Равновесие в сделках с фиксированными ценами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8 ББК 22.18я73

В. В. Мазалов, Ю. С. Токарева

г. Чита, Россия

Равновесие в сделках с фиксированными ценами 1

Рассмотривается игра двух лиц с неполной информацией. Продавец и покупатель обьявляют цену на товар. Предполагая, что резервные цены продавцов и покупателей имеют известное распределение на рынке, находятся условия, при которых между ними происходит сделка.

Ключевые слова: переговоры, сделка, равновесие, резервные цены.

V. V. Mazalov, J. S. Tokareva

Chita, Russia

Equilibrium in Bargaining Models with the Fixed Prices

Two-person game with the incomplete information is consi-dered in the article. The seller and the buyer declare the prices for the goods. Assuming that the reservation prices of sellers and buyers are random variables with the known distribution functions in the market, we derive the conditions in which the transaction takes place.

Keywords: negotiations, transaction, equilibrium, reservation prices.

При заключении сделок на рынке проводятся переговоры, участниками которых являются продавцы и покупатели. В последнее время такие сделки наиболее часто организуются с помощью системы электронных торгов. Данная система позволяет продавать и покупать различные товары и услуги в виде аукциона и имеет достаточно большое количество преимуществ (прозрачность сделок, экономия времени, расширение рынка сбыта и т.д.). Существуют различные механизмы организации таких переговоров. В работе [1] проанализированы три механизма формирования сделки: переговоры, двусторонний и многосторонний двойной аукционы. Всесторонний обзор классической теории аукционов представлен в сборнике [3]. В данной работе мы рассмотриваем модель двухстороннего аукциона Чаттерджи и Самуэльсона [2].

Рассмотрим игру двух лиц с неполной информацией. Игроки здесь I (Продавец) и II (Покупатель). Каждый из игроков обладает приватной информацией, которую не знает другой игрок: для Продавца - это затраты на производство товара s, а для Покупателя - его оценка данного товара b. Эти цены обычно называют резервными ценами. Предположим, что резервные цены и продавцов и покупателей распределены на рынке с какой-то функцией распределения. Т. е., если мы случайным образом выбираем продавца и покупателя на рынке, то их резервные цены s и b есть независимые случайные величины с известным распределением на интервале [0,1]. В работе [2] было найдено равновесие в игре для случая, когда резервные цены и продавцов и покупателей равномерно распределены на рынке. В данной работе мы находим равновесие по Нэшу для неравномерных распределений.

Игроки появляются на рынке и объявляют цену на товар (не обязательно совпадающую с резервными ценами). Мы будем считать их функциями от резервных цен, соответственно S = S (s) и B = B(b). Сделка происходит, если B > S. Естественно считать, что S (s) > s и B(b) < b, т. е. продавец завышает, а покупатель занижает истинную цену на продукт, чтобы получить дополнительный доход от данной сделки. Если сделка состоялась, то будем считать, что она происходит по цене (S(s) + B(b))/2.

-'-Работа выполнена при финасовой поддержке проекта 1.8.10 АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» и гранта РФФИ проект 10-01-00089-а.

© Мазалов В. В., Токарева !Ю. С., 2011

103

Естественно считать выигрышами в данной игре разницу между резервными ценами и ценой сделки, т.е. для продавца это (S(s) + B(b))/2 — s и для покупателя b — (S(s) + B(b))/2. Поскольку b и s - случайные величины, в качестве выигрышей рассмотрим средние значения

fS(s) + B(b) \т Hs(B,S) — Eb,s I ------^--------s J I{B(b)>s(s)} (1)

и

TTfpc, F Л S(s) + B(b)\

Нь(В,Ь) = hb}S 16------------- I l{B(b)>s(s)}- (2J

Стратегиями в данной байесовской игре являются функции B(b) и S(s). Логично предположить, что это неубывающие функции, поскольку чем больше затраты у продавца или оценка стоимости предмета у покупателя, то и предложения игроков должны быть больше. Нас интересует байесовское равновесие в игре с функциями выигрыша (1)-(2).

Предположим, что резервные цены продавцов и покупателей s и b - независимые случайные величины. Обозначим соответствующие функции распределения и их плотности через F (s), f (s), s G [0,1] и G(b),g(b),b G [0,1], соответственно.

Предположим, что Продавец использует стратегию порогового типа (см. рис. 1):

N fa если s < a,

S (s) = < 1

Is если a < s < 1,

Рис.1. Стратегия продавца

Для малых значений резервных цен, продавец устанавливает фиксированную цену а, и только если в превышает значение а, он называет истинную цену в.

Найдем наилучший ответ Покупателя для различных значений параметра Ь. Заметим, что сделка происходит только если резервная цена покупателя Ь не меньше а. Если же Ь > а, то сделка может произойти при условии, что В > Б (в).

Вычислим выигрыш Покупателя

Hb(B,S) = eJ b —

S(s) + В 2

I

{B>S(s)}

ГО 'b - f(s)ds + Г (b - S-^ I f(s)ds.

Ю

2

> a

2

Производная этой функции имеет вид

dHb-(h p)f(p) F{B) — -(b-B)f(B)-—.

(3)

Отсюда следует, что если на отрезке [а, 1] значений величины В выражение (1 — B)f(B) — неположительно, то и производная (3) будет неположительна, и тогда максимум выигрыша будет достигаться при В(Ь) = а (Ь € [а, 1]).

