Простейшие графы с малыми ребрами: асимптотики резольвент и голоморфная зависимость спектра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 56-71.

УДК 517.958

ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФЫ С МАЛЫМИ РЕБРАМИ: АСИМПТОТИКИ РЕЗОЛЬВЕНТ И ГОЛОМОРФНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СПЕКТРА

Д.И. БОРИСОВ, М.Н. КОНЫРКУЛЖАЕВА

Аннотация. Рассматривается простейший граф, состоящий из двух ребер конечной длины и малого ребра с общей внутренней вершиной. Длина малого ребра считается малым параметром в задаче. На таком графе ребре рассматривается оператор Шрё-дингера с условием Кирхгофа во внутренней вершине, условиями Дирихле на внешних вершинах конечных ребер и условием Дирихле либо условием Неймана на внешней вершине малого ребра. Показано, что такой оператор в смысле равномерной резольвентной сходимости сходится к оператору Шрёдингеру на графе без малого ребра, для которого во внутренней вершине следует поставить условие Дирихле, если на внешней вершине малого ребра исходно ставилось условие Дирихле. Если же на внешней вершине малого ребра исходно ставилось условие Неймана, то в пределе во внутренней вершине сохраняется условие Кирхгофа, в котором тем не менее может измениться коэффициент. Основной полученный результат для резольвент - выяснение вида первой поправки в их асимптотике и получение оценки остатка.

Вторая часть работы посвящена изучению зависимости собственных значений от малого параметра. Несмотря на сингулярное возмущение графа, собственные значения зависят от малого параметра голоморфно и представляются сходящимися степенными рядами. Обнаружено, что при возмущении могут возникать неподвижные собственные значения, остающиеся на месте и не зависящие от малого параметра. Приведен критерий, определяющий возникновение таких собственных значений. Для подвижных собственных значений выписаны формулы для коэффициента в первом члене в их ряде Тейлора.

Ключевые слова: граф, малое ребро, спектр, асимптотика. Mathematics Subject Classification: 34В45, 81Q15

1. Введение

В последние двадцать лет спектральная теория эллиптических операторов на графах, или просто теория квантовых графов, активно развивается и имеется огромное число работ по этой тематике. Не ставя целью перечислить все работы, мы упомянем лишь монографии [5], [7] и список литературы в данных книгах.

Важным направлением исследований является развитие теории возмущений для квантовых графов. И одним из наиболее интересных возмущений, обусловленных специфической геометрией графов, являются малые ребра. Подобные задачи стали рассматриваться сравнительно недавно. В работе [9] было показано, что произвольное краевое условие в

D.I. Borisov, M.N. Konyrkulzhaeva, Simplest graphs with small edges: asymptotics for

resolvents and holomorphic dependence of the spectrum.

© Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. 2019.

Исследование Д.И. Борисова выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00046.

Поступила 5 января 2019 г.

вершине может быть аппроксимировано в смысле равномерной резольвентной сходимости с помощью графа с малыми ребрами и ^-взаимодействиями во внутренних вершинах. Наиболее подробное исследование графов с малыми ребрами было сделано в работе [8]. Здесь рассматривались графы произвольной структуры с произвольными краевыми условиями в вершинах и предполагалось, что у рассматриваемых графов часть ребер имеют малую длину. Были детально исследованы вопросы равномерной резольвентной сходимости и сходимости спектров для таких задач в зависимости от структуры графов и заданных краевых условий.

Результаты работы [8] ставят следующие естественные вопросы: как выглядит асимптотика резольвент операторов на графах с малыми ребрами? Какова зависимость спектра от длин малых ребер, например, как от них зависят собственные значения? Разумеется, ответы на эти вопросы нужно начинать искать с рассмотрения наиболее простых графов и пожалуй простейшая модель - это звездный граф с тремя ребрами, одно из которых имеет малую длину, см, рис, 1, Удивительно, но даже у этой простой модели обнаруживаются достаточно неожиданные свойства. На наш взгляд, эти свойства заслуживают отдельного исследования упомянутой модели - это и делается в настоящей статье.

Основные полученные результаты таковы, В рассматриваемом графе во внутренней вершине ставится условие 5-взаимодействия, на внешних вершинах конечных ребер - условие Дирихле, на внешней вершине малого ребра - условие Неймана или условие Дирихле, Малым параметром служит длина малого ребра, В качестве оператора выбирается оператор Шрёдингера, причем на малом ребре допускается сингулярная зависимость потенциала от малого параметра. Предельный оператор - это тот же оператор Шредингера, но на графе без малого ребра (рис, 2.) В случае условия Дирихле на внешней вершине малого ребра в пределе во внутренней вершине ^-взаимодействие заменяется условием Дирихле, В случае условия Неймана на внешней вершине малого ребра ^-взаимодействие во внутренней вершине остается, но в коэффициенте возникает добавка, равная среднему значению сингулярного потенциала на малом ребре, В обоих случаях в работе получены первые поправки для резольвенты исходного оператора и дана оценка остатка в смысле операторной нормы резольвенты. При этом оказывается, что остаток оценивается только ¿2-пормой на малом ребре для функций, на которые действуют резольвенты исходного и предельного операторов, см, теоремы 2,1, 2,2,

