Расширение класса элементарных функций средствами элементарной математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ - ПРАКТИКАМ

93

А.В. Ястребов

Расширение класса элементарных функций средствами элементарной математики

Хорошо известно, что в своей повседневной работе учитель занимается конструкторской деятельностью. Прежде всего, он конструирует уроки на основе учебника, дополнительной литературы и имеющихся у него знаний. Кроме того, он конструирует систему решаемых учениками задач на основе задачника, дополнительной литературы и личного педагогического опыта. Наконец, он конструирует контролирующие мероприятия на основе решенных учениками задач и конкретной педагогической ситуации, сложившейся на момент контроля. Эта деятельность имеет две характерные черты: во-первых, она не алгоритмизируема и имеет творческий характер и, во-вторых, поставленные учителем цели могут быть достигнуты многими различными способами. Действительно, для любой темы можно разработать большое количество разнохарактерных уроков, каждый из которых эффективно раскрывает ее. Говоря психологическим языком, от учителя требуются дивергентные способности, «проявляющиеся в готовности выдвигать множество в равной мере правильных идей относительно одного и того же объекта» [3. С. 357].

Естественно, что в процессе обучения в педагогическом вузе студенту должны быть предоставлены возможности для развития его дивергентных способностей. К сожалению, традиции преподавания математики сильно ограничивают эти возможности, поскольку задачники перенасыщены заданиями-приказами: найти (предел, производную, интеграл), вычислить (площадь, объем), решить (уравнение, неравенство), доказать (тождество, неравенство) и т. д. Выполнение таких заданий развивает конвергентные способности, «которые обнаруживают себя в показателях эффективности переработки информации, в первую очередь, в показателях правильности и скорости нахождения единственно возможного (нормативного) ответа в регламентированных условиях деятельности» [3. С. 360].

В данной статье предлагается материал по теме «Элементарные функции», который может быть использован для развития дивергентных способностей.

Элементарные функции - это класс функций ЕЕ, состоящий из многочленов, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, полученных из перечисленных выше с помощью четырех арифметических действий и композиции, примененных конечное число раз. Этот класс функций чаще всего встречается в приложениях математики, однако в педагогическом отношении он, в определенном смысле, «неудобен». Во-первых, входящие в него функции отнюдь не просты. Например, определение синуса включает в себя понятие движения и длины дуги, которые, в свою очередь, требуют тщательного введения и усвоения. Во-вторых, некоторые простые явления невозможно проиллюстрировать с помощью элементарных функций. Например, разрывная функция, обладающая свойством односторонней непрерывности, не может быть элементарной, поскольку элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Для устранения этого недостатка присоединим к классу элементарных функций одну неэлементарную функцию - сигнум, заданную равенством

1, если х > 0, Б§п( х) = 0, если X = 0, -1, если X < 0

Под расширенным классом элементарных функций ЕЕ будем понимать такой класс функций, который получается из элементарных функций и сигнума с помощью четырех арифметических действий и композиции, примененных конечное число раз.

Очевидно, что ЕЕ е ЕЕ .

Присоединение функции сигнум к классу элементарных функций представляется вполне естественным с различных точек зрения. Психологически эта функция известна школьнику фактически с шестого класса, когда он знакомится с отрицательными числами. Логически она весьма проста, гораздо проще, чем синус или логарифм. Наконец, она хорошо вписывается в ряд простейших элементарных функций, описывающих физические явления. Действительно, линейная функция описывает прямолинейное равномерное движение, квадратичная - равноускоренное движение, синус - колебательное движение, а показательная - естественный рост и радиоактивный распад. В свою очередь, сигнум описывает изменение коэффициента преломления света на границе двух сред, а также изменение потенциальной энергии материальной точки, находящейся на одной из двух ступенек.

Рассмотрим неэлементраную функцию А( х), заданную равенством

Здесь и далее знак равенства с двоеточием означает равенство по определению, причем двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Почти очевидно, что функция А(х) принадлежит классу ЕЕ. Действительно,

прямой проверкой можно убедиться, что

Правую часть формулы (2) полезно рассмотреть с методической точки зрения в контексте изучения темы «Преобразования графиков функций». Действительно, если рассмотрим последовательность функций

то каждому переходу от предыдущей функции к последующей соответствует преобразование графика, причем второе и третье преобразование изучаются в школе, а первое преобразование в данной конкретной ситуации является весьма простым.

Выясним, какие из известных неэлементарных функций принадлежат классу ЕЕ .

