Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.3+519.7 М. Э. Аббасов

УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ТЕРМИНАХ НЕСОБСТВЕННЫХ ЭКЗОСТЕРОВ*)

Важным этапом в развитии нового научного направления - негладкого анализа, -сформировавшегося во второй половине XX в., стало понятие экзостера. Этот инструмент, введенный В. Ф. Демьяновым и А. М. Рубиновым [1-4], позволил свести исходную задачу оптимизации к последовательности выпуклых задач минимизации. С помощью экзостеров удалось описать условия экстремума, при этом оказалось, что условия минимума описываются с помощью верхнего экзостера, условия максимума - нижнего [5-7]. Поэтому верхний экзостер был назван собственным для задач на минимум, а нижний -для задач на максимум. Полученные результаты допускали простую геометрическую интерпретацию и позволяли находить направления наискорейшего спуска (подъема).

До недавнего времени оставался открытым вопрос об условиях экстремума в терминах несобственных экзостеров. Первой их вывела В. А. Рощина [5, 6]. Однако предложенные условия, в отличие от условий, использующих собственные экзостеры, не позволяли получать направления спуска (подъема) и несколько теряли в наглядности. В настоящей работе делается попытка развить идеи В. Ф. Демьянова и В. А. Рощиной с целью преодоления указанных трудностей. Предлагается иная формулировка условий.

Верхние и нижние экзостеры. Детальное описание эволюции идей, приведших к понятию экзостеров, дано в работах [1, 4], поэтому здесь подробно на них останавливаться не будем. Приведем лишь определения, важные для дальнейшего изложения материала.

Пусть f : X ^ К, где X С К" - открытое множество. Будем говорить, что у функции f в точке x существует верхний экзостер E*(x), если имеет место разложение

f (x + g) = f (x)+ min max(v,g)+o(g), (1)

C£E*(x) veC

Аббасов Меджид Эльхан оглы — аспирант кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. В.Ф.Демьянов. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: методы оптимизации в негладком анализе. E-mail: [email protected].

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00360).

© М. Э. Аббасов, 2011

Иш£<М = о У<?б1Г, (2)

а|0 а

а Е* (х) - семейство выпуклых компактов в Мп.

Будем говорить, что у функции / в точке х существует нижний экзостер Е*(х), если справедливо разложение

/ (х + д) = / (х)+ тах тт(о,д)+о(д), (3)

СЕЕ*(х) уЕС

где

Ит^^ = 0 У9еГ, (4)

а|0 а

а Е*(х) - семейство выпуклых компактов в М".

Существует широкий класс негладких функций, допускающих разложения (1), (3)

[1,4].

Безусловный экстремум в терминах экзостеров. В случае справедливости (1), (2) необходимое условие минимума (достаточное условие строгого минимума) в точке х* имеет очень элегантный вид [4]:

0" € С V С £ Е*(х*) (5)

(3 6> 0: Б6 £ С V С £ Е* (х*), где Б6 = {х £ М" |||х|| < 5}).

В случае справедливости (3), (4) необходимое условие максимума (достаточное условие строгого максимума) в точке х** выражается аналогично, но с использованием

нижнего экзостера [4]:

0" £ С V С £ Е*(х**) (6) (3 5 > 0: Б6 £ С V С £ Е* (х**), где Б6 = {х £ М" | ||х|| < 5}).

Если условие (5) ((6)) не выполнено, то можно найти направление спуска (подъема). Как видно, получаем инструмент для конструирования численных методов нахождения экстремума негладких функций [8, 9]. При этом для решения задач на минимум привлекается верхний экзостер, а для решения задач на максимум - нижний. Поэтому верхний (нижний) экзостер был назван собственным для задачи минимизации (максимизации). Таким образом, возникает проблема поиска условий экстремума в терминах несобственных экзостеров, т. е. условий максимума тогда, когда имеет место (1), (2), и условий минимума - когда (3), (4). Эта задача рассматривалась в работах [5, 6], в которых получены результаты в терминах сопряженных конусов. в частности, было показано, что необходимое условие локального минимума эквивалентно равенству всего пространства объединению сопряженных к множествам, входящим в нижний экзостер, конусов. В настоящей работе сделана попытка поиска других условий.

