РАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА С МАЛЫМ СДВИГОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 3-23.

УДК 517.956

РАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА С МАЛЫМ СДВИГОМ

Д.И. БОРИСОВ, д.м. ПОЛЯКОВ

Аннотация. Рассматривается модальный оператор Шрсдингсра с постоянным коэффициентом на единичном отрезке и краевыми условиями Дирихле и Неймана на разных концах с малым сдвигом в свободном члене. Величина сдвига малый параметр, который может быть как положительным, так и отрицательным. Основной результат спектральные асимптотики собственных значений и собственных функций с оценкой оетаточпш'о члена, равномерной но малому параметру Для конечпш'о числа начальных собственных значений и соответствующих собственных функций выписываются асимптотику но малому параметру Доказывается, что каждое собственное значение простое, а система собственных функций образует базис в пространстве ¿2(0,1).

Ключевые слова: оператор Шредиш'ера на отрезке, малый сдвиг, равномерная спектральная асимптотика.

Mathematics Subject Classification: 34В24, 34L20, 34Е18

1. Введение

Дифферепциалыю-разиоетпые уравнения являются одним из важных примеров нелокальных операторов и в настоящее время активно изучаются. Интерес к исследованию таких уравнений связан с тем, что соответствующие им краевые и начально-краевые задачи обладают нестандартными свойствами, которых пет в классических постановках. Качественная теория эллиптических дифферепциалыю-разпоетпых и фупкциопалыю-дифферепциальпых уравнений активно развивается, см. |1|-|5| и цитированную литературу, по тем по менее пока далека от завершения. Отметим также работы по качественной теории эволюционных дифферепциалыю-разиоетпых уравнений (см. |6|, |7|), При этом нам известна лишь одна работа |3|, в которой исследовались спектральные свойства соответствующих операторов.

Изучение асимптотики собственных значений но номеру для оператора Штурма-Лиувилля проводилось в огромном количество книг и статей. Не претендуя па общность, мы упомянем здесь только две классические монографии |8|, |9|, см. также списки литературы в этих книгах. Известные классические работы дают спектральные асимптотики для многих классов эллиптических операторов. Вместе с тем, соли рассматривать семейства операторов, зависящие от параметра, то вопрос о спектральных асимптотиках становится открытым. Причина в том, что в этом случае вся асимптотика, включая остаточный член, начинают зависеть от параметра, и такая зависимость может разрушать остаточный член. Классическая теория возмущений при этом оказывается непригодной, так как

D.I. Borisov, D.M. Polyakov, Uniform asymptotics for eigenvalues of model Schrodinger

operator with small translation.

© Борисов Д.И., Поляков Д.М. 2024.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00009. https://rscf.ru/pro.joct/23-ll-00009/.

Поступила 20 июня 2024

утверждения о сходимости резольвент позволяют получить утверждения только о поведении спектра в компактах, то есть, дня конечного числа собственных значений, а не дня всего набора.

Спектральные асимптотики, равномерные но малому параметру, ранее были известны только для ряда частных моделей. В работах |10|, |11| описывалось поведение собственных значений для спектральной задачи на интервале (а, Ь) вида

ieu" + qu = Xu, u(a) = u(b) = 0,

где q — заданная функция и е > 0 — малый параметр. В упомянутых статьях рассматривались два случая функций: q(x) = х и q(x) = (х — а)2. Данная задача связана с известным в гидродинамике уравнением Орра-Зоммерфельда, а функция q выступает в качестве скорости стационарного профиля жидкости в канале а ^ х ^ Ь. В работе [ ] показано, что собственные значения локализуются вдоль некоторого множества, который напоминает но форме галстук. Подобные результаты были получены и в |12|-|15|. Похожее множество получалось и во втором случае для q(x) = (х — а)2. Для данных задач была установлена асимптотика собственных значений, в которой остаточный член равномерен и но малому параметру е, и по номеру. В дальнейшем в статьях [ ]-[ ] эти результаты переносились на другие классы функции q. Ещё отметим, что вопросы резольвентной сходимости эллиптических операторов порядка 2т с малыми переменными сдвигами в младших членах рассматривались в работе |19|,

В настоящей работе мы изучаем равномерные спектральные асимптотики дня модельного оператора Шрёдипгера с постоянным комплексным потенциалом, возмущённого оператором малого сдвига. Величина сдвига является малым параметром, который может быть как положительным, так и отрицательным. Область определения этого оператора задается краевыми условиями Дирихле и Неймана па разных концах. Наш основной результат — равномерная по малому параметру спектральная асимптотика для собственных значений. Вычислены первые четыре члена асимптотики, а также остаточный член в виде 0(п-3). Структура полученной равномерной спектральной асимптотики демонстрирует нетривиальный высокочастотный эффект в поведении больших собственных значений. В работе выписаны и асимптотики соответствующих собственных функций, равномерные по малому параметру. Для первых собственных значений и соответствующих собственных функций выписаны асимптотики по малому параметру. Показано, что все собственные значения простые, а соответствующие собственные функции образует базис в пространстве L2(0, 1).

2. Постановка задачи и основные результаты (0, 1)

- d2 dx2

и краевыми условиями

и(0) = 0, и' (1) = 0. (2.1)

Такой оператор с обозначим через Н и будем рассматривать его как неограниченный в пространстве L2(0,1) на области определения

D(H) := [и Е W%(0,1) : выполнены краевые условия (2.1)}. (2.2)

Оператор Н очевидно m-секториальный и имеет компактную резольвенту. Его спектр чисто дискретный и состоит из собственных значений

'К

Хп = к2п, кп := ^ + кп, п Е Z+. (2.3)

Основной объект изучения настоящей работы — это возмущение оператора Н оператором малого сдвига, А именно, пусть нулем вне интервала (0,1), который рассматриваем как действующий из ¿2(0,1) в ¿2(К), а К — оператор сужения на (0,1), который действует из ¿2(К) в ¿2(0,1). Эти операторы вводятся формулами

Су = < У (0'1)' Пу = у на (0,1).

10 вне (0,1),

В пространстве ¿2 (К) определим пару операторов мал ого сдвига Т£, действующих по правилу (Т£у)(х) = у(х + е), х € (0,1), оде е — малый параметр, который может быть как положительным, так и отрицательным.

Возмущающий оператор Vе в пространстве (0,1) зададим так:

V£у = а(ПТ£Су - у), (2.4)

где а € С — некоторая константа. Действие такого оператора описывается равенством

(Т£у)(х) = а(у(х + е) - у(х)). (2.5)

Здесь функцию у продолжаем нулем вне отрезка [0,1], а результат действия сужаем на этот отрезок. Отметим ещё, что при е = 0 оператор Vе становится нулевым.

Возмущенный оператор задается равенством Н£ = Н + Vе в пространстве ¿2 (0,1) на области определения ®(Н£) := Ф(Н). В предположениях равенства (2.5) действие возмущенного оператора описывается формулой

йX2

Наш первый результат является вспомогательным и описывает базовые свойства оператора Н£.

(Н£у)(х) = -(х) + а(у(х + е) - у(х)), х € (0,1).

