Волна Зоммерфельда е т в однопроводной линии на квазиоптических частотах Текст научной статьи по специальности «Физика»

размеров (а = (1,...,50) мм) на квазиоптических частотах (/ > 30 ТГц), либо для проводника морская вода (&М1 = (1,...,5) (Ом-м)-1) больших размеров (а = ^ = 6375 км) на частотах / < 1 МГц. В [5] также приведены результаты расчетов только на крайних частотах диапазона, где |х| »1, |у| >> 1, для проводника-морская вода и а = при одном значении стм 1 = 5 (Ом-м)-1.

Данная работа посвящена расчету комплексных поперечных волновых чисел х = х + Зхг, У = У + jУ2, коэффициентов замедления и затухания |2 волны Зоммерфельда в медном проводнике в диапазоне квазиоптических частот (/ = (30 - 100 ТГц) для нескольких значений радиуса проводника ( а = (5,...,50) мм).

Точное дисперсионное уравнение для волн Е0т (т = 0;1;2;...) в цилиндрическом проводнике радиуса а с конечной проводимостью аМ1 имеет вид [1-5]

• ад = в (1)

Ьг1 2 вг 2 2 , (1)

х У

где в г1 и в г2 - комплексные относительные диэлектрические проницаемости проводника и окружающей среды;

ад=-хад/ад, (2)

®0(У) = -УЯ1(1)(У)/Я01)(У), (3)

J0(x) и ^1(х) - функции Бесселя 1-го рода нулевого и первого порядков от комплексного аргумента; х = х + Н|(1)(у) и Н1(1)(у) - функции Ганкеля 1-го рода нулевого и первого порядков от комплексного аргумента у = у1 + jy2, где у2 > 0. Только при этом условии все составляющее электромагнитного поля волны Е0т на бесконечности обращаются в нуль.

Нормированные поперечные волновые числа внутри ( 0 < г < а , 0 <ф< 2л ) и вне ( а < г , 0 <ф< 2л ) проводника определяются формулами:

^2ла

х = У =

где

V

X

вг1Дг1 -~2 , (4)

/2лаЛ

л/в г 2-~2 ,

(5)

вг1 = Вг1 - j М1 = Вг1 - м 1 , (6)

Ш 8а

~ м 1 = — = 60Аа м 1, Ш в0

А г1 = Аг1, (7)

(магнитные потери не учитываются)

Вг2 = Вг2 (1 - j ^§^2 ) = Вг2 - ./60ХСТ2 , (8)

60Ха 9

вг2 > 1, 1§б2 =-2 > 0 ,

Вг 2

А г 2 = Аг2 = 1 , (9)

X - длина волны в вакууме, ~ = (/к = ^- относительная комплексная постоянная распространения (комплексный коэффициент замедления); | = |1 - Л2, |1 > 1, |2 > 0.

На квазиоптических частотах ( / > 30 ТГц), также, как в диапазоне СВЧ, комплексный аргумент х = х + „Д2, где X > 1, имеет вид [1, 2]:

X :

(" 1 ^ 7) ,

(10)

где величина 8 =

X

2

частоте

2л "У для f = 30 ТГц

а Mr1

есть толщина скин-слоя.

1 1

Например, для медного проводника с параметрами gm 1 = 5,7 -10 (Ом-м)- , ^r1 = 1 на

(X = 0,01 мм) нормированная удельная проводимость

~M 1 = 60Xa M1 = 3,42 -104. Отсюда толщина скин-слоя проводника на частоте f = 30 ТГц со-

ставляет

8 =

0,01 2л ^

2

3,42 -104

мм

¡1,2171-10 мм.

При a = 10 мм получаем

- - 8,2163 -105 >> 1. 8

В отличие от диапазона СВЧ, где комплексный аргумент у = у1 + ]у2 мал (|у| << 1), на квазиоптических частотах модуль комплексного аргумента у велик (|у| >> 1).

