CC BY
25
УДК 517.972.8
РАСШИРЕНИЕ АБСТРАКТНЫХ ЗАДАЧ О ДОСТИЖИМОСТИ
© А.Г. Ченцов
Ключевые слова: компактификатор; множество притяжения; топология. Исследуется задача о достижимости в топологическом пространстве при ограничениях асимптотического характера; упомянутые ограничения могут задаваться изначально, либо возникать при ослаблении «стандартных» условий (краевые и промежуточные условия, фазовые ограничения — в задачах управления, неравенства — в математическом программировании). Для исследования упомянутых задач привлекается конструкция расширений, включающая построение пространства обобщенных элементов и непрерывного продолжения целевого оператора. Данная конструкция допускает идейные аналогии с построениями Дж. Варги.
1. Множества притяжения и компактификаторы
Пусть E — непустое множество, (H, т) — хаусдорфово топологическое пространство (ТП), f : E ^ H, E — непустое семейство подмножеств (п/м) E. Точки x € E рассматриваем в качестве обычных решений, f — в качестве целевого оператора; элементы H интерпретируем как состояния, достижение которых является целью при выборе x. Семейство E задаёт ограничения асимптотического характера (ОАХ), а, точнее, условия на возможный выбор варианта асимптотического поведения (имеются в виду несеквенциальные, вообще говоря, аналоги приближенных решений [1, гл. III]), состоящего в реализации той или иной зависимости со значениями в E (данные зависимости естественно связывать с направленностями в E; однако, по ряду причин действие последних имеет смысл сводить к действию фильтров множества E). В пространстве (Н,т) конструируется [2, §3] множество притяжения (МП) AS; в случае, когда E направлено (двойственно к вложению), AS совпадает с пересечением всех множеств cl(f^Х^т), £ € E, где с1(-,т) — оператор замыкания в (Н,т), а f 1(-) — операция взятия образа при действии f. Построение AS представляет не только теоретический, но и определенный практический интерес.
Для исследования AS может использоваться процедура, связанная с расширением исходной задачи. В этой связи компактификатором назовём всякий набор (K, t,p, q), где (K, t) — компактное ТП, K = 0,
p : E —► K, q : K —► Н,
f = qop, причём q непрерывно в смысле (K, t) и (Н,т). Тогда (в случае, когда (K, t,p, q) — компактификатор)
AS = q1(as), (1)
где as есть МП в ТП (K, t) на значениях p (для направленного семейства E as есть пересечение всех множеств c^p1(£),^, £ € E; в более общем случае см. определение [2, §3]). Обычно используются компактификаторы, для которых K = c^p1(E),^ (c1(-,t) — операция замыкания в топологии t). Для всякого компактификатора (K, t, p, q) и множества £, £ С E, справедливо равенство
cl(f1 (£),т)= q^cl(p1(£),t^ .
1517
При использовании ОАХ на основе семейства E в качестве точных обычных решений (имеется в виду аналогия с [1, гл. III]) естественно рассматривать элементы множества
Eo = П Е, (2)
которое (даже при условии AS = 0) может быть пустым. Возможности же применения всевозможных точных решений будем оценивать множеством cl(f 1(Eo),^,
cl(f1 (Eo), t)c AS. (3)
Множество-нарост
REM = AS \ cl(f 1(Eo) , t) характеризует эффекты, создаваемые асимптотическими режимами (см. (3)). Аналогичным образом определяется нарост
rem = as \ cl(p^Eo), t), соответствующий компактификатору (K, t, p, q); при этом REM С С q1(rem) и возможен случай, когда REM = q1(rem); однако при условии, что q инъек-тивное отображение, имеем равенство
REM = q1(rem) (4)
(в этом случае q реализует гомеоморфное вложение (K,t) в (H,t)). Заметим, что произвольный компактификатор допускает достаточно простое преобразование в «инъектив-ный», то есть сведение к гомеоморфному вложению. Рассмотрим данное преобразование, полагая, что
H = cl(f 1(E),t ). (5)
Пусть (K, t,p, q) — произвольный компактификатор, реализующий равенство (1). Тогда H = q1(K); следовательно, q есть непрерывная сюръекция, порождающая на K следующее отношение эквивалентности =: Vx € K Vy € K
(x = y)Ä (q(x) = q(y)). Тогда соответствующее фактор-пространство имеет вид
K/ = = (q-1({q(y)>): У € K}= {q-1({h}) : h € H}.
