Рассеяние плоской волны на цилиндре с меняющейся во времени диэлектрической проницаемостью Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.385.6

РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРЕ С МЕНЯЮЩЕЙСЯ ВО ВРЕМЕНИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

цилиндра введены полярные координаты (р, ср). Рассматривается два случая ориентации электрического поля падающей волны: поле направлено вдоль оси цилиндра (параллельная поляризация) и поле направлено перпендикулярно к оси цилиндра (перпендикулярная поляризация). В случае параллельной поляризации z -компонента напряженности электрического поля имеет вид [10]:

САХНЕНКО Н.К., НЕРУХА.Г._____________________

Исследуется динамика волновых процессов при падении гармонической плоской волны на цилиндр с меняющейся во времени диэлектрической проницаемостью. Предположение скачкообразного изменения во времени проницаемости позволило построить аналитическое решение и детально исследовать поведение поля во всем пространстве.

1. Введение

Актуальность исследования. В последнее время физические явления в средах, свойства которых изменяются во времени, привлекают внимание в оптоэлектронике, радиофизике, динамике плазмы. Изменение во времени диэлектрической проницаемости на практике может быть реализовано, например, лазерной накачкой, приложением напряжения [ 1 ], ионизацией [2] или изменением температурного режима [3].

Известно, что изменение показателя преломления неограниченной среды ведетк преобразованию частоты и амплитуды первичного поля [4]. Аналогичные физические явления наблюдаются и в результате изменения во времени показателя преломления среды внутри ограниченной области [5-7], а также в резонансной структуре, если в качестве первичного поля рассматривается собственная волна, не поддерживаемая внешними источниками [8-9].

Е(ели и задачи исследования. Целью данной работы является исследование динамики волновых процессов в ограниченной нестационарной области с переменной во времени средой в случае наличия внешнего источника, генерирующего плоскую монохроматическую волн}7. Рассмотрено падение такой волны на диэлектрический цилиндр, внутри которого под действием сторонних механизмов скачкообразно изменяется во времени диэлектрическая проницаемость. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: построение аналитического решения задачи в частотной области, а также строгое обращение полученного решения во временную область.

2. Представление поля источника

В качестве ограниченной области рассматривается бесконечный круговой цилиндр радиуса р0 с диэлектрической проницаемостью , расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью є. Все среды предполагаются немагнитными. Падающая плоская электромагнитная волна с временной зависимостью em,t распространяется по нормали к оси цилиндра, ориентированной по оси z . В поперечном сечении

оо

Е0= £ (“')тапЛ1(к|Р>е11Пф. Р<Ро

т=-оо

оо

Е0 = X НГ

т=-оо

где

а _ Jm (кро )Н(т}' (крр) - Ут (крр )Н<2) (кр0)

Jm(kiPo)H^>'(kp0)-v/v1J^(k1p0)Hg)(kp0) ’

b = -Jm(kiPo)Jm(kPo) + v/vi Jm(kiPo)Jm(kpo)

Jm (klPo )l42> (кро ) - v/Vj rm (klPo )Н£> (kp„) ’

k = cO(y/v, kj coq/vj , v = с/л/є ; \\ = с/ф1 ; с-ско-рость света в вакууме.

В случае перпендикулярной поляризацииудобно рассматривать z-компоненту напряженности магнитного поля, которая описывается аналогичными выражениями [10]:

Em JJm) (kp) + Jm (kp)

еітф.Р>Ро

Н0= У (-i)mcmJm(klP)eimtp, p <Po

k=-oo

Ho = У (-i)n

dmi42)(kp)+jm(kp)

ЛтФ

. p > Po .