Теорема 2.1. Оператор Н£ является т-секториалъным и соответствующая, ему замкнутая векториальная форма в пространстве Ь2 (0,1) задается, равенством

ъ£(и, V) = (и', ь')ь2(0,1) + а(КТ£Си - и, г>)ь2(0,1) (2.6)

на области определения,

ЗД£) := {и € Ш1(0,1) : и(0) = 0}.

Существует число \0, не зависящее от е, такое, что полуплоскость Ие Л ^ Л0 попадает в резольвентное множество оператора, Н£ для, каждого £ = 0. Оператор Н£ имеет компактную резольвенту и его спектр состоит из счетного числа собственных значений с единственной точкой накопления в бесконечности. При е ^ 0 оператор Н£ сходится, к Н

\\Н£ -Щ^о,1)^(о,1) ^ Се1, (2.7)

\\ ■ \\ь2(0,1)^ж21(0,1) _ норма ограниченных операторов, действующих из Ь2(0,1) в ^^(0,1), а С - некоторая, константа, не зависящая от е. Собственные значения, оператора Н£ сходятся к собственным значениям оператора, Н.

Всюду далее упорядочим собственные значения оператора Н£ в порядке неубывания модулей с учётом кратностей и обозначим их через \£п, п ^ 0.

Наш первый основной результат описывает асимптотику собственных значений \£п при п ^ равномерно по малому параметру е.

Теорема 2.2. Собственные значения оператора Н£ простые. При п ^ асимптотика собственных значений Х£ имеет вид

Л£ Л£

лпА , лп

К = < + ЛП,0 + + ~22 + 0(п-3), (2.8)

, тт п2 п2 где оценка остатка, равномерна по £ и обозначено

а2е(1 - £2) .

ЛП,0 :=а(1 - И) cos Кп£ - а, К£щ1 :=---sin 2кп£,

3а3 а2

ЛП2 := - е2(1 - И)(1 + cos3Kn£ + —(1 - 2е - e2)cos2^ е ' 32 8

а3 7Т а2

+ —е2(3 + N)(1 - £)2 cos Кп£ - —е(1 - е2)sin2^n£

(2.9)

- I2 (1+^2) - т (^+и).

Данная теорема дает описание собственных значений при достаточно больших п, а именно при п ^ N для некоторого фиксированного и достаточно большого N, которое выбирается независимо от е. Поведение конечного числа собственных значений с номерами п < N описывает следующая теорема.

Теорема 2.3. Для каждого фиксированного N при п < N собственные значения \£п

\£п = к2п + еТп>1 + £2Тп,2 + 0(е3), (2.10)

9а2

Гп,1 := -3а, Тга>2 := + 4 - , при £> 0, (2.11)

а к2 а2 а2

ТпА := - а, Хга>2 := + - - —, при £< 0. (2.12)

2 4 4к2п

Наш второй основной результат описывает поведение соответствующих собственных функций.

Теорема 2.4. Собственные функции ф£п = ф£п(х) оператора Н£, соответствующие собственным, значениям, \£п, образуют базис е Ь2(0,1). При п ^ ж для них верны асимптотики

—£ ( х)

ф£ (х) = V2 sin пКпХ + -п-) + 0(п-2) (2.13)

жп

в норме С[0,1], где оценка остатка, равномерна по £ и обозначено

{-(1 - е)(1 - х) cos кпх cos кп£, х Е (0,1 - е),

1

2 (((1 - £)х - 1 + £)^Кп(х - е) (2.14)

- (х(1 + е) - 1 + е) cos кп(х + е)), х Е (1 - £, 1),

при £ > 0 и

{(1 + е)х cos кп£ cos кпх, х Е (0, |Д),

1

-^((х(1 - е) + 2£) cos Кп(х + е) (2.15)

- х(1 + е) cos кп(х - е)), х Е (|е|, 1),

при £ < 0. Для каждого фиксированного N при п ^ N для собственных функций гф1п в норме С [0,1] верны асимптотики

Фп (х) = Ф^оОг) + е Ф£п,\(х) + 0(е2), (2.16)

где оценка остатка, вообще говоря, неравномерна по п и обозначено

Фп,0(х) :=л/2 sin кпх,

Ф£п,о(х) :=(-l)^V2co^ х/к^+а (х - 1),

Ф£пЛх) := -

ах

2y/2t

■ (ж sin КпХ + 6 cos KnX^j ,

х е [0,1 - е], х е [1 - е, 1], ж е [0,1 - е],

Фп í(^) :=(-1)™°!--7= cos \Jк2п + а(х - 1)

, v2

(2.17)

+

Зу/2(ж ^Д sin (х - , х е [1 - £, 1]

Vк1 +а )

при £ > 0 и

Фпо(х) :=

V2.

К'П

+

sin \Jк2 +

Фп 0(х) :=v^2sinкпх,

Ф! í(x) :=V2c

Kr.

За

л/п^+а кп (к2 + а) f

^ sin л/,

I QiX

З&Кг,

2(к2 + а)

х cos

^^ I QjX

)

Ф!

/ч а (Зх - 2 \

1(х) :=--= I -cos кпх + (х - 1) sin кпх

, л/2 \ кп J

X е [0, И], Я е [И, 1],

Ж е [0, И], Я е [И, 1].

(2.18)

при £ < 0.

Кратко обсудим изучаемую модель и основные результаты. Главная особенность оператора Н£ — наличие малого сдвига в возмущении, что делает оператор Н£ нелокальным. Сдвиг описывается малым параметром £, который может быть как положительным, так и отрицательным. При е > 0 оператор RT£C описывает сдвиг вправо, а при е < 0 — влево. Это приводит к тому, что функция RT£Cy оказывается равной нулю на интервале (0,е) при е > 0 и на интервале (1 - |е|, 1) при е < 0. В случае е > 0 такой малый интервал примыкает к точке х = 0 с условием Дирихле, а в случае е < 0 — к точке х = 1 с условием Неймана. Данное отличие проявляется в формулах для первых членов асимптотик для собственных значений и собственных функций оператора Н£, которые являются основными результатами нашей работы (это теоремы 2.2, 2.3, 2.4).

Теорема 2.2 описывает первые четыре члена асимптотики собственных значений оператора Н£ при п ^ +то с остатком порядка 0(п-3), равномерным по е. Это принципиально иной результат по сравнению с классическими спектральными асимптотиками, см., па-пример, |8|, |9|, так как асимптотика зависит от малого параметра и даётся равномерная оценка остатка. В асимптотике (2.8) явно найдены первые четыре члена и это основное отличие от аналогичных результатов наших недавних работ |22|, |23|, где примененный метод подобных операторов позволил построить асимптотики только с остатком порядка 0(п-2). Соответствующие коэффициенты описываются формулами (2.9). Эти соотношения содержат функции вида sinркп£, cosркп£, р =1, 2, 3. Эти функции медленно осциллируют по индексу п. При небольших п они близки соответственно к 0 и 1. При п порядка

п

а

0(е-1) функции sinp^e и cosркп£ плавно меняются от -1 до +1, а при п, существенно превосходящих 0(е-1), эти функции быстро осциллируют. Наличие таких функций в первых членах асимптотик для собственных значений описывает интересный высокочастотный эффект, в котором возмущение (малый сдвиг) нетривиально взаимодействует с большими значениями индекса п.

