Равномерная состоятельность знаковой оценки параметра Ar(1)-модели для наблюдений с выбросами Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса: Печатный дом, 2013.

4. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 18. М.: ВИНИТИ. 1986. 25-71.

5. Blair D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds // Progress in mathematics. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 2002.

6. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. 24.127-132.

7. Степанова Л.В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Научные труды МПГУ им. В.II. Ленина. 1995. 187-191.

8. Ванару М.В. О сасакиевых гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2003. 194, № 8. 13-24.

9. Banaru М. On Kirichenko tensors of nearly-Kahlerian manifolds //J. Sichuan Univ. Sci. Eng. 2012. 25, N 4. 1-5.

10. Banaru M. On minimality of a Sasakian hypersurface in a W3-manifold // Saitama Math. J. 2002. 20. 1-7.

11. Ванару М.В. О гиперповерхностях Кенмоцу специальных эрмитовых многообразий // Сиб. матем. журн. 2004. 45. № 1. 11-15.

12. Ванару М.В. О типовом числе косимплектических гиперповерхностей 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Сиб. матем. журн. 2003. 44, № 5. 981-991.

13. Banaru М. On the Gray-Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annu. univ. de Sofia "St. Kl. Ohridski". Math. 2004. 95. 125-131.

14. Wu Bing-Ye. 1-type minimal surfaces in complex Grassmann manifolds and its Gauss map // Tsukuba J. Math. 2002. 26. 49-60.

Поступила в редакцию 24.03.2014

УДК 519.234.2

РАВНОМЕРНАЯ СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ЗНАКОВОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА A R (1) - М ОДЕЛ И ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЙ С ВЫБРОСАМИ

Г. Н. Чмутин1

Рассматривается АТ1(1)-модель в схеме засорения независимыми аддитивными выбросами. Доказывается равномерная по распределению выбросов состоятельность знаковой оценки параметра модели.

Ключевые слова: авторегрессия, знаковая оценка, равномерная состоятельность.

An AR(1) model is considered in the scheme of data contamination by independent additive outliers. It is proved that the sign estimation of the parameter of the model is uniformly-consistent with respect to the distribution of outliers.

Key words: autoregression, sign estimation, uniform consistency.

1. Введение и постановка задачи. В работе исследуется АЫ(1)-модель (1) и знаковая оценка параметра /3, которая находится как решение уравнения (2). Подобные оценки были построены на основании локально наиболее мощных знаковых тестов для проверки простой гипотезы относительно параметра модели. В [1] такие тесты были предложены для АЫ(1)-модели. В [2] они были распространены на АЫ(р)-модель (определение см. в [3, с. 320]) и в [4] — на Л1!М.\(//. ^-модель (определение см. в [3, с. 331]). В [5] установлена локальная качественная робастность знаковых тестов в АЫ(1)-модели, содержащей выбросы, в случае, когда интенсивность засорения (Э(п-1/2). Знаковая оценка параметра /3 в модели AR(1) оказывается асимптотически нормальной даже для случая бесконечной дисперсии наблюдений (теорема 6.6.2 в [2]), чего нельзя сказать о широко используемых оценках наименьших квадратов (определение см. в [2, с. 138]). Асимптотическая эффективность знаковых оценок относительно оценок наименьших квадратов может быть сколь угодно большой для наблюдений, плотность которых имеет "тяжелые хвосты" (см. [2, с. 200]). В данной работе рассматривается схема засорения наблюдений независимыми аддитивными выбросами, когда интенсивность

1 Чмутин Георгий Николаевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gochanQmail.ru.

засорений постоянна (схема (4)). В таком случае знаковая оценка оказывается В-робастной (определение см. в [6]), в то время как оценки наименьших квадратов и наименьших модулей (определение см. в [2, с. 150]) неустойчивы к выбросам в наблюдениях. Итак, рассмотрим АЫ(1)-модель

щ = ¡Зщ-1 + st, teZ. (1)

Здесь {et} — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения G(x), удовлетворяющие следующим условиям. Условие (i). P(ei < 0) = Р(еi > 0) = 1/2. Условие (ii). Ееi = 0, < оо при некотором А > 0.