Через p обозначаем естественное проектирование K на K/= : p : K ^ K/= и при этом p(y) = q-4Му)}) Vy € K. Порождаемая отображением p фактор-топология
Т = {G €P(K/=)| p-1(G) € t},
где P(K/=) — семейство всех подмножеств K/=, такова, что p непрерывно как отображение (K, t) на (K/=, Т) (см., например [3, 2.4]), а тогда (K/=, Т) — компактное ТП, K/= = 0. Традиционным образом определяем отображение
о : K/= —► H.
полагая, что о(Е) = q(y) при y € Е, где Е € K/=. Тогда о есть биекция K/= на H со свойством непрерывности относительно ТП (K/=, Т) и (H,t). Рассмотрим кортеж (K/=, Т, p о p, о). Тогда
p о p : E —► K/=.
1518
С другой стороны, по построению д = а о р, а потому а о (р о р) = (а о р) о р = д о р = {. Получили, что (К/=, Т, р о р, а) —компактификатор, для которого а инъективно. Отметим здесь же следующее свойство: если р1(Е) всюду плотно в (К, ¿), то (рор)1(Е) всюду плотно в (К/=, Т). Таким образом, предложенная процедура преобразования исходного компактификатора в инъективный позволяет добиться равенства, подобного (4) и означающего (см. (2), (3)) сохранение нароста МП. Со свойством инъективности связано также следующее
Предложение 1. Если (К, ¿, р, д) — произвольный компактификатор, для которого р — такое инъективное отображение, что р(х) — изолированная точка ТП (К, ¿) при всяком выборе х € Е, то
р-1(Е8) = П Я.
Следствие! Пусть выполнены все условия предложения 1 и, кроме того, пересечение всех множеств семейства Е пусто. Тогда ав С К \ р1(Е).
Условия предложения выполнены в случае, когда компактификатор построен на основе компакта Стоуна, отвечающего алгебре п/м Е, содержащей всевозможные синглетоны точек множества Е (более подробные и несколько более общие построения таких компак-тификаторов см. в [4, 5]).
Отметим, что понятие фактор-топологии было введено П.С. Александровым (в этой связи см. [6, с. 116]).
2. Некоторые добавления
Следуя [7, с. 132], введём для произвольных ТП (X, т),Х = 0, множества У, У = 0, и отображения / : X ^ У топологию (У — Й)[т; /] множества У по правилу
(У — й)[т; /]= (С €Р(У)| /-1(С) € г}
(Р(У) — булеан У), получая наибольшую по включению топологию У, относительно которой / непрерывно, как отображение на (X,Г). Если при этом Ту — семейство всех п/м У, замкнутых в ТП (У, (У — Й)[т; /]), то
Ту = (Е €Р(У)| /-1(Е) €Тх}, (6)
где Тх —семейство всех п/м X, замкнутых в (X, Г). Напомним здесь же, что непрерывное отображение компактного ТП в хаусдорфово замкнуто [3, 3.1.12] и, как следствие, сохраняет операцию замыкания (см. [8, (2.8.4)]).
Вернёмся к проблеме достижимости при ОАХ и рассмотрим случай компактифицируемой задачи. Итак, пусть (Н,т, £) соответствует разделу 1, а (К,£, т,д) — фиксированный компактификатор. Полагаем выполненным (5). Рассмотрим вопрос о том, в какой степени связаны ТП (К, ¿) и (Н, т) (заметим в этой связи, что, вообще говоря, д не является гомеоморфизмом). При этом д — непрерывное отображение. Поэтому (Н,т) — компакт (хаусдорфово компактное ТП) как непрерывный образ компактного ТП (напомним, что (Н, т) предполагалось хаусдорфовым ТП), а само отображение д является замкнутым в смысле ТП (К,г) и (Н,т). Поскольку д сюръективно, то [3, 2.4]
т = (Н — &)[*;д] = (С € Р(Н)| д-1(С) € г}. (7)
Полагая 31 = (К \ С : С € ¿} и 32 = (Н \ С : С € т} получаем из (6), (7), что
= (Е € Р(Н)| д-1(Е) € Ы- (8)
1519
Рассмотрим простое следствие (7), (8). Полагаем, что для каждого непустого семейства U п/м K
f 1[U] = {f): U €U}.