Далее в работе исследуется поведение собственных значений в зависимости от малого параметра. Обнаруживается, что собственные значения у рассматриваемых графов с малым ребром зависят от малого параметра голоморфно. Это достаточно неожиданный результат в свете упомянутого выше факта, что малое ребро является сингулярным возмущением и при таких возмущениях для собственных значений можно выписать асимптотические ряды, но они как правило даже не сходятся. Кроме того, у модели обнаруживаются неподвижные собственные значения, не зависящие от малого параметра. Для подвижных собственных значений мы явно находим первые члены их рядов Тейлора и в случае краевого условия Дирихле на внешней границе малого ребра эти поправки оказываются отрицательно определенными,

В заключение этого параграфа кратко опишем структуру статьи, В следующем параграфе вводятся основные обозначения и строго формулируются результаты, В третьем и четвертом параграфах строятся первые члены асимптотических разложений резольвент. Поведение собственных значений изучается в пятом и шестом параграфах.

РИС. 1. Граф Г£ с малым ребром: длины ребер е± равны фиксированным числам а±, длина ребра е£ равна е и является малым параметром

2. Постановка задачи и основные результаты

Пусть Г£ - ориентированный граф, состоящий из трех ребер конечной длины, одной внутренней вершины, соединяющей эти ребра и трех граничных вершин. Два ребра выберем фиксированной длины, а третье ребро будем считать малым (рис, 1.) Ребра графа обозначим через е_, е+, е£ с длинами соответственно а_, а+ и е, оде е - малый положительный параметр. На ребрах зададим соответственно переменные х± € [0, а±] и х£ € [0, е]. Внутреннюю вершину обозначаем через Мс и считаем, что она соответствует значениям х± = 0 хе = 0, Граничные вершины соответствуют значениям х± = а±, хе = ей обозначаются через М± и М£.

В пространстве Ь2(Г£) := Ь2(е_) ф Ь2(е+) ф Ь2(е£) определим оператор Шрёдингера:

й2

--т^ + К (х) + а5(х), (2.1)

ах2

где производные берутся по переменным на ребрах, а потенциал У£ задается равенством

{Ш_(х_) на е_,

Ш+(х+) на е+,

е_1 W_1 (^ ) + Wс (^ ^ на е£.

Здесь - вещественные ограниченные измеримые функции на е±, - веществен-

ные ограниченные измеримые функции на [0,1]. Последнее слагаемое в (2.1) описывает ¿-взаимодействие с константой связи а € К и оно соответствует следующему граничному условию во внутренней вершине:

и_(0) = и+(0) = и£(0) =: и(Мс), и'_(0) + и+(0) + и'е(0) = аи(Мс), (2.2)

где и = (и_, и+, и£) - функция, заданная на графе Г£, На граничных вер шинах М± выставляется краевое условие Дирихле:

и±(М±) = 0, (2.3) а на вершине М£ - краевое условие Дирихле

ие(е) = 0 (2.4)

или краевое условие Неймана

и'е(е) = 0. (2.5)

Описанный оператор обозначаем через Н,? в случае краевого условия (2,4) и через Н^ в случае краевого условия (2,5), В качестве областей определения операторов Н,Р и Н^ берутся следующие плотные подмножества в Ь2(Ге):

) := {и = (и_,и+,ие) е Ь2(Ге) : и± е Ш^(е±), и£ е Ш2(ее),

,

) := {и = (и_,и+ ,и£) е ¿2(Ге) : и± е Ш2(е±), и£ е Ш2(е£), выполнены условия (2,2), (2,3), (2,5)}.

Операторы Н,? и Н^ самосопряжены.

Основная цель работы - исследовать поведение резольвент и спектров операторов Н^ и Н^ при малых е.

Для формулировки основных результатов нам понадобятся вспомогательные обозначения, Через Го обозначим граф, получе нный из Г£ удалением ре бра ае и верши ны М£, то есть, граф Го состоит го двух ребер е_ и е+, соединенных верш иной Мо и двух граничных вершин М± (см, рис, 2.)

В пространстве Ь2(Го) := Ь2(е_) ф Ь2(е+) рассмотрим оператор с дифференциальным выражением

й2

—+ И, Уо := на е±, ах2

с краевым условием Дирихле в граничных вершинах М±:

и±(М±) = 0. (2.6)

В вершине Мо ставится либо условие Дирихле

и±(0) = 0, (2.7)

либо задается дельта-взаимодействие:

1

и_(0)= и+(0)=: и(0), и'+(0)+ и-(0) = (а + р)и(0), р :Ш_1(г) <И. (2.8)

о

В случае условия (2,7) оператор обозначаем через Н^, в случае условия (2,8) - через Н^. В качестве областей определения этих операторов берутся следующие плотные подмножества в Ь2(Го):

&(Н$) := {и = (и_,и+) е Ь2(Го) : и± е №?2(е±), выполнены условия (2,6), (2,7)}, &(Н$) := [и = (и_,и+) е Ь2(Го) : и± е 1№?2(е±), выполнены условия (2,6), (2,8)}.

Операторы Н^, Н^ самосопряжены.

Через и± = и±(х±, А) обозначим решения задач Коши:

- и'± + (Ш± - \)и± = 0 в (0, а±), и±(а±,\) = 0, и'±(а±,Х) = 1. (2.9)

Такие задачи однозначно разрешимы и решения голоморфны по А е С в норме ),

Для 1т А = 0 обозначим

И- (х-,Х)

———— на е-,

™ - < КХ

ММТ на е+.