Обозначим

Н(д) = Н\(д) = тш тах(-у,д) Vg £ М", если имеет место (1),

Н(д) = Ь2(д) = тах тт^д) Vg £ М", если имеет место (3).

С ЕЕ* шЕС

Тогда, в случае справедливости одного из разложений (1) или (3), можно записать

/ (х + д)= / (х) + Н(д)+о(д), (7)

где h - положительно-однородная функция. Из (7) следует, что функция f является дифференцируемой по направлениям, т. е. для любого g е М" существует предел

п*,9) = 1,т№ +<»=>>-/М.

а|0 а

Из условий экстремума для дифференцируемых по направлениям функций (см., например, [1]) вытекают следующие условия: необходимым условием минимума (достаточным условием строгого локального минимума) является условие

h(g) > 0(h(g) > 0) Уд е М",

а необходимым условием максимума (достаточным условием строгого локального максимума)

h(g) < 0 (h(g) < 0) Уд е М".

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Для того чтобы h(g) ^ 0 для любого g е М", необходимо и достаточно, чтобы в замкнутом положительном полупространстве, порожденным произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства E* (x), т. е. для любого g е М" должно существовать С е E*(x) такое, что для всех v е С справедливо неравенство (v,g) ^ 0. Доказательство. Необходимость (от противного): пусть

h(g) > 0 yg е М", (8)

но существует g е М" такое, что для любого C е E* (x) найдется vc е C, для которого

будет

(vc,g) < 0. (9)

Из (9) следует, что min(v,g) < 0 для любого C е E* (x), откуда

vEC

h(g) = max min(v,g) < 0,

CEE*(x) vEC

что противоречит (8).

Достаточность (от противного): пусть для любого g е М" найдется такое С е E* (x), что

(v,g) > 0 yv е С, (10)

но существует gg е М" такое, что

h(g) < 0. (11)

Из (11) вытекает, что

max min(v,g) < 0,

CEE„(x) vEC

откуда

min(v,g) < 0 У С е E* (x).

vEC

Следовательно, и min(v,g) < 0. Поэтому

vEC

3vc е С : (vc, g) < 0,

что противоречит (10).

Отметим, что полученные условия можно сделать более показательными, переформулировав теорему 1 следующим образом:

Следствие 1. Для того чтобы Н(д) ^ 0 для любого д € М", необходимо и достаточно, чтобы в каждом из двух замкнутых полупространств, порожденных произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Е*(х) (т. е. чтобы такая гиперплоскость разделяла какие-то два множества семейства).

Теорема 1 и следствие 1 дают нам необходимые условия нестрогого локального минимума в терминах нижнего экзостера, являющегося несобственным для данной задачи. Доказательство не претерпит сильных изменений, если сформулировать аналогичную теорему, дающую достаточное условие строгого локального минимума.

Теорема 2. Для того чтобы Н(д) > 0 для любого д € Мп, необходимо и достаточно, чтобы в открытом положительном полупространстве, порожденным произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Е* (х), т. е. для любого д € Кп должно существовать С € Е*(х) такое, что для любого V € С (о,д) > 0.

Теорема 2 допускает и следующую формулировку:

Следствие 2. Для того чтобы Н(д) > 0 для любого д € М", необходимо и достаточно, чтобы в каждом из двух открытых полупространств, порожденных произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Е*(х) (т. е. чтобы такая гиперплоскость строго разделяла какие-то два множества семейства).

Точно так же формулируются и доказываются условия нестрогого (строгого) локального максимума в терминах верхнего экзостера. Отметим, что доказанные теоремы дают теоретическую возможность поиска направлений спуска (подъема) и допускают наглядную геометрическую интерпретацию, о чем свидетельствуют приведенные ниже примеры.

