Оптимальные решения в играх с отношениями предпочтения Текст научной статьи по специальности «Математика»

всплеск-функций, определяемый равенствами (£) = (М*-1 £)</3(М*-1£), с такими масками ти, V = 1,..., т — 1, что при почти всех £ е К матрица

М := (т^(£ + М*-1 )}т-1о,

где (в0,..., 5то-1} — произвольный набор цифр матрицы М*, унитарна, то функции ), V = 1,... ,т — 1 образуют набор всплеск-функций.

Если применить такой подход к описанному выше случаю КМА Хаара с масштабирующей функцией Х[о,1]2 (х, у) и матричным коэффициентом расширения М = ^ ^ , мы получим, что функции (1) должны удовлетворять равенствам

ft (С) = m(M-1C)X[0,1]2(M—10, i = 1,3, С = (6,6) е R2.

г— 1

я<г-1 / 1/2 0 \ Л _ , , (е-2п^ — 1)(е-2™«2 — 1) Откуда, учитывая, что М 1 = I о ^ I , ;\:[о,1]2 (£1, £2) =-—4п2£1£2-' можно вычислить функции т^ (£ь£2), г = 1,3. Например,

a11 a12(e—4niÎ2 - e—2niÎ2) a13(e—4niîl - e—2niîl)(e—4niÎ2 - e—2niÎ2)

mi(С1 'С2) = Х+ 4(e—2-Î2 - 1)

+

+

4(e—2niîi - 1)(e—2niÎ2 - 1)

a14 (e—4nigl - e—2nigl ) 4(e—2ni?i - 1)

+

и т.д. Таким образом, для построения функций (1), изображенных на рис. 1, нужно найти такие коэффициенты a^, i = 1,3, j = 1,4, чтобы матрица M = (m^(£ + M-1sk)}3k=0, где в качестве цифр матрицы M (s0, si, s2, S3} взяты, например, ((0, 0), (0,1), (1,0), (1,1)}, была унитарной. Решить такую задачу весьма непросто.

Библиографический список

1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Тео- constant wavelets // Electronic Transactions on рия всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 c. Numerical Analysys. 2006. Vol. 25. P. 138-157.

2. Hur Y, Ron A. New constructions of piecewise-

УДК 519.83

ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Т.Ф. Савина

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]

Для игр n лиц с отношениями предпочтения введены различные типы оптимальных решений и указаны элементарные свойства этих решений. Получено достаточное условие непустоты Ca -ядра.

Ключевые слова: игра с отношениями предпочтения, ситуация общего равновесия, равновесие по Нэшу, допустимый (вполне допустимый) исход.

Optimality Solutions in Games with Preference Relations T.F. Savina

Saratov State University, Chair of Geometry E-mail: [email protected]

For n person games with preference relations some types of optimality solutions are introduced. Elementary properties of their solutions are considered. One sufficient condition for nonempty Ca-core is found.

Keywords: game with preference relations, equilibrium points, Nash equilibrium, acceptable (quite acceptable) outcome.

© Савина Т.Ф., 2011

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе изучаются игры, в которых оценочная структура задается в виде бинарных отношений предпочтения на множестве исходов игры. Никаких ограничений на множества стратегий игроков и на тип отношения предпочтения a priori не накладывается.

Для игр n лиц введены следующие типы оптимальных решений: ситуации общего равновесия[1,2], ситуации равновесия по Нэшу, допустимые и вполне допустимые ситуации или исходы.

В первом разделе рассмотрены антагонистические игры с отношениями предпочтения. Второй раздел посвящен играм n лиц. Основной результат работы — теорема 3, в которой установлены условия непустоты Са-ядра в игре n лиц с отношениями предпочтения.

1. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Определение 1. Антагонистическая игра с отношениями предпочтения может быть задана в виде

G = (X, YA, р, F), (1)

где X — множество стратегий игрока 1, Y — множество стратегий игрока 2, A — множество исходов, р С A2 — бинарное отношение, выражающее предпочтения игрока 1, F: X х Y ^ A — функция реализации. Предполагается, что отношение предпочтения р является рефлексивным.

Через рs обозначается симметричная часть отношения р, через р* — строгая часть отношения р: ps = р П р-1, р* = р \ рв.