Предложение. К расширенному классу элементарных функций принадлежат следующие неэлементарные функции: функция Дирихле d (х), характеристическая функция Х<аь> (х) числового промежутка < а, Ь > , целая часть числа [х] и дробная часть

0, если х Ф 0

А(х) := 1 0

1, если х = 0

0, если х Ф 0 А(х) := 1 0

1, если х = 0

2

1 - 8§П (х).

(2)

$£п( х), 8§и2(х), - б§п2 (х), 1 - б§п2 (х) = А( х),

числа {х}.

Доказательство. 1) Для функции Дирихле справедливо равенство

ае0 [и,если х £ и

На первый взгляд, трудно назвать элементарной такую функцию, которая определяется с помощью бесконечного суммирования. К счастью, при фиксированном х количество ненулевых слагаемых в левой части формулы (3) не превосходит единицы: если х иррационально, то все слагаемые равны нулю, а если рационально, то слагаемое при а = х равно единице, а остальные равны нулю.

2) Прямой проверкой убеждаемся в следующем: а) характеристическая функция промежутка [0,+да) задается равенством

X[G,+»)( x) :=

1, если X > 0 1

0 0 = -(sgn(X) + Д(х) +1); (4)

0, если X < 0 2

б) характеристическая функция промежутка (0,+гс>) задается равенством

x):=

1, если X > 0 1

0 < 0 = -(sgn(x) -Д(х) +1); (5)

0, если X < 0 2

в) характеристическая функции промежутка [0,1) задается равенством

1, если X е [0,1)

<W x) :=

Для промежутков других типов рассуждения и результаты аналогичны.

3) Заметим, что при фиксированном п выполняются соотношения

1, если х е [п, п + 1)

G, если x g [n, n +1)

Теперь легко видеть, что

[X] = I nX[01)(X —n). (7)

neZ [0,1)

Здесь в отношении бесконечного суммирования справедливо то же самое рассуждение, которое приведено после формулы (3): при фиксированном X лишь одно слагаемое бесконечной суммы отлично от нуля.

4) По определению дробной части числа {x} := X — [x] , что и завершает доказательство.

Укажем на некоторые из педагогических возможностей, которые дают изложенные выше представления и факты. Для этого обсудим несколько легких, но нестандартных задач конструктивного характера.

1. Постройте функцию из класса EF, односторонне непрерывную в какой-либо точке и разрывную в этой точке. Постройте ее график.

Ответ: f (х) = sgn(х) + S(x) , g(x) = X2 + sgn(x) — S(x) и т.п.

Здесь функция f (X) непрерывна справа в точке 0 и разрывна в ней, а функция g (х) непрерывна слева в точке 0 и разрывна в ней.

Очевидно, что эта задача носит явно дивергентный характер, т.к. множество искомых функций бесконечно и не поддается описанию.

2. Принадлежит ли классу EF «кусочно-элементарная» функция

sin х, если х>2

f ( x)=

x2 , если x<2

Всякая ли кусочно-элементарная функция принадлежит классу EF ?

Решение. Ответ на первый вопрос утвердителен, поскольку f (х) = Х(—ш 2)(х) • X2 + Х[2 ) ■ sin X е EF . Ответ на второй вопрос задачи является

/- х, если X < 0

отрицательным. Например, функцию g (x) =

, которая по своему опре-

lg х, если х > 0

делению похожа на функцию f (х), невозможно представить как сумму ее компонентов с коэффициентами в виде характеристических функций. Действительно, предположим противное, то есть наличие равенства g (х) = х( x)V— х + Х( хМхХ где X -характеристические функции каких-либо промежутков. В этом случае мы не сможем подставить под знак функции g никакого аргумента, поскольку положительные значения аргумента невозможно подставить под знак радикала, а неположительные значения невозможно подставить под знак логарифма.

3. Пусть h(х) = f (х) + ЛД(X — 2), где функция f (х) определена в задаче 2.

Подберите параметр X так, чтобы а) функция h(х) была непрерывна слева в точке 2;

б) была непрерывна справа в точке 2; в) была непрерывна в точке 2; г) имела локальный минимум в точке 2; д) имела локальный максимум в точке 2; е) не имела бы в точке 2 локального экстремума. Решите задачу аналитически и графически.

Ответ: а) X = 4 — sin 2; б) X = 0 ; в) такого X не существует; г) X < 0 ; д) X > 4 — sin 2; е) 0 < X < 4 — sin 2 .

4. Постройте функцию, которая имела бы локальный минимум и при этом а) убывала слева от точки минимума и возрастала справа от нее; б) возрастала слева от точки минимума и убывала справа от нее; в) возрастала слева и справа от точки минимума; г) убывала слева и справа от точки минимума; д) не монотонна ни справа, ни слева от точки минимума.