Рис. 2. Предельный граф Го

Данная функция определена корректно и £7±(0,А) = 0 при 1тЛ = 0, так как иначе операторы Шрёдингера — ^ + на ребрах е± с краевыми условиями Дирихле имели бы комплексные собственные значения.

Наш первый результат описывает равномерную резольвентную сходимость операторов и Н? к операторам и Теорема о сходимости оператора выглядит следующим образом.

Теорема 2.1. При 1т А = 0 для всех f € Ь2(Ге) верны оценки:

||(Н° — А)-1/ — ('О — А)-1/|г0 — 1°(Л)Ф|^2(е_)е^2(е+) ^ \\/\и2Ы \\('О — А)-1/^ (е£) ^Св\\ПЬ2 (е£),

£ з

4°(Л) := / *еД0ге) <*ге, (Л)| ^ —\\Д\\^(е£).

(2.10) (2.11)

(2.12)

о

Результаты о сходимости резольвенты оператора Н? приводятся в следующей теореме. Теорема 2.2. При 1т А = 0 для всех f € Ь2(Ге) верны оценки:

II ('1 —А)-1/ — (Н? — А)-1/|го — (/)ф\ж|(е-)еж|(е+) ^ \\П\Ь2 (е£), \\(Н? — А)-1/^ (е£) ^ С в\\ПЬ2 (е£),

£

^-(0,А)^+(0,А)

(2.13)

(2.14)

I?( /) :=

Р(А) — (а + р)и-(0, А)^+(0, А)

/0ге)*ге, |1?(/)| \\/\\^ (е£).

Выражение Р(А) — (а + ¡3)^(0, А)^+ (0, А) не обращается, в нуль при 1т А = 0.

Операторы 'О, и Н? имеют компактную резольвенту и их спектры чисто

дискретные. Через А° (е) и А?(е) обозначим собственные значения операторов и упорядоченные в порядке возрастания с учетом кратности. Наш второй результат описывает поведение этих собственных значений при е ^ +0. Прежде, чем его сформулировать, опишем спектр операторов и

Собственные значения оператора совпадают с корнями уравнения

^-(0,А)^+(0,А) = 0. (2.15)

Эти корни обозначим через Л°, п б!, и упорядочим по возрастанию с учетом кратности как собственных значений. Если некоторое Л° является нулем только одной из функций

и±(0, А), то такое собственное значение простое. Если оно является корнем обеих функций и±(0, А), то такое собственное значение двукратное и в этом случае Л® = Л®+1 согласно выбранному упорядочиванию.

Теорема 2.3. При достаточно малых £ собственные значения (е) голоморфны по £ и А% (0) = . Если - простое собственное значение, то собственное значение (е) также простое и

^(0) = пРи Ап ) = 0, UT(0, ) = 0. (2.16)

Если, Л°п = Л^+1 - двукратное собственное значение, то оператор имеет два, собственных значения (£) и А%+1(е), сходящихся к при £ ^ +0. Собственное значение А,% (е) голоморфно по £ и верно равенство

Щ(0) = _ (и^Л,))2 (и+ ^Л,))2 (

<Ь() \\и-(^Л-п)ГЫе_) и+ Л-)\\12{е+) - }

Собственное значение А,+1 (е) не зависит от £ и совпадает с . Обозначим:

^(А) := и' (0,А)и.(0,А) + и'_(0,А)и+(0,А).

Собственные значения оператора совпадают с корнями уравнения

F(А) - (а + ¡3)U-(0, A)U+(0, А) = 0. (2.18)

Эти собственные значения обозначим через А^ и упорядочим по возрастанию с учетом кратностей.

Теорема 2.4. Все собственные значения А^ простые. Для каждого А^ числа U-0(0, А.^) и U+0(0,К1^) обращаются, или, не обращаются, в нуль одновременно.

При достаточно .малых £ собственные значения А^(е) голоморфны по £ и выполнены равенства, А^(0) = А^ . Если, U±(0, Л^) = 0, то А^(е) не зависит от е и совпадает с А^. Если U±(0, Л*) = 0, то верны равенства:

U_ (0, A*)U+(0, Л*) [}w0(t)dt-f(fW1(s)ds) dt + Л£]

d4 (0) =-2-^-^-^-. (2.19)

d£ (U+ (0, a*))2\\u. к-)\\l2(e_) + (u_ (0, a«))2\\U+(; K)\\l2{e+)

Обсудим основные результаты работы. Сразу подчеркнем, что несмотря на простой вид графа Г£, полученные результаты весьма богаты по содержанию. Согласно теоремам 2.1, 2.2, при уменьшении длины ребра е £, резольвенты операторов НР и 'Н^ сходятся к резольвентам операторов НР и Н^. Сходимость для oneратора НР означает, что если на внешней вершине малого ребра ставится краевое условие Дирихле, то в пределе при е ^ +0 это краевое условие заменяет условие Кирхгофа во внутренней вершине М0, В свете работы [8] это достаточно ожидаемый результат. Вместе с тем, теорема 2.1 дает больше информации о сходимости резольвенты. А именно, оценка (2.10) дана в более сильной норме ограниченных операторов из L2(T£) в W%(e_) ф W22(е+). Кроме того, в оценке приведен также первый член разложения резольвенты, которым является слагаемое £Р(fe)^. Оно мало по норме в силу (2.12). Оценка (2.11) означает, что резольвента возмущенного оператора, суженная на малое ребро е£, мала в норме L2(eе). Обратим еще внимание на правые части оценок (2.10) и (2.11). В них фигурирует только норма правой части по малому ребру. Это означает, что если сужение правой части на малое ребро равно нулю,

то действия резольвент операторов и на такие функции f совпадают на Г0 и действие резольвенты оператора малом ребре равно нулю. Другими словами, разность резольвент фактически зависит лишь от правой части на малом ребре.