но с другими коэффициентами:

c _ Jm (kp0 )Hgy (kp0) - (kp0 )Н[2) (kp0)

m Jm (kiPo )HSV (kPo) - vj /v ]'m (klPo )l42) (kPo) ^ _ -Jm(kPo)Jm(klPo)+Vl/vJm(klPo)Jm(kPo)

" Jm (klPo )h£}' (kpo) - Vi /v rm (klPo )H(2) (kPo)

Основная цель данного исследования состоит в нахождении нестационарного отклика поля на изменение во времени свойств среды, а именно, изменение в нулевой момент времени диэлектрической проницаемости внутри цилиндра от значения Ej до значения

е2 . В этом случае преобразованное поле будетудов-летворять волновому уравнению:

1 dz

AWin —-—у Win = 0 в области р < р0 ,

V2 а2

1 д _

AWex —-—- Wex - 0 в области р > рп .

v а

(1)

(2)

РИ, 2009, № 1

23

Здесь W = Е или Н. AW

дґ

1 д

і~^г+-— + -

1 д2

ф^ Р Ф р7 Зср'

-)W .

Распространенным способом решения задач во временной области является использование численных алгоритмов, особенно основанных на методе FDTD. Т акие подходы дают локальную картин}' явления и его анализ в целом затруднителен. Другой способ заключается в аналитическом решении задачи, сначала в частотной области, а затем в обращении полученного решения во временную область. Здесь используется второй подход, так как он позволяет проводить качественный анализ явления как во временной, так и в частотной области.

3. Параллельная поляризация

Построим сначала решение задачи для случая параллельной поляризации. Применяя преобразование Лап-

СО

ласа L(p) = J W(t)e-ptdt к(1),(2)ииспользуяначаль-

о

ные условия:

--1 E o Щ I CO s, 5E

t=0 e2 t=o а t=0 є2 а

- (Р < Ро) =

(3)

t=0

ЭЕ0 ЭЕ

= E —

t=o t=o а t=0 а

• (Р>Ро)’

(4)

t=o

приходим куравнениям для функций-изображений:

о

о

Z (-i)m amJm (кіР)еітф

Vi т=—зс

в области р < ро ; и

AL-P-L

v2

Р-1Ю0

V2

ОС

х Z (-і)’

т=-оо

bmIi<m)(kP)+Jm(kP)

.ІШф

в области (р > ро).

Для нахождения решения используется эволюционный подход [6], согласно которому решение задачи в ограниченной нестационарной области представимо в виде суперпозиции решения начальной (безграничной) задачи и решения, явно учитывающего влияние границы. Будем искать решение в виде:

L =

У^(р + 1СОо)

p2v,2 -t-mjjvl

I

m=-oo

(_i)mamJm(k1p)cim<p

+

+ Z AmWPP^1”19. (P<Po)

m=—oc

(5)

L = -

Z (-i)m ГbmHm (kp) + Jm (kp)

P — lCOn г u m=-oo

oo

+ Z BmKm(ap)elm(p,(p>p0),

.lintp _

(6)

1

где a = p/v, P = p/v2 , Im(..), ^(..(-модифицированные функции Бесселя. Первое слагаемое в (5) является решением уравнения (1) с начальными условиями (3). Вторые слагаемые в (5) и в (6) соответству-ютвлиянию границы нестационарной области.

Неизвестные коэффициенты Ат и Вт находим из граничных условий, а именно непрерывности на границе тангенциальных (Ez и Нф) компонент поля. Компонента Нф с помощью уравнений Максвелла может быть выражена через Ez. Тогда в данном случае немагнитных сред граничные условия прини-маютвид:

Е ,

= Еа

Р=Ро

ЭЕ,;,,

Р=Ро Ф

жсх

Р=Ро

Ф

Р=Ро

Индекс in используется для внутренних точек области, индекс ех - для внешних.