Отсюда следует следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть стратегия Продавца имеет вид Б (в) = тах{а, в}. Тогда, если для всех х € [а, 1] выполняется условие

(1-*)/(*)-^<0,

то наилучшим ответом Покупателя является стратегия В(Ь) = тт{а, Ь}.

Аналогичные рассуждения можно провести и для Покупателя. Предположим, что Покупатель использует стратегию В(Ь) = тш{а, Ь} (см. рис. 2), т.е. для больших значений Ь он устанавливает фиксированную цену а, а для малых значений Ь < а он называет истинную цену.

Рис.2. Стратегия покупателя

Выигрыш Продавца равен

Я8(В,5 ) = Еь га / Ь + 5

Б + В(Ъ) 2

1{Б(Ь)>Б)}

'Б

Находим производную

(4)

(в - 5Ж5) +

1 - С(5)

дБ ^ ■ 2

Отсюда, если для всех х € [0, а] меет место неравенство

, ч 1 - С(х)

-хд(х) Н--- ---- > 0,

то и производная (4) будет неотрицательна.

Лемма 2. Пусть стратегия Покупателя имеет вид В(Ь) = тт{а, Ь}. Тогда, если для всех х € [0, а] выполняется условие

, ч 1 - С(х)

х9{х)------Ту--- <

то наилучшим ответом Продавца является стратегия Б (в) = тах{а, в}.

Из лемм 1 и 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема. Пусть для некоторого а € [0,1] выполняются следующие условия:

(1 — ж)/(ж)-----< 0, х € [а, 1]

, ч 1 - С(х) „ г„ п

хд(х)----------- < 0, х (Е [0, а].

Тогда оптимальными стратегиями в задаче о сделках являются стратегии

Б(в) = тах{а, в}, В(Ь) = тт{а, Ь}.

При этом, область сделки имеет вид, изображенный на рис. 3

Таким образом, при выполнении условий теоремы сделка всегда происходит по фиксированной цене а.

Пример 1. Нетрудно видеть, что условия теоремы выполняются для распределений

^(в) = 1 - (1 - в)”, С(Ь) = Ь”, п > 3 при значении а = 1/2. В этом случае равновесие имеет вид

і '

/ і / 1 / 1

/ : ;

V Л I *s

Рис. 3. Область сделки

S(s) = max{^, s}, В(Ъ) = min{^, b}.

При этом, ожидаемые выигрыши составляют величину

г-1

НЬ = Н3= I nbn~1db Г {1/2 - s)n{l - s)71-1 ds = ^ ±м‘ь

(2n - 1) (2n(n - 1) + 1)

2(n + 1)4n

которые при увеличении n сходятся к 1/2 (при n = 3 Hb = Hs = 0.232).

Пример 2. Рассмотрим модель со следующими распределениями

F (s) = 1 - Vl-Ъ, G(b) = ifs.

Проверяя выполнение условий теоремы, получаем систему неравенств следующего вида:

х < і 0

— У 2+n

Полученная система не имеет решений при n > 2. Таким образом, для данных распределений условия теоремы не выполняются.

Пример 3. Теперь рассмотрим противоположную модель. Пусть

F (s) = ÿs, G(b) = 1 - v7! -b.

В данном случае условия теоремы выполняются для всех а €

2 n 2+n^ 2+n

, n > 2. При использовании

игроками оптимальных стратегий выигрыши Продавца и Покупателя равны

Г1 1 !-*> Га 1 1-„ п ,-------------

Н8= — (1 — Ъ) " db — (о — в)в " (¿в =-------\/(1 — о)оп+1;

Л п ./о п п + 1

/»1 -I 1 гг 1 Г)

Нъ = —(Ь — а)( 1—Ь)п с!Ь I —в п ¿в =---------------д/(1 — а)п+1а.

./а п ./0 п п + 1

В таблице 1 представлены значения выигрыша для трех значений п и некоторых значений а

Таблица 1

Выигрыши игроков

и

2

п а на Нъ

2 1 2 0,1667 0,1667

3 2 Б 0,1864 0,2797

3 1 2 0,2362 0,2362

3 3 Б 0,2797 0,1864

4 1 3 0,1831 0,3662

4 1 2 0,2828 0,2828

4 2 3 0,3662 0,1831

В случае a = 1/2 имеем Hs = Нь и выигрыши игроков при увеличении n сходятся к 1/2. В случае a =1/2 выигрыши Продавца и Покупателя разные.

Интересно заметить, что равновесием являются ситуации с ценой a, соответствующей крайним значениям допустимого множества. Для Продавца выгоден крайний правый конец отрезка, для Покупателя - крайний левый. При этом происходит дискриминация одного из игроков, один из них получает почти весь выигрыш от сделки, а другой ничего. Так при и -я» и a = выигрыш Продавца (а при a = - выигрыш Покупателя) стремится к нулю. Данная ситуация схожа с

классической игрой «семейный спор». Справедливым решением является, конечно, сделка с ценой a = 1/2.

Список литературы

1. Зенкевич Н.А. Механизмы заключения сделки на В2В рынках: Сравнительный анализ // Вестник СПбГУ. Серия Менеджмент, 2008. Вып. 1. С. 3-30.

2. Chatterjee K., Samuelson W. Bargaining under incomplete information // Opérations Research, 1983. Vol. 31, no. 5. P. 835-851.

3. Klemperer P. The Economic Theory of Auction, Northampton, MA: Edward Elgar Publishing,

Inc., 2000.

Рукопись поступила в редакцию 15 мая 2011 г.