CC BY
37light&id_sec=234«feid_thesis=8069 (дата обращения: 10.03.2014).
4. Кон М. Scrum: гибкая разработка ПО -Succeeding with Agile: Software Development Using Scrum (Addison-Wesley Signature Series). M. : Вильяме, 2011. 576 с.
5. Хабрахабр. Инструменты, которые мы используем для командной разработки [Электронный ресурс]. URL: http://habrahabr.ru/post/178827/ (дата обращения: 1.09.2014).
6. Какая система управления задачами лучше -выбор ИТ-менеджеров и предпринимателей [Электронный ресурс]. URL: http://siliconrus.com/2014/06/ task-management/ (дата обращения: 1.09.2014).
References
1. Professional Standards in the field of IT [Electronic resourse] // The site of the Association of Computer and Information Technology (AP KIT). URL: http: //www.apkit.rn/committees/education/ meetings / standarts.php (date of visit: 1.09.2014).
2. Baydenko V. I. Bologna process: the structural reform of higher education in Europe / Research Center of the quality of training, M. : Russian New University, 2002. 126 p.
3. Sinicyn S. T., Petukhov E. A., Sadchikov C. M., Nalyutin N. Y. Individual training of IT professionals [Electronic resource]. URL: http://www.ict.edu.ru/ vconf/index.php?a=vconf&c=getFonn&r=4hesisDesc&d-light&id_sec=234«feid_thesis=8069 (date accessed: 10.03.2014).
4. Cohn M. Scrum: Agile Software - Succeeding with Agile: Software Development Using Scrum (Addison-Wesley Signature Series). M. : Williams' 2011. 576 p.
5. Habrahabr. The tools that we use for team development [Electronic resource]. URL: http:// habrahabr.ru/post/178827/ (date of visit: 1.09.2014).
6. What is the best task management system - the choice of IT managers and entrepreneurs [Electronic resource]. URL: http://siliconrus.com/2014/06/task-management/ (date of visit: 1.09.2014).
© Долгова Т. Г., Филатова К. В., 2014
УДК 51
ОБУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
О. И. Жданова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева
Аэрокосмический колледж Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-таП: [email protected]
Рассмотрен один из способов организации процесса обучения математике при подготовке специалистов среднего профессионального образования (обучение через задачи при формировании понятий). Подобрана серия задач. Описана методика формирования понятия экстремума функции одной переменной.
Ключевые слова: формирование понятий, обучение через задачи, экстремум функции одной переменной.
LEARNING THROUGH TASKS IN THE FORMATION OF MATHEMATICAL CONCEPTS
O. I. Zhdanova
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev
Aerospace College 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]
Considered one of the ways of learning mathematics with training of secondary vocational education (learning through tasks in the formation of concepts). Picked up a series of tasks. The method of formation of the concept of extremum of a function of one variable.
Keywords: the process of concept formation, learning through tasks, the extremum of a function of one variable.
Основными структурными элементами содержа- ние у студентов таких понятий (сложных для понимания дисциплины «Математика» при подготовке спе- ния в силу высокого уровня абстрактности) является циалистов среднего профессионального образования одной из основных задач обучения, ориентированного служат научные понятия. В связи с этим, формирова- на развитие мышления [2].
На наш взгляд, одним из эффективных способов организации процесса обучения математике при формировании понятий является обучение через задачи.
Задачи являются одним из основных средств обучения математике как в школах, так и в учреждениях среднего профессионального образования. В литературе рассматриваются разные подходы к понятию обучения через задачи. Мы будем понимать под данным термином способ организации процесса обучения математике с помощью взаимосвязанных между собой задач, объединенных общей идеей исследования, при решении которых учащиеся усваивают математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств и т. д. [1].
Обучение через задачи можно использовать не только при формировании понятий, но и действий, обучении решению математических задач.
Остановимся подробнее на формировании понятия экстремума функции одной переменной у студентов второго курса Аэрокосмического колледжа СибГАУ.
