Равновесные и допустимые исходы для коалиций в игре с отношениями предпочтения Текст научной статьи по специальности «Математика»

то система корневых функций пучка (1), (2) т-кратно полна в Ь2[0,1] при, т < п — 1с возможным конечным дефектом, не превышающим

п

числа ^ [т — 1 — я,-\+.

¡=1+1

Теорема точна в следующем смысле. В [1, с. 58-62] сформулирована теорема об (п — I + 1)-кратной неполноте системы корневых функций частного случая пучка вида (1), (2), краевые условия которых являются полу распадающимися и не зависят от параметра Л. Но доказательство этой теоремы, по мнению автора, настоящей статьи недостаточно убедительно. В [2] при I = п — 1и т = п — I + 1(= 2) получены достаточные условия па корпи {¡^ }П, при которых системы корневых функций пучков вида (1), (2) т-кратно неполны в Ь2[0,1] и имеют бесконечный дефект.

В случае I = 1 из теоремы 1 получаем (п — 1)-кратную полноту корневых функций в Ь2[0,1]. Что же касается п-кратной полноты, то справедлив следующий результат.

Теорема 2. Если выполняется условие (3), I = 1 и а11 = 07 то система корневых функций пучка (1), (2) п-кратно неполна в Ь2[0,1] с бесконечным дефектом.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕЕ1-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вага,бое А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1994. 160 с.

2. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 114-117.

УДК 519.83

Т.Ф. Савина

РАВНОВЕСНЫЕ И ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ ДЛЯ КОАЛИЦИЙ В ИГРЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Вопрос о сохранении оптимальных решений при переходе от одной игры с отношениями предпочтения к другой с помощью гомоморфизма был рассмотрен в работе [1]. В настоящей статье изучается переход к кооперативному аспекту игры, который связан

с образованием в игре коалиций игроков. Вводятся соответствующие принципы оптимальности для игр такого типа и условия связи между оптимальными кооперативными решениями игр, находящихся в отношении гомоморфности.

Для игры игроков N = {1 ,...,п} с отношениями предпочтения О = ((Хг)ге^, А, (рг)ге^, ^) под коалицией понимается произвольное непустое подмножество Т С N. Определим множество стратегий коалиции Т в виде

Хт = П X.

геТ

Т

предпочтения входящих в нее членов. При этом в качестве минимального требования для предпочтения коалиции принимается условие

Рт Рт

0-1 < 0-2 ^ (Уг е Т) 0,1 < 0,2. (1)

В данной статье рассматриваются три типа определения предпочтения коалиций, удовлетворяющие условию (1).

1. Парето-согласование предпочтений игроков

Рт Рг

01 < 02 & (Уг е Т) 01 < 02.

Замечание. При этом симметричная часть отношения

Т

01 & 02 & (Уг е Т) 01 & 02, а строгая часть определена равносильностью:

П < П ^ )(Уг е Т) 01 < 02, 01 <02 & ^ р.

(Зз е Т) 01 < 02.

2. Модифицированное парето-согласование предпочтений

В этом случае строгая часть имеет вид

РТ Рг

01 < 02 & (Уг е Т) 01 < 02, а симметричная часть

01 & 02 & (Уг е Т) 01 & 02.

3. Правило большинства

Рт

01 < 02 &

|г е Т : о1 < п2}

Т

> —

2

Пример. Пусть в игре О трех игроков множество исходов A = = {п, Ь, о, (}. Отношения предпочтения для каждого игрока заданы следующим образом:

< и и Р1 Р1 Л

р1: о < Ь, Ь & о, о & (,

и и <2 <2 ,7

р2: о & Ь, Ь & о, о < (,

р3 р3 р3

р3: о < о, Ь & о, о < (.

Тогда парето-согласованпе предпочтений для коалиции Т = {1, 2} имеет вид

Рт Рт Рт

Рт : П < Ь,Ь < 0,0 < (

рт 7 т Рт

причем строгая часть есть о < Ь, о < «, а симметричная - Ь & о.

Модифицированное парето-согласованпе предпочтений для коалиции

Т = {1, 2} имеет вид: строгая часть есть пустое множество, симметрич-и Рт

пая часть Ь & о.

Для коалиции, состоящей из всех игроков, т.е. для Т = {1, 2,3},

и Рт

парето-согласование предпочтении есть Ь & о.

По правилу большинства отношение предпочтения для Т = {1, 2,3} примет вид

Рт рт Рт

о < Ь, Ь <т о, о < (.

Замечание. Пусть {Т1,...,Тт} - разбиение множества N. Тогда, набор стратегий этих коалиций (хт1 ,...,хТт) определяет единственным образом ситуацию х е X в игре О. Ситуация х характеризуется условием, что проекция ситуации х на Т^ (к = = 1,... , т) совпадает с хТк. Поэтому можно доопределите функцию

реализации правилом: Г (хт1,..., хТт) = Г (х). В частности, если Т — фиксированная коалиция, то определен, исход Г (хт ,х^/т)-

Гомоморфизм одной игры в другую естественным образом продолжается до гомоморфизма стратегий коалиций.

