Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, применения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

РАВНОСТЕПЕННАЯ КВАЗИНИЛЬПОТЕНТНОСТЬ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ,

ПРИЗНАКИ, ПРИМЕНЕНИЯ 1

© В. И. Сумин

Ключевые слова: равностепенно квазинильпотентное семейство операторов; вольтеррова цепочка оператора; теорема об эквивалентной норме.

Аннотация: Вводятся понятия равностепенно квазинильпотентного и суперравностепенно квазиниль-потентного семейства операторов. Формулируются соответствующие признаки для случая функциональных операторов; обсуждаются применения введенных понятий и сформулированных признаков.

Пусть В — банахово пространство, Г — некоторое множество, {С(7)}7ег — семейство зависящих от параметра 7 € Г действующих в В квазинильпотентпых линейных операторов. Напомним, что в соответствии с формулой И.М. Гельфанда квазинильпотентность оператора

G(Y)[.] : B — B означает выполнение предельного соотношения: л/ {G(y)}

0 при к —— ю.

Следуя [1, 2], семейство операторов {G(y)}тег назовем равностепенно квазинилъпотент-

ным, если sup k||G(y)kII — 0 при к — ю, и — суперравностепенно квазинильпотентным, если тег

sup k||G(yi)G(y2) • ... • G(Yk)|| — 0 при к — <x>. Полезность для приложений введенных по-Т1,...,Тк ег

нятий связана, в частности, со следующей сформулированной в [1] и доказанной в [2] теоремой, которая развивает известные утверждения об эквивалентной норме из §2 главы 2 книги [3].

Теорема!.. Пусть норма Ц-Ц пространс mea B монотонна относительно полуупорядочен-ности B по некоторому конусу K, а семейство опера торов {G(Y)}7er равномерно ограничено и суперравностепенно квазинильпотентно, причем для каждого из операторов семейства конус K инвариантен. Тогда для любого е > 0 существует эквивалентна я норме Ц • Ц норма || • ||(£) B, B K

для каждого y Е Г соответствующая норма оператора G(y) не превосходит е.

Сформулируем удобный в приложениях цепочечный признак суперравностепенной квазинильпотентности семейства функциональных операторов. Пусть П С R” ограничено и измеримо по Лебегу, £ — ст-адгебра измеримых подмножеств П, E = E(П) — банахово идеальное пространство вещественных измеримых на П функций, Рн — оператор умножения на характеристическую функцию множества H е £. Следуя [4], назовем оператор G : E — E вольтерровым на системе T С £^ ^ети Рн GPh = Рн G УН е T; весь класс таких операторов обозначим V (T) .Пусть 5

— положительное число, T = {Ho,Hi,........, Hm} С £ — цепочка множеств, 0 = Но С Н\ С

С ... С Hm-1 С Hm = П. Следуя [1, 2], назовем цепочку T волътерровой сильной 5-цепочкой оператора G : E — E, если G Е V (T) и выполняются неравенства ^ 5, m ^ i ^ j ^ 1.

Теорема 2. Если семейство {G(y )}тег действующих в E линейных ограниченных опе-

5>0

5

потентно.

РЩ\Щ--1 GPHj\Hj-1

1 Финансовая поддержка РФФИ (проект № 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)» Минобрнауки РФ (регистрационный № 2.1.1/3927).

В докладе обсуждаются применения сформулированных теорем в теории управляемых краевых задач. Так, в [1, 2, 5-8] эти теоремы применяются для получения достаточных условий сохранения глобальной разрешимости краевых задач при возмущении управления. При этом используется, в частности, то, что в конкретных операторных классах признаку теоремы 2 можно придать удобный для приложений вид. Рассмотрим, например, важный случай лебеговых пространств. Пусть заданы: числа р, д € [1, го], р ^ д; линейный ограниченный оператор О : Ьр ^ Ьд; множество Г С Ьг, где

/ рд ^ ^

г = <------, если р < д < го; р, если р < д = го; го, если р = д

и - р

В приложениях (см., например, [1, 2, 5-8]) часто приходится изучать семейства операторов Ь : Ьр ^ Ьр, задаваемые формулой

Ь[г](£) = а(£)О[г](£), £ € П, г € Ьр (а € Г). (1)

В [1, 2] для семейств вида (1) получен ряд конкретных следствий теоремы 2, удобных для приложений. Чтобы сформулировать некоторые из них, договоримся, следуя [1, 2], цепочку множеств называть 5—малой по мере, если мера разностей «соседних» ее элементов не превосходит 5.

р < д

1) Г — семейство функций с равностепенно абсолютно непрерывными Ьг-нормами;

2) для любо го 5 > 0 опера,т, ор О имеет 5-малую по мере волътеррову цепочку,

то задаваемое формулой (1) семейство опера торов Ь : Ьр ^ Ьр удовлетворяет условию теоремы 2 и суперравностепенно квазинильпотентно.

Л е м м а 2. Если выполнены условия:

1) Г — ограниченное множест,во в Ьг;

2) 5 > 0 О 5

то задаваемое формулой (1) семейство опера торов Ь : Ьр ^ Ьр удовлетворяет условию теоремы 2 и суперравностепенно квазинильпотентно.

д < го О

леммы 2, то задаваемое формулой (1) семейство опера торов Ь : Ьр ^ Ьр удовлетворяет условию теоремы, 2 и суперравностепенно квазинильпотентно. Условие вполне непрерывности здесь может, быть ослаблено до следующего условия: оператор О : Ьр ^ Ья переводит, единичный шар в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В. И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.

2. Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах. Н. Новгород, 1998. 96 с. Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. № 2742-В98

3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ГИФМЛ, 1962.

4. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

5. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2003. Вып. 1. С. 91-108.

6. Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. I; II; III; IV // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1999. Вып. 2 (21). С. 145-155; 2001. Вып. 1 (23). С. 198-204; 2002. Вып. 1 (25). С. 164-174; 2004. Вып. 1 (27). С. 185-193.

7. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. I; II // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2005. Вып. 1 (3). С. 88-101; 2006. Вып. 1 (4).

С.65-80.

8. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.

Abstract: definition of uniform quasinilpotent family of the operators and definition of superuniform quasinilpotent family of the operators are introduced; corresponding conditions for functional operators are formulated; applications of these definitions and conditions are discussed.

Keywords: uniform quasinilpotent family of the operators; Volterra chain of the operator; theorem about the equivalent norm.

Сумин Владимир Иосифович Vladimir Sumin

д. ф.-м. н., профессор doctor of phys.-math. sciences, professor

Нижегородский государственный университет Nizhniy Novgorod State University Россия, Нижний Новгород Russia, Nizhniy Novgorod

e-mail: v sumin@mail.ru e-mail: v sumin@mail.ru