Мы используем инфиксную запись предпочтения, полагая по определению:

р р Р

ai < «2 ^^ (ai, a2) Е р; ai ~ a2 ^^ (ai,a2) Е рs; ai < a2 ^^ (ai,a2) Е р*.

Для игры G вводятся следующие типы ситуаций равновесия.

Определение 2. Ситуация (xo, yo) Е X х Y называется

• ситуацией общего равновесия, если для любых x Е X, y Е Y выполняются условия:

рр

F(x, yo) ^ F(xo, yo) ^ F(xo, y); (2)

• ситуацией пролонгированного равновесия, если

р

F(x, yo) ^ F(xo, y); (3)

• седловой точкой, если выполняются условия:

рр

F(x, yo) < F(xo, yo) < F(xo, y). (4)

Множества указанных ситуаций равновесия в игре G обозначаются через Eq (G), PrEq (G), Sp (G) соответственно.

Простые примеры показывают, что даже в конечной игре с «хорошей» структурой предпочтений (например, когда (A, р) есть линейная транзитивная структура) могут отсутствовать ситуации равновесия всех введенных выше типов. С другой стороны, игра вида (1) может иметь несколько седловых точек, исходы в которых различны.

Теорема 1 (элементарные свойства ситуаций равновесия).

1. В антагонистической игре G с отношениями предпочтения вида (1) для рассматриваемых множеств ситуаций равновесия имеют место включения: а) Sp(G) С Eq(G), б) PrEq(G) С Eq(G). Обратные включения в общем случае не имеют места.

2. В антагонистической игре с транзитивной структурой предпочтения выполняется включение: Sp(G) С PrEq(G).

3. В антагонистической игре с линейной транзитивной структурой предпочтений рассматриваемые множества ситуаций равновесия совпадают между собой: Sp(G) = PrEq(G) = = Eq(G).

Доказательство. 1. а) £р(С) С Ед(С). Пусть (х°, у°) е (С). Предположим, что (х°,у°) /

р р

/ Ед (С). Тогда найдутся такие х' е!, у' е К, что выполняется Е (х', у0) > Е (х°, у0) или Е (х°, у') < р

< Е(х°,у°). Пусть, для определенности, имеет место первое условие. Тогда, подставляя в определе-

р р

ние (4) х = х' , получаем Е(х', у0) < Е(х0, у0), что несовместимо с Е(х', у0) > Е(х0, у0).

б) РгЕд (С) С Ед (С). Пусть (х0, у0) е РгЕд (С). Полагая в (3) х = х0, а затем у = у0, получаем рр

Е(х0, у0) ^ Е(х0, у) и Е(х, у0) ^ Е(х0, у0), т.е. (х0, у0) — ситуация общего равновесия.

2. Рассмотрим игру С с транзитивной структурой предпочтений. Пусть (х0, у0) е (С).

Предположим, что (х0, у0) / РгЕд (С), тогда при некоторых х' е Х, у' е У выполняется

р

Е(х', у0) > Е(х0, у'). Полагая в (4) х = х', у = у', получаем

р р

Е(х', уо) < Е(хо, уо) < Е(хо, у'),

р

откуда в силу транзитивности отношения р получаем Е(х', у0) < Е(х0, у'), что противоречит соот-

р

ношению Е(х ', у0) > Е(х0, у').

Таким образом, для игры с транзитивной структурой предпочтений выполняются включения: (С) С РгЕд (С) С Ед (С).

3. Достаточно показать, что Ед (С) С (С). Справедливость этого включения следует из линейности отношения р.

Теорема 1 доказана.

2. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ И ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ В ИГРАХ п ЛИЦ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Игра с отношениями предпочтения игроков N = {1,... ,п} задается в виде

С = <(Хг)г^ , А, (рг)г^ ,Е>, (5)

где Хг — множество стратегий игрока г, А — множество исходов, рг С А2 — рефлексивное бинарное отношение, выражающее предпочтения игрока г (г е N), Е — функция реализации, определенная на множестве ситуаций X = Х1 х ... х Хп и принимающая значения в множестве исходов А. Определение 3. Ситуация х0 = (х°) ^ е X в игре С называется

• ситуацией общего равновесия, если для любых хг е Хг выполняется

рг

Е(х° II хг) ^ Е(х°); (6)

• ситуацией равновесия по Нэшу, если выполняется

рг

Е(х° I хг) < Е(х°). (7)

Заметим, что для антагонистической игры ситуации равновесия по Нэшу совпадают с седловыми точками.