Задачи для реализации поставленной цели подбирались для каждого этапа усвоения понятия так, чтобы: 1) их решение способствовало формированию действий, необходимых для усвоения понятия: а) действия распознавания понятия (нахождение экстремума функций, заданных как графически, так и аналитически); б) действия выведения следствия из факта принадлежности объекта объему понятия (необходимое условие существования экстремума функции); 2) достигался соответствующий уровень понимания. Кроме того, использовалась определенная схема процесса обучения понятию: Задачи - Теория - Задачи [3]. При работе по данной схеме задачи первой группы направлены на мотивацию изучения нового материала; актуализацию опорных знаний; организацию наблюдения, анализа, сравнения, имеющих целью подведение учащихся к самостоятельному обнаружению новых знаний, новых способов деятельности. Далее систематизируется и фиксируется "открытый" материал. Задачи второй группы используются для иллюстрации этого материала, обучения его применению, закрепления.
С понятием экстремума функции одной переменной студенты второго курса встречаются не впервые (студенты уже знакомы с основными определениями, теоремами, а также с применением производной, как для исследования функций и построения графиков функций, так и для решения задач на наибольшие и наименьшие значения). Но, как показывают наблюдения, очень часто студенты не могут четко сформулировать определение экстремума функции. Нередко происходит замена определения достаточным условием существования экстремума. Это связано с тем, что чаще всего учащиеся сталкиваются именно с достаточным условием, а не с определением, и происходит его распространение на все ситуации. Работая с графиками функций, студенты не всегда выделяют все точки экстремума. Часто указывают только те точки, в которых достигается наибольшее или наименьшее значение. Таким образом, возникает необходимость в дифференцировании имеющихся знаний по данной
теме, и усовершенствовании владения названными выше учебными действиями.
Для усвоения понятия экстремума функции, в соответствии со сформулированными выше положениями, на наш взгляд, можно использовать следующую серию задач:
1. По графику функции (рис. 1) укажите и запишите символически точки экстремума и экстремумы функции на отрезке [а, Ь].
2. Укажите все точки экстремума функции, графики которых заданы на рис. 2.
У 1
а \ 0 1 С Ь х
Рис. 1
Рис. 2
3. Опишите словами (или изобразите на рисунке) ваши представления о виде графика в окрестности: а) точки минимума; б) точки максимума, если функция непрерывна (терпит разрыв) в указанных точках. В каждом случае опишите положение касательной в точке экстремума.
4. Постройте график функции, дифференцируемой в интервале (а, Ь) и имеющей один минимум и два максимума.
5. Постройте график функции на отрезке [а, Ь], имеющей одну точку максимума и три точки минимума, зная, что в одной из них функция не дифференцируема.
6. Может ли максимум (минимум) функции быть меньше (больше) минимума (максимума) этой же функции? Ответ обосновать.
7. Начертите эскиз графика функции у = Дх), если известно, что у = Дх) - четная функция, хтах= -3; Д-3) = 4; хтт = 0; Д0) = 0.
8. Может ли функция, возрастающая на каждом из промежутков (-да; 0) и (0; +да) иметь экстремум в точке х = 0?
9. Назовите точки экстремума для функций: а) у = -х2 + х + 2; б) у = |х|; в) у = хъ. Проверьте, выполняется ли необходимое условие существования экстремума в этих точках.
10. На графике функции (рис. 3) найдите абсциссы точек, в которых производная равна нулю или не существует. Все ли эти точки являются точками экстремума?
11. Опишите способы построения графиков
1
функций: а)у = Зх + 4; б)у = х2 - х - 2; в) у = х ■ ех.
12. На координатной плоскости указаны девять точек (рис. 4). Два ученика построили графики функций, проходящие через эти точки (рис. 5 и рис. 6), которые оказались разными. Кто из учеников правильно выполнил задание?
Рис. 3
Рассмотрим возможности каждой задачи при формировании понятия экстремума функции одной переменной.
