CC BY
22Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1
УДК 51.73
РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАВЕДЕННЫХ ТОКОВ В ЛИНИИ ПЕРЕДАЧ Ю. М. Григорьев, М. Н. Борисова
Аннотация. Сравниваются расчеты токов и напряжений, наведенных в воздушной линии передачи при близком разряде молнии, по двум различным математическим моделям. Первая модель описывает электростатическую компоненту наведенных токов, вторая — электромагнитную компоненту. Показано, что пиковые значения обоих компонент по величине сравнимы между собой. Показано, что в условиях многолетней мерзлоты пиковые значения электростатической компоненты наведенных токов и напряжений могут быть на порядки больше, а значит, и опаснее, чем в регионах без мерзлоты.
Ключевые слова: молния, линия передачи, многолетняя мерзлота, индуцированное напряжение, наведенные токи.
Проблема электромагнитной совместимости технических сооружений с атмосферным электричеством в условиях многолетней мерзлоты имеет особую актуальность в силу плохой проводимости грунта. Одним из аспектов этой проблемы являются вопросы повышения эффективности электрозащиты магистральных линий передач. Магистральные линии передач включают в себя трубопроводы, линии электропередачи и проводные линии связи. С физической точки зрения магистральные линии представляют собой длинные проводящие линии, находящиеся в слоистой среде (воздух, проводящая земля и многолетняя мерзлота) и подверженные электрическим наводкам как во время гроз, так и во время интенсивных геомагнитных возмущений. На магистральных линиях передач токи и напряжения возникают и в отсутствие, и прямого попадания молнии. Такие токи и напряжения называются индуцированными (наведенными). Имеется два вида индуцированных токов и напряжений. Во-первых, электромагнитной природы, т. е. возникающие вследствие влияния электромагнитного поля от внешних возмущений. Во-вторых, электростатической природы, когда под действием электростатического поля грозового облака на проводниках магистральных линий индуцируются электрические заряды. При быстром разряде грозового облака эти заряды «высвобождаются» и, растекаясь по линии передач, образуют волну тока и напряжения (ВТН). Многолетняя практика эксплуатации магистральных линий электропередачи и проводных линий связи на территории РС(Я) показывает, что многие аварийные явления на них вызываются наведенными токами и напряжениями. Некоторые эксплуатационные параметры электрозащиты таких линий зачастую не отвечают нормативным показателям.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта ДВ № 12—05—98528—а) и Государственного задания МОиН РФ (проект №1626).
© 2014 Григорьев Ю. М., Борисова М. Н.
Для выработки рекомендаций по защите линий передач от воздействия атмосферного электричества необходимо, в первую очередь, провести анализ возникающих при этом процессов, в частности, оценить величины наведенных токов и напряжений. Общепринятые методы приближенного расчета индуцированных перенапряжений в воздушных линиях основаны на вычислении электромагнитного поля, излучаемого каналом молнии. Практически во всех опубликованных работах при расчете наведенных токов и напряжений учитывают только электромагнитную наводку, а электростатическую часть не учитывают. Однако, по нашему мнению, в регионах с высоким удельным электрическим сопротивлением грунта, к которым относятся и регионы с многолетней мерзлотой, необходимо учитывать электростатическую компоненту (т. е. ВТН) при вычислениях наведенных токов и напряжений. Авторам известно небольшое количество работ по расчетам ВТН.
Приведем некоторые основные положения, используемые в дальнейшем. В результате основных процессов при электризации грозовых облаков в большинстве случаев (до 90 %) молнии бывают отрицательными, т. е. переносят на землю отрицательный заряд. В средних широтах землю поражают 30-40 % общего числа молний, остальные 60-70 % составляют разряды между облаками или между разноименно заряженными частями облаков. В большинстве случаев молния состоит из нескольких отдельных последовательных разрядов (до 14). Такая многокомпонентная молния может длиться до 1 с. Чаще всего длительность удара молнии не превышает 0,1 с. Аварии в магистральных линиях происходят в основном от близко расположенного к линиям разряда молнии.