Применение этих граничных условий дает выражения для коэффициентов

А,„ =

p(v2 -Vj)

(p-ico0)(p2v2 +CDqV2)

НГатк

- pKm (gpo) J,n (ktPo) + v/vi co0Km (gpo)J,'„ (iqpo) (?) -Km («РО )!m (PPo ) + v/v2 Km (°Фо Дт (PPo )

R _ P(V?~V2)

Dm . от 27

(p-ico0)(p Vj +CDqV2)

у/мюо Im(PPo)Jm(kiPo)-V/

(-i)mamx

SptmCPPO^mCklPo) (8)

-Kii (“PO )Im(PPO) + v/v2 Km (°Фо )l'm (PPo)

4. Перпендикулярная поляризация

Решение задачи для случая перпендикулярной поляризации строится аналогичным образом, т.е. с помощью преобразования Лапласа к (1), (2) и использования начальныхусловий для напряженности магнитного поля:

Но

t=0

= Н

t=0

Шо

а

t=0

ЭН

”а

t=0

Эти условия имеют один и тот же вид как в области (р < Ро), так и в области (р > р0).

Решение задачи равно:

L =

vf(p + ico0)

2 2, 22 Р V1 +C°0V2 m:

£ (-i)mcmJm(kip)e

micp _

+ Z CmIm(Pp)eimtp, (p <Po).

24

ІП=-со

РИ, 2009, № 1

L =

I

p-i(D0

z

m=-oo

(-i)m

dmHm^M + JmCkp)

,imcp

+ X DmKm(ap)eimtp, (p > p0).

m=-oo

Неизвестные коэффициенты cm и п находим из граничных условий для магнитного поля:

Н„

= Н

Р=Ро

out

є PH,,,

Р=Р0 є2 dp

PH

out

P=Po

Ф

P=Po

В результате получим

С

m

-CD0

=______C°0(V2~V12)_____(_І)П,

• 2 2 2 л ' ** ^ni x

(P-1CD0)(P Vj +CD0V2)

Кщ (apo )jm (klPo ) - Vl/vPKm (apo ) Jm (klPo)

“Km (aPo )Im (PPo ) + v2/vKm (aPo Hm (PPo )

D,

______coq(v2 ~V1 )_____

(p-iro0)(p2Vi2 + C0qV2)

(-i)mcm x

,, ~V2/vglOIn1(PPo)Jm(klPo)-vl/vPIm(PPo)Jm(klPo) -Km (apo )Im (PPo ) + v2 /v Km (aPo )Vm (PPo )

(10)

Обратное преобразование во временную область на-

1 '*

ходим по формуле Меллина W(t) =---- Г L(p)eptdp.

2га г1

-loo

Выражения (5)-(6), (9)-(10) имеют простые полюса в точках р = ico0 , Р = іР''о v2/vl 5 а также в нулях знаменателя

-Кщ (apo )Im (Рро) + v/ v2 Кт (оср0 )1^ (Рр0 ) для случая параллельной поляризации или

“Кт (°Ф0 ):т (PPO ) + v2/vКт (°Фо Дт (РРО )

для перпендикулярной поляризации. Нули знаменателей определяют собственные частоты цилиндра. Точка р = 0 является точкой ветвления.

При обращении во временную область соответствующих слагаемых необходимо учитывать временное запаздывание, что должно быть выполнено с помощью использования асимптотических представлений функций Бесселя для больших значений аргумента:

РАк Ік(^р)*(¥і 72)Е0(-І)как х

v2

Vl

*Jk(—

Vl

p°V

Po V2 P v + v2

(11)

P<Po,

e

PBk Kk(—p) □ - 'V^ 7V^E0(-i)kakx

v

Vl

V+V2 V P V,

-p(^)

v v - P > Po

(12)