Вводя вспомогательную величину q = .у/у, используя приближенные формулы для функции ^ (у) при XI >> 1 и Ф0(у) при |у| >> 1, сводим решение дисперсионного уравнения (1) для волны Е00 в комплексной плоскости аргументов х = х + ]х2, у = у + ]у2 к решению алгебраического уравнения относительно q в действительной области q > 0 для случая

£ r 2 = 1 [5]:

L1 (q ) =

M1 + 8 r1)

4

a

(11)

где

A(q )=

Ö1(q)- q (1 - q 2 )+(! M1 "£r1)

(12)

- q 2 )+v~m 1 "ru 2q

(~ M1 +£ r1)

Ö1 (q )=

2q -

(~ M1 8 r1 (~ M1 +£r1)

-i(1 - q2)

(1 - q2)+

(~ m 1 -£r1),

(13)

- q 2 )+jzM1-2q

(~ M1 +£ r1)

а б > 1.

Задавая параметры проводника ( а, ам 1, дг1, в г1) и частоту /, из уравнения (11) находим вспомогательную величину q. Действительная и мнимая части поперечного волнового числа х на основании (10) определяются формулами:

x1

a 8

a

Xo

где a/8 >> 1.

8

Через вычисленную величину q и функцию ^ (д) действительная и мнимая части поперечного волнового числа у определяются формулами [5]:

1

У1

2[01 (д)- д]'

(15)

д

У2 ~

2[01 (д)-д]

Из соотношения (5) при ¿г2 = 1 находим [3, 4] действительную и мнимую части комплексного коэффициента замедления Р = Р1 - УР2 (Д - коэффициент замедления, Р2 - нормированный коэффициент затухания):

~1 = Л1 V Т12 + Т22 + т}, „„ (16)

~2 = Т2/2Р1 ,

где

т = 1 , (У22 - У12)

1 (2яа/ X)2 '

т = 1 , (У22 - У12)

1 (2лаД)2

(17)

В табл. 1 и на рис. 1 и рис. 2 приведены результаты расчетов по данной методике комплексных поперечных волновых чисел х = х + 2, у = У + , коэффициента замедления Д, нормированного коэффициента затухания Д и коэффициента затухания Д2 волны £00 в медном проводнике при различных значениях радиуса в диапазоне квазиоптических частот ( / = (30 -И00) ТГц).

Таблица 1

Значения х1, х2, у1, у2, ~, ~2, Р2 для ОМ1 = 5,7 • 10+7 (Ом-м)-1;

= 1; е г1 = 1 (медный провод)