Аналогичная ситуация имеет место и для операторов Н? и Несмотря па то, что теперь па внешней вершине ребра е £ ставится краевое условие Неймана, предельное краевое условие в вершине М0 содержит дополнительный коэффициент Р, см, (2,8), Данный коэффициент обусловлен наличие потенциала Ш-1 па ребре е£ у возмущенного оператора, Такой эффект согласуется с известными результатами об аппроксимации дельта-взаимодействий у одномерных операторов потенциалами вида £-1У для финитных функций V с ненулевым средним, см., например, [6, От 1,3],

Наличие равномерной резольвентной сходимости для операторов с сингулярными возмущениями - достаточно ожидаемый факт, если сравнивать задачи на графах с задачами в многомерных областях, В качестве соответствующего примера упомянем задачи в областях с малыми отверстиями - классическую модель сингулярной теории возмущений, Выполнение равномерной резольвентной сходимости для таких задач было показано в работах [1], [2], С этой точки зрения сингулярно возмущенные операторы проявляют свойства, аналогичные регулярно возмущенным. Вместе с тем, в случае регулярных возмущений, резольвенты и собственные значения возмущенных операторов голоморфно зависят от малого параметра, описывающего возмущение. При этом данное утверждение, как правило, неверно для сингулярно возмущенных операторов. Например, в классической задаче в области с малыми отверстиями для собственных значений и резольвент можно строить полные асимптотические разложения по малому параметру [3, От Ш], [4], но никаких утверждений о сходимости данных рядов и, тем более, о совпадении сумм рядов с возмущенными резольвентами и собственными значениями не доказано.

Ввиду сказанного выше, результаты теорем 2,3, 2,4 выглядят весьма неожиданными и интересными. Основное ключевое утверждение этих теорем - это голоморфная зависимость собственных значений от малого параметра. Другими словами, асимптотические ряды для собственных значений рассматриваемых операторов сходятся и суммы их совпадают с возмущенными собственными значениями. Дополнительно обнаруживается еще один эффект - неподвижные собственные значения. Для оператора такие собственные значения возникают в окрестности двукратных предельных собственных значений: каждое такое предельное собственное значение расщепляется на два возмущенных, одно

Н £1

М0

предельное собственное значение уже простое, но при возмущении оно остается неподвижным.

Для подвижных собственных значений возмущенных операторов в теоремах 2,3, 2,4 вычислены первые поправки в их разложениях, см, формулы (2,17), (2,19), Как следует из

М£

и здесь добавление малого ребра действует на спектр как неположительное возмущение,

М£

вопрос о ее знаке априорно легко не решается.

По всей видимости, описанные выше эффекты обусловлены не простотой графов Г£ и Г0, а являются общим свойством по крайней мере большого класса графов с малыми ребрами. Подтверждению данной гипотезы будет посвящена одна из наших будущих работ.

3. Асимптотика резольвенты оператора В настоящем параграфе мы доказываем теорему 2,1,

Для заданной / е Ь2(Г£) через /0 обозначим сужение / на граф Г0, а через /£ - сужение / на ребро е£. Положим: м£ := — А)-1/, м0 := — А)-1/0, С учетом краевого условия (2,2) и определения функций 77± ясно, что

м£ = м0 + С£Ф на Г0, (3,1)

где С£ - некоторая константа, которая будет определена позднее.

Для определения функции м£ на ребре е£ рассмотрим вспомогательную задачу Коши:

— 7° + (е^-1(е)+ е2^0(С) — = 0, ее (0,1), 7°|?=1 = 0, 7°|?=1 = 1,(3.2)

где ^ - малый комплексный параметр. Данная задача однозначно разрешима, имеет решение 77° = 77°(С,£,которое голоморфно по е и ^ в норме ^22(0,1), Непосредственными вычислениями проверяем, что

(£ ,е,^) = С — 1 + 0(е+ И). (3.3)

Через обозначим оператор Шрёдингера в пространстве ¿2 (0,1) с дифференциальным выражением

— +^-1(0+^0(0 (з.4)

и краевыми условиями Дирихле. Область определения оператора - множество функций из ^22(0,1), обращающихся в нуль на границе. Ясно, что оператор обратим и обратный ограничен как оператор из Ь2(0,1) в Ж22 (0,1). Поэтому аналогичное верно и для оператора — е2А: для достаточно малых е обратный оператор (5° — е2А)-1 корректно определен, ограничен как оператор из Ь2(0,1) в ^1(0,1) и кроме того, голоморфен

1

(^ — еЛ)-1 = (^ )-1 + О(в), ((^ )-1^ )(0 = — / 1$ —$2 — * + ^ <Й, (3.5)

0

где д е Ь2(0,1). С учетом первого из краевых условий в (2.2) и формулы (3.1) теперь легко видеть, что функция м£ на ребре е£ имеет вид:

«£(*£) = (7) + ^ , := — е2А)-1 ■). (З-6)