В игре С вида (5) по-прежнему обозначаем через Ед (С) множество ситуаций общего равновесия, через NEq (С) - множество ситуаций равновесия по Нэшу.

В игре с линейной структурой предпочтений выполняется NEq (С) = Ед (С). Определение 4. В игре С вида (5) исход а называется

рг

• допустимым для игрока г (г е N), если -(3 хг е Хг)(У хN\г е Х^\г) Е(хг,х^\г) > а,

рг

• вполне допустимым для игрока г, если (3 хN\г е XN\г)(У хг е Хг) Е(хг,х^\г) ^ а. Определение 5. Исход а называется допустимым (вполне допустимым) в игре С, если он

допустим (вполне допустим) для всех игроков.

Определение 6. Ситуация х° = (х°)г^ е Х называется допустимой (вполне допустимой) в игре С, если исход Е(х°) допустим (вполне допустим) в игре С.

Через АС (С) (^АС (С)) будем обозначать множество допустимых (вполне допустимых) ситуаций в игре С.

34

Научный отдел

При переходе от ситуаций к исходам в обозначениях соответствующих множеств добавляем сверху черту.

Множество всех допустимых исходов игры С также называется Са-ядром (обозначение Са(С)).

Теорема 2 (основные свойства оптимальных решений в игре п лиц). В любой игре С вида (5) выполнены включения:

ХЕд (С) С Ед (С) С дАС (С) С АС (С).

Обратные включения в общем случае не выполняются.

Доказательство. Включение ХЕд(С) С Ед (С) доказывается аналогично доказательству включения (С) С Ед (С) в теореме 1.

Включение дАС (С) С АС (С) следует из логического закона перестановки разноименных кванторов (ЗУ ^У З).

Установим включение Ед (С) С дАС (С). Пусть хо = (хо) ^ е Ед (С). Для игрока г имеется стратегия х^\г е Х^\г такая, что для любых хг е Хг выполняется (6). Получаем в точности определение вполне допустимой ситуации. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Простые примеры показывают, что все установленные включения являются строгими.

Замечание 2. Из теоремы 2 следует, что имеет место цепочка включений для исходов игры С:

ХЕд (С) С Ед(С) С дАС (С) С АС (С).

Замечание 3. В некоторых классах игр с отношениями предпочтения отдельные включения могут быть заменены на равенства, например, в антагонистической игре с линейной и антисимметричной структурой предпочтений выполняется ХЕд (С) = дАС (С). Действительно, включение ХЕд (С) С дАС (С) справедливо по замечанию 2 к теореме 2. Проверим, что верно обратное включение. Пусть а е дАС (С), тогда выполняются два условия

р

(З хо е X)(У у е У) Е(хо, у) ^ а,

р

(З уо е У) (У х е X) Е(х, уо) ^ а.

В силу линейности структуры предпочтений имеем:

рр

Е(х, уо) < а < Е(хо, у). (8)

рр

Полагаем в (8) х = хо, у = уо, получаем Е(хо, уо) < а < Е(хо, уо). В силу антисимметричности структуры предпочтений Е(хо, уо) = а. Тогда, подставляя в соотношение (8) Е(хо, уо) вместо а, получаем, что ситуация (хо, уо) является ситуацией равновесия по Нэшу. Таким образом, а е ХЕд (С).

В общем случае бесконечная игра даже с линейной и транзитивной структурой предпочтений может не иметь допустимых, а значит, вполне допустимых исходов, а значит, ситуаций общего равновесия и ситуаций равновесия по Нэшу. Однако для конечной игры можно указать простые достаточные условия, накладываемые на отношения предпочтения игроков, при которых допустимые исходы существуют.

В частности, справедлив следующий результат.

Теорема 3. Пусть С — игра с отношениями предпочтения вида (5), в которой множество стратегий каждого игрока конечно и все отношения предпочтения рг ацикличны. Тогда С а (С) = 0.