Цель мотивационного этапа введения понятия экстремума функции заключается в том, чтобы показать студентам, что имеющихся у них знаний на данный момент по рассматриваемой теме недостаточно. В связи с этим можно предложить учащимся решить задачи № 1 и № 2. Для выполнения данных заданий студентам необходимо вспомнить основные определения (точка экстремума, экстремум, точка минимума (максимума), минимум (максимум)), с которыми они встречались в школе или на первом курсе, а также соответствующую символическую запись, например:
Ах) </(к), х 6 П(к) ^ Хтах = к, /тах = /к) = К,
где и(к) - окрестность точки к.
Организовать выполнение задач можно следующим образом: после повторения основных определений, разбить студентов на две группы. На доске записать определения строгого и нестрогого локальных экстремумов, и предложить первой группе решить задачу № 1, исходя, например, из первого определения, а второй группе - из второго. Необходимо указать, что предложенные определения являются определениями понятия экстремума, только первое, так называемого нестрогого локального экстремума, а второе - строгого локального экстремума. Затем, поменяв у групп определения, предложить решить задачу № 2.
После решения данных задач следует обратить внимание студентов на то, что одна и та же задача может иметь разные решения в связи с выбранной трактовкой понятия точек экстремума. В связи с этим необходимо познакомиться с разными трактовками данного понятия.
На этапе введения определения понятия экстремума функции необходимо еще раз вспомнить те определения (точка минимума (максимума), минимум (максимум) функции, точка экстремума функции, экстремум функции), с которыми студенты знакомы. Продолжением данного этапа является обсуждение разных трактовок понятия экстремума, в частности необходимо познакомиться с такими понятиями как точка нестрогого (строгого) локального максимума (минимума), нестрогий (строгий) локальный максимум (минимум), точка нестрогого (строгого) локального экстремума, нестрогий (строгий) локальный экстремум, нестрогий (строгий) глобальный экстремум (или абсолютный максимум и минимум функции) функции. Необходимо на данном этапе выбрать «рабочую» трактовку понятия экстремум функции (на наш взгляд - нестрогий локальный экстремум). Во время беседы следует обратить внимание студентов на то, что слово локальный обычно «опускают» и вместо «локальный экстремум» говорят просто «экстремум».
На этапе усвоения определения студентам можно предложить решить задачу № 3. Данная задача способствуют формированию действия распознавания точек экстремума по графику функции. При решении задачи № 3 необходимо рассмотреть все возможные ситуации.
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Если функция непрерывна в точке, то результатом решения могут быть описания типа:
1. а) вид гладкого (рис. 7, а) или «заостренного» (рис. 7, г) холма, или вершины (рис. 7, б) (в случае строгого или нестрогого локального экстремума);
б) прямая, параллельная оси Ох или слева (справа) от точки функция убывает (возрастает), а справа (слева) график функции - прямая, параллельная оси Ох (рис. 7, в) (в случае нестрогого локального экстремума).
2. а) вид гладкой (рис. 7, д) или «заостренной» (рис. 7, з) впадины, или «птички» (рис. 7, е) (в случае строгого или нестрогого локального экстремума);
б) прямая, параллельная оси Ох или слева (справа) от точки функция возрастает (убывает), а справа (слева) график функции - прямая, параллельная оси Ох (рис. 7, ж) (в случае нестрогого локального экстремума).
Касательная может быть параллельна оси абсцисс и график функции находится по одну сторону от касательной (рис. 7, а, д), либо касательная перпендикулярна оси абсцисс (рис. 7, б, е), либо касательной в точке не существует (рис. 7, г, з).
Если функция не является непрерывной в точке, то в зависимости от вида разрыва, возможны различные ситуации (рис. 8).
Если в точке функция имеет бесконечный разрыв, то экстремума в точке не будет. Для разрыва, не являющегося бесконечным, возможны следующие варианты: а) значение функции в точке, правосторонний и левосторонний пределы не равны; б) правосторонний предел не равен левостороннему, но один из них равен значению функции в точке; в) правосторонний и левосторонний пределы равны, но не равны значению функции в точке. Каждый рассмотренный случай является контрпримером для достаточного условия существования экстремума непрерывной функции.