Ответ: а) f (х) = х2; б) f (х) = — х2 — Д(х); в) f (х) = х — Д(х) ; г) f (х) = — х — Д( х); д) f (х) = d (х) — 2 Д( х).

Рассмотрение примеров а)-д) в совокупности весьма полезно для студентов, поскольку выявляет одно неочевидное для них обстоятельство: наличие локального минимума не связано, вообще говоря, с характером монотонности функции в окрестности точки экстремума. Более подробно об «экзотических» экстремумах рассказано в статье [2]. В ней проанализированы типичные студенческие ошибки и причины их возникновения.

Отметим, что факты, изложенные в доказательстве предложения, могут быть сформулированы в виде задач и предложены учащимся для самостоятельного решения с последующим извлечением следствий. Например, график функции Д(х) словесно может быть описан в виде последовательности «константа-подскок-константа». График функции Д(X — а) + Д(X — b) может быть описан в виде последовательности «констант» и «подскоков», причем подскоки происходят в нужных нам точках а и b. Это наблюдение наталкивает на мысль о том, что нужно определить функцию с «подскоками» во всех рациональных точках, как это сделано в формуле (3), то есть функцию Дирихле.

Говоря о конструировании аналитических объектов, невозможно не упомянуть известную книгу «Контрпримеры в анализе» [1]. Несомненно, что процесс ее написания потребовал от ее авторов незаурядных дивергентных способностей, поскольку она насыщена весьма тонкими и интересными примерами. Вместе с тем, углубляя знания

читателя в области математического анализа, она совсем не развивает его дивергентные способности (впрочем, перед авторами стояла совершенно другая задача). Действительно, книга написана в форме «вопрос - ответ», причем неискушенный читатель, как правило, не понимает ни причину возникновения вопроса, ни способ получения ответа. Очевидно, что преподаватель, желающий развивать дивергентные способности студентов в области математики, должен позаботиться о включении в задачники соответствующих упражнений, а в процесс преподавания - соответствующих мотивировок.

В заключение отметим, что для представителей любой профессии необходимы как конвергентные, так и дивергентные способности мышления. Формирующие их задачи двух типов играют в математическом образовании свои особые роли и не заменяют друг друга. Оптимальное соотношение разнотипных задач должно быть определено в экспериментальном порядке.

Библиографический список

1 Гелбаум Б., Олмстед Дж. Котрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.

2 Меньшикова Е.А. «Экзотические» экстремумы // Теория и практика преподавания математики и информатики. Вып. 2. Сборник методических статей / Отв. ред. Пудалов И.Г. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та, 2001. С. 48-58.

3 Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том. ун-та. М.: Изд-во Барс. 1997.

Н.Л. Майорова

О некоторых особенностях тестирования абитуриентов

В течение последних восьми лет в России успешно развивалась такая форма проверки знаний учащихся, как Централизованное абитуриентское тестирование (ЦТ), которое во многом являлось также мониторингом качества деятельности учебных заведений. Тестирование представляло одну из альтернативных форм получения экзаменационной оценки на выпускных экзаменах в школе или оценки вступительных экзаменов в те вузы страны, которые засчитывали сертификат Централизованного тестирования. Оно проводилось (и пока еще проводится) по 12 школьным предметам с 10 по 24 апреля одновременно во всех регионах Российской Федерации. При этом по большинству предметов существуют формы тестирования по двум уровням сложности, проходящим в разные дни (единые для всей страны). Школьник может участвовать последовательно в тестировании по обеим формам.

На современном этапе обучения очень важными считаются умение учиться быстро и эффективно, адаптироваться к новым жизненным условиям, желание непрерывно совершенствоваться. Именно эти личностные качества традиционная система экзаменов измеряла плохо или не измеряла вовсе. В первые годы становления тестирования учащиеся в большинстве своем были совершенно не подготовлены даже психологически к такой форме проверки знаний, при которой надо в сжатое время “выдать на гора” все полученные за одиннадцать лет обучения в школе знания и навыки, а также найти им самое рациональное применение. Кстати, не меньшие психологические и даже профессиональные трудности испытывали и учителя школ. Однако с течением времени тестовая форма контроля становилась все более востребованной школьниками. Число участников Централизованного тестирования росло от года к году. Выпускники средних учебных заведений были заинтересованы в возможности до летних вступительных испытаний проверить свои знания, а в случае получения высокого балла предъявить