Предложение 2. g1[F1] = F2-
Доказательство. Пусть Ф € g1[F1], а F1 € F1 таково, что Ф = g1(F1). Поскольку g — замкнутое отображение, то Ф € F2- Итак, g1[F1] С F2- Пусть теперь F € F2- Тогда из (6) и (7) следует, что F € P(H) и при этом g-1(F) € F1- В силу сюръективности g имеем поэтому, что F = g^g-1(F))€ g1[F1], чем завершается проверка вложения F2 С g1[F1], а, стало быть, и предложения в целом. □
Через K1 и K2 обозначаем семейства всех компактных в (K,i) и в (Н,т) п/м K и Н соответственно. С учётом предложения 2 проверяется следующее
Предложение 3. g1[K1] = K2.
Предложения 2, 3, а также (7) показывают, что (при условии (5)) ТП (Н,т) жестко связано с каждым из компактификаторов в части свойств, характеризующих замкнутость и компактность.
ЛИТЕРАТУРА
1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
2. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. № 1. С. 113-142.
3. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
4. Ченцов А.Г. Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. С. 298-314.
5. Ченцов А.Г. Множества притяжения в абстрактных задачах о достижимости: эквивалентные представления и основные свойства // Изв. вузов. Матем. 2013. № 11. С. 33-50.
6. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004. 368 с.
7. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. 384 с.
8. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2002. 408 p.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 13-01-00304, № 15-01-07909).
Поступила в редакцию 21 мая 2015 г.
Chentsov A.G. THE EXTENSION OF ABSTRACT ATTAINABILITY PROBLEMS
The problem of attainability in topological space under constraints of asymptotic character is investigated; the above-mentioned constraints can be defined initially or can arise under the weakening of «standard» conditions (boundary and intermediate conditions, phase constraints in control problems and inequalities in mathematical programming). For investigation of above-mentioned problems, extension construction including the generalized elements structure and continuous extension of goal operator is used. This construction admits idea analogies with constructions of J. Warga.
Key words: compactificator; attraction set; topology.
Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, профессор, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Chentsov Alexandr Georgiyevich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Kra-sovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Corresponding Member of RAS, Doctor of
1520
Physics and Mathematics, chief researcher; Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation, Professor, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
УДК 519.6
ЗАДАЧА МАРШРУТИЗАЦИИ, В КОТОРОЙ ФУНКЦИИ СТОИМОСТИ И «ТЕКУЩИЕ» ОГРАНИЧЕНИЯ ЗАВИСЯТ ОТ СПИСКА ЗАДАНИЙ
© А.А. Ченцов, А.Г. Ченцов
Ключевые слова: маршрут; мегаполис; условия предшествования.
Рассматривается «аддитивная» задача последовательного обхода мегаполисов в условиях, когда и функции стоимости, и «текущие» ограничения зависят от списка невыполненных или, напротив, уже выполненных заданий. Упомянутые особенности возникают при исследовании таких инженерных задач как задача о демонтаже энергоблока АЭС, выведенного из эксплуатации, и задача об управлении инструментом при листовой резке деталей на машинах с числовым программным управлением (ЧПУ). В статье излагается алгоритмический вариант процедуры на основе динамического программирования, доведённый до реализации на ПЭВМ.
1. Сводка общих обозначений
Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Сопоставляем всякому множеству Н семейство Р(Н) всех подмножеств (п/м) Н и семейство Р'(Н) △ Р(Н) \ {0} (△ — равенство по определению, 0 — пустое множество) всех непустых множеств из Р(Н); Еш(Н) есть ёе£ семейство всех конечных множеств из Р'(Н). Всякой упорядоченной паре (УП) г сопоставляем её первый элемент р^(г) и второй элемент рг2(г), однозначно определяемые условием г= (рг1 (г),рг2(г)). Если а,Ь и
с — объекты, то (а, Ь, с) = ((а, Ь),с) (триплет есть УП специального вида). Для всяких трёх множеств А, В и С, как обычно, А х В х С = (А х В) х С. Полагаем N = {1; 2;...} и N° △ {0}и N
РТд △ {г € N01 (р < г)&(г < д)} Ур € N0 Уд € N0;
через Р.+ [Т] обозначаем множество всех (вещественнозначных) функций, действующих из
непустого множества Т в [0, = {£ € М| 0 ^ £} (М — вещественная прямая).
Непустому конечному множеству К сопоставляем его мощность |К| € N и (непустое)
множество (Ы)[К] всех биекций множества 1, |К| на К; пусть |0| △ 0.
2. Постановка задачи
Фиксируем непустое множество X, х° € X, число N € N N ^ 2, а также М1 € € Е1п(Х),..., МN € Е1п(Х) — мегаполисы, подлежащие посещению из х°. Пусть
(х° € М, У; € ТЖ) &(Мр П Мя = 0 Ур € Т^ Уд € ^ \ {р}).
1521