В работах [1-7] рассматриваются математические модели электромагнитного влияния на магистральную линию разрядов молний на землю или между облаками. Попытка построения математической модели ВТН в линии электропередач представлена в работе Е. Ф. Цапенко [8]. В его работе при моделировании начального потенциала облака без обоснования была использована квадратичная функция. Наиболее адекватные модели ВТН в коаксиальном кабеле в условиях многолетней мерзлоты представлены в [9-12]. В наших работах [13-20] построены, аналитически и численно решены математические модели ВТН, индуцированных в линиях передач грозовыми разрядами в условиях многолетней мерзлоты.
В этой статье сравниваются расчеты токов и напряжений, наведенных в ЛЭП, по нашей модели, описанной в [13-20], и по модели, описанной в [3].
Приведем краткое описание нашей модели ВТН. Эта модель построена при предположении о мгновенном характере разряда молнии. Для простоты рассмотрим линию передач с одним бесконечно тонким проводником (рис. 1), которая характеризуется распределенными параметрами К, С, Ь, С — сопротивлением, емкостью, индуктивностью и коэффициентом утечки, рассчитанными на единицу длины.
Введем декартову систему координат х,у,г. Пусть область г < I занята проводящей землей, параметр I характеризует толщину многолетнемерзло-го слоя. Линия передачи направлена по оси х. Грозовое облако моделируем точечным зарядом Q, расположенным в точке с координатами (хоб, у0б,г0б). Следовательно, линия находится в поле заряда Q и его электростатического изображения —Q. Проводник считаем заземленным в бесконечно удаленной точке, а потенциал Земли V — равным 0, т. е. индуцированные на линии заря-
Рис. 1. Разряд молнии вблизи линии передачи
ды создают потенциал, который компенсирует потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами Q и —Q.
В момент времени Ь = 0 заряд Q мгновенно исчезает (облако разряжается), тогда вдоль линии при Ь > 0 пойдет волна тока («разбегание» индуцированных зарядов), которая описывается системой телеграфных уравнений. Таким образом, для определения силы тока г(х, Ь) и напряжения и(х,Ь) в линии после разряда грозового облака получаем следующую задачу:
их + Ыг + Ш = 0, ц + Сиг + Си = 0, г(х, 0) = 0,
— ^ <х< го, Ь > 0.
(1)
, и(х, 0) = /(х),
Начальная функция / (х) получается из предыдущих рассуждений:
/ (х)
Q
Q
47Г£О V + - ®об)2 + Уоб -ч/Сзг + ^об)2 + (ж - жоб)2 +
— потенциал, который до момента Ь = 0 компенсировал потенциал зарядов Q и —Q. Второе начальное условие г(х, 0) = 0 очевидно. Решением нашей задачи являются напряжение
и(х, €) = -ехг(/(х + оЬ) + /(ж - оЬ))
2
х+аг
мг
ь~\~иь __
и сила тока
!Се
мг
х+аг
х — аг
где /0 (г) и (г) — модифицированные функции Бесселя.
1
В случае выполнения условия отсутствия искажения
ЕС = ЬС
решение задачи упрощается и принимает вид
1 л
и{х, I) = ь*{/{х - с/1) + /(ж + а£)),
(4)
(5)
г(х, £) =
е - а*) - Лж + а*))-
(6)
В расчетно-экспериментальной работе [3] изучено влияние конечной проводимости грунта на наведенные токи в ЛЭП, причем учитывается только электромагнитная компонента наведенных токов. Вначале рассчитывается электромагнитное поле канала молнии несколькими способами. Определяется горизонтальная компонента электрического поля близи ЛЭП, граничные условия на проводах ЛЭП не ставятся. Затем напряженность этого поля подставляется в правую часть телеграфных уравнений в качестве сторонней э.д.с. и решается соответствующая начально-краевая задача для системы телеграфных уравнений. В [3] рассмотрена ЛЭП в виде одного провода с радиусом Ь = 0.005 м, подвешенного на высоте I = 10 м, при этом С = -¡^рру = 6.7 • 10~12 Ф/м —
погонная емкость проводника, К = р-^1 = 3.4 • 10~4 Ом/м — погонное сопротивление проводника, Ь = ^ 1п = 1.6-10~б Гн/м — погонная индуктивность проводника.