Одним из главных моментов на этапе усвоения определения экстремума функции одной переменной при формировании действия распознавания точек экстремума функций, заданных графически, является рассмотрение разных способов выполнения этого действия: а) с помощью соответствующего положения касательной в точке или вида графика функция вблизи экстремума (на основе результатов, полученных после решения задачи 3); б) с помощью определения экстремума (необходимо, чтобы студенты не только смогли найти экстремум, но должны обосновать способ выбора и грамотно записать, используя соответствующую символику).
Рис. 7
Рис. 8 81
Для формирования действия выведения следствия из определения экстремума функции используются задачи 4, 5, 6, 7, 8. Данные задачи способствуют созданию графического образа функций, обладающих перечисленными свойствами, по словесному описанию. Для формирования гибкости мышления при овладении абстрактным учебным материалом важным является рассмотрение разных способов решения (если это возможно) одной и той же задачи и задач с вариативным решением.
На этапе применения понятия экстремума функции внутри изучаемой темы предполагается изучение необходимого и достаточного условий существования экстремума функции. Достаточное условие способствует также формированию действия распознавания точек экстремума функции, заданной аналитически.
В связи с тем, что с данной темой студенты встречаются не впервые, то нужно создать условия для того, чтобы студенты вспомнили формулировку необходимого и достаточного условий.
Сформулировать необходимое условие существование экстремума функции поможет анализ решения задачи № 3. Важно отметить, что условия непрерывности и дифференцируемости функции в точке не являются существенными; главное, чтобы функция была определена на рассматриваемом промежутке.
После этого выполняются задачи 9, 10, 11, 12. Задачи 9 и 10 направлены на демонстрацию необходимого условия существования экстремума функции, а задачи 9 (в), 10, 11, 12, послужат для мотивации достаточного условия существования локального экстремума непрерывной функции.
Идея задачи № 9 заключается в том, что студенты знают графики предложенных функций и без особого труда могут найти экстремум функции и проверить выполнение необходимого условия. Для функции у = х нужно предложить студентам проверить выполняется ли данное условие в точке х = 0 (хотя эта точка и не является точкой экстремума).
После выполнения задачи № 10 студенты самостоятельно формулируют достаточное условие существования экстремума непрерывной функции и правило исследования функции на экстремум. Следует обратить внимание студентов, что в достаточном условии требование непрерывности функции в точке является существенным.
Важно также показать, где применяются экстремумы функций (для построения графиков функции и
для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке). Для реализации этой цели можно предложить студентам выполнить задачи 11 и 12. Студенты должны вспомнить, что для построения неизвестной функции недостаточно знать только несколько ее точек, для этого необходимо знать свойства функции и характеристические (или особо важные, контрольные) точки, которые определяют структуру графика функции. Точки экстремума как раз и являются такими точками.
Подобранные задачи были апробированы на занятиях дисциплины «Математика» (раздел «Математический анализ») студентов второго курса Аэрокосмического колледжа. С помощью наводящих вопросов были получены все необходимые выводы и есть основания говорить об эффективности данного способа организации процесса обучения математике при формировании понятий.
Библиографические ссылки
1. Брейтигам Э. К. Деятельностно-смысловая методика обучения старшеклассников началам математического анализа : учеб. пособие. Барнаул : Изд-во БГПУ, 2003. 86 с.
2. Брейтигам Э. К. Интеграция предметно-понятийной и смысловой деятельности при обучении старшеклассников началам математического анализа (теоретический аспект) : монография / Барнаул : Изд-во БГПУ, 2002. 150 с.
3. Столяр А. А. Педагогика математики : курс лекций. 2-е изд. перераб. и доп. Вышэйшая школа, 1974. 384 с.
References
1. Breitigam E. K. Activity-semantic methods of teaching students principles of mathematical analysis: a manual. Publishing house of the Belarusian state pedagogical University. Barnaul, 2003. 86 C.
2. Breitigam E. K. Integration of domain-conceptual and conceptual activities for teaching students principles of mathematical analysis (theoretical aspect): monograph / Ed-BSPU. Barnaul, 2002. 150 C.
3. Carpenter A. A. Pedagogy of mathematics. The course of lectures. Ed. 2nd Rev. and ext. Vysheishaya school, 1974. 384 C.
© Жданова О. И., 2014
