Моделирование преобразования частоты в фотонных молекулах с меняющимся во времени показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА

УДК621.385.6

чайно важно для приложений в области активных резонаторов и элементов оптической памяти. Также в динамических фотонных системах с модулируемой проницаемостью наблюдаются такие новые физические явления как остановка света [10], изменение цвета светового пучка [11], обратный доплеровский сдвиг [12].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ В ФОТОННЫХ МОЛЕКУЛАХ С МЕНЯЮЩИМСЯ ВО ВРЕМЕНИ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

САХНЕНКО Н.К.___________________________

Теоретически исследуется нестационарный отклик моды шепчущей галереи фотонной молекулы на скачкообразное изменение во времени показателя преломления. Показывается, что это изменение ведет к сдвигу частоты моды, причем его величина зависит как от величины изменения показателя преломления, так и от симметрии моды. Находятся классы мод фотонных молекул, для которых величина смещения частоты превосходит аналогичную величину для уединенного резонатора.

1. Введение

Преобразование частоты - это одна из важных проблем оптоэлектроники [1,2]. Изменение во времени показателя преломления может быть использовано для быстрого сдвига частоты в микрорезонаторе [3,4]. Этот сдвиг не зависит от интенсивности падающего поля и пропорционален относительному изменению показателя преломления.

На протяжении последних десяти - пятнадцати лет оптические микрорезонаторы различной формы (микродиски, микрокольца, микросферы), способные поддерживать колебания типа шепчущей галереи (ШГ), привлекают к себе большое внимание с точки зрения как исследования их физических свойств, так и применения для создания микролазеров с очень низким порогом генерации [5], миниатюрных узкополосных оптических фильтров [6] и сенсоров [7].

Использование колебаний ШГ, при которых волна многократно отражается от границы из-за эффекта почти полного внутреннего отражения и не покидает резонатор, позволяет достичь чрезвычайно высокой добротности в оптическом диапазоне при размерах резонатора, сравнимых с длиной волны.

Другим важным направлением является изучение оптических систем, состоящих из кластеров таких резонаторов (фотонные молекулы (ФМ) [8], оптические волноводы из связанных резонаторов [9]).

Однако большинство работ посвящено исследованию частотных характеристик таких резонаторов, хотя моделирование во временной области чрезвы-

В данной работе исследуется нестационарный отклик моды ШГ ФМ на скачкообразное изменение диэлектрической проницаемости во всей структуре. Для анализа используется строгий математический метод, позволяющий получить аналитическое решение задачи в частотной области. Исследуется и анализируется смещение частоты для разных типов мод.

2. Моды ШГ в ФМ

Рассмотрим структуру, состоящую из двух идентичных круговых дисковых резонаторов (рис. 1,а) или четырех резонаторов, расположенных в вершинах квадрата (рис. 1,б). Такие структуры называют ФМ.

Для тонких дисков трехмерная задача может быть заменена ее двумерным аналогом с помощью метода эффективного показателя преломления [13]. Будем рассматривать перпендикулярно поляризованные поля, так как именно такие поля являются доминирующими в тонких дисках

Рис. 1. Схематическая диаграмма рассматриваемых структур

Для описания полей вводится набор цилиндрических систем координат (р;,9;,z), связанных с каждым диском. Ось z направлена перпендикулярно к плоскости дисков. Для пары идентичных дисков z-координата перпендикулярно поляризованной моды может быть представлена в виде:

+да

h0(Pb Ф1) = X asJs (k1P1 )е‘8ф1 , (1)

s=-^

+да

h0(P2> Ф2) = X bsJs(k1P2)e1^2 , (2)

s=-^

+^

h0(p, ф) = X asH(2)(kp1)eis^ +

s=-^

+^ (3)

+ X bsHPckMe»» ()

s=-TO

Здесь зависимость от времени еш°(1-t*) ©(t -1*), где t*<0 (момент возбуждения моды ШГ),

k0 =ra0/c>k1 = П1 rajc, ®0 - собственная частота

РИ, 2012, № 3

3

моды, c - скорость света в вакууме, % - эффективный показатель преломления резонаторов. Поле внутри резонаторов представлено формулами (1) - (2), поле во внешнем пространстве - формулой (3). Все материалы предполагаются линейными и немагнитными. Неизвестные коэффициенты разложений находятся из граничных условий, которые состоят в непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе.