5. Качественная характеристика процесса

Рассмотрим детали переходного процесса на примере параллельной поляризации. После скачка диэлектрической проницаемости в нестационарной области поле описывается первым слагаемым в (5), при этом преобразуется частота падающей волны при сохранении пространственной структуры поля. Во внешнем пространстве присутствует только первичное поле. Слагаемые (11), (12) представляют собой цилиндрические нестационарные волны, распространяющиеся в противоположные стороны от границы. После прохождения волнового фронта полное поле описывается суммой вычетов во всех особых точках и интегралом вдоль разреза, который проходит вдоль отрицательной полуоси Re(p) комплексной плоскости. Вычеты в полюсах р =+iv2/vj cdq равны нулю, т.е. в установившемся режиме компоненты с такими частотами отсутствуют, а вычет на частоте источника совпадает с известными выражениями для поля рассеяния плоской волны на стационарном цилиндре [10]. Все собственные частоты цилиндра являются комплексными величинами, мнимая часть которых определяет скорость затухания колебаний.

6. Преобразование пространственной структуры поля

На рис. 1 представлена эволюция электрического поля внутри нестационарного цилиндра в зависимости от нормированного времени (Т = tc/pg ). Точка наблюдения расположена вблизи центра на расстоянии р 0=1 ро от него, ср = 0 . Длина волны падающего поля равна радиусу цилиндра. Коэффициент нормировки N = Е0 с/ро . Результаты рассчитаны для случая диэлектрического цилиндра с первичным показателем преломления nj = yfz] = 2 , расположенного в

вакууме ( і; = 1). Трансформация поля вызывается тем, что в нулевой момент времени показатель преломления изменяется до величины п2 = ^1^2 = 3.42 . Такой большой скачок проницаемости на практике пока не достижим, но он используется здесь, чтобы более наглядно проследить динамику явлений.

До нулевого момента времени график рис. 1 представляет первичную волну. На промежутке

Т є [О. 3.078] поле описывается первым слагаемым формулы (5) и соответствует решению безграничной задачи. Здесь хорошо видно резкий скачок частоты к величине о)] =ti]0>Q /п2 . Момент времени т = 3.078

РИ, 2009, № 1

25

соответствует появлению в точке наблюдения волнового фронта от границы, после чего поле описывается суперпозицией вычетов на частоте со0 и на собственных частотах. Начиная с этого момента, виден уход частоты от значения Го] до первоначального значения. Со временем характер колебаний сглаживается и поле становится гармоническим.

Рис. 1. Преобразование электрического поля в результате скачка коэффициента преломления

(nj =2 ,п2 = 3.42)

Рис. 2 соответствует аналогичному явлению для других значений параметров, а именно: меньшее значение перепада показателя преломления, от iij = 3 до п2 = 3.42, и другие координаты точки наблюдения, р 0=5ро, ср = 0 . Длина падающей волны та же.

Рис. 2. Преобразование электрического поля в результате скачка коэффициента преломления

і П] = 3 ,п2 = 3.42)

Полученные результаты показывают, что в отличие от безграничного случая, когда изменение показателя преломления изменяет частоту, но сохраняет пространственную структуру поля, при ограниченности нестационарной среды поле претерпевает и временные, и пространственные изменения. Существенное изменение пространственной структуры поля даже при небольших изменениях показателя преломления может быть легко достигнуто, если частота падающего поля близка к одной из собственных частот струк-

туры. Рис. 3 представляет фиксированные моменты эволюции пространственного распределения поля = 3.32 ,п2 =3.42).

Рис. 3. Преобразование пространственной структуры параллельно поляризованного поля.

Изображен модуль z -компоненты напряженности параллельно поляризованного электрического поля. Безразмерная частота первичного поля

w0 = юоРо /с =1-461534 совпадает с собственной частотой моды Е|_5 (одна вариация поля вдоль радиуса и три угловые вариации) после изменения проницаемости. На рис. 3 хорошо прослеживается формирование соответствующего распределения поля во времени. Левый верхний рисунок представляет собой распределение первичного поля, правый верхний - в момент времени Т = 25, левый нижний - в момент Т = 40 и последний соответствует установившемуся режиму Ти500-

Если частота падающего поля далека от собственных частот цилиндра, изменение пространственного распределения незначительно. Рис. 4 изображает первичное и преобразованное магнитное поля в случае перпендикулярной поляризации для тех же значений параметров. Безразмерная частота первичного поля в данном случае не совпадает ни с одной из собственных частот, поэтому пространственные изменения незначительны.