/, ТГц х1 Х2 У1 У2 ~2 Р2 ,1/м

а = 5 мм

1 2 3 4 5 6 7 8

30 -4,1082Е+05 4,1082Е+05 12,02 12,50 1 + 5,96Е-7 1,52Е-05 9,57

35 -4,4373Е+05 4,4373Е+05 15,15 15,63 1 + 5,53Е-7 1,76Е-05 12,92

40 -4,7437Е+05 4,7437Е+05 18,50 18,99 1 + 5,19Е-7 2,00Е-05 16,77

45 -5,0315Е+05 5,0315Е+05 22,07 22,56 1 + 4,90Е-7 2,24Е-05 21,14

50 -5,3036Е+05 5,3036Е+05 25,85 26,34 1 + 4,65Е-7 2,48Е-05 26,01

55 -5,5625Е+05 5,5625Е+05 29,82 30,31 1 + 4,43Е-7 2,73Е-05 31,39

60 -5,8098Е+05 5,8098Е+05 33,98 34,47 1 + 4,24Е-7 2,97Е-05 37,28

65 -6,0471Е+05 6,0471Е+05 38,32 38,80 1 + 4,07Е-7 3,21Е-05 43,69

70 -6,2753Е+05 6,2753Е+05 42,82 43,31 1 + 3,92Е-7 3,45Е-05 50,60

75 -6,4956Е+05 6,4956Е+05 47,49 47,98 1 + 3,78Е-7 3,69Е-05 58,02

80 -6,7086Е+05 6,7086Е+05 52,32 52,80 1 + 3,66Е-7 3,94Е-05 65,95

85 -6,9151Е+05 6,9151Е+05 57,30 57,78 1 + 3,54Е-7 4,18Е-05 74,39

90 -7,1156Е+05 7,1156Е+05 62,42 62,91 1 + 3,43Е-7 4,42Е-05 83,34

95 -7,3105Е+05 7,3105Е+05 67,70 68,18 1 + 3,33Е-7 4,66Е-05 92,80

100 -7,5004Е+05 7,5004Е+05 73,11 73,59 1 + 3,24Е-7 4,91Е-05 102,76

Окончание табл. 1

А = 10 мм

1 2 3 4 5 6 7 8

30 -8,2163E+05 8,2163E+05 24,03 24,52 1 + 3,00E-7 1,49E-05 9,38

35 -8,8747E+05 8,8747E+05 30,28 30,77 1 + 2,78E-7 1,73E-05 12,71

40 -9,4874E+05 9,4874E+05 36,99 37,48 1 + 2,60E-7 1,98E-05 16,55

45 -1,0063E+06 1,0063E+06 44,14 44,63 1 + 2,45E-7 2,22E-05 20,90

50 -1,0607E+06 1,0607E+06 51,70 52,19 1 + 2,32E-7 2,46E-05 25,76

55 -1,1125E+06 1,1125E+06 59,64 60,13 1 + 2,21E-7 2,70E-05 31,13

60 -1,1620E+06 1,1620E+06 67,96 68,45 1 + 2,11E-7 2,95E-05 37,01

65 -1,2094E+06 1,2094E+06 76,63 77,11 1 + 2,03E-7 3,19E-05 43,40

70 -1,2551E+06 1,2551E+06 85,64 86,12 1 + 1,95E-7 3,43E-05 50,30

75 -1,2991E+06 1,2991E+06 94,97 95,46 1 + 1,87E-7 3,67E-05 57,71

80 -1,3417E+06 1,3417E+06 104,63 105,11 1 + 1,81E-7 3,92E-05 65,63

85 -1,3830E+06 1,3830E+06 114,59 115,07 1 + 1,74E-7 4,16E-05 74,06

90 -1,4231E+06 1,4231E+06 124,85 125,32 1 + 1,69E-7 4,40E-05 83,00

95 -1,4621E+06 1,4621E+06 135,39 135,87 1 + 1,63E-7 4,65E-05 92,45

100 -1,5001E+06 1,5001E+06 146,22 146,69 1 + 1,58E-7 4,89E-05 102,42

а = 15 мм

30 -1,2324E+06 1,2324E+06 36,04 36,53 1 + 2,01E-7 1,48E-05 9,31

35 -1,3312E+06 1,3312E+06 45,42 45,91 1 + 1,86E-7 1,72E-05 12,64

40 -1,4231E+06 1,4231E+06 55,49 55,98 1 + 1,74E-7 1,97E-05 16,48

45 -1,5094E+06 1,5094E+06 66,21 66,70 1 + 1,63E-7 2,21E-05 20,82

50 -1,5911E+06 1,5911E+06 77,54 78,03 1 + 1,55E-7 2,45E-05 25,68

55 -1,6687E+06 1,6687E+06 89,46 89,95 1 + 1,47E-7 2,70E-05 31,05

60 -1,7429E+06 1,7429E+06 101,93 102,42 1 + 1,40E-7 2,94E-05 36,92

65 -1,8141E+06 1,8141E+06 114,94 115,42 1 + 1,34E-7 3,18E-05 43,31

70 -1,8826E+06 1,8826E+06 128,45 128,93 1 + 1,28E-7 3,42E-05 50,21