Данная структура (рис. 1 ,а) имеет две оси симметрии (xi и Х2), что определяет появление четырех классов возбуждаемых мод, которые являются четными и нечетными комбинациями мод уединенных резона -торов с теми же параметрами. Возможно возбуждение таких связанных мод: мода ШГ, поле которой является четным (симметричным) относительно обеих осей симметрии (ЕЕ мода); ЕО мода, поле которой четно относительно оси x1 и нечетно относительно оси x2 ; аналогично, ОЕ мода и ОО мода. Пространственное распределение поля в ближней зоне H8,i ЕЕ моды показано на вставке рис. 5

(обозначение Ншд соответствует моде с числом угловых вариаций m и числом вариаций вдоль радиуса l). Спектральные характеристики Н8д мод ШГ представлены на рис. 2. Эффективный показатель преломления резонаторов ni =2,63. Все собственные частоты ФМ комплексные вида ю = ю' + ію'', где ю' определяет частоту осцилляций, ю'' - затухание. Добротность колебаний определяется формулой Q = ю'/2ю''.

тальная штриховая линия соответствует уединенному резонатору с теми же параметрами. Для удаленных резонаторов собственные частоты приближаются к частоте одиночного резонатора, однако могут иметь большую добротность. Для близкорасположенных резонаторов добротность существенно снижается. Подробный анализ мод такой структуры приведен в работе [14].

Рис. 3. Распределение полей для ЕЕЕЕ (слева) и ОООО (справа) мод ШГ

d/a

d/a

0 1 2

d/a

Рис. 2. Зависимость собственных частот и добротностей Hg,1 мод ШГ от расстояния между резонаторами в паре связанных резонаторов

На левой части рис. 2 представлена зависимость нормированной частоты (Re(ka)) от расстояния между резонаторами, нормированного радиусом (здесь d - расстояние между резонаторами, a - радиус), на правой части представлены добротности. Горизон-

Рис. 4. Зависимость собственных частот и добротностей Н81 мод ШГ от расстояния между резонаторами в ФМ из четырех связанных резонаторов

Аналогично можно выписать выражения для моды ШГ в квадратной ФМ (рис. 1,б). В силу громоздкости выражений они здесь опущены. В этом случае структура имеет четыре оси симметрии ( Х1 , Х2 , Х3 и x4 ), которые определяют наличие шести классов возбуждаемых мод с разной симметрией. Их можно классифицировать следующим образом: ЕЕЕЕ моды - четные относительно всех осей, ЕЕЕО моды -четные относительно осей Х1 , Х2 , Х3 и нечетные относительно Х4 , и т.д., ЕОЕО моды, ОЕОЕ моды, ОООЕ и ОООО моды. На рис. 3 представлены распределения полей для четной относительно всех осей (ЕЕЕЕ) моды и нечетной (ОООО) моды.

Собственные частоты и добротности представлены на рис. 4. Параметры резонаторов такие же, как и на рис. 2. Очевиден резкий всплеск добротности для некоторых мод. Задача на собственные значения такой структуры рассмотрена в работе [15].