Пример 1. Пусть /(х) = |х11 + |х2|, х0 = (0,0). Верхний экзостер имеет вид

(рис. 1, а)

Е*(хо) = оа{(-1, -1), (-1,1), (1, -1), (1,1)}.

Ясно, что выполнено необходимое и достаточное условие строгого локального минимума.

Нижний экзостер имеет вид (рис. 1, б)

Е*(х0) = {( —1, -1); ( —11); (1, -1); (1,1)}.

Как видим, Е* (хо) удовлетворяет условиям теоремы 2.

Менее тривиальным является

Пример 2 [9]. Пусть

/ (х) = тах Щх)} + шт {^х)}, хо = (1,1),

г=1,2,3 г=4,5,6

где Л(х) = х\ + х2; /2(х) = (2 - х1)2 + (2 - х2)2; /з(х) = 2е-Х1+Х2; /4(х) = х2 -

2х1 + х2 - 4х2 + 4; /5(х) = 2х2 - 5х1 + х2 - 2х2 + 4; /б(х) = х2 + 2х2 - 4х2 + 1.

Можно записать

/(х) = тах тт Щх) + ^(х)} = тт тах {/(х) + /^(х:)}.

г=1,2,3 ^=4,5,6 ^=4,5,6 г=1,2,3

Рис. 1. Собственный (а) и несобственный (б) экзостеры в примере 1

Поэтому для приращения функции / (х) справедливо как максиминное, так и минимаксное представление. Для этой функции верхний экзостер имеет вид (рис. 2, о)

Е* (хо) = {СгС,С3},

где

Сх = со{(4, 0); (-2, -4);(-2, 0)},

С2 = со{(3, 2); ( — 3, —2); ( —3, 2)},

Сз = со{(6, 2); (0, -2); (0, 2)}.

Очевидно, что в терминах собственного экзостера в точке х0 выполняется условие нестрогого локального минимума.

а б

-5 -5

Рис. 2. Собственный (а) и несобственный (б) экзостеры в примере 2 Нижний экзостер имеет вид (рис. 2, б)

Е* (хо ) = {С[ ,С2 ,С3 },

C1 = co{(4, 0); (3, 2); (6,2)},

C2 = co{(-2, — 4); ( —3, —2); (0, —2)},

C3 = co{(-2, 0); (—3, 2); (0, 2)}.

Из рис. 2, б видно, что произвольная плоскость, проходящая через начало координат, вообще говоря, нестрого разделяет какие-то два множества из E* (xo), а значит, выполнено условие теоремы 1.

Литература

1. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Элементы квазидифференциального исчисления // Негладкие задачи теории оптимизации и управления /отв. ред. В. Ф. Демьянов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. C. 5-127.

3. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Exhaustive families of approximations revisited // From Convexity to Nonconvexity. Nonconvex Optimization and Its Applications / eds: R. P. Gilbert, P. D. Panagiotopoulos, P. M. Pardalos. Dordrecht: Kluwer Scientific Publ., 2001. Vol. 55. P. 43-50.

4. Demyanov V. F. Exhausters and Convexificators — New Tools in Nonsmooth Analysis // Quasidifferentiability and related topics / eds: V. Demyanov, A. Rubinov. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2000. P. 85-137.

5. Рощина В. А. Ограниченные экзостеры и условия экстремума // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, В. Н. Старкова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. С. 521—524.

6. Demyanov V. F., Roschina V. A. Optimality conditions in terms of upper and lower exhausters // Optimization. 2006. Vol. 55, N 5/6. P. 525—540.

7. Аббасов М. Э., Демьянов В. Ф. Условия экстремума негладкой функции в терминах экзостеров и коэкзостеров // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. С. 10—19.

8. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.

9. Bagirov A. M. Numerical methods for minimazing quasidifferentable functions: a survey and comparison // Quasidifferentiability and Related Topics. 2000. P. 33—71.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым.

Статья принята к печати 16 декабря 2010 г.