75 -1,9487E+06 1,9487E+06 142,46 142,94 1 + 1,23E-7 3,67E-05 57,61

80 -2,0126E+06 2,0126E+06 156,94 157,41 1 + 1,19E-7 3,91E-05 65,53

85 -2,0745E+06 2,0745E+06 171,88 172,35 1 + 1,14E-7 4,15E-05 73,96

90 -2,1347E+06 2,1347E+06 187,27 187,73 1 + 1,10E-7 4,40E-05 82,89

95 -2,1932E+06 2,1932E+06 203,09 203,55 1 + 1,06E-7 4,64E-05 92,34

100 -2,2501E+06 2,2501E+06 219,33 219,79 1 + 1,03E-7 4,88E-05 102,30

а = 50 мм

30 -4,1082E+06 4,1082E+06 120,13 120,62 1 + 6,00E-8 1,47E-05 9,22

35 -4,4373E+06 4,4373E+06 151,38 151,86 1 + 5,52E-8 1,71E-05 12,54

40 -4,7437E+06 4,7437E+06 184,95 185,43 1 + 5,13E-8 1,95E-05 16,37

45 -5,0315E+06 5,0315E+06 220,69 221,17 1 + 4,79E-8 2,20E-05 20,72

50 -5,3036E+06 5,3036E+06 258,47 258,95 1 + 4,50E-8 2,44E-05 25,57

55 -5,5625E+06 5,5625E+06 298,20 298,67 1 + 4,24E-8 2,68E-05 30,93

60 -5,8098E+06 5,8098E+06 339,78 340,24 1 + 4,00E-8 2,93E-05 36,80

65 -6,0471E+06 6,0471E+06 383,12 383,57 1 + 3,78E-8 3,17E-05 43,18

70 -6,2753E+06 6,2753E+06 428,17 428,61 1 + 3,57E-8 3,42E-05 50,07

75 -6,4956E+06 6,4956E+06 474,86 475,29 1 + 3,38E-8 3,66E-05 57,47

80 -6,7086E+06 6,7086E+06 523,13 523,55 1 + 3,19E-8 3,90E-05 65,38

85 -6,9151E+06 6,9151E+06 572,93 573,34 1 + 3,01E-8 4,15E-05 73,81

90 -7,1156E+06 7,1156E+06 624,23 624,62 1 + 2,84E-8 4,39E-05 82,74

95 -7,3105E+06 7,3105E+06 676,96 677,34 1 + 2,67E-8 4,63E-05 92,18

100 -7,5004E+06 7,5004E+06 731,11 731,47 1 + 2,50E-8 4,88E-05 102,14

И7.0Е-07 1-<-6.0Е-07 Н5.0Е-07 1-4.0Е-07 К3.0Е-07 1 +2.0Е-07 1+1.0Е-07

> /ТТц

2$ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Рис. 1. Зависимость коэффициента замедления от частоты при различных значениях радиуса провода

о / ТГи

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания от частоты при различных значениях радиуса провода

Как видно из табл. 1, в рассматриваемом диапазоне частот модули поперечных волновых чисел внутри проводника равны (= |х2| ) и велики. Их порядок составляет 105 ^10б.

Величины х и х2 тем больше, чем больше радиус провода, и в диапазоне частот монотонно увеличиваются с ростом частоты.

Величины поперечных волновых числе вне проводника также велики

(у >> 1, у2 >> 1), но их порядок меньше и составляет 101 -102. В рассматриваемом диапазоне частот (/ = (30 — 100) ТГц) величины у и у2 также возрастают с ростом частоты, но более резко, чем |х| и |х2|.

Анализ численных данных у , у, приведенных в табл. 1 для различных значений радиуса проводника и частоты, приводит к приближенным прямым формулам для У и У :

а,

М1 +Вг1)

гт

У1 * (~2 . 2

1а м 1 + в г11

(18)

(~ м 1 вг1) 1

о V м 1 г1 /

У2 (а2 м 1 +в2 г1) 2

где а/ б >> 1. Например, при а = 10 мм; ам 1 = 5,7 -107 (Ом-м)-1; вг1 = 1; аг1 = 1 и / = 30 ТГц из (18) получаем:

у » 24,025 ; у2 » 24,524.