Константу С£ определим из второго условия в (2.2) и равенств (3.1), (3.6):

а (ВД + Щ _ а + ш^щ) + я,£(0) = а. (з.7)

\7_(0,А) 7+(0,А) (0,£,£2А)/ £

7° (0, е, е2А) = 1 + = 0 (3'8)

и потому из уравнения (3.7) мы можем определить константу С£ следующим образом:

С:=__^_ (39)

: и'в(0,£,£2Л) + г (и>_(0,Л) + и'+ (0,Л) \ • ^

ив(0,£,£2Л) +Ь \^_(0,Л) + Ц+(0,Л) а)

Из соотношений (3,5) вытекает, что

^(0) - е-1 (1 - сЪе

^ сеу£(е О^од) = се2\\Л^ы. (3.10)

оценка:

е 2 Кхе)

^ \\fe\\L2(Гs),

Хе/(

3 £2

^ \\/е\к2(Г£).

(3.11)

Подставляя полученную оценку, (3.8), (3.10) в (3.9), получаем:

Се - /

Хе1' (хе) $хе

< \\/е\L2(ee).

(3.12)

Отсюда и из формулы (3.1) вытекает уже неравенство (2.10).

Докажем оценку (2.11). Вначале заметим, что из (3.12) и второго неравенства в (3.11) сразу следует:

3

|Се| ^\\/е\L2(e£). (3.13)

е

№ - в2А)-1-

(;)

Уе "

L2(e £)

е 2\\Уе\\L2(0>1) ^ ее 2\\¡е(£ ^^(од) = се \\/е\L2(ee).

Отсюда уже получаем:

£2 V е | -

(-К ( ) ^ ИЛН^).

/ L2(e£)

Учитывая теперь очевидные соотношения

^ ( ё ^ £"А) (е€) = ^ ^ ^ ^^(0,1) ^

(3.14)

(3.15)

из (3.13) и (3.6) выводим оценку (2.11). Теорема 2.1 доказана.

е

4. Асимптотика резольвенты оператора Щ^

Здесь мы доказываем теорему 2.2. Как и в предыдущем параграфе, через /0 обозначим сужение / па граф Г0, а через ¡е - сужение / па ребро ее и положим ие := (Щ^ - А)-1/, и0 := (Щ® - А)-1 ¡е. Для последних функций вновь верно равенство (3.1) с некоторой константой Се. Вместо задачи Коши (3.2) здесь рассматривается следующая:

-иI + (в\¥-1(0 + е2Ш0(0 - ц)ип = 0, £ е (0,1), ия|€=1 = 1, и'к= 0,

где у - малый комплексный параметр. Данная задача также однозначно разрешима и ее решение ия = ия(£, е, у) голоморфно по е и у в норме W2(0,1). Легко убедиться, что

первые члены разложения функции [7д имеют вид:

, е, ^ = 1 + + е2<Ш + ^з(£) + 0(е3 + ф| + Ы2), (4.1)

1

1

02(0 = /(* - + ^(¿Ж^)) ¿Ъ.

Отметим еще, что число Р удовлетворяет равенству:

Р = -01(0). (4.2)

Вместо оператора следует взять оператор Шрёдингера в Ь2 (0,1) с дифференциальным выражением (3.4), краевым условием Дирихле в точке £ = 0 и краевым условием Неймана в точке £ = 1. Такой оператор обозначим через Для него верны те же свойства, что и для оператора а именно, для достаточно малых е обратный оператор — £2А)-1 корректно определен, ограничен как оператор из Ь2(0,1) в ^22(0,1), голомор-

1

(^ - вл)-1 = (^)-1 + ОД, )(£) = - / (4.3)

где д € (0,1). Аналог равенства (3.6) здесь выглядит следующим образом:

(4.4)

что гарантирует выполнение первого из условий в (2.2). Подстановка (3.1), (4.4) во второе условие дает уравнение для С£:

_ (7_(0,А) 7+(0,А) + ^(0, в, в2А) N + 0

^ тт Сп Л N + Г /сп Л N - а + е Т^-^ + ^е(0) = 0.

7д(0,е,е2А)

Отметим еще, что

= -Р + 0(е). (4.5)

7_(0,А) + 7+(0,А) д Р = Р(А) - (д + Р)7_(0,А)7+(0,А)

7_(0,А) + 7+(0,А) " Р (0, А)7+(0, А) =0, 1 ;

так как иначе А - это комплексное собственное значение оператора с соответствующей собственной функцией, равной ^^^ на е±. Константа С£ теперь находится по формуле

Г =__СТв(0)__и -ч

£ У-(0,Л) + (0,А) д д , (_ и'„(0,е,^ N , 1 ■ ;

+ тт. СП д

-д -р + (^ + р)

У_(0,Л) ^ У+(0,Л) ^ ^ ^ Уд(0,£,£2

причем второе слагаемое в знаменателе порядка О(е) в силу (4.5)

Выясним теперь поведение числителя в (4,7), Используя (4,3), непосредственными вычислениями проверяем, что

1 1

1

у'£ (0) - Л

<се\\/£(е-)|и2(о,1) = с£21 /£||L2Ы, j ¡^е^М = £ j I£(Х£) ¿хе. 0 0 0 Подставляя полученные соотношения в (4,7) и учитывая (4,5), (4,6), получаем:

5

с + и- (0,Х)и+(0,Х)