Коэффициент утечки С вычисляется по формуле
£о
где ао — проводимость воздуха. Обоснование этой формулы можно получить при электродинамическом выводе системы телеграфных уравнений [21].
Вертикальная молния ударяет вблизи ЛЭП на расстоянии г = 50 м от ее центра (рис. 2).
Н
1
провод
I
проводящий слой
_г\-Ц. Электростатическое изображение облака
Рис. 2. Расчетная геометрия молнии в [13]
При расчете горизонтальной компоненты электрического поля вблизи ЛЭП считается, что ток молнии на основании канала молнии выражается следующей зависимостью:
I(г) = 1о(е-а - е-/3*), (7)
где 1о = 12 кА, а = 3 • 104 с-1, в = 107 с-1. График такого импульса приведен на рис. 3. Скорость распространения тока молнии принимается равной V = 1.3 • 108 м/с.
вд
Результаты расчетов в [3] показывают, что пиковые значения напряжения в ЛЭП достигают величины 60 кВ. Вид импульса индуцированного перенапряжения в ЛЭП приведен на рис. 4.
Рис. 4. Напряжение в ЛЭП, индуцированное электромагнитным полем тока молнии
Теперь найдем расчетные параметры для нашей модели ВТН с мгновенным характером разряда молнии по исходным данным схемы работы [3]. Суммарный заряд, переносимый током молнии вида (7), будет для нашей модели зарядом Q облака:
Q = ^ I (г) <и = 0.33 Кл. о
Для длительности импульса тока молнии около 11,5 мкс, при заданной скорости тока получаем для высоты молнии величину порядка Н = 1500 м. Таким образом, выражение для начального потенциала в нашей модели найдено:
/(.,)= 1 ' 0 0
4тге0 V у/{Н-1)2 + х2 у/{Н + 1)2 + х2 ) '
Результаты расчетов ВТН для длинной ЛЭП с вышеприведенными параметрами, когда молния ударяет в землю на расстоянии 50 м от ЛЭП, показаны на рис. 5.
Рис. 5. Волна напряжения в ЛЭП по нашей модели с мгновенным характером разряда молнии
Расчеты показывают, что пиковое значение величин ВТН — напряжение 60 кВ по порядку совпадает с результатами из [3].
В предыдущих работах авторов построены математические модели ВТН в линии передач в условиях многолетней мерзлоты [13-20]. Если в данную задачу добавим слой многолетней мерзлоты 1р = 250 м, то получим расчетные результаты, приведенные на рис. 6. Начальный потенциал с учетом многолетней мерзлоты имеет вид
/ы 1 < 0 0
4тге0 V у/(Н - У2 + х2 ^(Я+ у2+х2
и[Ц (кВ)
Рис. 6. Волна напряжения в ЛЭП в условиях многолетней мерзлоты с учетом мгновенного характера разряда молнии
Как видно, в условиях многолетней мерзлоты индуцированные напряжения могут быть в десятки раз опаснее.
Выводы
• Пиковые значения электростатической компоненты наведенных напряжений (ВТН) сравнимы со значениями электромагнитной компоненты.
• В условиях многолетней мерзлоты пиковые значения электростатической компоненты наведенных напряжений (ВТН) могут быть на порядки больше, а значит, и опаснее, чем в регионах без мерзлоты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Разевиг Д. В. Атмосферные перенапряжения на линиях электропередачи. Л.: Госэнер-гоиздат, 1959.
2. Ефимов Б. В. Теория распространения волн атмосферных перенапряжений в многопроводных коронирующих линиях // Электрофизические проблемы надежности эксплуатации высоковольтных сетей и цепей управления. Апатиты, 1999. С. 20—41.
3. Rachidi F., Ianoz M., Nucci C. A., Mazzetti C. Calculation methods of the horizontal component of lightning return stroke electric fields //XI Int. Wroclaw Symp. Exhibition Electromagn. Compatibility (September 2-4, 1992) Wroclaw, 1992. P. 452-456.
4. Rachidi F., Ianoz M., Nucci C. A., Mazzetti C. Influence of a lossy ground on lightning-induced voltages on overhead lines // IEEE Trans. Electromagn. Compatibility. 1996. V. 38, N 3. P. 250-264.