Эти значения отличаются от аналогичных величин в табл. 1 для а = 10 мм при / = 30 ТГц на 0,02%.

На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты расчетов основных характеристик волны Е00

(коэффициента замедления и коэффициента затухания |2) в однопроводной линии на квазиоптических частотах для различных значения радиуса медного проводника.

Из табл. 1 и рис. 1 видно, что зависимости коэффициента замедления от частоты при всех значениях радиуса проводника представляют собой монотонные кривые. При этом коэффициент замедления незначительно отличается от единицы и с ростом частоты в рассматриваемом диапазоне 30 ТГц < / < 100 ТГц уменьшается. Во всем рассматриваемом диапазоне частот величина коэффициента замедления и скорость его изменения ё/ тем меньше, чем больше радиус провода.

Как видно из рис. 2, зависимости коэффициента затухания от частоты при всех значениях радиуса проводника также монотонные, но в отличие от | влияние радиуса на величину коэффициента затухания |2 в рассматриваемом диапазоне частот чрезвычайно мало, поэтому кривые |2 (/) для значений радиуса а = (5; 10; 15; 50) мм сливаются друг с другом, рис. 2. Малое различие значений коэффициента затухания для различных а можно выявить из табл. 1. При этом наблюдается известная закономерность: чем больше размер проводника (радиус), тем меньше коэффициент затухания в линии.

Таким образом, исследованы основные характеристики (комплексные поперечные волновые числа, коэффициенты замедления и затухания) волны Зоммерфельда ( Е ) в одно-проводной линии на квазиоптических частотах. Установлено, что для медного проводника в диапазоне частот / = (30 -100) ТГц радиус провода а оказывает заметное влияние на величину коэффициента замедления, но очень малое влияние на значения коэффициента затухания, даже при десятикратном изменении а .

Библиографический список

1. Об основной электромагнитной волне в однопроводной линии в слабопоглощающей среде / Ю. А. Иларионов и [др.] // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. №2. С. 152-156.

2. Иларионов, Ю. А. Методика исследования волн Зоммерфельда в однопроводных направляющих структурах / Ю. А. Иларионов, А. И. Ермолаев // Антенны. 2007. №11. С. 73-85.

3. Иларионов, Ю. А. Ра спределение электромагнитного поля по поперечному сечению для волны E00 в однопроводной линии / Ю. А. Иларионов, А. И. Ермолаев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. Т. 12. №1. С. 27-33.

4. Астраханцев, К. Г. Исследование распределения электромагнитного поля волны E00 по поперечному сечению однопроводной линии / К. Г. Астраханцев, А. И. Ермолаев, Ю. А. Иларионов // Антенны. 2011. №1. С. 51-56.

5. Иларионов, Ю. А. Волна Зоммерфельда E00 в цилиндрическом проводнике большого радиуса / Ю. А. Иларионов, А. И. Ермолаев, А. В.Кукушкин // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57. С. 413-417.

Дата поступления в редакцию 15.07.2013

M. V. Koltsov, Yu. A. Ilarionov

SOMMERFELD E00 WAVE IN A SINGLE-WIRE LINE ON QUASI-OPTICAL FREQUENCY

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The purpose of the article is development of the method for finding a solution to the dispersion equation for E00 wave (Sommerfeld wave) in a single-wire line in the frequency range, where the dimensionless transverse phase coefficients are high (|x| >> 1, |y| >> 1).

Design/methodology/approach: The theoretical approach for finding a solution to the exact dispersion equation for E00 wave is proposed. It uses the features of behavior of the complex phase coefficients x = x + jx2, У = У + ЗУг in the frequency range considered and the approximate expressions for functions of the dispersion equation for high values of arguments.

