Равновесные и квазиравновесные состояния микрогетерогенных многокомпонентных систем с внутренними степенями свободы частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 539.2

РАВНОВЕСНЫЕ И КВАЗИРАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ МИКРОГЕТЕРОГЕННЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ЧАСТИЦ

А.Ю.Захаров, М.И.Бичурин

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Обобщенная решеточная модель многокомпонентных конденсированных систем с учетом внутренних степеней свободы компонентов (дипольных и магнитных моментов атомов компонентов), отличий атомных размеров компонентов, а также дальнодействующих и короткодействующих частей межатомных потенциалов приведена к модели типа Гинзбурга — Ландау — Кана — Хилларда. Получены уравнения для распределения частиц в конденсированных системах в состояниях полного и неполного равновесия. Показано, что при наличии «замороженных» степеней свободы квазиравновесное распределение магнитных и электрических моментов в классической статистике подчиняется уравнению типа Шредингера. Ключевые слова: обобщенная решеточная модель, фазовые равновесия, квазиравновесные состояния, гетерогенные системы, намагниченность, поляризация, уравнение Шредингера

The paper contains an application of the generalized lattice model to multi-component systems with internal degrees of freedom. The dependence of the inter-atomic potentials on the internal degrees of freedoms (such as atomic electric and/or magnetic momentum) taken into account. The Helmholtz free energy functional in the generalized lattice model is reduced to the Ginzburg-Landau-Cahn-Hilliard-like (GLCH) form. Equations for both equilibrium and quasi-equilibrium states in condensed systems are derived. It is shown that equilibrium distribution of the fast internal degrees of freedom by frozen space distribution of the components obeys to the Schrödinger-like equation.

Keywords: generalized lattice model, phase equilibrium, quasi-equilibrium states, heterogeneous systems, magnetization, polarization, Schrödinger equation

Введение

Физические свойства реальных твердотельных гетерогенных систем предопределяются как характеристиками компонентов и их взаимодействий, так и технологией приготовления образцов. Важность технологии обусловлена тем, что полное термодинамическое равновесие в твердотельных системах, как правило, не успевает установиться за время существования образца. Это обстоятельство препятствует прямому применению методов статистической термодинамики к исследованию подобных систем.

Цель данной работы состоит в построении теории микрогетерогенных состояний систем, характеризующихся двумя типами систем свободы:

— быстрые степени свободы, время релаксации которых значительно меньше времени существования образца;

— медленные («замороженные») степени свободы, по которым равновесия не достигнуты за время существования образца.

Теория основана на обобщенной решеточной модели, приведенной к форме типа Гинзбурга — Ландау и Кана — Хилларда (ГЛКХ), в явном виде учитывающей удельные атомные объемы компонентов, дальнодействующие части межатомных потенциалов и наличие внутренних степеней свободы компонентов (электрические и магнитных моменты атомов) [1-3].

Свободная энергия Гельмгольца и функционал Лагранжа

Свободная энергия Гельмгольца системы частиц с внутренними степенями свободы в обобщенной решеточной модели после приведения к форме типа ГЛКХ имеет вид

F=

, 12 ■ ■ ,

(V) , , i, 1=1

,(2)

+ОТ (V +r(2) (V

[ (r )n(r)]. V[p“(r И(r)]

„ [ (r)n (r)]]; (r)n1 (r)]

+Sf ((r )n (r )].v[ (r )n (r)

1 m Г

+1 +Q0) ((r) • D (r))+) ((r) • Mj (r))+

+

+

'г.1=1

+40) ((r) • Mj(r ))]n(r И(r)-

i=1

(E(r )• Dt (r))+((r )• Mi (r ))T ln

h(r)

n(r) J_

i(r )\dr

где Д (г) и М/ (г) — электрический дипольный и магнитный моменты атома /-го компонента, находящегося в точке г, К- (г - г'), <2у (г - г'), Я- (г - г'),

8- (г - г') — соответствующие парные межатомные

потенциалы, К-р),б-р),Яг(р),В—) — моменты соответствующих межатомных потенциалов, определяе-

+

n

мые соотношениями

К-) =| К- (г )|г|рЛ-, р = 0;2;

(V)

п/ (г) — локальная плотность числа частиц /-го ком-

т

понента, п(г) = Уп/ (г), т — число компонентов;

/=1

Е (г), Н(г) — внешние электрическое и магнитное поля. Переменные Щ (г), Д (г),(г) не являются независимыми функциями. Ограничения на них связаны с необходимостью учета короткодействующих частей межатомных потенциалов, сохранением полного числа частиц каждого из компонентов и возможностью изменения ориентаций электрических и магнитных моментов без изменения их абсолютных значений. Соответствующие ограничения представляются в виде следующих условий.

1. Условие плотной упаковки (учет короткодействующего межатомного отталкивания):

(1)

где “/ — удельный объем /-го компонента.

2. Сохранение числа частиц каждого из компо-

нентов:

|п/(г ) & - N/ = 0.