Условие (iii). 3 плотность д(х) = G'(x), функция д(х) непрерывна, д(0) > 0, sup^^a;) < оо. Параметр /3 в модели (1) неизвестен, |/3| < 1. Знаковая оценка находится как решение уравнения

п—1 п—t

Ш := £ ^ Е Sk(8)Sk+t(e) 4- 0. (2)

t= 1 к= 1

Здесь

Sk(P) = sgn(ик - вик_г), k&Z,\в\ < 1, (3)

а символ 4- означает момент перехода функции через 0 (1п(9) — кусочно-непрерывная функция, поэтому моменты перехода через 0 определяются однозначно), п — число наблюдений. При условиях (i)-(iii) с вероятностью, стремящейся к единице при п —>■ оо, уравнение (2) имеет решение (см. [2, §6.6.1]). Решений может быть несколько, в таком случае в качестве знаковой оценки берется решение

уравнения (2), ближайшее к предварительно построенной медианной оценке /Зщм (определение см. в [2, §5.5.3]), а если (2) не имеет решений, то любая точка.

В настоящей работе будем предполагать, что в наблюдениях имеются грубые выбросы. Таким образом, вместо величин щ наблюдаются величины yt, задающиеся следующим соотношением:

yt = Ut + zttt, t € Z. (4)

Здесь 7 € [0,1] — уровень засорения; {z— независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие распределение Бернулли с параметром 7 (т.е. принимают значение 1 с вероятностью 7 и значение 0 с вероятностью 1 — 7); {¿¡¿} — независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестным распределением /л (грубые выбросы). Последовательности {щ}, {zj}, {¿¡¿} независимы между собой. В [2, § 6.7] для схемы (4) посчитан функционал влияния знаковой оценки, он равен

/F(/x) = (1" 2G("6)) (1"2СШ) •

Чувствительность знаковой оценки sup^ \IF(p)\ < 00, т.е. оценка оказывается В-робастной (определение чувствительности, функционала влияния и В-робастности см. в [6]).

Мы установим новую характеризацию робастности знаковой оценки в схеме (4) — равномерную состоятельность (теорема). Качественно это свойство означает близость по вероятности оценки, построенной по засоренным данным, к истинному значению параметра независимо от распределения выбросов.

2. Основные результаты. Обозначим через /32 знаковую оценку, построенную по засоренным данным {yt}, определенным в (4). Имеет место следующая

Теорема. При условиях (i)-(iii) для всех е, 5 > 0 существуют тлкие щ € N, 70 > 0; что при 7 < 7о выполнено соотношение

sup Р(\1%-р\ >е) <6.

Схема доказательства. Пусть Sk{7,0), — функции, аналогичные (3) и (2), но постро-

енные по засоренным данным {yt}- Тогда знаковая оценка f3Z определяется как решение уравнения

U7,0)-0, (5)

ближайшее к медианной оценке (i1nM, построенной по засоренным данным. Определим функцию

Л(7, в) := £ et~lE(Sl{^, e)Sl+t{7, в)).

t= 1

Теорема вытекает из следующих двух утверждений: —1 Р

п 1п{7, 9) ~~^ Л(7, 9) при п —> оо равномерно по /л и 7; (6)

Л(7, 0) —>■ Л(0, 9) при 7 —>■ 0 равномерно по /л. (7)

Действительно, из (6) и (7) следует, что при достаточно маленьком 7 и больших п с вероятностью, близкой к единице, функция п~11п(7,0) равномерно по /л и 7 близка к функции Л(0, 0) в малой окрестности точки (0,/?). При этом Л(0, 9) обращается в нуль в точке (3 и имеет ненулевую производную по 9 в этой точке. В силу этих фактов уравнение (5) при достаточно маленьком 7 с вероятностью, равномерно по ¡л близкой к единице, имеет решение в окрестности /3. Знаковая оценка определяется как решение уравнения (5), ближайшее к медианной оценке /?га,м- Так как медианная оценка равномерно состоятельна (этот факт доказан в 2012 г. в дипломной работе И. Зырянова) и

существует решение уравнения (5) в окрестности точки (3, то /32 также равномерно состоятельная оценка.

Докажем (6). Нам потребуется равномерный вариант теоремы 7.7.1 из [7]. Пусть символ => означает слабую сходимость случайных величин.

Лемма. Пусть последовательность случайных величин п € для всех т € N пред-

ставляется в виде суммы Zn = Z™ + X™, причем {Я™} и п € М, т € М, — случайные

величины, зависящие от, некоторого параметра V и удовлетворяющие следующим условиям:

1) X™ => 0 при т —> оо равномерно по п, V;

2) Я™ => Zm при п —> оо равномерно по V;

3) Zm => Z при т —> оо равномерно по V. Тогда Zn^ Z при п —> оо равномерно по V.