4

РИ, 2012, № 3

3. Преобразование моды ШГ в ФМ в результате изменения во времени показателя преломления

Рассмотрим ФМ, изображенную на рис. 1, а или на рис. 1, б, в которой возбуждена одна из мод ШГ. Предположим, что в нулевой момент времени под действием некоторого стороннего источника во всей структуре изменяется эффективный показатель преломления от значения ni до значения П2 . Преобразованное поле должно удовлетворять волновому уравнению внутри каждого резонатора:

L д

2 dt

n2—h

2 dt

= 0

и снаружи:

Ah--2 -2- h = 0 „2^2 c dt

(4)

(5)

Здесь A = S^p + 1/рдр+1/p2 5фф. При условии скачкообразного изменения показателя преломления можно построить аналитическое решение задачи. Для этого нужно применить преобразование Лапласа

H(p) = j h(t)e-ptdt (6)

о

к уравнениям (4) и (5), включая начальные условия, которые заключаются в требовании непрерывности векторов электрической и магнитной индукция в нулевой момент времени. В данном случае в каждом нестационарном резонаторе могут быть записаны в виде

h(t = 0+) = ho(t = 0-), (7)

dth(t = 0+) = n^/n2 5Д)(/ = 0-). (8)

Для внешнего поля начальные условия имеют вид:

h(t = 0+) = h0(t = 0-), (9)

dth(t = 0+) = dth00(t = 0-). (10)

Запишем решение для ФМ, состоящей из пары резонаторов. Для квадратной ФМ из четырех резонаторов решение может быть построено аналогично, и в данной работе не приводится.

Решение может быть представлено в виде рядов, аналогичных (1-3):

і 2 2л +TO

L = і -21 + ^0 S asJs(k1P1)e“^e-'“0'* +

c q n2 + k2nl s=-to

+TO

+ S Aq(P)Iq(n2qP1)eiq^ ?

q=-TO

(11)

2„ , :„2^ +to

2 2 , 2 0г S Ь8І8(к1Р2)е18ф2е-1“01* +

c q n2 + k0% s=-~

L = 1 n2q + infk.

S BsIs(n2qp2)e

ls^2

(12)

L = S а8Н(2)(к0Р1)е18ф1

-1®0г*

s=-to

+TO

q - ik

e-l®01*

0

- +

+ S bs^2^^2—-

q - ik0

s=-TO ^ 0

+TO +TO

+ S AsKs(qP1)els(p1 + S BsKs(qp2)e

lSф2

(13)

s

+

Здесь q = p/c . Первые слагаемые в выражениях (1113) являются решениями начальной задачи и обеспечивают выполнение начальных условий. Неизвестные коэффициенты разложений в ряды находим из граничных условий на каждой цилиндрической границе. Для этого, после применения теоремы сложения для функций Бесселя, приходим к бесконечной системе линейных уравнений, которая после преобразований может быть записана в виде фредгольмовой матрицы второго рода. Это означает, что с ростом порядка усечения матрицы приближенное решение стремится к точному и неизвестные коэффициенты могут быть определены с контролируемой погрешностью. Обозначим

xm Im(qa)FmAm, (14)

ym = Im(qa)FmBm, (15)

где Fm = im(n2qa)Km(qa)/n2 - Im(n2qa)Km(qa). (16)

Опуская промежуточные вычисления, запишем систему для определения xm и ym :

I ( ч +TO (-1)SVsKs-m(ql)

Xm - Im(qa) S У^--------S S m

FsIs(qa)

= L • amIm(qa) • Qme-1“0t* +

(17)

+L • Im(qa) S (-1)SKs-m(ql)bsWse

- i®0t*

s=—со

s=—TO

ym - (-1)mIm(qa) S

VsKs-m(ql)

Is(qa)Fs

= L • bmIm(qa) • Qme-1“0t* +

+L • (-1)mIm(qa) S asWsKs-m(ql)e

-l®0t*

s=—CO

s=—CO

(18)

Здесь l = a + d,

Qm = Km(qa)Jm(k1a) + Km(qa)Jm(k1a)q/k1, (19) Vm = Im(n2qa)Im(qa) - Im (n2qa)Im(qa)/n2 , (20)

РИ, 2012, № 3

5

wm = Jm(kia)IIn(qa) + ^k1j;n(k1a)Im(qa), (21)

L = ikpq n2 - n2 .1

(q - iko)q2n2 + wj^nj2 c' (22)

Коэффициенты для внешнего поля могут быть найдены через коэ ф фициенты внутреннего поля с помощью формул:

A-m = qL(-1)ma-mWme-i“ot* + qA-mVm , (23)

B-m = qL(-1)mb_mWme-i“0t* + qB-mVm . (24)

Нули определителя системы (17) - (18) соответствуют возбуждаемым модам структуры, вычет в каждой особой точке системы определяет амплитуду возбуждаемой моды. В результате скачка показателя преломления возбуждаются все моды структуры как с частотами вида ю = ю' + ію'' (прошедшие во времени), так и с частотами вида ю = -ю' + ію'' (отраженные во времени). Но их амплитуды чрезвычайно малы по сравнению с амплитудой прошедшей во времени волны ШГ с тем же пространственным распределением, что и первичная мода.

4. Результаты и обсуждение

На рис. 5 представлена спектральная плотность преобразованного поля в паре связанных резонаторов, в качестве первичного поля рассматривалась Щд ЕЕ мода ШГ. Показатель преломления меняется от значения П1 =2,63 до значения П2 = П1 + Дп. Частота первичной моды соответствует случаю Дп =0. При скачке показателя преломления возбуждается целый спектр собственных колебаний различных типов, но того же класса симметрии, что и исходное поле. Однако амплитуды этих возбуждаемых мод чрезвычайно малы по сравнению с амплитудой волны ШГ того же типа, что исходная мода. Поэтому приближенно можно считать, что мода ШГ переходит в моду ШГ того же типа, но при этом наблюдается смещение частоты. Очевидно, что уменьшение показателя преломления ведет к увеличению частоты, и наоборот.

20

R

Рис. 5. Смещение частоты в паре связанных резонаторов для ЕЕ моды при изменении показателя преломления от значения П1 =2,63 до значения Пд = П1 + Дп

На рис. 6 представлено смещение частоты для Щд мод

различных типов при изменении показателя преломления от значения П1 =2,63 до значения П2=2,631. Обозначим частоту первичной моды юо = ю0 + ію0 , а частоту преобразованной моды ШГ Ю1 =ю1+ іюЦ. Величина смещения частоты определяется формулой Дю =ю1 -ю0. Будем рассматривать ее нормированное значение Дw = Дюа/c . Очевидно, что для удаленных резонаторов сдвиг частоты одинаков для все типов мод и совпадает с величиной смещения частоты в уединенном нестационарном резонаторе (горизонтальная пунктирная линия). Однако для близкорасположенных резонаторов величина смещения частоты резко увеличивается для ОО и ЕО мод.

x 10'3

d/a

Рис. 6. Смещение частоты в паре связанных резонаторов для различных классов мод ШГ при изменении показателя преломления от значения n1 =2,63 до значения П2=2,631

На рис. 7 представлены данные аналогичного исследования для квадратной ФМ, состоящей из четырех резонаторов. Рассмотрены те же значения параметров. Увеличение значения смещения частоты наблюдается для ОООО и ЕОЕО мод в случае близкорасположенных резонаторов. Объяснить это можно тем, что

нечетные моды сильнее локализованы внутри резонаторов, а значит степень перекрытия нестационарной области и моды выше.

Рис. 7. Смещение частоты в ФМ, состоящей из четырех связанных резонаторов для различных классов мод ШГ при изменении показателя преломления от значения П =2,63 до значения П2=2,631

6

РИ, 2012, № 3

Сравнение абсолютной величины сдвига частоты для ФМ из двух и из четырех резонаторов для мод нечетных относительно всех осей симметрии (ОО для двух резонаторов и ОООО для четырех) приведено на рис. 8. Очевидно, что с увеличением числа резонаторов в молекуле для данного типа колебаний сдвиг частоты растет.

