Рассеяние волн на неоднородностях планарного волновода Текст научной статьи по специальности «Физика»

дЕ ди

= 0 .

(3)

ду ду

Сначала рассмотрим волны с магнитной поляризацией вдоль оси У , для которых Еу = 0, Ну Ф 0, а уравнения Максвелла (2) в декартовых координатах имеют вид

к д2 I дН

Еу = 0

=

к дх

у

Нх = 0 Н = 1 (дЕ

у к \дх

Н = 0

Е

дг

(4)

Эти волны описываются одной составляющей магнитного поля

и=е;яу(х, 7), (5)

удовлетворяющей скалярному уравнению Гельмгольца

АНу + к2Ну = 0 . (6)

Границы волновода считаем идеально проводящими, поэтому граничные условия на их внутренней стороне

Е

= 0

(7)

для магнитного поля выглядят

<

дН,

дг

_ дН у

7 = Ь/ 2 - 0 д7

_дНу

7 = +0 дп

8 + 0

= 0

(8)

х > х

х < х

2

Разделим полное поле на две части:

Ну (х, 7) = Нех1( х, 7) + Н (х, 7) . (9)

Здесь Н - поле, рассеянное на неоднородности, а Нех - приходящая из х = да распространяющаяся в плоском волноводе волна

НеХ(х 7) = ехР (-18пх) ыфК7) , (10)

где К = п ^; зП = к 2 - К1 > 0 п е 2 .

Воспользуемся тем, что плоские границы являются идеально проводящими, и отразим волновод зеркально относительно граничных плоскостей (при этом структура поля в рассматриваемой области не изменится). В результате получим задачу о дифракции плоской волны (10) на системе, состоящей из периодически расположенных симметричных стержней (рис. 2):

Ж = 8 и Я :

X (I) = X ($1 -1) 7 (I) = -7 ($1 -1)'

0 < I < 8,

где £С - линия, зеркально симметричная £ относительно плоскости г = 0 .

Рис. 2

Решение подобной задачи методом граничных интегральных уравнений типа Фред-гольма второго рода подробно изложено в [1]. Суть его состоит в том, что решение периодической задачи ищем в виде интеграла типа потенциала простого слоя на периоде

Н(x, z) = Ja(l)G(x, z, X(l), Z(l))dl .

(12)

w

Здесь а(/) - неизвестная периодическая функция, определенная на линии Ж; G(x, г, X, 2) -функция Грина двумерной периодической задачи, для которой используют представление в виде ряда по пространственным гармоникам

G(x, z, X, Z ) = m ^

L „„—^

exPI гЕт\х - X + " m r mi l L

X + ihm 2m (z - Z)

gm

(13)

Imgm > 0 . Члены ряда (13) при |m| ^ да имеют асимптотику

^expI- mx - X| JexpI im~~(z - Z)J.

m

Потенциал (12) непрерывен, непрерывно дифференцируем вне линии (11), имеет правильную нормальную производную на Ж извне, которая равна

дН

дп

W + 0

= -ma

(i) + М) 6g(x (i),Z (i),X (l),Z (l)) d-,.

дп

w дп

(14)

Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. Тогда из (8) с учетом (9) и (10) получаем интегральное уравнение на неизвестную функцию а(1) :

-ma(l) ---ja(l) £

w

x exp

Z' (l)sign(X (l) - X (l))- ^X' (l)

g m dl =

igm\X (l) - X (l )| + im f(Z (l) - Z (l))

(15)

= 1\%пТ (/) сов^(/)) - ИХ (/) (/))] ехр [- ignX(/)]

При численной реализации перейдем к новой переменной t:

/ = /(г) , /'(г) > 0 , /(г + 2л) = /(г) + Бг (16)

с произвольной / (г), которая выражает дискретное описание профиля (1), и к новой неизвестной функции

Р(г) = -ла[/ (г)]/ ' (г) . (17)

x

m

Уравнение (15) при этом примет вид, инвариантный относительно координаты интегрирования:

р + 2, X, = 'cos(hnZ )-\XsmihZ )]ехр (- ignX). (18)

Здесь введено обозначение ядра

ф, 2, X, 2 )=

I

— h

2} sign( X - X)--тХ '

g т

-

ехр &т X - X

+ /т^ (2 - 2)

(19)

Ь

Введение новой переменной I позволяет использовать уравнение (18) для профилей, имеющих конечное число точек нарушения гладкости.