Если индекс п зафиксировать и уменьшать параметр е, то собственное значение Хп оказывается голоморфным по достаточно малым е и при е ^ 0 сходится к собственному значению \п предельного оператора. Такая сходимость оказывается неравномерной, как это сразу показывают асимптотики (2,8), Вместе с тем, если зафиксировать достаточно большое N, то при п ^ N асимптотики ( ) детально описывают поведение собственных значений Хп. Затем для п ^ N затем следует выбрать достаточно малые значения е, и тогда для собственных значений Хп можно выписать асимптотики по малом у параметру е, см, формулы (2,10), (2,11), (2,12) теоремы 2,3, Первые члены асимптотик выписаны явно, но оценка остатка уже неравномерна по п.

Дня собственных функций также удается выписать первые члены асимптотических разложений и этот результат сформулирован в теореме 2,4, Соотношения (2,13), (2,14), (2,15) описывают асимптотики для больших п ^ N, а равенства ( ), ( ), ( ) — асимптотики по параметру е при п ^ N.

Теоремы 2,2, 2,3, 2,4 достаточно явно описывают глобальное поведение всего ансамбля

Н£

торого достаточно большого круга на комплексной плоскости, т. е. при п ^ N, следует пользоваться асимптотиками при п ^ +ж, а внутри круга — асимптотиками при е ^ +0. Дополнительно доказано, что собственные функции образуют (пеортопормироваппый) базис в L2(0,1). Это тоже более сильный результат по сравнению с аналогичными утверждениями в статьях |22|, |23|, где утверждалась базисность системы собственных функций и возможных присоединенных функций, В настоящей работе существование присоединенных функций удается исключить.

Отдельно отметим, что первые члены асимптотик как при п ^ +ж, так и при е ^

0 зависят от знака е. Это показывают формулы (2,9), Члены Лп0 и Лп 1 оказываются

зависящими от абсолютной величины параметра £, а член Апп2 содержит дополнительное 2 2 слагаемое - ^ (е + |Д), которое равно - ^ при е > 0 и тождественно обращается в нуль

< 0.

,

( ), ( ) показывают значительные различия членов асимптотики при е > 0 и е < 0,

Остановимся ещё па методе данной работы. Так как продольный оператор очень нро-

Н£

позволяет получить все описанные выше асимптотики. Однако при этом из-за наличия нелокальное™ в виде малого сдвига не гарантируется, что построенное нами решение общее, и что построенная система собственных значений исчерпывает весь спектр. Чтобы установить требуемый факт, проводится дополнительный анализ соответствующих собственных функций и показывается, что они образуют базис в L2(0,1), и тем самым построенная нами система собственных значений исчерпывает весь спектр оператора Н£. Подчеркнем, что метод подобных операторов, использованный в работах |22| и |23| лишен такого недостатка и автоматически выдает результаты о всем наборе собственных значений, Вместо с том, преимущество наших явных построений в возможности вычислений

следующих членов асимптотик. Более того, паша техника позволяет построить любое наперёд заданное число членов асимптотик собственных значений и собственных функций, но вычисления при этом оказываются очень и очень громоздкими,

3. Форма и резольвента возмущенного оператора

В настоящем параграфе мы доказываем теорему 2,1, Схема в целом воспроизводит рассуждения доказательства теоремы 1 из статьи |22|, но для удобства читателя мы кратко описываем основные необходимые шаги.

Применение общих результатов из доказательства теоремы 3 в |19, § 5| позволяет сразу заключить, что форма ( секториальна и замкнута, ее числовая область расположена в секторе {г € С : 11т Д ^ С0(Ие г-СД}, оде С0 аС1 — некоторые константы, не зависящие от е и Со > 0, и согласно первой теореме о представлении [ , Гл. VI, §2,1, Теор, 2,1] данной форме соответствует некоторый т-секториальный оператор. Обозначим данный оператор через Н£ и проверим, что он совпадает с Н£. В силу той же первой теоремы о представлении область определения оператора Н£ состоит го функций и € ®((£), для которых выполнено равенство

(£(и, у) = (К, у)ь2(0,1) для всех у€ &((£) (3,1)

с некоторой функцией К € Ь2(0,1). Отсюда немедленно следует, что функция и является обобщенным решением краевой задачи

-и'' = К на (0,1), и(0) = и'(1) = 0,

К := К - аПТ£Си + аи € ¿2(0,1),

и в силу стандартных теорем о повышении гладкости мы видим, что и € &(Н£). Поэтому ф(Н£) С ®(Н£) и оператор Не очевидно является продолжением оператора Н£. Для всех и € &(Н£), у € ®((£) интегрированием по частям проверяется равенство

(Н£и, ь)ь2(о,1) = Ь£(и, V),

откуда немедленно следует, что оператор Н£ является продолжением оператора Н£. Следовательно, форма (^соответствует опер атору Н£, и верны утверждения теоремы о т-секториальности оператора Н£ и о положении его спектра.

Непосредственно из определения оператора Н£ и компактности вложения пространства ^2(0,1) в ¿2(0,1) следует, что резольвента оператора Н£ компактна, а потому его спектр состоит из счетного числа изолированных собственных значений, которые могут накапливаться только к бесконечности.

Оставшиеся утверждения теоремы следует из общих результатов теорем 4, 5 работы [ ], примененной к оператору Н£. Теорема доказана,

4. Трансцендентное уравнение для собственных значений

В настоящем параграфе мы начинаем доказательство теоремы , Пусть А — собственное значение оператора Н£. Тогда соответствующая нормированная в Ь2(0,1) собственная функция ф должна удовлетворять интегральному тождеству, а именно,

А = (Дф,ф) = ||ф'||!2(о,1) +а(ПТ£Сф -ф,ф)Ыо,1).

ф

получаем априорные оценки

ИеА ^ -С1, 11т А| ^ сь (4.1)

где с\ — некоторая положительная константа, не зависящая от е и А. Поэтому все собственные значения оператора Н£ лежат в некоторой фиксированной полуполосе вдоль вещественной полуоси,

Согласно теореме , собственные значения оператора Н£, расположенные в фиксированном круге на комплексной плоскости, сходятся к собственным значениям оператора Н, которые находятся явно и имеют вид А° := к2п. Поэтому с учётом оценки (4,1) собственные значения оператора Н£ будем искать в виде

Л = к2, (4.2)

где к Е С — новый комплексный параметр, меняющийся по области

Ü := (к е C : Re к > | Im к\ ^

I 8 Re к J

к

8 , 1 1 " Re к.

с некоторой положительной константой с2, не зависящей от к и £.

В силу определения оператора Н£ уравнение на собственные значения Н£ф = Аф со спектральным параметром, заданным формулой (4,2), эквивалентно краевым задачам

-ф''(х) + а(ф(х + е) - ф(х)) - к2ф(х) = 0, х е (0,1 - е),

-ф''(х) - (к2 + а)ф(х) = 0, х е (1 - е, 1), (4.3)

^(0) = 0, Ф' (1) = 0, [ф]г-£ = 0, [ф1]- = 0,

при е > 0 и

-ф"(х) - (к2 + а)ф(х) = 0, х е (0, |е|),

-ф"(х) + а(ф(х + £) - ф(х)) - к2ф(х) = 0, х е (|е|, 1), (4.4)

^(0) = 0, ф' (1) = 0, ще\ = 0, [ф%\ = 0,

при е < 0. ^десь [и]Х0 — скачок функции и в точке х = х0 :

[и]хо := и(хо + 0) - и(хо - 0).

