Равномерное приближение функции суммами специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 6 (1), с. 179-182

УДК 517.537.34

РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ СУММАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

© 2011 г. Н.В. Гостева, Л.К. Додунова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

nataly_gos@mail. т

Прступила в редакцию 25.08.2011

Построено матричное преобразование степенного лакунарного ряда. Получены суммы, приближающие функцию из определенного класса на замкнутых множествах.

Ключевые слрва: равномерное приближение, степенной лакунарный ряд.

В 1952 г. С.Н. Мергелян [1] получил приближение аналитических функций многочленами на замкнутых множествах. А именно, С.Н. Мергелян доказал теорему о том, что для любого компакта F и для любой функции f е СА (Г) найдется многочлен, приближающий функцию У(г) на множестве F сколь угодно точно.

Через СА (Е) здесь обозначен класс функций, непрерывных на F и аналитических в каждой внутренней точке этого множества.

В 1971 г. С.К. Чуй и М.Н. Парнз [2] распространили этот результат на случай частичных сумм универсального степенного ряда единичного радиуса сходимости. Они доказали существование степенного ряда

да

£ ах (1)

п=0

единичного радиуса сходимости, в котором для любого компактного множества F комплексной плоскости С, не содержащего точек круга | z |< 1, дополнение к которому является областью, содержащей точку да, и произвольной функции У е СА (Е) существует подпоследовательность частичных сумм ряда (1), равномерно сходящаяся к функции у?) на множестве F.

В 1976 г. В. Люх [3] обобщил эти результаты на случай сумм определенного вида. Им доказана следующая

Теорема 1. Пусть А = {апу} - нижняя тре-угрльная бескрнечная матрица, элементы кр-трррй удрвлетврряют услрвиям

п

Нш £а ет = 1, Нш а = 0 Уу .

п^да п^да

у=0

да

Тргда существует степеннрй ряд £ апгп

п=0

радиуса схрдимрсти единица, рбладающий следующим сврйстврм: для каждргр мнржества

F, распрлрженнргр в рбласти | г |> 1, дрпрлне-ние к кртрррму является рбластью, срдержа-щей бескрнечнр удаленную трчку, и любрй функции У е СА (Е), найдется прследрватель-нрсть целых чисел {#к} (зависящая рт У и F), такая, чтр

ик

СТN (г) = £аМкV^ (z),

у=0

V

где Sу (г) = £ акгк , равнрмернр схрдится к

к=0

функции У?) на мнржестве F.

В настоящей работе последний результат обобщается на случай специальных сумм, связанных с универсальными степенными рядами лакунарной структуры, вид которой рассматривал А.Ф. Леонтьев [4] при исследовании полноты систем функций. В [4] при выполнении условия

Нш — = х, (2)

п^да X

п

где X п (п > 1) - натуральные числа, доказана полнота (в смысле равномерного приближения в классе аналитических функций) подсистемы

"п }п=1,2,... (3)

в угловой области D('x'> раствора 2пт.

Углрврй рбластью растврра 2пт называем область, описываемую жордановой кривой L, соединяющей точку окружности | г |= г, 0 < г < да, с точкой г = да , при повороте плоскости С на угол 2пт вокруг начала г = 0.

Одновременно с системой (3) в указанной выше области Dl'т> при выполнении условия (2) будет полна и

^ )п=р,Р + 1,... 5

где р - произвольное натуральное число. Поэтому, как установлено в работе [5], существует ряд

£^, (4) гд о;:)(.-)ах гх , равномерно сходится к

универсальный в области D(x'>, т.е. такой, что для /(і) на Fс D(x'>, и любой функции / є СА (F), где F - произволь-

ное компактное множество, содержащееся в Dl'т>, дополнение к которому является областью,

ц

(і>=£а„,іЄ“(--), (7>

1=1

содержащей точкУ от, существует подпоследо- где фЦЦ) (г) = £ аЦя іц" , равномерно сходится к вательность частичных сумм ряда (4), равно- "

п=1

->(ц)

мерно сходящаяся на F к функции Ух). У(х) на F е D , где ц = 1 - х .

