О полных семействах гомоморфизмов игр с отношениями предпочтения Текст научной статьи по специальности «Математика»

то имеют место соотношения 1

р у°(х, Л; ]) ¿Л = /°(х) + о(1) при V ^ то,

--® V(х, Л; /) ¿Л = /1(х) + о(1) при V ^ то.

2пиг„

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М.. 1969, 528 е,

2, Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Исследования по теории операторов, : сб. науч. тр. Уфа, 1988, С. 182-193.

УДК 519.83

Т. Ф. Савина

О ПОЛНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГОМОМОРФИЗМОВ ИГР С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Для игр с отношениями предпочтения вида О = ((Х{){€^, А, (Рг){ен , ^) как для алгебраических систем [1] естественным образом введено понятие гомоморфизма [2]. Вопрос о сохранении оптимальных решений при переходе от одной игры с отношениями предпочтения к другой с помощью гомоморфизма был рассмотрен в работе [3] на базе условий ковариантности и контравариантности гомоморфизмов. В настоящей статье дано точное описание множества оптимальных решений [4] игры на основе полноты семейства гомоморфизмов.

Оптимальными решениями в игре являются ситуации равновесия и допустимые (вполне допустимые) исходы. Введем соответствующие определения.

Определение 1. Ситуация х0 = (х°). м Е X в игре О называется

• ситуацией общего равновесия^ если для каждого г Е N и любых

Рг

х{ Е Х{ выполнено уеловие ^(х° || х{) ^ ^(х°);

Рг

• ситуацией равновесия по Нэшу, если выполняется ^(х° || х{) < ^(х°).

92

Определение 2. Исход a называется

• допустимым в игре G, если для каждого игрока i G N выполнено - (Зжг G Xi) (VxW\i G XN\i) F (xt, xN\i) > a,

• вполне допустимым в игре G, если для каждого игрока i G N выпол-

Pi

нено (3^N\i G Xn\^ (Vxi G Xi) F (xt, xnv) ^ a.

Пусть К и K - два класса игр с отношениями предпочтения множества игроков N = {1 ,...,n}. Зафиксируем в этих классах некоторые принципы оптимальности; будем обозначать через OptG множество оптимальных решений игры G = {(Xi)ieN, A, (pi)ieN ,F) G К, через Opt Г - множество оптимальных решений игры Г = ((Yi)^N , B, (&i)ieN , Ф) G K.

Определение 3. Набор отображений f = ..., pn, ф) где : Xi ^ Yi (i G N) и ф: A ^ B кжыв^тся гомоморфизмом игры G в игру Г если для любого индекса i G N, любых элементов ai, a2 G A и любой ситуации x = (xi,...,xn) G X выполняются следующие два условия:

Homl: ф^(xi,..., Xn)) = $(^i(xi),... , Pn(xn)),

Pi Gi

Hom2 ai < ^ ф(al) < ф(a2). f G Г

iGN

Pi Gi

Str: ai < a2 ^ ф(al) < ф^2).

H

К K H

(К, K)

G G К Г G K f G H f

оптимального решения игры G есть оптимальное решение в игре Г, и

(К, K)

G G К Г G K f G H f

оптимального решения игры Г есть оптимальное решение в игре G. Определение 5. Семейство гомоморфизмов (fj)jGj называется ко-

p G Opt G

сугцествует такой индекс j G J, что fj (p) G Opt Гj.

Семейство гомоморфизмов (fj)jgj называется контравариантно полным,, если условие «f j (p) G Opt Г для вс ex j G J» влечет p G OptG.