Решение такой пары краевых задач будем отдельно искать на интервалах (0,1-е), (1-е, 1) и (0, |е|), (|е|, 1) с учётом краевых условий в точках х = 0 и х =1. Затем полученные решения подставим в условия сопряжения в точках х = 1 - е и соответственно х = |е|, что в итоге даст трансцендентное уравнение для к.

Для построения решения нелокальных уравнений на интервалах (0,1 - е) и (0, |е|) в краевых задачах (4.3), (4.4) рассмотрим вспомогательное нелокальное уравнение на оси:

-у"(х) + а(у(х + £) - у(х)) - к2у(х) = 0, х е R. (4.5)

Его частное решение будем искать в виде

у(х) = е1^^. (4.6)

Тогда для т сразу получаем характеристическое уравнение

т2 + а(е1т£ - 1) - к2 = 0. (4.7)

В .левой части данного уравнения стоит целая функция, которая имеет экспоненциальный тип при е = 0, а = 0. Функция т м- е1Т£ - 1 имеет бесконечно много нулей, поэтому тоже верно и для функции в .левой части уравнения (4.7). Тем самым уравнение (4.5) имеет бесконечно много линейно независимых решений вида (4.6) лишь только е = 0. Из такого множества пулей далее мы будем использовать только определенную пару, существование которой описывает следующая .лемма.

Обозначим:

П := (к€ С : Кек ^ -, 11т^| ^

I 8 Ке к J

По := IС : - ^ КеА; ^ Я1 + 11тЩ ^

I 8 3 Ке к J

8' 1 1 Ке &. - -

- ^ Ке& ^ Я1 + -, ._______ ^ ,

8 3' 1 1 Кек.

П := \к € С : Ке к ^ Я1, 11т^| ^ , (4.8)

^ Ке к)

где константа Я1 достаточно большая, фиксирована и не зависит от е. Пусть Вг (к) — открытый круг радиуса г с центром в точке к.

Лемма 4.1. Для, достаточно большого фиксированного Я1 существуют фиксированные числа Я2 € (Я1 -1, Я\) и с3, не зависящие от е, такие, что для, всех к € П множества

П± := {т € С : 11тг| ^ с3, ±Кет > Я2}

содержат ровно по одном,у корню т± = т± (е, к) уравнения (4-Л) и для, этих корней верны оценки

|т± тЦ ^ г, (4.9)

где г — достаточно м,а,л,ое число, не зависящее от к и е. Корн и т± голоморфны по к € П

.

Доказательство. При т € П+, к € П и достаточно малых е верны оценки

|т2 - k2| ^ |т - Ке(т + к) ^ 2Я2|т - Ц, |а(е1т£ - 1)| ^ |а|(1 + есз£) ^ 3|а|. (4.10)

Я2 > 0

ванным так, чтобы гарантировать неравенство и вложения

2 Я2 > 3|а|г + 1, Вг(к) С П+, к € П. (4.11)

Ясно, что такой выбор возможен. Тогда из этих оценок сразу следует, что

|т2 -к2| > |а(е[Т£ - 1)^и т € П+ \ Вг(к).

Следовательно, уравнение ( ) не имеет корней в т € П+ \ Вг(к), а применение теоремы Руше сразу гарантирует, что уравнение ( ) содержит в Вг (к) столько же нулей с учетом кратности, сколько и функция т м т2 - к2, то есть, ровно один корень. Данный корень обозначим через т+(е, к) и так как он принадлежит кругу Вг(к), для него верна оценка (4.9).

Если параметр т меняется по области П_, то -т € П+. Замена т на -т переводит уравнение (4.7) в похожее:

т2 + а(е _[те - 1) -к2 = 0, т€ П+, к € П. (4.12)

Это уравнение исследуется совершенно аналогично тому, как этом было сделано выше, и

оно тоже имеет ровно один корень в П+. Возвращаясь обратно в область П_, заключаем,

_( , )

оценка (4.9).

Применение теоремы о неявной функции |21, ТЬт. 1.3.5, Лет. 1.3.6| к уравнению (4.7) сразу показывает, что корни т± голоморфны по к для каждого достаточно малого значения е. Лемма доказана. □

Лемма 4.2. Для, каждого фиксированного Я1 при к € По и достаточно м,а,л,ы,х комплексных £ уравнение (4-7) имеет ровно по одному корню т± = т±(е, к) в кругах В к (± к). Эти корни голоморфны по £ и к.

Доказательство. Множество П0 ограничено, поэтому при к Е П0 мы можем сразу применять теорему о неявной функции |21, Thm, 1,3,5, Rem, 1,3,6| к уравнению (4,7), откуда и следует утверждение леммы. □

Построим теперь решения уравнений в (4,3), (4,4), удовлетворяющие краевым условиям в точках х = 0 и х = 1. Решение уравнения в (4,3) на интервале (0,1 — е), удовлетворяющее требуемому условию Дирихле в точке х = 0 будем строить в виде

ф(х) = Ci(eir +(£'к)х — éT-(£'к)х), х Е (0,1 — е), (4.13)

где т± = т±(е, k) — найденные в лемме 4.1 корни уравнения (4.7), а С1 — произвольная

(1 — , 1),

х = 1 ,

ф(х) = С2 cos Vk2 + a(х — 1), х Е (1 — е, 1), (4.14)

где С2 — произвольная константа, а ветвь корня выбирается из условия у/1 = 1 с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. При таком выборе очевидно выполнено равенство \Jk2 + а = k\J 1 + ак-2.

х = 1 — ,

указанным в задаче ( ), что дает систему линейных уравнений для констант С1ж С2 С (ei(1-s)r + — ei(1-s)r- \ — С2 cos VW+ае = 0,

( i 1 к \

С1 i (г+ei(1-£)T + — т-еi(1-£)T -) — f^VW+a sin VWTae = 0. '

По теореме Крамера эта система имеет нетривиальное решение и, соответственно, кра-

удовлетворяет уравнению

(ei(1-£)T+ — еi(1-£)T-)Vk2Tasin VW+~a£ — i(r+ei(1-£)T+ — r-ei(1-£)r-) cos VW+~ae = 0,

которое нам удобно будет переписать в виде

(е[(1-£^т + — еi(1-£>-) sin Vk2+~ae — i(r+ei(1-£)r+ — т-еi(1-£)r-) cos V k2 + a£ = 0. (4.I6)

v ; v ; Vk^ra K '

k,

ственные значения оператора H£ в случае е > 0.

Аналогично строим решения уравнения в задаче (4.4), удовлетворяющие тем же крае-

х = 0 х = 1 .

ф(х) = С1 sin л/k2 + aх, х Е (0, |е|),

ir+(e,k)(x-1) е ir- (е,к)(х-1)\ (4.17)

ф(х) = С^к2 + al е + ' — -у— ), х Е (lei, 1).