Из работы [5] следует Лемма. Пусть выпрлнены следующие услр-

Теорема 2. При выполнении условия (2), где

вия:

0 <х<1, прризврльный ряд вида (4) мржнр 1) в = |р 1 - нижняя треугрльная бескр-представить в виде суммы двух универсальных . ...

л п(т) л л гл\ нечнаяматрица, удрвлетврряющая услрвиям (5);

на любрм из мнржеств ^ ' рядрв вида (4) с кр- (л

7, , „ , „ 2) {у, } .. - прследрвательнрсть нату-

эффициентами сп и сп, т.е. сп = сп + сп ' 11 к*к=и,... ^

(п=1 2 ) ральных чисел, удрвлетврряющая услрвию (2)

Назовем последовательности натуральных при 0 <х< 1, {ук .и.., {у ~ и. - ее прдпрс-

чисел

{хп }„=1,2,... и {Цп }„=1,2,... дополняюЩими друг ледовательности;

друга, если {цп }п=12 = {п}п=12, \ {,п }п=12 . 3) дан универсальный ряд

да

При выполнении условия (2), где 0 <х< 1, £ъ Хук (8)

существуют ряды к= Ук

^да , и Тргда функция У е С, (К) мржет быть

а,^ п и £ип , ^ А'

п=1 п=1

универсальные соответственно на множествах ^■) и где {,,}„.1,г,... и {и,}„,,.. - две про- вида

равномерно аппроксимирована многочленами на F ^ содержится в одном из множеств D(x))

і кт

извольные дополняющие друг друга последова- £ р £ (г) (9)

тельности натуральных чисел. Справедливость кт*‘ ~

і=т

этого утверждения следует из рассуждений, ~

приведенных в работе [6]. где Sу ~ (г) = £ Ъу ^ Т к .

Теорема 3. Пусть {хп }п=1,2,. и {Цп }п=1,2,... - две ‘

к=1

Доказательство. Согласно определению универсального ряда вида (8) для каждого множества F, содержащегося в одном из множеств

тврряет услрвию (2) при 0 < х < 1 (а, следрва- „м ~ . г, \ ис /

К ^ V ^ ', и любой функции У (х)/(рл (ук - т +

+1)) е СА (F) будем иметь нижняя треугрльная бескрнечная матрица, , „ , ,

\ | Sу (х)- У(х)/(Ву .(у. -т +1))|<

элементы кртрррй удрвлетврряют услрвиям 1 у~4 у 4 ' ''Кук„+,‘Мкт+1 //| ( )

<в /(1Ру^,,1(у кт+,- т +1))

при /=т, т+1,..., ук ; т>Ы. Используя (10), по-

п )п=1,2,... У‘П )п=1,2.

дополняюЩие друг друга последовательности натуральных чисел, первая из которых удовле-

тельно, Ііт п/ цп = I -т). Пусть А = {ает} -

п^от

1іт £а от = |, Ііт а = 0 Vv . (5)

п^от п^от

Тогда существует степенной ряд £ апгп , лучим

п=0 11'т*‘

обладающий следующим свойством: для любых | £Рікт+іі£і~(г) - /(г) | ~

множеств D(x'> и D(ц) и любой функции 1=т

/ є СА (F), найдутся последовательности на- <£| р || (г) - / (^)/(Р {ік - т +1)) |< є.

туральных чисел {Xт } _ , {Xп } _ , завися- 1=т

к k=l,'2,... к к^... Лемма доказана.

щие от D(т) и /, {цщ }к=|2 , {цщ }к=|2 , зависящие Доказательство теоремы 3 проведем мето-

от D(ц) и /, такие, что дом работы [7].