Следует отметить, что однородное уравнение (18) описывает собственные волны с магнитной поляризацией исходного плоского волновода, а однородное уравнение (18) с изменением знака перед интегралом - собственные волны волновода внутри профиля Ж.

Интегральное уравнение (18) решается методом Галеркина с базисной системой {ехр(р1)}. При этом получается бесконечная система линейных неоднородных алгебраических уравнений

ьр ВА = /Р ,

(20)

]=-

где Ьр - коэффициенты Фурье искомой функции Р^); К - коэффициенты Фурье ядра уравнения (18):

л Q(X, 2, X, 2)ехр (/(]! - рфа!,

(21)

0 0

а / - коэффициенты Фурье правой части уравнения (18).

Для улучшения сходимости ряда ядра (19) была выделена его главная часть с известной суммой:

лд (X, 2, X, 2) =

Ц 2 sign (X - X)+ /X' sign(m)]exp

2л _

- т — X - X

Ь

+ /т ~г(2 - 2)

(22)

Z^sh(x - X)- X ' sin — 2 - 2)

X - X

_Ь

- cos ~ 2 - 2)

- 2 sign (X -

2 - X)

Выражение (22) содержит устранимую особенность типа

0

Для численной реализации используем конечную систему линейных уравнений

м

К + IКЬ = П1 , Р = -м, м , (23)

}=-м

где ВР - дискретное преобразование Фурье ядра (19).

Точность, достигаемая в расчетах при заданном числе гармоник М и числе точек дискретизации профиля (не менее (2М +1)), контролировалась скоростью убывания старших гармоник решения, и - оперативно - выполнением закона сохранения энергии, который в нашем случае записывается как

т=-да

0

Е

т,1т gm =°

^т

К12=1

(24)

где Ат - коэффициенты разложения поля Н(х, 2) по пространственным гармоникам вдали от поверхности (1):

^ 2л I

„х + т — г | при х > х, . (25)

Н(х, г) = Е Ап ехр I ignx + т — 2 I при х > х1.

п=-х \ £ у

Для волн с электрической поляризацией вдоль оси У, для которых Еу ^ 0, Ну = 0, уравнения Максвелла (2) в декартовых координатах имеют вид

'Ех = 0

Е„ = _

У

А = 0

i ( -я -Н

к I дх дг

i -Е Нх =1

к дг

Ну = 0

(26)

к дх

<

Такие волны описываются одной составляющей электрического поля

Е = 7уЕу (х, 2) , (27)

которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца

АЕу + к2 Е = 0 . (28)

Идеально проводящий металл границы приводит к граничной задаче Дирихле для полного поля

ЕУ

= 0 , (29)

£ + 0

или для рассеяного поля

Е =-Еех1| , (30)

+ 0 ех" £ + 0 4 7

где, как и в (9), выделена приходящая распространяющаяся плоская волна

ЕеХ,(х, 2) = ехР(- *ёпх )™(К2) (31)

с обозначениями (10).

Как и ранее, при зеркальном отражении волновода получаем задачу дифракции плоской волны на периодической структуре, решение которой ищем в виде периодического по 2 интеграла типа потенциала двойного слоя:

Е(х, г) = |а(/) -<К х,г,Х (/),2 (/) а!, (32)

где G( х, 2, X, Z) - функция Грина (13).

Потенциал (32) непрерывен вне линии (11) и на ней, а его предельное значение извне

равно

Е = ла(/) +Га(/)-0(Х(/>•2(/>'Х>,2^а/, (33)

щ + 0 I дп

где интеграл понимается в смысле главного значения. После перехода к новой переменной (16) и неизвестной функции Р = ла(/(^)), из (30)-(33) получаем интегральное уравнение для задачи рассеяния волн с электрической поляризацией:

ß +1 jßU (х, Z, X, Z )dt = exp (- ignX )sin(hnZ )

L _

(34)

с ядром

U (x , Z, X, Z )

= z

к

Zsign(X - X) —mX'

g m

-

exp igm X - X

+ im- Z)

(35)

Решается это уравнение описанным выше способом.