<се-21|ЛН^*). (4.8)

^(Л) - (а + ¡3)и_(0, Л)и+(0, X)

Отсюда и из (3,1) уже вытекает оценка (2,13), Из (4,8) также следует, что

i св| нМы*). (4-9)

Для первого слагаемого в (4,4) верпа оценка, аналогичная (3,14), а для функции ия -оценка, аналогичная (3,15), Эти оценки и (4,9) доказывают (2,14),

5. Спектр оператора нп

В настоящем параграфе мы находим спектр оператора и доказываем теорему 2,3, Тот факт, что собственные значения оператора определяются уравнением (2,15), немедленно следует из граничного условия (2,7), записанного для функций и±. Соответствующие собственные функции имеют вид:

п ■ и_ (х_, ЛР) на е_,

(х) = { ( :п) , (5.1)

если Лпр - нуль функции и_(0, Л), и

I1 I

0 на е+,

0 на е_,

(х)={п( ' (5-2)

1 и+(х+, Лп ) на е+,

если Лпр - нуль функ ции и_ (0, Л^, В случае, если Лр - общий нуль функций и±(0,Л), то такое собственное значение двукратно и ему соответствует пара собственных функций, определяемых равенствами (5,1), (5,2),

Далее нам понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма 5.1. Справедливы соотношения:

жлп' = - 11и±(--лп >ии±) = 0 и±ЛП>= 0

Доказательство. Неравенство и±(0, Лп) = 0 очевидно, так как иначе оно немедленно приводит к равенству и±(х, Лп) = 0, что неверно,

Л

у±(х±) := (х±, Лп) аЛ

являются решениями задач Коши

-+ ( У± - ЛП)у± = и±(•, Лп) в (0, а±), У±(а±) = 0, у'±(а±) = 0.

Умножая уравнение в данной задаче на и±(х±, Лп) и дважды интегрируя по частям по отрезку (0, а±), получаем требуемую формулу, □

Найдем теперь спектр оператора . Собственные функции оператора строим в виде:

{С_7_(ж_, Л) па е-,

С+7+(-+ ,Л) па е+,

(—,£, е2^ на е£,

где С±, С£ - некоторые константы. Ясно, что такая функция удовлетворяет требуемому дифференциальному уравнению и условиям (2,3), Поэтому остается проверить условие в вершине М0:

•С_7_(0,Л) - С+7+(0,Л) = 0, С_7_(0,Л) - (0,е,е2^) = 0,

С_(7_(0,Л) + (0,Л)) + С+7+(0,Л) + С£7? (0,е, е2Л) = 0.

Собственные значения оператора соответствует нетривиальным решениям ( С_, С+, С£) данной системы линейных уравнений. Применение теоремы Крамера дает уравнение для собственных значений:

Г? (Л, е) = 0, (5.3)

где

Г? (Л, е) := еТ? (0, е, е2Л)Р(Л) + (0, е, е2Л) - еаТд (0, е, е2Л)) 7_(0, Л)7+(0, Л).

Функция Г? голоморфна по Л и е. При е = ^Л = Л? уравнение (5,3) очевидно выполнено, В силу голоморфности функции Г? по Л и е сразу получаем, что корпи уравнения (5,3) сходятся к Л? при £ ^ +0,

подробнее выяснить структуру функции Г? при Л, близких к Л?,

Предположим вначале, что Л? - простое собственное значение. Для определенности считаем, что выбранное Л? есть нуль функции 7_(0,Л) и 7+(0, Л?) = 0, Тогда прямыми вычислениями с использованием леммы 5,1 и равенств (3,3) проверяем, что

^(Л?,0) = Г/+(0, Л?)^(0, Л?) = -||М,Л?)||2ь,(е= 0. (5.4)

Следовательно, по теореме о неявной функции, существует единственный корень Лп(е) уравнения (5,3), сходящийся к Л? и этот корень голоморфен по £. И так как в силу равенства (3,3) выполнено

— (Л?, 0) = -7_(0, Л? )7+(0, Л?), то отсюда, из (5,4) и формулы

^ (0) = _ ^ (Л?, 0) & ( ) § (Л?, 0)

(0) = - £Лп ' (5.5)

сразу получаем равенство (2,16),

Пусть теперь Л? - двукратное собственное значение, то есть, Л? - общий пуль функций 7_(0, Л) и 7+(0, Л) Тогда го определения функции Р и леммы 5,1 следует, что

р(Л) = (Л - л?)Р*(Л), 7+(0, Л)7_(0, Л) = (Л - Л?)2д(Л), (5.6)

где Р*(Л), Q(Л) - голоморфные функции и

Р (\П) = _ и; (0, ЛП) ||и ( \П )Н2 _ и- (0, ЛП) ||и ( \П )Н2 Р*(Лп) и-(0,Лр) 11 ^Лпи'+ (0,Лр) ||и+(•,Лп)|1й2(е+) ,

|П) = _1_ ||и (. \П)||2 ||и (. \П)||2

п ) и'_ (0, Лр )и'+ (0, Лр) 11 ( , Лп )^2(е-) 1Г + ( , Лп )\\Ь2(е+)

(5.7)

Подставляя соотношения (5.6), (5.7) в уравнение (5.3), видим, что оно имеет два корня, сходящихся к Лп^. Первый корень не зависит от ей совпадает с Лпр. Второй корень определяется уравнением

еип(0, е, е2Л)Р*(Л) + {и'в(0, е, е2Л) - еаЛп(0, е, £2Л)) (Л - ЛПМЛ) = 0.