Доказательство леммы аналогично доказательству теоремы 7.7.1 в [7] и может быть опущено. Введем следующие обозначения:

га—4

, в) := ^(7, 9)БШ(7, в), Г\га(7, в) := 7, 9).

к= 1

Тогда в новых обозначениях получаем

га— 1 оо

и 7,0) = Л(7,9) = 7,0).

4=1 4=1

,-1;

га— 1

Разобьем п 1п(7, 0) на два слагаемых:

т

п"1^"1 Ты(Ъв) И п"1 ^-1Г4га(7,0),

4=1 4=т+1

которые будут соответствовать величинам Z™ и X™ в лемме. Следующие утверждения суть условия 1—3 леммы, в которых в качестве параметра V выступает пара (//,7). Равномерно по п, ¡л и 7 при т —>■ оо

га—1

п"1 4 0. (8)

4=т+1

Для всех т равномерно по ¡л и 7 при п —>■ оо

т, т,

п"1 ^"1Г4га(7, 9) 4 0'"1 0). (9)

4=1 4=1

Равномерно по ¡л и 7 при т —>■ оо

т,

(10)

4=1

Доказательство утверждений (8) и (10) не будем приводить ввиду их тривиальности. Докажем (9). Очевидно, достаточно будет показать, что равномерно по ¡л и 7 для каждого £ при п —> оо

п"1Г4га(7,0) (7,0).

Для сокращения записи будем опускать зависимость от (7,0). Легко получить, что

^ = \Е(п~1Ты) - EWu\ ->■ 0 при п ->■ оо. (11)

Теперь оценим следующую вероятность с помощью неравенства Чебышёва:

Р{\п~1Ты - Е{п~1Ты)\ >е) < {en)-2D{Ttn). (12)

Оценим дисперсию

n—t n—t—1 n—t

D{Ttn) = Wkt) = {n- t)D{Wu) + 2 X) E cov(^> ^i)- (13)

fc=l i=l j=i+1

При наших предположениях стационарное решение {ura} уравнения авторегрессии (1) удовлетворяет условию сильного перемешивания с коэффициентом С\п, где 0 < Л < 1, С > 0 (см. [8]). Тогда {yt} также последовательность с сильным перемешиванием, имеющая тот же коэффициент. Случайные величины Wn и Wjt в (13) таковы, что величина Wu измерима относительно i^+t = <т({ук\к ^ i + t}), а величина Wjt — относительно = (т({ук\к ^ j — 1}), и они ограниченны: \Wa\ ^ 1, \Wjt\ ^ 1.

По теореме 17.2.1 из [9] получаем

I coy (Wu, Wjt) I < 4СХ>-*-*-\ (14)

Оценив с помощью (14) ковариации в правой части равенства (13), имеем

D{Ttn) < Ctn,

где Ct — константа, зависящая только от t. Теперь очевидно, что правая часть (12) стремится к нулю при п —> оо равномерно по /л и 7. Вкупе с (11) это доказывает утверждение (9).

По лемме из соотношений (8)—(10) и того, что из слабой сходимости к константе следует сходимость по вероятности, вытекает утверждение (6).

Теперь докажем (7). В силу формулы полной вероятности

E(Sk{1,e)Sk+tb,9))= Y, 7Etiri(l-7)4"Etiri^(sgn(u1+r16-

»"¿€{0,1} ¿=1,2,3,4

-в(ио + r2i0)) Sgn (u1+t + гзб+i - 0(ut + r4&))) = E(sk(0, d)Sk+t(0, в)) + jRt(e).

Здесь Rt(0) состоит из конечного числа слагаемых, ограниченных сверху единицей, откуда следует утверждение (7). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Boldin M. V., Tyurin Yu.N. On nonparametric sign procedures in autoregression models // Math. Methods Statist. 1994. 3. 279-305.

2. Болдин M.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 1997.

3. Носко В.П. Эконометрика. Книга 1. М.: Дело, 2011.

4. Болдин М.В., Illmyme В. О знаковых тестах в ARMA-модели с возможно бесконечной дисперсией ошибок // Теор. вероятн. и ее примен. 2004. 49. 436-460.

5. Boldin M. V. Local robustness of sign tests in AR(1) against outliers // Math. Methods Statist. 2011. 20. 1-13.

6. Martin R.D., Yohay V.J. Influence functional for time series //Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.

7. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

8. Mokkadem A. Mixing properties of ARMA processes //Stochast. Process. Appl. 1988. 29. 309-315.

9. Ибрагимов И.A., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 13.06.2013