Как указано ранее, однородное уравнение (34) описывает собственные волны исходного плоского волновода, а при изменении знака перед интегралом - волновода внутри профиля W.

Далее приведены рис. 3 - рис. 6, иллюстрирующие расчеты уравнения (18) (магнитная поляризация) в случае нулевой распространяющейся гармоники (n = 0 в правой части уравнения) с волновым числом к = 4 для волноводов L /2 = л с неоднородностью в виде полуокружностей с радиусом л/8 (рис. 3, 4) и радиусом 3л/8 (рис. 5, 6).

На рис. 3 и рис. 5: е - профиль неоднородности в координатах z и x с эквидистантной сеткой точек описания (1 < p < M = 65); a, b - координаты z и x в сетке точек описания профиля; c, d - модуль и фаза решения в той же сетке; f - модуль логарифма гармоник решения.

На рис. 4 и рис. 6 показаны первые 12 коэффициентов разложения отраженного Лп и прошедшего Bn полей : их модуль(ЛЬБ, фаза Arg и плотность мощности P.

m=-да

Plane waveguide irregularity. Calculation

Incident harmonic =

Reflect harmonics

Reflect power density

Passed harmonics

Passed power density

N= 0: Abs(An)= 0.1617686

N= 1:Abs(An)= 0.1598667

N= 2: Abs(An)= 0.1138351

N= 3: Abs(An)= 0.1106380

N= 1, Abs(An)= 0.6655596

N= 5, Abs(An)= 0.1309225

N= 6, Abs(An)= 0.1858887

N= 7, Abs(An)= 0.2303933

N= 0: Abs(An)= 0.2690261

N= 9: Abs(An)= 0.3063006

N= 10: AbsfAn) 0.3110420

N= ll: AbsfAn) 0.3710072

: Arg(An)= : Arg(An)= : Arg(An)= ; Arg(An)= , Arg(An)= , Arg(An)= , Arg(An)= , Arg(An)= ; Arg(An)-; Arg(An)-; Arg(An) ; Arg(An)

159.2820 159.1116 158.5930 157.6752 -109.0083 -119.2336 -121.1722 -122.2981 -123 0045 -123.3935 ■123.5005 ■123.3393

: PAn= [ : PAn= [ : PAn= [ ; PAn= [ ; PAn= ; PAn= ; PAn= ; PAn= ; PAn= ; PAn= ; PAn= ; PAn=

.2711870E-.2171581E-.1791688E-.8096199E-1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.00000D 1.00000D 0.000000 0.000000

■01: Abs(Bn)= 0.2065900 ; Arg(Bn)= 112.5211 ■01: Abs(Bn)= 0.1997886 :Arg(En)= 112.7527 ■01: Abs(Bn)= 0.1780969 :Arg(En)= 113.1611

■02: Abs(Bn)= 0.1355911 :Arg(En)= 111.7392

Atis(Bn)= 0.6561715 Abs(Bn)= 0.1199150 Abs(Bn)= 0.2369722 Abs(Bn)= 0.3193783 Abs(Bn)= 0.4025200 At.s(Bn)= O.1O81910 : Arg(Bn)= -109.7632 : At.s(Bn)= 0.5703963 : Arg(Bn)= -100.3090 : At.s(Bn)= 0.6729741 : Arg(Bn)= -106.9375

Arg(Bn)=-109.9513 Arg(Bn)=-117.6971 Arg(Bn)=-115.0072 Arg(Bn)=-113.0282 Arg (Bn)= -111.3201

PBn=-0.7147760 PBn=-0.3861801E-01 PBn=-0.2746904E-01 PBn=-0 1216049E-01 PBn= 0.000000 PBn= 0.000000 PBn= 0.000000 PBn= 0.000000 PBn= 0.000000 PBn= 0.000000 :PBn= 0.000000 :PBn= 0.000000

Draw El

Рис. 4

50 M

Рис. 5

Plane waveguide irregularity. Calculation

Время расчета составляет порядка 1 с для процессора Intel Core Quad 2.83 GHz. Авторы выражают глубокую благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору Ковалеву Н.Ф. за полезные дискуссии на предмет данной работы.