93

Лемма

1. Семейство гомоморфизмов (fj)jej является ковариантно полным семейством контравариантных гомоморфизмов тогда и только

тогда, когда, выполнено равенство: OptG = У f- (Opt Гj).

j J

2. Семейство гомоморфизмов (fj)jЕJ является контравариантно полным семейством ковариантных гомоморфизмов тогда и только тогда,, когда, выполнено равенство: OptG = f] f- (Optrj).

j J

Пусть К - класс игр с упорядоченными исходами, K - класс игр с линейно упорядоченными исходами. В качестве оптимальных решений игры G Е К возьмем множество ее ситуаций равновесия, в качестве оптимальных решений игры Г Е K - множество ее ситуаций равновесия по Нэшу. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1

1. Относительно указанны,х классов игр и их оптимальных решений все строгие гомоморфизмы являются контравариантными.

2. Для каждой игры G Е К семейство всех ее строгих гомоморфизмов в игры класса K является ковариантно полным.

Схема доказательства. Зафиксируем две игры G Е К, Г Е K и некоторый гомоморфизм f го игр ы G в игр у Г.

Доказательство утверждения 1 проводится методом от противного. Предполагая, что ситуация ж° = (ж°,..., ж^) не будет ситуацией общего равновесия в игре G, толучаем противоречие с тем, что ситуация ^>(ж°) = = (^i(x°),..., ^п(жП)) является ситуацией равновесия по Нэшу в игре Г.

Доказательство утверждения 2 сводится к нахождению строгого го-f G Г

ченными исходами такого, что для каждой ситуации общего равновесия ж° игры G ситуация ^(ж°) будет ситуацией равновесия по Нэшу в Г

лемме 2 [5]. Ситуация ж° будет ситуацией равновесия по Нэшу в игре Г = ((Xj)^N , A, (pi)ieN , F) с линейно упорядоченными исходами. При этом набор тождественных отображений (Axi ,..., Axn, Aa) будет строгим гомоморфизмом из игры G в игр у Г.

Теорема 1 доказана.

Далее, для тех же классов игр рассмотрим следующие типы оптимальных решений. В качестве оптимальных решений игры G Е К возьмем множество ее ситуаций равновесия по Нэшу, в качестве оптимальных решений игры Г Е K - множество ее ситуаций равновесия по Нэшу. Тогда справедлива

Теорема 2

1. Относительно указанных классов игр и их оптимальных решений все строгие гомоморфизмы являются ковариантными.

2. Для каждой игры С € К семейство всех ее строгих гомоморфизмов в игры класса Ж является контравариантно полным.

Схема доказательства. Зафиксируем две игры С € К, Г € Ж и некоторый гомоморфизм / го игр ы С в игр у Г.

1. Применяя последовательно свойства гомоморфизма Яош2, Нот1 к ситуации равновесия по Нэшу х0 в игре С, получаем, что ситуация ^>(х°) является ситуацией равновесия по Нэшу в игре Г.

2. Доказательство проводится методом от противного с применением леммы 2 [5]. Рассмотрим игру , А, , ^) = Г, в которой для игрока г° отношение порядка есть р^о, а для всех остальных игроков ] = г° отношен не рj■ есть любое линейное доупорядочение порядка р-. В игр е Г с линейно упорядоченными исходам и ситуация х° не будет ситуацией равновесия по Нэшу, а система тождественных отображений ^ = Дхi (я € N); ф = Да является строгим гомоморфизмом из игры С

Г

положению о том, что ситуация ^>(х°) является ситуацией равновесия по Нэшу в игре с линейно упорядоченными исходами.

Теорема 2 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Богомолов Л. Л/.. Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М, : Наука. Физматлит, 1997. 368 с.

2. Савина Т. Ф. Гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения // Дискретная математика и ее приложения: материалы X Международного семинара: Москва, 1

6 февраля 2010 г.. М,: Издательство механико-математического факультета МГУ, 2010. С. 426-428.

3. Савина Т. Ф. Ковариантные и контравариантные гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009, Т. 9, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 3, С, 66-70,

4. Савина Т. Ф. Оптимальные решения в играх с отношениями предпочтения // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2011, Т. 11, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 2, С, 32—36,

5. Розен В. В. Редуцируемоеть оптимальных решений игр с упорядоченными исходами // Теория полугрупп и ее приложения. Вопросы аксиоматизации, 1988, С. 50-60.