(2)

(V)

3. Фиксация абсолютных значений электрических и магнитных моментов атомов всех компонентов:

(Д (г ))2 - В2 = 0; (М - (г ))2 - М2 = 0. (3)

Для учета перечисленных дополнительных условий введем функционал Лагранжа

Ь=F-Уд

¿-Г

/=1

¡п, (г )(Ь

г - N

L(v)

Л

т ! \ 1т \

-У I-р-[ (г))2 -М2 ]- | ](г)1 У“/ Щ(г)-1 |аТ, (4)

¿=1 (V) (V) V 2=1 '

зависящий от функций п1 (г), Д (г),Mi (г) и неопределенных множителей Лагранжа д/, X/ (г), V/ (г), ¥(г). Этот функционал может быть использован для нахождения распределения компонентов, а также электрических и магнитных моментов как в случае полного, так и частичного равновесия.

Равновесные распределения по всем степеням свободы удовлетворяют системе уравнений, получающихся из условий равенства нулю функциональных производных по п/ (г), Д (г),М1 (г), X/ (г), V/ (г), ¥(г) и частных производных по д/ от

функционала Лагранжа. Квазиравновесные распределения компонентов получаются из равенства нулю функционала Лагранжа по быстрым переменным, а медленные переменные предопределяются технологией изготовления образцов.

Квазиравновесные состояния

Рассмотрим конденсированную систему, в которой «замороженными» степенями свободы являют-

ся перемещения атомов (т.е. п/ (г) предопределены технологией приготовления образца). Быстрыми переменными являются электрические и магнитные моменты компонентов Д (г),М1 (г). В этом случае распределение электрических и магнитных моментов в системе описывается системой уравнений, получающихся приравниванием нулю функциональных производных функционала Лагранжа (4) по всем компонентам векторов Д (г),М1 (г ). Функции п (г ) при этом предполагаются известными (связанными при этом условиями (1) и (2)).

В частном случае бинарной системы, первый из компонентов которой состоит из дипольных частиц, а второй — из частиц с магнитным моментом, уравнения для пространственного распределения электрических и магнитных моментов имеют вид:

Ь( )п1 (г)Ва(г) + В( )п1(г)п2(г)Ма(г) + + Е а (г )п1 (г) - Х(г )п- (г) В а (г ) -

-1{Ь (2) (г).у[в“ [Ц (г )] +

+ В(2) ( (г )-у[ма [)п- (г )]}=

=--6 У'Ь(2) п1 (г )у[ [)п1 (г )]+

+ В(2) п1 (г ) у[ма (г )п- (г )]};

Я ) п2 (г )М а (г )+В п1(г) п2(г) В а (г ) +

+ Н а (г )п2 (г) - v(r )п22 (г) М а (г ) -

- -6 {я (2) (п- ^)-у[ма [)п- (г )]+

+ В(2) ( (г ).у[ (г )п1 (г )]} =

= -1 у. {я (2) п- (г )у[ма (г )п- (г )]+

6

+ В(2) п2 (г)У[В“ (г)п1 (г)]

Введем локальную поляризацию и а (г ) = В а (г )п1 (г)

и локальную намагниченность уа (г ) = Ма (г )п2 (г) (индекс а нумерует декартовы составляющие соответствующих векторов) и с учетом условий (3) приведем эту систему уравнений к виду

- -6 ь(2) А - Ь(0) + Х(г ) _ 6

-1В(2) А - В(0) 6

- - В(2) А - В(0) _6

и а (г ) +

V“ (г) - Еа (г )= 0; и а (г ) +

-1Я(2) А - Я(0) + v(r ) 6

V а(г ) - Н а (г )= 0

= 0. (5)

У( (г)) - В2п2 (г) = 0;

а=1

3

У((г) )2 - М 2 п2(г) = 0

где А — оператор Лапласа. Первое и второе из этих уравнений запишем в матричной форме:

+

-1Q(2) A-Q(0) + X (г) 6

15(2) A - 5(0) 6

-1 R 6

(2),

А-Я(0) + V (г )

и а (г ЯГ Е а (г)' vа (г )А Нv (г^ При отсутствии внешних электрического и магнитного полей это уравнение аналогично матричному

уравнению Шрёдингера для функций и а (г) и V11 (г). Последние два уравнения в системе (5) аналогичны условию нормировки волновых функций в квантовой механике. Именно эти условия делают возможным нахождение неизвестных множителей Лагранжа Х(г), v(r) по аналогии с тем, как условие нормируе-

X

мости волновой функции в квантовой механике позволяет установить спектр.

Этот результат показывает, что в решении проблем классической статистической термодинамики квазиравновесных систем с внутренними степенями свободы могут быть использованы методы квантовой механики.

1. Захаров А.Ю., Бичурин М.И. // Физика и механика материалов: Приложение к Вестнику НовГУ. 2009. №50. С.11-13.

2. Zakharov, A.Yu., Bichurin, M.I. // arXiv:0809.1495v1 [cond-mat.stat-mech] 9 Sep 2008, 17pp.

3. Zakharov, A.Yu., Bichurin, M.I. // arXiv:0910.0861v1 [cond-mat.stat-mech] 5 Oct 2009, 12pp.

X