Применим к этому уравнению теорему о неявной функции так, как это было сделано выше. Это немедленно приводит нас к заключению, что последнее уравнение имеет ровно одно решение, сходящееся к Лпр при е ^ +0, это решение голоморфно поеи выполнено равенство (2.17). Так как левая часть этого равенства отрицательна, то ясно, что при малых положительных е корень уравнения, удовлетворяющий (2.17), меньше Лпр. Теорема 2.1 полностью доказана.

6. Спектр оператора Ня Настоящий параграф посвящен доказательству теоремы 2.4.

Поясним происхождение уравнения (2.18). Собственные функции оператора Н^ следует искать в виде

. С_и_(х_, Л) па е_,

IЯ ( 4

:=

фЯ(х) :={п Тг ( , (6-1)

с и ( х , Л) ,

где С± - некоторые константы. Условие (2.8) приводит к системе линейных уравнений на эти константы и применение теоремы Крамера позволяет определить случаи, когда данная система имеет нетривиальное решение. Равенство нулю соответствующего определителя и дает уравнение (2.18).

Каждое собственное значение Л1^ простое, так как обратное предположение немедленно приводит к существованию соответствующей собственной функции, задаваемой формулой (6.1) с С1 = 0. Отсюда в силу краевых условий (2.8) получаем, что тогда необходимо С2 = 0, что противоречит определению собственной функции.

Предположим теперь, что и_(0, ЛЯ) = 0. Тогда необходимо и'_(0, ЛЯ) = 0 и из уравнения (2.18) тогда вытекает и+ (0, ЛЯ) = 0. Аналогично проверяется, что из равенства и+ (0, ЛЯ) = 0 вытекает и-(0, ЛЯ) = 0. Поэтому числа и_0(0, ЛЯ) и и+ 0(0, ЛЯ) обращаются или не обращаются в нуль одновременно.

Далее нам понадобится аналог вспомогательной леммы 5.1.

Лемма 6.1. Пусть и±(0, Л^Я) = 0. Тогда

а_Р я Ц'+ (0 ЛЯ) ци , Я ) 112 и_ (0 ЛЯ) ||и (.ЛД)||2 (

аЛ (ЛЯ) = -и_ (0, ЛЯ) ||и_( , ^ ^ (е-) - и_ (0, ЛЯ) ( , Ля)||L2(e+) = 0 ^

Пусть и±(0, ЛЯ) = 0. Тогда,

а(Р - (а + 3)и-(0, ри+ (0, •)) (ля)= и+ (0, ЛЯ) ци К)и2

аЛ (Лп) и_(0,Л^) 11 Лпп^2(е-)

I и- (0, ЛЯ) ||и (. ЛЯ)|2 =0 + и+ (0, ЛЯ) ||и+ (, Ля)||L2(e+)=0■

(6.3)

Доказательство. Аналогично доказательству леммы 5,1 несложно проверить равенства:

7±(0,Л^)^(0,Л*) - 7±(0,Л£)^(0,Л^) = ||7±(■,Л£)||^(е±) > 0. (6.4)

Предположим теперь, что 7±(0, Л*) = 0. Тогда из (6.4) сразу следует, что 7^(0, Л*) = 0. Ясно, что

^ Ю = 7+ (0, Л*) ^ (0, Л*) + 7_(0, Л£) ^ (0, Л^). Из полученных равенств вытекает формула (6.2) для производной функции Р(Л). Кроме

и+ (0,ЛД) и^. (0,ЛД) " "

того, отношения и+ (0лд) и и' (0 лд) Одного знака и потому производная функции Р в точке Л* не равна нулю.

Рассмотрим теперь случай 7±(0, Л*) = 0. Тогда из уравнения (2.18) следует, что

О = (а + р)7±(0, Л*) - ^(0, Л*) ^ Л-:).

Используя эти равенства, непосредственными вычислениями проверяем, что ^ - (а + (0, ■)) (ЛЯ} = 7+(0,ЛЯ)(0,Л*) + 71(0.Лй(0, Л*)

+ Л*) ^ Л*) + 7+(0, Л*) ^Л! (0, Л*)

ЛГТ ЛТТ

- (а + Р^ф,Л*)(0,Л*) - (а + Р)7+(0,Л*)(0,Л*)

(0, Л^)-^- (0, Л^ + ^ф, Л?)—_ (0, Л*)

U_(0,Л£) ' ЛЛ 4 ' + ч ' ^ ЛЛ

^^ Л") (0 Лд)^(0 Лд) + и (0 Лд) —+ (0 )

7+(0,А*)^(0,Лга) ЛЛ (0,Лга) + U_(0,Л-) ЛЛ (0,Лга) ^+(0, Л*) / дД. ьъ тт,,п AД^dи_,n лД

и_(0, Л*)

(и_(0, Л*) (0, л*) - и_(0, Л*) (0, Л*))

и_(0, Л*)

п, лл ' ^ ' ^ ЛЛ п'

7+0),Л*) Л»> <0,Л"> Л"> ^Л»0.