)

т+(е,k) т-(е, k)

х = | | = —

' е-гт+(е,к)(1+е) е—т-(е,к)(1+е)

т+(е, k) т-(е,k) J (4,18)

С1 cos VWrae — Ю2 (е-[т+(£'k)(1+£) — е~'1Т-(£'k)(1+£)) = 0.

k

,-iT+(e,k)(1+e) е-ir-(е,к)(1+е)\

,__,_ I — (£,)С)(1+£)\

С1 sin Vk2 + ae + С2^к2 + a[ ,л---,л = 0,

(

т+(£, к) т-(£,к) ) - ' ¥'" ^^

П(е-Т+ (£'к)(1+£) — е-iT-(£'к)(1+£)) sin VW+~a£ = 0,

k2 + a cos + a

которое определяет собственные значения оператора при е < 0.

Наш следующий шаг — детальное исследование полученных трансдепдептпых уравнений (4,16), (4.19). Это будет сделано в следующем параграфе.

■5. Разрешимость трансцендентных уравнений и асимптотика корней

Дня анализа разрешимости уравнений (4.16), (4.19) нам необходимо знать структуру зависимости корней т±(е, к) уравнения ( ) от е и к. Мы будем отдельно рассматривать два случая: к € По и к € П1. При этом число Я1 в определении этих множеств можно выбрать сколько угодно большим (по фиксированным!), и данный выбор будет фиксирован далее.

Вначале рассмотрим случай к € П^ Выберем Я1 достаточно большим, так что к также оказывается достаточно большим и опишем асимптотическое поведение т±(е,к) при .

Лемма 5.1. Параметр Я1 в определении ( ) множества П1 можно выбрать так, что при к € П1 для корн ей т± (е, к) верны соотношения:

т±(е, к) = ±к + + + + 0(к_4), (5.1)

С±(е,к) := Т|(е±кк - 1), &(е, к) := Т^±(в,к), £(е, к) := Т($ ± (£;к)Т (2 - ав 2е ±ifc£) т ^ е±к £(е, к).

(5.2)

4 ' 1 2

+

внутри круга радиуса г с центром в точке к. Поэтому данный корень можно представить в виде

т = к + то, |то| ^ г, (5.3)

где т0 = т0(е, к) — некоторая функция. Подставляя такое представление в уравнение (4.7),

о

2 а

2то + + - (е^е- 1) = 0.

Ввиду априорной ограниченности т0, см. (), и принадлежности к € П, из полученного уравнения сразу следует, что | т0| ^ С А;-1 с некоторой константой С, не зависящей от е и

к. Поэтому представление ( ) можно уточнить:

+

т+ = к + , |т+| ^С. (5.4)

1+

П+)

к2

+

т+

|а е ык (е ^ - 1)| ^ Се к-1

С

т+(е, к) = е+(в, к) + , |т+(е, к^ ^ С, (5.5)

(т+)2 т+

2т+ + + а(е- 1) + ае(е- 1) = 0.

2+ = 2+ ( , ) С

к. Подставим полученное представление для т+ в ( ) и аналогично вычислениям выше

2+ .

е *= 1 - Щ-(е*к - 1) + 0(к_2), 2 к

,

т+ = ,к) + , (5.6)

Подставляя это соотношение, (5.4) и (5.5) в уравнение (4.16) и выделяя в иолучешюм

0( _2)

Гз+ = ,к) + ^^

где функция , к) ограничена равномерно по е и к. Подставляя это соотношение, (5.5) и ( ) в ( ), приходим к формуле ( ) для т+. Это же равенство для т- доказывается аналогично. Лемма доказана. □

Лемма 5.2. Для каждого фиксированного R\ при k Е Q0 и достаточно малых е первые члены рядов Тейлора корней r± (е,к) имеют вид

+ , ,, ,, iae а(2к2 + а) 2 3. , .

т±(е, к) = ±к + — Т 1 8к 'е2 + 0(е3). (5.7)

Доказательство. По лемме при k Е Q0 корни т±(е, к) голоморфны по е. Выпишем для них формулы Тейлора с первыми тремя членами с неопределенными коэффициентами и

подставим эти формулы в уравнение (4.7). Полученное равенство разложим в ряд Тейлора 0( 2) 2

но.нучеппые уравнения, приходим к соотношениям (5.7). Лемма доказана. □

Пусть к Е Ri выбрано согласно лемме , Равенство ( ) позволяет получить

аналогичные представления для отдельных выражений в лечзой части (4.16)

„«i-e)r± _ „±i(i-e) J. + i(i - g)£ + 2i(i - в)£ - (i - £)2(е±)2 е е 1 1 + к + 2к2

и

+ 6i(i - в)- 6(i - в)2е±- ig - ^)3(е±)3 j + 0(к-4);

(5.8)

бкз

где оценка остатка равномерна по е. Верны также очевидные равенства:

• ^- • , а£ , а2е2 . 1 а2е(ае2 + 6) ,

sin V к2 + ае = sin ке +—- cos ке--— sin ке--——-cos ке + и (к ),

2 к 8 к2 48 к3

cos л/к2 + ае cos ке ае sinke а(4 + ае2) cos ке а2е (ае2 + i8) sinke пц-5\

VWTä _ к 2к2 8к3 + 48к4 + ( ) (59)

2

+ а

^- ^--ае а(4 - ае2) cos ке а2е(ае2 - 6) sin ке

у к2 + а cos л/ к2 + ае _ к cos ке —— sin ке H--—--1--——¡-

а cos л/ к2 + ае _к cos ке--smfcsH--;--+ , IO

2 8 48 2

а2(а2е2 - 48) , 4.

+ 384-- cos ке + 0(к-4).

Подставим полученные соотношения в уравнение (4,16) и соберем члены до порядка 0(к-3) включительно. Тогда уравнение перепишется в виде:

*К+(е, к)

Ko(k) + Y, кЦ-^kL = 0,

3=1

k3

(5.10)

где К+ — некоторая равномерно ограниченная по е и к Е П функция, голоморфная по к Е П для каждого достаточно малого значения е, а функции К0, К+, К+ задаются формулами:

а а

К0(к) := сое к, К+(е, к) := —- втк + -(1 — е) вт&(1 + е),

2

2

К+(е, k) := —a (1 — 2(a(1 — е2)) cos k(1 + е) + a(1 — е2)cosk(1 + 2е) + 2 cos k(1 — e) + a cos k),

a2 f

K+(e, k) := — 3(a + 2(a — 1)e — ae2 — 2ae3)sink(1 + 2e) + 6(1 — e) sink(1 — e) 48 V

— a(1 — e)(1 + 2e)2 sink(1 + 3e) + a sink

— 3(a + 2 — (a — 6)e + ae2 + ae3) sin k(1 + e)^J.

Ясно, что функции K+, i = 1, 2, 3, ограничены равномер но по к Е Пи достаточно малым .

Функция К0 имеет нули в точках к = «п, п Е N, и верны очевидные оценки

|Ко(k)| ^ С min |k «п |, к Е П,

пЕМ

(5.11)

где С — некоторая константа, не зависящая от к, выбора Д1 и п, а сам индекс п выбирается из условия п ^ п0 с некоторым фиксированным п0, которое обеспечивает вложение кругов В к (кп) в область П. Уравнение ( ) можно переписать в виде

К+(к) +

f+(e, к) к

Лу К+ (е, к)

0, Г (е, к):= £ кЫ-Г1

3=1

(5.12)

Е П k,

í+(e, к)

^ С2 ^ С2 " \к\ " R¡,

(5.13)

где С2 — некоторая константа, не зависящая от е, к, и выбора R. Выберем число Ri из

условия

ПС >С2 4С > R.