Findings: The developed method was applied for calculation of basic characteristics of the E00 wave in a copper conductor in the quasi-optical frequency range (f = (30 +100) THz) for various value of radius of the conductor. Research limitations/simplifications: In the case of study considered the low bound on the THz-range meets the limitation |y| > 10. The high bound corresponds the values y >> 10 when an appearing dependence of the conductor conductivity on the frequency is possible. Especially it is observed in the light range (hundreds of THz). Originality/value: The value of the developed method for calculation the basic characteristics of the E00 wave in a single-wire line is that the solution to the sophisticated dispersion equation in complex planes of arguments x = x + jx2, y = y + jy2 is reduced to solution for algebraic equation for the auxiliary quantity q = y2/y in the real region q > 0. The remaining quantities are calculated through q by the analytical formulas.

Key words: method of calculations, Sommerfeld wave, single-wire line, quasi-optical frequency.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

УДК 551.465

Е.Г. Морозов

ВНУТРЕННИЕ ПРИЛИВЫ В БАБ ЭЛЬ МАНДЕБСКОМ ПРОЛИВЕ

Институт Океанологии им. П.П. Ширшова РАН

Цель работы: показать характеристики внутренних приливов в малоизученном районе. Научный подход: исследование основано на статистическом анализе данных измерений.

Результат: наблюдения течений и температуры на буйковых станциях в проливе показывают, что в проливе генерируются интенсивные внутренние волны, смещающие частицы воды по вертикали на 80 м, распространяющиеся на юго-восток в Аденский залив. Внутренние волны развиваются на фоне двухслойного течения. Верхнее течение направлено в Красное море из океана и компенсирует испарение. Нижнее течение (глубже 100 м) вод с высокой соленостью направлено из моря в океан. Режим внутренних волн и течений аналогичен Гибралтарскому проливу.

Применение: исследование вносит вклад в изучение динамики внутренних волн в океане. Новизна: исследование проведено в малоизученном районе океана.

Ключевые слова: внутренние волны, двуслойное течение, узкий пролив.

Баб эль Мандебский пролив соединяет Красное море с Аденским заливом Индийского океана. Ширина пролива около 30 км. Пролив разделен островом Перим на две части. Восточная часть пролива шириной 3 км мелководная. В самой узкой западной части пролива его ширина около 25 км. Максимальная глубина в районе седловины около 220 м. Гидрологический режим Баб эль Мандебского пролива очень похож на режимы Гибралтарского пролива и пролива Карские Ворота [2, 3]. Характерная особенность - это две струи течения противоположных направлений.

Испарение в Красном море существенно преобладает над осадками и речным стоком (практически нет) [1]. Из-за сильного испарения уровень моря без компенсационного течения из океана понижался бы со скоростью более 50 см в год. Компенсирует испарение течение в верхнем слое из Индийского океана. Испарение увеличивает соленость, и соленая вода опускается в глубинные слои Красного моря. Из-за разности плотностей возникает глубинное течение высокосоленой воды из Красного моря в океан. На эту систему течений накладывается волна баротропного прилива со скоростями около 1 м/с. Баротропный прилив генерирует внутреннюю приливную волны при обтекании течениями неровностей топографии, в особенности над седловиной около острова Перим.

Соленость воды, вытекающей нижним течением из Красного моря близка к 40 епс, огда как на поверхности моря менее 38 епс. Линзы высокосоленой воды образуются в Аденском заливе при вытекании нижнего течения из Красного моря. Эти линзы регистрируются в северо-западной части Индийского океана.

В этой работе мы рассмотрим систему течений и внутренних приливов в южной части Красного моря и Баб эль Мандебском проливе. В 1995-1996 гг. в проливе был проведен эксперимент по измерению течений на буях. Карта буев, выставленных в Баб эль Мандебском проливе во время эксперимента, показана на рис. 1. Измерители течений Ааиёега и Беаса! устанавливались на притопленных буйковых станциях, а на дне устанавливались акустиче-

© Морозов Е.Г., 2013.