х Возьмем совокупность односвязн^іх ком-

£ (г) = £а ф<х)(г) к=12 (6) пактных множеств плоскости С, расположенных

тк 1=| тк на внешности окружности | г |= г, ограничен-

ных дугами окружностей с радиональн^іми ра- при і є Д® (здесь, очевидно, в качестве £х (г) диусами с концами в точках с рациональными т

можем взять Р\(г>). На основании леммы, с учетом условий (5), в последовательности (12) вы-

ными координатами. Расположим эти множест- берем мн°г°член стЦт (г> = ацт \вЦц^(Х> +

+а^ 2°ЦЦ')(г) + ... + ап „ бЦЦ) (г^ где хт <Цт

полярными координатами и ломаными линиями с вершинами в точках с рациональными поляр- - уц>

Ит] \~’' цп\

ва в последовательность ^)(ц /0(И>

{Дт }т=\,2,... . (11)

При этом допустим, что каждое из указан- такой, что 1 Р\ (х> - стцщ (?) |< 81 при г е Д(\).

ных выше множеств содержится в последова- В силу установленной выше леммы, с уче-

тельности (11) бесконечное число раз. (Если это том условий (5), в последовательности (12) най-

не выполняется, то последовательность (11) ___ __ х) / ч ,

^ 4 ' дется многочлен а, , +\О, (г) +... +

заменим последовательностью Д\, Д\, Д2,..., Д\, т2 щ +1

Д2,•••, Дп, — ). Возьмем в этой последовательно- +а , О(х> (г), где ц <, , такой, что при

/л0)\ /л(2>\ 2 ,т2^ ,п,т2 1 т2

сти подпоследовательности Д ( ,, , 1Дт г ,, ,

^Д;\,>,..■ ^ ^ ХеД> |Р2(Х)-^(х)^, где Б (Х) = аmI\fiS:>(z) +

такие, что каждое из множеств Дщ лежит внут- 2 221

ри угловой области раствора 2пт, а каждое из +••• +а ,„2 к, °кХщ (х) + а кг к, +\°,п1т1 +\(х)+"' +

множеств дЩ) - внутри угловой области рас- + а, , о,х) (х). Аналогично может быть по-

т 2 т 2 п т 2

твора 2лц, ц=1-т. 2

В силу доказанной выше леммы можно равно- строена сумма ст (г) = а 101ИЦ) (г) + ...+

мерно аппроксимировать на любом компактном ^ о(И> ^ л гШ> \ п(И>

+ а (г) + а 0^ц) (г) + + а (г)

множестве F (содержащемся в одной из областей Цт2Цт| Цпцт| +1 ^^пцщ +1 Цт2Цт2

Dl'т) или Dl'ц)) многочленами вида (9) любую

функцию / є СА (Р). Расположим их в последовательность

•т2™П “пцт| ‘""‘V т1 " '""Цщ +1 ‘"т2г 'т2 г'пЦт2

При Хт < Цт , такая, что | Р2 (і) - (г) |< Є2

при і є Д(22).

Р\(г) Р(г) Р(г) (12) Воспользовавшись принципом математиче

Г „ ской индукции, построим для любого к,

так, чтобы каждый из этих многочленов встре- Ь_Л 0 ^

чался в последовательности (12) бесконечное число раз. Пусть {є к }к=|2 - монотонно убы-

к=1,2,..., суммы

М z), ^( z),..., ^ (?), (17)

вающая последовательность положительных удовлетворяющие условиям ^

чисел, 8к ^ 0 при к ^ да . Построим: 1 Рк(х) - Б,„к (х) |< 8к при Х е д(\:>, (18)

1) суммы (6), равномерно сходящиеся к и суммы

функции У е СА (Р) на произвольном множест- ст (г), ст (г), ст (г),..., ст (г), (19)

ве F е Г)( >; удовлетворяющие условиям

2) суммы (7), равномерно сходящиеся к |рк (Х) -стц (Х>|<8к при Х еД(к2). (20)

функции У е СА (Р) на произвольном множест- тк

ве FеD(ц>. При этом ,т1 <Итк (к=1,2,->.