Тогда из (5.11), (5.13) следует, что

í+(e, к)

\Ко(к)\ >

при

к Е П \ |JB4(«п).

(5.14)

пЕМ

Это неравенство означает, что уравнение ( ) не имеет корней вне кругов В к (кп), п ^ п0, и но теореме Руше имеет ровно по одному простому корню в каждом из данных кругов. Обозначим эти корни через кП.

С учетом (5.13) оценку (5.14) можно уточнить, а именно,

Г(е, к)

\К+ ( к)\ >

k

при к Е Всз (кп), п ^ п0,

(5.15)

п

с некоторой константой С3, не зависящей от п и е. Поэтому для корней кП верны оценки:

к -Кп| ^ —. (5.16)

п

В силу этого неравенства для кП справедливо представление

^п 1

кп = кп + , (5,17)

Кп

гДе СП 1 _ некоторые величины, ограниченные равномерно по е и п. Подставляя данное соотношение в (5,10) и выписывая члены вплоть до порядка 0(п-1), при больших п получаем:

(-1)n+1 £1 - (1 - (1 - е) cos Kne) + 0(п-1) = 0.

Отсюда следует, что

cn,1 = Сп,1 + —, Сп,1 := 2(1 - ^ cos Kn£ - ^ (5.18)

Кп 2 2

где 2 — некоторые величины, ограниченные равномерно по е и п. Подставим это представление в (5,17), а результат — в уравнение (5,10) и выделим затем члены до порядка

0( п-2)

Р п2

СП,2 = и2 + ^, СП ,2 := vе2(1 - e2) sin 2Kn£, (5.19)

где ^ 3 — некоторая равномерно ограниченная величина. Она определяется по такой же схеме, как и ^ 2, и в результате рутинных технических вычислений получаем:

£,з = С£ з + 0(п_1), (5.20)

где остаток равномерный по малому параметру е, а величина 3 задается формулой

,£ 3а € , . , >2 а €

Сп,з :=--6^(1 - ^(1 +£) °08 3 Кп£--^ СОй 2

а2 а2 (5-21)

+ (1 - е)(16 + 3ае2 - 2а£3 - ае4) cos кп£ - — (2 - е + е2). 64 8

Отсюда и из (5.17), (5.18), (5.19) окончательно получаем:

п п п

кпп = Кп + ^ + Ц2 + Ц3 + 0(п-4) (5.22)

К" tc2

Гьп Гьп Гьп

для е > 0, где оценка остатка равномерна по е.

Исследование уравнения (4,19) проводится но такой же схеме. Равенства (5,8) здесь заменяются па

о;/1 I г\С± \ (Л I г-\2( £±\2

i(1, п1. / - Д1 + t)C

е v y = е ^

-К1+£)т± = р Ti{1+e)kf i(i+e)e± 2i(i+g)& + (i+g)2(e±)2 ' 6 V1 к 2 к2

i(i+^)3(ei)3 - 6(1^e)2e±& - i(1+ бк3

+ v ' "rS1S2 " + 0(к-4)

)

.

0( _2)

аналог уравнения (5,10)

К„(*) + ^^ + + = 0, (5.23)

где К3 — некоторая равномерно ограниченная по £ и к Е П функция, голоморфная по к Е П , К1- К2-

К-(е, к) := -(1 + е) sin(1 — е)к — - sin к,

К-(е, к) := a(2(a+ 1 — e2)cosk(1 — е) — a(1 — е2) cosk(1 — 2е) — a cos k + 2cosk(1 +e)), 28

a2 í

К-(е, k) := — (12 + 3a + 6(1 — a)e — 3ae2 + 6ae3)sink(1 — 2e) — 6(1 + e) sink(1 + e) + a(1 — e)(2e — 1)2 sink(1 — 3e) — (a + 12) sink + 3( a + 6 - ( a - 2) - 2 + a 3) sin (1 - ) .

Вычисления соотношений (5.11)—(5.16) повторяются практически дословно и в результате вновь приходим к представлению (5.17). Подстановка этой формулы в уравнение (4.19) и выписывание членов до порядка 0(п-1) включительно дает аналог равенства (5.18)

= Сп,1 + —, С,,1 := a(1 + е) cos Кп£ — a (5.24)

пп 2 2

где 1 ~ некоторые величины, ограниченные равномерно по е и п. Дальнейшие вычисления аналогичны ( )-( ) и приводят к представлению ( ), но уже для е < 0 с

,

>е a2£ (1 — £2)

Сп,2 : =-8-s «п£,

С 3 := — ^(1 + £)(1 — £)2 cos 3 «пв — ^(2+g) cos 2«пв (5-25)

64 8

a 2 a 2

+ -т(1 + е)(16 + 3aе2 + 2 ae3 — ae4) cos к,п£--(2 + 3е + е2).

64 8

Из этих формул и (5.22), (4.2) вытекают асимптотики (2.8), (2.9).

R1

в определении ( ) множества П0. Пусть теперь к Е П1 с тем же R1. Уравнения ( ) и (4.19) перепишем в виде

F+(e, к) = 0 при е > 0, F-(e, к) = 0 при е < 0, (5.26)

где обозначено:

F+(£,к) := (ei(1-£)r + — é(1-£)T-)VW+asinVW+~a£

— i (г+еi(1-£)T+ — т-еi(1-£)T-) cos VW+~a£ = 0,

--ir+(e,k)(1+e) е-ir-(e,k)(1+e)'

(5.27)

F-(£,k) = ---^MT) cosVk+a£

+ i(e-ir +(e,k)(1+e) _ е-уг-(e,k)(1+e)\sin Vk2 + a = 0

v ; vw+a '

(5.28)

В силу леммы функции F±(e, к) голоморфны по достаточно малым комплексным е и к Е По, левые части этих уравнений представляют собой голоморфные по к и е функции, причем

2 cos к

F+(£, к) = —2ikcos к + 0(e), F_ (е ,к) = —-— + 0(e).

к

Поэтому в силу теоремы о неявной функции |21, Thm, 1,3,5, Rem, 1,3,6| при достаточно малых е уравнения ( ) имеют ровно по одному корню к'П в окрестности точек кп, попадающих в область По, причем эти корни голоморфны по е. Первые члены рядов Тейлора корней этих уравнений легко находятся аналогично доказательству леммы 5,2:

-2

При £ > 0 И

,, 6а£ а£2 ( 2а 576а \ _ , __

кп = -п - — + -^(-п + -----И + 0И (5.29)

—п 4 \ —п —п/

if 2 а£ а£2 ( 2 а 64а \ _ ,гпМ

К = -п--+ ^ -п +---г + 0(£3) (5.30)

—п 8 V —п —п/

при е < 0. Отсюда следуют соотношения ( )-( ).

Приведенные вычис.:1епия не доказывают полностью теорему 2.2. Причина в том, что решения уравнения из ( ) на интервале (0,1 — е) и уравнения из ( ) на интервале (|е|, 1) мы ищем в виде (4.13) и (4.17), не имея утверждения о том, что это общее решение. Более того, такое утверждение просто неверно, так как перед леммой 4.1 уже отмечалось, что уравнение (4.5) имеет гораздо более богатое семейство решений. Поэтому дня завершения доказательства теоремы необходимо ещё доказать, что при достаточно больших п у оператора Н£ нет собственных значений, отличных от найденных выше. Для этого нам потребуется изучить поведение собственных функций, соответствующих найденным собственным значениям, что также позволит нам доказать теорему 2.4. Такое исследование будет проведено в следующем параграфе.