Рассмотрим следующие кооперативные принципы оптимальности для игры О: принцип ^-равновесия и принцип К-допустимости. Пусть К — произвольное семейство коалиций, К С 2м. Определение 1. Стратегия

х^т е Хт называется возраэюением

Т0

рт

коалиции х^/т е Х^/т выполнявтся Г (хт, х^/т) > о.

Исход а называется допустимым для коалиции Т, если у нее не

а

для семейства коалиций КС 2^ (короч е, К-допустимым), если он допустим для всех коалиций этого семейства.

Определение 2. Стратегия хТ £ Ху называется возражением коалиции Т на ситуацию х* £ X, если она является возражением на исход Р (ж*).

Определение 3. Стратегия Жу £ Ху нэзывеются опровсрснсбнисм

рт

ситуации х £ X со стороны коал иции Т, ее ли Р (ху, х^/т) > Р (х).

Ситуация (х0) ^^ = х0 £ X называется ситуацией К-равновесия, если у любой коалиции Т £ К не существует опровержений этой ситуации.

Ситуация К-равновеспя для всех одноэлементных коалиций есть в точности ситуация общего равновесия в игре О [1]. Ситуация К-равновесия для коалиции всех игроков есть в точности оптимальная, по Парето, ситуация.

О

предпочтения тех же игроков Г = , В, (о^)i£N, Ф) и пусть

/ = (^1,..., ф) - гомоморфизм из игры О в игр у Г. Имеют место следующие результаты.

Теорема 1. Если в качестве принципов оптимальности для игр О и Г рассматривать принцип К-допустимости при, парето-согласовании, предпочтений, то строгий гомоморфизм [2] «на» будет контравариантным.

Теорема 2. Если в качестве принципов оптимальности для игр О и Г рассматривать принцип К-допустимости при, парето-согласовании, предпочтений, то регулярный гомоморфизм «на» будет ковариантным.

Теорема 3. Если в качестве принципов оптимальности для игр О и Г рассматривать принцип К-равновесия при, модифицированном парето-согласовании, то строгий гомоморфизм «на» будет контравариантным.

Теорема 4. Если в качестве принципов оптимальности для игр О и Г рассматривать принцип К-равновесия при, модифицированном парето-согласовании, то регулярный гомоморфизм «на» будет ковариантным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савина Т.Ф. Ковариантные и контравариантные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 9, вып. 3. С. 66-70.

2, Савина Т.Ф. Гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения // Дискретная математика и ее приложения: материалы X Междунар, семинара, Москва, 1 6 февр, 2010 г, М,: Изд-во мех.-мат, фак, Моск. ун-та, 2010, С, 426-428,

УДК 517.518.85

С.П. Сидоров

ОЦЕНКА ЛИНЕЙНОГО ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПОПЕРЕЧНИКА ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Найдена оценка линейного относительного поперечника одного класса дифференцируемых функций.

Пусть Cк[0,1], k ^ 0, есть пространство действительнозначных и k раз непрерывно дифференцируемых функций на [0,1], D% означает оператор дифференцирования г-го порядка, а = (а^^о _ последовательность с а8 £ {—1,0,1} и h, k — два целых числа таких, что 0 ^ h < k и ah • ак = 0.

Следуя [1], в работе рассматриваются конуса функций Ch,k(а), производные некоторых порядков которых имеют фиксированный знак на [0,1]:

Ch,k(а) := {f £ Ck[0,1] : а • Df ^ 0, г = h,... , k}.

Обозначим а[r] = (а|г])к=ш o[r] = ау и а[г] = 0, тел и г = r.

Обозначим Пк подпрострапство C[0,1], порожденное системой функций {ео, ei,... , вк}, где e*(t) = t\ Pk = {p £ Пк : ||Dkp^c[0,1] < 1}

Пусть V есть некоторый конус в C[0,1]. Определим линейный относительный n-поперечник множества A С Ck[0,1] в C[0,1] для Dr V

$rn(A, V)c[o,i] := inf sup ||Drf - DrLnf ||c[0,1],

Ln(V) f£A

где Ln(V) есть множество всех линейных операторов Ln : Ck[0,1] ^ ^ Cr[0,1] конечного pанга < n таких, что Ln(V) С V.

В следующей теореме находится линейный относительный n-поперечник множества Рк в C[0,1] для Dr с ограничением Ch,k(а).

Теорема. Пусть Ch,k(а) — конус такой, что Г = {г : h ^ г < < k, а = 0, =0, а • = -1} = 0 и пусть r £ Г. Тогда,

5rn (рк, Ch,k(а))c[o,i] х Пк-Г.