CC BY
7УДК 514.13
Юрьева Татьяна Александровна
Амурский государственный университет, г. Благовещенск, Россия E-mail: Yuryevatat@mail.ru Yuryeva Tatyana Aleksandrovna Amur State University, Blagoveshchensk, Russia E-mail: Yuryevatat@mail.ru Двоерядкина Наталья Николаевна Амурский государственный университет, г. Благовещенск, Россия E-mail: dvoer@yandex.ru Dvoeryadkina Natalya Nikolaevna Amur State University, Blagoveshchensk, Russia E-mail: dvoer@yandex.ru
РАВНОМЕРНЫЕ ПО ПАРАМЕТРУ т ОЦЕНКИ В МЕТРИКЕ Ст+2'а' ($) СЕМЕЙСТВА ЗАМКНУТЫХ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ЗАДАННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНОЙ
PARAMETER-UNIFORM т ESTIMATES IN THE METRIC Cm+2-a' (%) OF A FAMILY OF CLOSED CONVEX SURFACES WITH A GIVEN GAUSSIAN CURVATURE
Аннотация. В статье приводится доказательство ограниченности решения семейства дифференциальных однопараметрических уравнений типа Монжа - Ампера. Полученный результат используется в исследовании однозначной разрешимости изучаемого дифференциального уравнения.
Abstract. The paper provides a proof of the boundedness of the solution of a family of Monge-Ampere differential one-parameter equations. The obtained result is used in the study of the unique solvability of the differential equation under study.
Ключевые слова: гиперболическое пространство, уравнение Монжа - Ампера, отрицательная эллиптичность, гауссова кривизна.
Key words: hyperbolic space, Monge - Ampere equation, negative ellipticity, gaussian curvature.
DOI: 10.22250/jasu.93.4
К числу задач дифференциальной геометрии относятся задачи существования и единственности поверхностей в различных пространствах с данными геометрическими характеристиками.
Одной из таких характеристик является внутренняя (гауссова) кривизна поверхности.
В нашей работе мы будем рассматривать поверхности из класса регулярных замкнутых выпуклых в трехмерном пространстве отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) H3.
Выпуск 93, 2021
Вестник АмГУ
25
Зафиксируем какую-либо точку О в пространстве Н3. Пусть Бр - сфера в Н3 с радиусом, равным единице, и центром в точке О . Сфера Бр - это двумерное компактное многообразие. Пусть и, V - локальные географические координаты на Бр, а атлас Бр выбран с условием: cosv >а> 0.
Далее пусть в Н3 \ {О} определена функция К = К(иу,р) точки пространства, а ¥ - поверхность в Н3, обладающая следующими свойствами: 1) ¥ - регулярная; 2) ¥ - выпуклая и го-меоморфная сфере ; 3) ¥ - звездная относительно фиксированной в Н3 точки О (центр Бр); 4) внутренняя (гауссова) кривизна ¥ в каждой ее точке совпадает со значением функции К = К(иу,р) в той же точке.
В локальных координатах и, V ¥ можно задать явно: р = р(и^) .
Геометрически задача существования и единственности поверхности ¥ в аналитическом аспекте сводится к исследованию на однозначную разрешимость следующего дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера на сфере:
,2 „ „2 , 7 „ 7 „ 1 , Т „ ___„ „2 , 7 „ 7____2
Р11Р22 - Р12 - Ри( 2cthp-Pv + shP'chP) + lpi2pupvcthp-P22 (2cthp-Pu + shP■ chpcos v) -
2 2 pP, 2 r. 2 r. 2 2 , 2 2 A pP + pP cos2 v + sh2 p■ cos2 v )2 r„
2 cos2 v + )2 + 2рр + 2рр cos2 v + sh р cos2 v = Kt (u,v,p)x Ии Hv-^---— [1].
cosv cos v
Здесь Pj, (i,j е {1,2}) - вторые ковариантные производные функции р = р(u,v) относитель-
но метрики сферы Бр.
В работе [1] было показано, что приведенное выше уравнение является отрицательно эллиптичным при наложении на функцию К { = К .(иу,р) условия: К { > — 1.