6. Собственные функции

Пусть к£п — один из корней уравнения ( ), Тогда система линейных уравнений ( ) имеет нетривиальное решение, В случае достаточно больших п ^ N из асимптотик ( ), (5,9), (5,22), следует, что

(еК1-£)т,£) - еi(i-£)r,£= 2(—1)ni cos Кп£ + 0(п-1),

r+ei(l-£)r +(к* ,£) _ т-еi(l-£)r,£)

2(-1)ni sin Кп£ + 0(п-1)

sin \J( к£)2 + а£ = sinкп£ + 0(п-1), cos \J(к£п)2 + а£ = cos кп£ + 0(п-1).

Поэтому ранг матрицы линейной системы (4,15) равен единице и она имеет единственное линейное независимое решение. Решение этой системы порождает единственную собственную функцию (ж), соответствующую собственному значению \£п по формулам ( ),

пп

Умножим второе уравнение системы на и сложим с первым, В полученном равен-

стве положим С2 = (—1)пл/2 и выразим оттуда С1. Тогда имеем решение

С1 =(-1)п^2е

1 _ т+(к,£) \ ei(i-£)T+(k-,,) _ Л _ т (к,£) \ еí(I-£)t-(к-п,Л ' 7 V V( к£п)2 + « J J '

Разложения ( ), ( ), ( ) позволяют получить аналогичные разложения для С1 при п ^ :

1 ш

Ci = --^ + 7-7=—(1 - е) sin кп£ + 0(п-2), (6.2)

V2 2у2пп

где оценка остатка равномерна по е. Подставим эту формулу и равенство С2 = (-1)" в (4,14), (4,15), и с учётом асимптотик (5,22) с коэффициентами из (5,18), (5,19), (5,21) выпишем первые члены асимптотики собственных функций, соответствующих собственным значениям \£п. В результате технически длинных, но простых вычислений получаем:

а(1 — е)

Фп(х) =V^2 sin кпх--Р-(1 — х) cos кпх cos ПпЕ + 0(п-2),

\]2т\ п

в норме С2[1 — е, 1] и

Фп(х) = /2 sin кпх +---П— (((1 — е)х — 1 + е) cos кп(х — е)

— (х(1 + е) — 1 + е) cos кп(х + е)) + 0(п 2)

в норме С2[0,1 — е], где оценки остатков равномерны по е. Отсюда уже вытекают асимптотики (2,13), (2,14),

В случае е < 0 и системы ( ) вычисления аналогичны. Ранг матрицы данной системы снова равен единице и дня получения требуемого нетривиального решения мы умножаем

i

С1 = л/2 и выражаем оттуда С2 :

С2 = — i/2 еV(fc»)2+ае

к£п)2 + а\ р_i(i+e)r+(fc= ,е) _ Л _ У(К)2 + а\ р-i(i+£)r-(k^e)\

r+fe £) ) \ т-(к?п, Е) ) ) .

Асимптотика такого коэффициента при п ^ оказывается следующей:

С2 = + Цd— (1 + е) sin КПЕ + 0(п-2). (6.4)

л/2 2у2пп

Подставим теперь С1 = /2 и формулу (6.3) в (4.17) и с учётом асимптотик (6.4) и (5.22) с коэффициентами из (5.24), (5.25) выпишем первые члены асимптотики собственных функций, соответствующих собственным значениям \£п. В результате получаем

Фп(х) = /2 sin кпх +—-¡п— (1 + е)х cos кпЕ cos к,пх + 0(п-2) (6.5)

в норме С2[0, |е|] и

Фп(х) = /2 sin Кпх--п— ((х(1 — е) + 2е) cos кп(х + е)

2у/2жп (6.6)

— х(1 + е) cos кп(х — е)) + 0(п-2)

в норме С2[|е|, 1], где оценки остатков равномерны по е. Отсюда уже вытекают асимптотики (2.13), (2.15).

Пусть теперь п ^ N. Тогда для корней к£п верны разложения ( ), ( ) и системы (4.15), (4.18) вновь имеют но одному нетривиальному решению. Эти решения выбираем также как и выше, взяв указанные выше линейные комбинации уравнений систем (4.15), (4.18). Вместе с тем, в сну чае первой системы нетривиальное решение выберем, положив

соответственно

Cl = ——' + .

С =__Le-iV(fc«)2+а£( (1 Т+ (кП' g)-ei(i-

л/2

В случае системы (4,18) полагаем (—1)n—2 к£п

V( К )2 + а

-e)r + (*£ ,¿)

1

Т ( кп, £) ^ ^ i(1—e)r-

V( кП )2 + а

i(1-e)r-(k-„,e)^j .

С2 =

V( кП )2 + «'

Ci = -i—f 1 - V-i(1+

VV (к£п, e) )

V( кп)2 + ^ í>-i(i+,

r-( кп, £)

-i(1+e)r + (*£ ,e)

- | 1 V У-rw ■ ^e-i(1+e)r-(fc-

Подставим эти формулы в (4,13), (4,14), (4,17) и с учётом разложений (5,29) и (5,30) выпишем аналогичные разложения для собственных функций при е ^ +0. В результате при е > 0 получаем

е ах

ФП(Х) = /2 sin Кпх —

(ж sin кпх + 6 cos кпх) + 0(е2)

в норме С[0,1 — е] и

ФП(х) =(—1)Пл/2 cos /кП + а(х — 1)

+ (—1)neа\ — cos л/кП + а(х — 1) +

3—^ 1) sin УКПГ^(х — 1) ) + 0(е2)

л/кП + а J

в норме С[1 — £, 1], где оценки остатков, вообще говоря, неравномерны по е. В случае е < 0 аналогичные формулы имеют вид:

л/2 кп

ф£П (х)

л/кП + а + —2е а

sin л/кП + ах

Кп

VKn + а кп (КП + а)3 3 кП 2( кП + а)

^ sin

х cos л/кП+ах^ + 0(£2)

Кп + ах

в норме С[0, |е|] и

Фп (х) =л/2 sin кПх---¡=.

£ а ( 3х — 2

-

V2 V к

cos кпх + (х — 1) sin кпх ) + 0(е2)

)

в норме С[|е|, 1], где оценки остатков, вообще говоря, неравномерны по е. Полученные соотношения доказывают асимптотики (2.16)—(2.18).

Покажем теперь, что при достаточно малых е собственные функции фП, n ^ Z+, образуют базис в L2(0,1). Вначале отметим, что функции фП (х) := л/2 sin кПх образуют ортонормированный базис в L2(0,1). Каждую из функций фП(х) представим в виде

фП(х) = фП(х) + ФП(х)

(6.7)

и отмстим, что из асимптотик (2,13), (2,16) сразу следуют оценки:

\Ю\Ы0,1) ^ С~4, п (6.8)

ШЫо,1) ^ съ\е\1, п ^М. (6.9)

Здесь выбор номера N определяется асимптотикой ( ), а именно, это число, не зависящее от е, такое, что при п ^ N верны асимптотическое равенство ( ) и оценка ( ) с константой с4, те зависящей от е, п и выбора N. Зафиксировав М, далее мы выбираем достаточно малое £0 = е0( М) так, что при \е\ < е0 верны асимптотики (2.16) для всех п ^ N и оценки ( ) с константой с5, не зависящей от е и п.