Рис. 4. Преобразование пространственной структуры перпендикулярно поляризованного поля

26

РИ, 2009, № 1

Длительность переходного периода отображена на рис. 5. Построена зависимость модуля напряженности электрического (сплошная линия) и магнитного (пунктирная линия^ полей от времени. Значения параметров соответствуют (rq = 3.32 , п2 = 3.42 , \у() = 1.461534 ). Точка наблюдения имеет координаты Р Ф = 0 .

Как видно, установившийся режим достигается быстрее для магнитного поля. Длительность переходного процесса зависит от близости частоты падающего поля к той или иной собственной частоте.

Рис. 5. Длительность переходного периода для электрического (сплошная линия) и магнитного (пунктирная

линия) поля ( П| = 3.32 , п2 = 3.42, Wq = 1.461534 )

7. Выводы

На основе аналитического решения задачи исследована эволюция поля при падении плоской волны на круговой цилиндр, в котором в нулевой момент времени меняется диэлектрическая проницаемость. Рассмотрена как параллельная, так и перпендикулярная поляризация волн.

Научная новизна. Впервые показано, что в отличие от безграничной нестационарной среды изменение проницаемости в ограниченной области приводитк изменению пространственной структуры поля и восстановлению частоты поля к значению частоты источника. Скорость перестройки поля существенно зависит от близости частоты источника к одной из собственных частот цилиндра.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для расчета параметров оптических резонаторов с нестационарной средой, а также при решении задач дистанционного зондирования нестационарных объектов.

Литература: 1. Savchenkov A., Ilchenko V, Matsko А., Maleki L. High-Order Tunable Filters Based on a Chain of Coupled Crystalline Whispering Gallery- Mode Resonators/ / ШЕЕ Photonics Technology Letters, V. 17, No. 1, January 2005. P. 136-138. l.DjordjevK., Seung -June Choi, Sang-Jun Choi, Dapkus P. Microdisk Tunable Resonant Filters and Switches// IEEE Photonics Technology Letters, V. 14, No. 6, June 2002. P. 828-830. 3. BenyoucefM., Kiravittaya S., Mei Y., Rastelli A., Schmidt O. Strongly coupled semiconductor microcavities: A route to couple artificial atoms over micrometric distances//Physical Review В 77,035108 (2008). 4. Morgenthaler F.R. Velocity modulation of electromagnetic wave// IRE Trans, on Microwave Theory and Technique, 6, 167-172 (1958). 5. Nerukh A.G. Evolutionary approach in transient electrodynamics problems// Radio Science, Vol. 30. P. 481-491,1995.6.NerukhA.G, Scherbatkol. VmidMarciniak M. Electromagnetics of modulated media with applications to photonics // Warsaw, 265, 2001. 7. Fedotov F.V., Nerukh A.G., BensonT.M., SewellP. Investigations of electromagnetic field in a layer with time-varying medium by Volterra integral equation method// J. of Lightwave Technology. Vol. 21, No 1. P.305-314, 2003. 8. Sakhnenko N.K., Benson T.M., Sewell P., Nerukh A.G. Transient transformation of Whispering Gallery resonator modes due to time variations in dielectric permittivity. Optical and Quantum Electronics. 38, 71-81 (2006). 9. Notomi M. andMitsugi S. Wavelength conversion via dynamic refractive index tuning of a cavity. Physical Review A. 73,051803(R), (2006). 10. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 543 с.

Поступила в редколлегию 12.03.2009

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Дорошенко В.А.

СахненкоНаталияКонстантиновна,канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика, моделирование оптоэлектронных устройств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Нерух Александр Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, радиофизика, фотоника-.Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

РИ, 2009, № 1

27