Отсюда в силу формул (6.4) вытекает равенство (6.3). Здесь уже отношения и+ (0 л Д) и

^(о^в) одного знака и потому правая часть равенств (6.3) не обращается в нуль. Лемма доказана. □

Найдем спектр оператора ^^. Собственные функции оператора ^^ ищем в виде:

{C_U_(ж_,Л) на е_,

С+М^ на е+,

С^д ( —■ ,е, е2Л^ на е£,

где С±, С£ - некоторые константы. Для таких функций вновь достаточно проверить уело-М0

'С_U_(0,Л) - 6+^(0, Л) = 0, С_U_(0,Л) - 6^(0, е, е2^) = 0,

С_(U_(0,Л) + аU_(0,Л)) + 6+^(0, Л) + С£е ^^ (0,е, е2Л) = 0.

Приравнивая определитель данной системы к нулю, приходим к уравнению для собственных значений оператора Н^

СЯ(\ е) = 0, (6.5)

где

СЯ(\ е) :=ия(0, £, е2Л) (Р(Л) - аи_(0, Л)и+ (0, Л)) + £_1и'к(0, е, £2Л)и_(0, Л)и+ (0, Л) = (Р( Л) - (а + р)и_(0,Л)и+ (0,Л)) + А(Л, £)и_(0,Л)и+ (0,Л), А(Л, е) :=£_1иЯ(0,£, £2Л) + /3ия(0,£, £2Л).

А Л

А

А(ЛЯ, 0) = 0, — (ЛЯ, 0) = 3ФЛ0) + Ф'2(0)+ЛЯФ'3(0). (6.6)

Поэтому функция СЯ голоморфна по Л и е. Ясно, что уравнение (6.5) выполнено при Л = ЛЯ £ = 0, Отсюда сразу следует, что корни уравнения (6.5) сходятся к ЛЯ при е ^ +0.

Выясним структуру функции СЯ в окрестности точек Л = Л^^. Вначале рассмотрим случай и±(ЛЯ) = 0. В этом случае в силу (6.2) и соотношений (4.1) выполнено

а°Я (\Я, 0) = ^ (\Я) = 0

Л п Л

и по теореме о неявной функции уравнение (6.5) имеет единственное решение. Непосред-

Л = ЛпЯ

раеематриваемых значений е. Это доказывает теорему в случае и±(ЛЯ) = 0. Пусть теперь и±(ЛЯ) = 0. В этом случае в силу (6.3), (6.6) имеем:

асЯ( В а(р - (а + з)и_(0, ри+ (0, •)) я

~Ж(Лп,0 =-Т\-^ =0 (6'7)

и по теореме о неявной функции существует единственное решение ЛЯ(£) уравнения (6.5), голоморфное поеи сходящееся к ЛЯ при е ^ +0. Производная этого решения выражается формулой, аналогичной (5.5):

аЛЯ (0) = _ ^ (\\п, 0) = _ § л , 0)

а£ (0) сю^(\Я 0) ¿(Р_(а+Ц)и-(0,-)и+(0,-)) (\Я) , ^ ;

сх У^п^) ¿х (Лп)

где мы также воспользовались формулой (6.7). Вычислим знаменатель в данной формуле. Имеем:

Ф2(0) = -/ Шо(г)сИ- [ ш_1(г)ф1(г)аг,

ио .7 0

- [1ш_1(г)ф1(г)аг = - Гф'^Ж(1)<и = ф1 (0)ф[(0)+ [1 {ФЩ2 ¿1 0 0 0

1

2

-3ф1(0) + I / ш_1(з)аз I ¿г.

0

Подставляя полученные равенства и (6.3), (6.6) в (6.8), приходим к формуле (2.19). Теорема 2.4 доказана.

Благодарности

Данная работа была начата во время визита Д.И, Борисова в Казахский национальный университет им, аль-Фараби, Алматы, Казахстан в декабре 2018 г. Он благодарен за теплое радушное гостеприимство, оказанное ему во время визита,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисов Д. О РТ-симметричном волноводе с парой малых отверстий // Труды Института математики и механики УрО РАН. 18:2, 22-37 (2012).

2. Борисов Д.И., Мухаметрахимова А.И. О равномерной резольвентной сходимости для эллиптических операторов в многомерных областях с м алым и отверстиями / / Пробл. ма-тем. анал. 92, 69-81 (2018).

3. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989.

4. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел кра,евых задач, для, оператора Лапласа, в областях с м алым и отверстиями / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 48:2, 347-371 (1984).

5. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит. 2005.

6. S. Albeverio, F. Gesztesv, R. H0egh-Krohn, H. Holden Solvable models in quantum mechanics. A MS Chelsea Publ., Amer. MAth. Soc., Providence, Rhode Island (2000).

7. G. Berkolaiko, P. Kuchment Introduction to quantum graphs, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2013).

8. G. Berkolaiko, Y. Latushkin, S. Sukhtaev Limits of quantum graph operators with shrinking edges // Preprint: arXiv:1806.00561 (2018)

9. T. Cheon, P. Exner, O. Turek Approximation of a general singular vertex coupling in quantum graphs 11 Anal. Phvs. 325:3, 548-578 (2010).

Денис Иванович Борисов, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450000, г. Уфа, Россия University of Hradec Kralove, Rokitanskeho, 62

50003, Hradec Kralove, Czech Republic E-mail: [email protected]

Марал Нурлановна Коныркулжаева,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби,

пр. аль-Фараби 71,

А15ЕЗВ4, г. Алматы, Казахстан

E-mail: [email protected]