Так как функции фп образуют базис в Ь2(0,1), каждую го функций ф£п можно разложить по этому базису:

оо

ф£ = £ ашпФт, атп := (фп,ф°т) ¿2(0,1). (6.10)

т=0

На пространстве Ь2(0,1) теперь введём оператор, действующий по правилу

те те

Ли ^п^п, (6.И)

т=0 п=0

где коэффициенты ип определяются го разложения функции и по базису {фп}

те

и У^ ипфп. (6.12)

п=0

Покажем, что оператор Л определён корректно и при малых е его норма мала. Положим

О 11т1иц. (6.13)

т ■ /.^тп^п-

п=0

Так как ипи аетп — коэффициенты разложений функций и, фп Е Ь2(0,1) по бази су {ффп}, то ряд в определении чисел иЕт сходится, и последовательность {иЕт} корректно определена. Из неравенства Коши-Буияковского и оценок (6.8), (6.9) сразу следует неравенство

/те X1 (с4п-1, п ^ М,

\ К* \ ^ > >п\2) > >шп\2 < \\и\\ ¿2(0,1)\\ф£т\\с[0,1] ^ \\и\\ь2(0,1) \ лт

Кп^ ) \п=0 ) 1СбИ2, п

Отсюда выводим

тете

£ \<\2 ^ сЦе\М + с4 £ п-2\ \и\\1{0,1). (6.14)

т=0 \ т=М /

те

Так как ряд ^ п-2 сходится, выберем н зафиксируем достаточно большое N так, чтобы

т=0

гарантировать выполнение неравенства

те1 £п-2 ^ -.

п=М

0 \ \ < 0

неравенство

c¡\s\N ^ 8.

Тогда из этих двух неравенств и (6,14) выводим

£ I<|2 ^ 4N 1(0,1).

т=0

Откуда и из ( ), ( ), сразу следует, что ряд в определении оператора А сходится в Ь2(0,1), что означает корректную определенность оператора А, и дополнительно верна оценка

Ии||Ь2(0,1) ^ 2\\и11 ¿2(0,1). (6.15)

Непосредственно из определения оператора А и формулы ( ) следует, что

Гп = (1 + А)ф°п

где Т — единичный оператор в Ь2(0,1). Оценка ( ) позволяет утверждать существовании обратного ограниченного оператора (Т+А)-1 на пространстве Ь2(0,1). Таким образом, у пас имеется ограниченный оператор, обладающий ограниченным обратным, который базис {фп} переводит в систему функций {фп}. Следовательно, вторая система функций также является базисом в Ь2(0,1). Отсюда вытекает, что оператор Н£ не может иметь никаких иных собственных функций, кроме построенных выше функций фп. Следовательно, набор собственных значений Лп, описанный в теореме , исчерпывает весь спектр оператора Н£. Теоремы , , полностью доказаны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.L. Skubaehevskii. Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser Vcrlag, Basel (1997).

2. G.A. Kamenskii. Extreme, of nonlocal functional and boundary value problems for functional differential equations, Nova Science Publishers, New York (2007).

3. А.Л. Скубачевский. Краевые задачи для эллиптических фуикциоиальио-диффереициальиых уравнений и их приложения /7 Уеп. мат. наук 71:5(431), 3 112 (2016).

4. В.В. Лийко, А.Л. Скубачевский. Смешанные задачи для, сильно эллиптических дифференциально разностных уравнений в цилиндре /7 Мат. заметки 107:5, 693 716 (2020).

5. Р.Ю. Воротников, А.Л. Скубачевский. Гладкость обобщенных собственных функций дифференциально разностных операторов на конечном интервале /7 Мат. заметки 114:5, 679 701(2023).

6. А.В. Muravnik. On the. Cauchy problem for differential-difference parabolic equations with high order nonlocal terms of general kind /7 Discrete Contin. Dvn. Svst. 16, 541 561 (2006).

7. Л.Е. Роееовекий. Эллиптические фуикциоиальио-диффереициальиые уравнения со cotcamu-е.м, и растяжением аргументов неизвестной функции /7 Соврем, мат., фундам. направл. 54, 3 138 (2014).

8. В.А. Марченко. Опера,торы Штурма Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка (1977).

9. Б.М. Левитан, И.С. Сарх'сян Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука (1970).

10. А.А. Шкаликов. О предельном, поведении спектра при больших значениях парам.етра одной модельной задачи /7 Мат. заметки 62:6, 950 953 (1997).

11. С.Н. Туманов, А.А. Шкаликов. О предельном, поведении спектра модельной задачи для, уравнения Орра Зоммерфельда с профилем Пуазейля, /7 Изв. Росс. акад. наук, сер. мат. 66:4, 177 204 (2002).

12. С.А. Стенин. Модель перехода от, дискретного спектра, к непрерывному в сингулярной теории возмущений /7 Фундам. прикл. мат. 3:4, 1199 1227 (1997).

13. C.S. Morawetz. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity //J. Rat. Mech. Anal. 1, 579-603 (1952).

14. A.B. Дьяченко, А.А. Шкаликов. О модельной задаче для уравнения Орра-Зоммерфельда с линейным профилем // Функц. анал. прилож. 36:3, 71-75 (2002).

15. А.А. Шкаликов. Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса // Соврем, мат., фундам. направл. 3, 89-112 (2003).

16. С.Н. Туманов, А.А. Шкаликов. Предельный спектральный граф в квазиклассическом приближении для задачи Штурма-Лиувилля с комплексным полиномиальным потенциалом II Докл. Акад. наук, Росс. акад. наук. 465:6, 660-664 (2015).

17. S.N. Tumanov, A.A. Shkalikov. Spectral portraits in the semi-classical approximation of the Sturm-Liouville problem with a complex potential //J- Phvs. Conf. Ser. 1141, 012155 (2018).

18. X.K. Ишкин, Р.И. Марванов. Об условиях локализации спектра модельного оператора для, уравнения Орра-Зоммерфельда // Уфим. мат. ж. 12:4, 66-79 (2020).

19. D.I. Borisov, D.M. Polvakov. Resolvent convergence for differential-difference operators with small variable translations // Mathematics. 11:20, 4260 (2023).

20. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. M.: Мир (1972).

21. R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. North-Holland, Amsterdam 1985.

22. Д.И. Борисов, Д.M. Поляков. Спектральные асимптотики для одномерного оператора Шрёдингера, на, отрезке со сдвигом, в свободном члене и условием Дирихле // Изв. Росс, акад. наук, сер. мат. (направлено в печать).

23. Д.И. Борисов, Д.М. Поляков Асимптотики собственных значений оператора Шрёдингера, с малым сдвигом, и условием Дирихле // Докл. Росс. Акад. наук. Мат. инф. процессы упр. 517:3, (2024). (принята к печати.)

Денис Иванович Борисов,

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]

Дмитрий Михайлович Поляков,

Южный математический институт — филиал

Владикавказского научного центра РАН,

ул. Ватутина, 53,

362025, г. Владикавказ, Россия

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]