1. Petelin, M.I. Quasi-optical diffraction grill for excitation of lower-hybrid waves in tokamaks /

M.I. Petelin [et al.] // Plasma Phys. Control. Fusion. 1996. 38. P. 593-610.

Дата поступления в редакцию 15.07.2013

A.V. Gromov, E. Kim, C.E. Filchenkov WAVE SCATTERING ON THE PLANE WAVEGUIDE NONHOMOGENEITIES

Institute of Applied Phisics Russian Academy of Science, Nizhny Novgorod

The application of the second kind Fredholm type integral equations method to solution of four mutually adjoint problems on the lattice scattering of plane waves for perfectly conductive rods of arbitrary magnitude and on the wave scattering of planar waveguides for the same rods is considered. This method is of high calculating velocity and it can be used for the rods of arbitrary shape including the ones with integral inner cavities. The single (doble) lower po-tintial are used as a solution. Theirs limit characteristics are well known from potential theory and allows to get the second kind integral equations which solution is correct problem. The separation of Green function analytic singularity give fast convergence for plane waves series. The results of calculation for magnetic waves are presented.

Key words: plane wave diffraction, plane waveguide, boundary integral equation, Green function.

УДК 621.372.8

М.В. Кольцов, Ю.А. Иларионов

ВОЛНА ЗОММЕРФЕЛЬДА Ет В ОДНОПРОВОДНОЙ ЛИНИИ НА КВАЗИОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ

Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева

Целью статьи является разработка методики решения дисперсионного уравнения для волны Зоммерфельда £00 в однопроводной линии в диапазоне частот, где безразмерные поперечные волновые числа

внутри и вне проводника велики (|х|»1, у >> 1).

Предлагается теоретический подход к решению точного дисперсионного уравнения для волны £ , использующий особенности поведения комплексных волновых чисел х = х + }х2, У = У + }Уг в рассматриваемой области частот и приближенные выражения для функций, входящих в дисперсионное уравнение, при больших значениях аргументов.

Разработанная методика применена для расчета основных характеристик волны £00 в медном проводнике в диапазоне квазиоптических частот (f = (30 -И00) ТГц) при различных значениях радиуса провода. В рассмотренном примере расчета нижняя граница терагерцового диапазона соответствует ограничению |у| > 10, верхняя граница - таким значениям |у| >>10, при которых возможна появляющаяся зависимость удельной

проводимости медного проводника от частоты. Особенно это наблюдается в световом диапазоне частот (сотни терагерц).

Ценность разработанной методики расчета основных характеристик волны £ в однопроводной линии заключается в том, что решение сложного дисперсионного уравнения в комплексных плоскостях аргументов х = х + }х2, у = у + }у2 сведено к решению алгебраического уравнения относительно вспомогательной величины q = у2/у в действительной области q > 0. Остальные величины через q вычисляются по аналитическим формулам.

Ключевые слова: методика расчета, волна Зоммерфельда, однопроводная линия, квазиоптические частоты.

Методика решения дисперсионного уравнения для волны £00 (волны Зоммерфельда) в однопроводной линии с конечной проводимостью, окруженной диэлектриком с потерями, в области частот, где скин-эффект сильный (модуль безразмерного поперечного волнового числа внутри провода |х| >> 1), а модуль безразмерного поперечного волнового числа вне

провода |у| «1, разработана в [1, 2]. В [1-4] также исследовано влияние на поведение коэффициентов замедления, затухания и волнового сопротивления волны £00 параметров линии

(радиуса а и удельной проводимости стм 1 = 60Яам1 = 3,42 -104 провода) и окружающей среды (относительной диэлектрической проницаемости ег2 и удельной проводимости о2), приведены результаты исследования распределения электромагнитного поля для волны £ по поперечному сечению в окружающем линию пространстве для медных проводов радиусами а = 0,5;1;2 мм в диапазоне частот f = 0,5 — 2 ГГц.

В работе [5] разработана вторая методика решения дисперсионного уравнения для волны £00 в цилиндрическом проводнике с конечной проводимостью (стМ1 ^да) в области

частот, где поперечные волновые числа внутри и вне проводника велики |х| >> 1, |у| >> 1). Это возможно, например, либо в металлических проводниках стМ1 = (1,...,б)-107 (Ом-м)-1) малых

© Кольцов М.В., Иларионов Ю.А., 2013.