Для этого достаточно построить суммы Действительно, пусть построены суммы (17),

Б, (Х) = а, 10,х)(г) +... + а, , О,х) (г), (13) удовлетворяющие условиям (18), и суммы (19Х тк тк п1 тк тк п,тк удовлетворяющие условиям (20), при этом

стц (х) = ац 10|Иц>(х) +... + ац ц 0Ииц> (г), (14) ,т <цт . Выберем из последовательности (12):

"Цтк

где Хщ <цщ (к=1,2,...), удовлетворяющие ус- |) многочлен ахтк |хтк +ібх^ +| (г) +... +

ловиям + а О(х)

+ ах х О хт) (г), такой, что, положив в (13)

к (г) - £х„ (г) |< єк при г є Д к П*Л

| Рк (г) - £х,, (г) |< єк при г є ^ , (|5)

| Рк (г) -ст^, (г)|<єк при г єД(к . (|6)

к+1 вместо к, получим | Рк+|(г) - £х (г) |< єк

при г є Д(^+|;

Построение сумм (13), удовлетворяющих (ц>

условиям (15), и сумм (14), удовлетворяющих 2) многочлен аИтк+1 Итк +1°^^ +1 ( х) + ... +

условиям (16), можно выполнить следующим _(ц> , . ..

г о г +аи и О,, (х), такой, что, положив в (14)

образом. Выберем из последовательности (12) ц-к+\цmk+\^цnцщk+\ 4 '

многочлен Б,т\ (г> = а,щ\\°,Х\> (г> + а,щ\IQ,х) (х> + к+\ вместо ^ получим 1 рк+\(х>-стцтк+1 (х) |<8к+\

... + а ,щ,щ О,1> (TaK0Й, что 1 Р\ (Х) - Б,т (Х) |< 8\ при г е Д(к2+>\ .

При этом ,т < ц т . Отсюда, в силу мате-

А тк+\ 1 тк+\ 7 ^

матической индукции, следует существование сумм (13) и (14), удовлетворяющих условиям (15) и (16) соответственно.

Пусть У е СА (Р), где F - произвольное компактное множество содержащееся в одной из областей Dl'т> или D , дополнение к которому является областью, содержащей точку да. В силу доказанной выше леммы для любого 8 > 0 в последовательности (12) можно выбрать многочлен Рк(г), такой, что | У(г) - Рк (х) |< 8 /2 при х е Р. После этого, взяв к настолько большим, чтобы Р е Дк или Р е Д(к2) и 8к <8/2, будем иметь при любом х е Р | У(г) - Б, (г) \<

<1 У(Х> - Рк (х> 1 +1 Рк (Х>- Б(Х> \< 8 или соответственно 1 У ( Х) -стцч ( Х)\<\ У ( Х) - Рк (Х) 1 +

+ 1 Рк (Х) -стЦтк (Х) \<8 .

Теорема 3 установлена.

Список литературы

1. Мергелян С.Н. Равномерное приближение функций комплексного переменного // УМН. 1952. Т. 7. Вып. 2. С. 31-122.

2. Chui C.K., Pames M.N. Approximation by overconvergence of a power series // J. Math. Anal. and Appl. 1971. V. 36. № 3. P. 693-696.

3. Luh W. Uber den Satz von Mergelyan // J. Ap-proxim. Theory. 1976. V. 16. № 2. S. 194-198.

4. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 с.

5. Селезнев А.И., Мотова И.В., Волохин В.А. О полноте систем функций и универсальных рядах // Изв. вузов. Математика. 1977. № 2. С. 84-90.

6. Селезнев А.И., Додунова Л.К. К двум теоремам А.Ф. Леонтьева о полноте подсистем полиномом Фабера и Якоби // Изв. вузов. Математика. 1982. № 4. С. 51-55.

7. Додунова Л.К. Об одном обобщении свойства универсальности рядов по многочленам Фабера // Изв. вузов. Математика. 1990. № 12. С. 31-34.

UNIFORM APPROXIMATION OF A FUNCTION BY THE SUMS OF A SPECIAL TYPE

N. V. Gosteva, L.K. Dodunova

A matrix transformation of a power lacunary series is constructed and the sums approximating a function from a definite class on closed sets are obtained.

Keywords: uniform approximation, lacunary power series.