2)
ло
Мы исходим из формулы [2] 7.133(2) для функций Лежандра второго рода:
гоо
/ (х — г*)Ае2,гг“(х2 - 1)а(2~2а(х) dx =
о и
= Г(Л + 1) е*2а+Х+1)п (и2 - 1)(2«+А+1)/2 д-2а-А-1^}
Из этой формулы с помощью интегральной формулы Коши и с помощью формул поведения функций Лежандра на разрезе [—1,1], см. [2] гл. 3, мы выводим интеграл по верхней половине мнимой оси:
г+гоо
/ 2Л е2™ (х2 - 1)“ <Э;2а(г) <1г = е^2“+л-т),г/2 В,
J+iO
где
д = 2-^-г“^г(л + 1)г(т. 22а-^) /г(!1±£±2).
Отсюда мы находим
ГОО
/ сА е2™ (с2 + 1)а Q~2a(±ic) dc = Tie*iTn/2 В, (3)
Jo
где берутся либо верхние, либо нижние знаки. Далее мы используем формулу, см. [2] 3.3 (3), выражающую функцию Лежандра первого рода через функции Лежандра второго рода:
g27TtQ
Рт 2a(z) =------- {sin(r - 2or)7T • Qr2a(z) - sin(r - 2а)п ■ Qj^L^z)} .
7TCOST7T
Она позволяет с помощью (3) вычислить (2). Затем мы делаем аналитическое продолжение по о; в точку а = (п-3)/4и полагаем г = (п — 3)/2. □
1. А. А. Артемов. Разложение формы Березина на сфере. Вестн. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 7-8.
2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергео-метрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.
3. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.
A. A. Artemov. Decomposition of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions. An expansion of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions is given.
Keywords: canonical representations, hyperboloids, spherical functions, Plancherel formula.
УДК 517.98
Комплексный гиперболоид: инвариантная дифференциально-геометрическая структура 1
© О. В. Бетина
Ключевые слова: однородные пространства, метрики, операторы Лапласа-Бельтрами, скобки Пуассона.
Для комплексного гиперболоида найдены метрики, внешние формы, операторы Лапласа-Бельтрами, скобки Пуассона, инвариантные относительно группы SL(2,С).
Комплексный гиперболоид А" в С3 задается уравнением — х^ +х\+х\ — 1. Он есть однородное пространство Є/Н, где 8Ь(2,С), Н - диагональная подгруппа. Они состоят соответственно из матриц
Гиперболоид X - простейший и ключевой пример нара-эрмитова пространства второй категории в смысле Канеюки. Такие пространства являются ком-плексификациями эрмитовых симметрических пространств. Для построения
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.
Литература
Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.