В пространстве Н3 рассмотрим две концентрические с Бр сферы - Б2р и Бр (р1 < р2). Пусть
р0 е (р1 ,р2) . Заменяя в приведенном уравнении функцию К(иу,р) на функцию (К^х(и^,р) :
Ро сИ"р0
(KJT(u,v,p) = xK(u,v,p) + (1-х)
-1
где те[0,1], получаем однопараметрическое се-
psk2pck2 р
мейство ФТ = 0 дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера на сфере Sp :
Р11Р22 - Р12 - Р11( 2cthP■ Рр + shP^chP) + 2p1,PuPv cthP-Р22 (2cthP■ Рр + shP■ chPcos2 v) -
2
-(рр cos2 v + )2 + 2рр + 2рр cos2 v + sh2рcos2 v = cosv
■ (Рр + Рр cos2 v + sh2P ■cos2 v)2 те[01] cos2 v
tKt (u,v,p) + (1-х)
Pock Po
psk pck р
-1
В работе [2] мы показали, что данное семейство уравнений Фг = 0 представляет собой семейство отрицательно эллиптичных уравнений при условии, что К .(и^,р) = К . > — 1.
В работе [2] также установили априорные равномерные по параметру т оценки решения Рт = Рт(иу) (те [0,1]) в метрике С0 (S12): р1 < рт < р2. Для этого на функцию К = К(иу,р)
должны быть наложены следующие условия: 1) К > —1; 2) К {и^,р) =—1—Ъ И{и^,р), И > 0
sh р
внутри сферы ^ и И < 0 вне сферы Б2^ .
Исследуемая поверхность F : р = р(и^) основного уравнения входит в семейство ¥т при т = 1, а при т = 0 решение рт есть сфера Б2 радиуса р0 с центром в точке О .
Имеет место следующий результат:
пусть функция К = К (иу,р) принадлежит классу регулярности Ст,а(^ хR+ ), где т > 2, а 0 <а< 1; кроме того, пусть функция К{ = К(и^,р) удовлетворяет приведенным выше условиям, которые обеспечивают оценку рт в метрике С0 (О2) . Тогда при любом значении параметра т € [0,1] решение рт = рт(и^) семейства уравнений Фт = 0 ограничено в метрике Ст+2,а (S12), а'<а постоянной от чисел р1, р2, k = т/ К{(и^,р) и нормы \\К, (и^,р)\г р у равномерно относи-
^Ка р ] 1 ' 2
тельно параметра т.
Покажем справедливость сформулированного утверждения.
Решение рт = рт(и^) задает замкнутую выпуклую поверхность ¥г с гауссовой кривизной
ро ск"ро
(К Т(иу,р) = тК(иу,р) + (1-т)
рsh рсН р
-1
р сЬ^ р
В силу ввода параметра т € [0,1], дифференциальных свойств функции И0 ^02--1, ли-
рsh р^ р
нейности операции дифференцирования и наличия равномерной по параметру т оценки решения рг = р(иу) в метрике С0(S12) из рассуждений, которые полностью аналогичны приведенным в работах [3, 4, 5], следует равномерная по параметру т € [0,1] априорная оценка решения рт = рт(и^) семейства уравнений Фт = 0 в метрике Ст+2,а (S12) : \р\I +2а 2, < М0.
II ИС (О! )
Постоянная М0 зависит от чисел р1, р2, k0 = т/ (К) (иу,р) и нормы
«12х[р,,р2] Т
(К) (и^,р)\\ 2 . Но так как кп, (К) (и^,р)\\ 2 зависят только от р р2,
k = т/ К(и^,р) и нормы \К:(иу,р% та/ 2 , ,,, то постоянная М„ зависит от величин, пере/ ИГ/ г II и Г-/ЦС ■ (О х[р]) 0 Г
х[я .рг ]
численных в условиях сформулированного выше утверждения.
Таким образом, утверждение, приведенное в статье, доказано. Тем самым получена априорная оценка решения рг = рг(и^) семейства Фг = 0 в необходимой для дальнейшего исследования исходного уравнения метрике.
1. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Аналог теорем расположения замкнутых выпуклых поверхностей с заданной функцией внутренней кривизны в пространствах постоянной кривизны // Вестник АмГУ. - 2017. -Вып. 79. - С. 17-21.
2. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Априорные оценки решения в метрике С0 (О12) уравнения типа Монжа
- Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространстве постоянной кривизны // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 9-2(51). - С. 132-136.
3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Априорные оценки градиента решения уравнения некоторого класса Монжа - Ампера // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. - 2019. -№ 1. - С. 49-55
4. Юрьева, Т.А., Филимонова, А.П. Априорные оценки решения некоторого дифференциального уравнения типа Монжа - Ампера в метрике С2(О12) на сфере Б? как двумерном многообразии // Вестник АмГУ. - 2019. -
- Вып. 85. - С. 9-15
5. Юрьева, Т.А., Филимонова, А.П. Априорные оценки решения уравнения типа Монжа - Ампера в метрике Ст+2,а' (О2) // Вестник АмГУ. - 2019. - Вып. 87. - С. 17-20.