5. Petrache E., Paolone M., Rachidi F., Nucci C. A., Rakov V., Uman M., Jordan D., Rambo K., Jerauld J., Nyffeler M., Schoene J. Lightning-induced currents in buried coaxial cables: A frequency domain approach and its validation using rocket-triggered lightning //J. Electro-stat. 2007. V. 65. P. 322-328.
6. Andreotti A., Assante D., Mottola F., Verolino L. An exact closed-form solution for lightning-induced overvoltages calculations // IEEE Trans. Power Delivery. 2009. V. 24, N 3. P. 1328-1343.
7. Lahtinen М., Elovaara J. GIC occurrences and GIC test for 400 kV system transformer // IEEE Trans. Electromagn. Compatibility. 1996. V. 38, N 3. P. 250-264.
8. Цапенко Е. Ф. Перенапряжения в системах электроснабжения. М.: Изд-во МГГУ, 2002.
9. Grigoriev Yu. M., Eremeev S. N., Naumov V. V., Semenov A. A. On the thunderstorm overvoltages in coaxial cables //XI Int. Symp. Electromagn. Compatibility. Wroclaw, 1992. P. 424-428.
10. Grigoriev Yu. M., Eremeev S. N., Naumov V. V., Sharin E. P. On the thunderstorm overvoltages in 3-wire transmission lines // XII Int. Symp. Exhibition Electromagn. Compatibility (June 28-July 1, 1994). Wroclaw, 1994, P. 137-141.
11. Grigoriev Yu. M. On a nondistorting transmission line // Int. Symp. Electromagn. Compatibility (Sendai, May 16-20, 1994). Sendai, Japan, 1994. P. 29-31.
12. Козлов В. И., Муллаяров В. А., Васильев А. Е., Ромащенко Ю. А., Григорьев Ю. М., Еремеев С. Н., Наумов В. В., Степанов В. Е., Орлова М. Н. Грозы в Якутии и их влияние на магистральные трубопроводы // Наука и образование. 2005. Т. 37, № 1. С. 61-66.
13. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Математическая модель грозового перенапряжения в линии передачи при разряде молнии между двумя облаками // Динамика сплошной среды. 2004. Вып. 122. С. 53-56.
14. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Численная реализация математической модели грозовых перенапряжений в линии передачи в условиях многолетней мерзлоты // IX Лаврентьев-ские чт., посв. Междунар. году физики. Научн. конф. Секция «Математика, механика и физика» / Сб. статей. Якутск: ГУ РОНПО, 2006. V. 1. P. 41-44.
15. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Математическая модель грозовых перенапряжений в линии передач с учетом зависимости тока молнии от времени // Вестн. ЯГУ. 2007. Т. 4, № 2. С. 45-53.
16. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Влияние ближнего разряда молнии на линию передачи // Вестн. СибГАУ. 2009. Т. 22. Ч. 1, № 1. С. 23-26.
17. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Индуцированные перенапряжения в линии передач при разряде молнии между облаками // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, № 1. С. 128-141.
18. Григорьев Ю. М., Орлова М. Н. Математическая модель волны тока и напряжения в линии передачи // Вестн. Поморск. ун-та. Сер. Естеств. науки. 2010. Т. 1. С. 81—87.
19. Григорьев Ю. М., Борисова М. Н. Обработанные результаты натурных измерений электрических токов в действующем нефтепроводе, наведенных разрядами молний // Наука и образование. 2013. Т. 3. С. 106-111.
20. Орлова М. Н., Григорьев Ю. М. Индуцированные напряжения и токи в линиях передач [Электрон. ресурс] / Св-во о регистрации в ОФЭРНиО № 15359. 11 февраля 2010 г.
21. Clayton R. P. Analysis of multiconductor transmission lines. Wiley & Sons, Inc. 2008.
Статья поступила 25 сентября 2013 г.
Григорьев Юрий Михайлович, Борисова Марфа Николаевна Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, НИИ математики
ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891, Республика Саха (Якутия) grigyum@yandex.ru, omarfa@mail.ru