Для доказательства теоремы нам понадобиться следующая лемма.

Лемма. Если С — игра с отношениями предпочтения вида (5), в которой множество исходов А конечно и все отношения предпочтения рг ацикличны, то существует исход, допустимый для всех игроков.

Доказательство леммы. Будем обозначать через и* (С) множество недопустимых исходов для игрока г.

1 случай. и* (С) = 0 при всех г е N. Тогда любое непустое подмножество и* (С) множества А имеет максимальный элемент а* относительно рг. Так как а* е и* (С), то при каждом г е N найдется такая стратегия хо е Хг, что

(V yelNv) F(x0,y) > a

(9)

Таким образом, в ситуации х0 = (х0,... , хП) все соотношения (9) будут выполнены одновременно,

п Р*

т.е. для каждого г £ N выполняется Е(х0) > а*. Так как при любом г £ N элемент а* является максимальным в подмножестве Ц*(С), то из последнего соотношения следует, что Е(х0) / Ц*(С), т.е. исход Е(х0) является допустимым для всех игроков г £ N. Таким образом, Са(С) = 0.

2 случай. Предположим, что для некоторого г £ N имеет место Ц* (С) = 0. Положим К = {г £ N: Ц*(С) = 0}. В каждом непустом подмножестве Ц*(С) (^ £ N \ К) множества А существует максимальный элемент а*. Так как а* £ Ц*(С), то по определению множества Ц*(С)

Рз

существует такая стратегия х0 £ Х^-, что для любой стратегии у £ Х^имеет место Е(х^у) > а*, .7 £ N \ К.

Для каждого ^ £ К зафиксируем произвольно стратегию х0 £ Х^. Тогда в ситуации х0 = (х0)г£^ будет выполнено

Р (10)

Pj

F (x0) >a*, jeN \ K.

Так как а* — максимальный элемент непустого подмножества Ц* (С), то согласно (10) получаем Е(х0) / Ц* (С) для ^ £ N \ К, т.е. Е(х0) допустим для всех игроков ^ £ N \ К. Так как для любого ^ £ К имеет место Ц* (С) = 0, то любой исход игры С будет допустимым для игрока ^ £ К. Таким образом, исход Е(х0) будет допустимым для всех игроков г £ N в игре С, т.е. Са(С) = 0. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Рассмотрим игру С0, которая является ограничением игры С на множестве рг2 Е ее реализуемых исходов. В силу предположений теоремы рг2 Е является конечным множеством и ограничения отношений р^ на этом множестве являются ацикличными. В силу леммы существует исход а*, допустимый для всех игроков в С0. Очевидно, что а* также будет допустимым в игре С. Теорема 3 доказана.

Библиографический список

1. Розен В.В. Равновесие в играх с упорядоченными 2. Савина Т.Ф. Ковариантные и контравариантные го-

исходами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. моморфизмы игр с отношениями предпочтения // Изв.

Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика.

С. 61-66. Механика. Информатика, вып. 3 С. 66-70

УДК 517.956

ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ НА ВСЕЙ ГРАНИЦЕ ДЛЯ ОДНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

Е.А. Уткина

Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казань,

кафедра информационных технологий в образовании E-mail: [email protected]

В характеристическом прямоугольнике на плоскости рассматривается задача об отыскании решения уравнения со старшей частной производной шестого порядка с данными на всей границе. Выводятся достаточные условия единственности решения этой задачи. Эти условия записываются в терминах коэффициентов уравнения, а проводимые рассуждения основаны на методе априорных оценок.

Ключевые слова: задача с условиями на всей границе, метод априорных оценок.

Problem with Conditions on all Boundary for One 6-th Order Pseudoparabolic Equation

E.A. Utkina

Tatar State Humanitarian-Pedagogical University, Kazan, Chair of Information Technology in Education E-mail: eutkina1 @yandex.ru

Here consider characteristic problem with conditions, setting on all boundary, in two order space for 6th order equation with 3-times taken old particular derivative. The existence and uniqueness of the solution are proved.

Key words: problem with conditions on all boundary, preliminary evaluate method.

*

© Уткина Е.А., 2011