x 10

Рис. 8. Сравнение абсолютной величины сдвига частоты в ФМ, состоящей из двух ( N = 2 ) и четырех ( N = 4 ) связанных резонаторов для полностью нечетных мод при изменении показателя преломления от значения

n =2,63 до значения П2 = n + Дп

Выводы

На основе аналитического решения задачи исследована эволюция волны ШГ при скачкообразном изменении показателя преломления в ФМ, состоящей из двух близкорасположенных резонаторов и четырех резонаторов, размещенных в вершинах квадрата. Показано, что изменение показателя преломления ведет к сдвигу частоты моды ШГ, причем его величина зависит как от величины изменения показателя преломления, так и от симметрии моды. Найдены классы мод, для которых величина смещения частоты превосходит аналогичную величину для уединенного резонатора. Показано, что для полностью несимметричной моды наблюдается увеличение смещения частоты в ФМ из четырех резонаторов, по сравнению с ФМ, состоящей из пары связанных резонаторов.

Результаты данной работы могут быть использованы для расчетов параметров ФМ с нестационарной средой, а также имеют практическое применение в устройствах преобразования частоты.

Литература: 1. MacDonald K. F., S6mson Z. L., Stockman M. I., Zheludev N. I. Ultrafast active plasmonics // Nature Photonics. 2009. V. 3. P. 55 - 58. 2. Ilchenko V. S., Savchenko A., Matsko A., Maleki L. Whispering - gallery - mode electrooptic modulator and photonic microwave receiver // Journal of Optical Society of America B. 2003. V. 20. P. 333-342. 3. Notomi M., Mitsugi. S. Wavelength conversion via dynamic refractive index tuning of a cavity // Physical Review A. 2006. V. 73. 051803(R). 4. Sakhnenko N. K., Benson T., SewellP., Nerukh A. Transient transformation of Whispering Gallery resonator modes due to time variations in dielectric permittivity, Optical and Quantum Electronics. 2006.V. 38. P. 71-81.5. FujitaM., Sakai A., Baba T. Ultra-small and ultra-low threshold microdisk injection laser: Design, fabrication, lasing characteristics, and spontaneous emission factor // IEEE J. Sel. Topics Quantum Electron. 1999. V. 5, N. 3, P. 637-681. 6. Little B. E., Chu S. T., Haus H.A, Foresi J., Laine J-P. Microring resonator channel dropping filters // J. Lightwave Tech. 1997. V. 15. P. 998-1005. 7. Cagliani A., Davis Z. Ultrasensitive bulk disk microresonator-based sensor for distributed mass sensing // J. of Micromechanics and Microengineering. 2011. V. 21. N. 4. 045016. 8. Schmidt C., Chipouline A., Kasebier T., Kley E.- B., Tunnermann A., Shuvayev V., Deych L. I., Pertsch T. Observation of optical coupling in microdisk resonators // Phys. Rev. A. 2009. V. 80. 043841. 9. Yariv A, Xu Y., Lee R., Scherer A. Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis // Optics Letters. 1999. V. 24. N. 11. P. 711-713. 10. YanicM., Fan S. Time reversal of Light with Linear Optics and Modulators // Physical Review Letters. 2004. V. 93. N. 17. 173903. 11. Reed E., Soljacic M., Joannopoulos J. Color of Shock Waves in Photonic Crystals // Physical Review Letters. 2003. V. 90. N. 20. 203904. 12. Reed. E., Soljacic M., Joannopoulos J. Reversed Doppler Effect in Photonic Crystals // Physical Review Letters. 2003. V. 91. N. 13. 133901. 13. Smotrova E.I., Nosich A. I., Benson T. M., Sewell P. Cold-cavity thresholds of microdisks with uniform and non-uniform gain: quasi-3D modeling with accurate 2D analysis // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 2005. V. 11. P. 1135-1142. 14. Smotrova E.I., Nosich A.I., Benson T.M., Sewell P. Optical coupling of whispering gallery modes of two identical microdisks and its effect on the lasing spectra and thresholds // IEEE J. Selected Topics Quant. Electron. 2006. V. 12. N. 1. P. 78-85. 15. Boriskina S. V. Symmetry, degeneracy and optical confinement of modes in coupled microdisk resonators and photonic crystal cavities // IEEE J. Selected Topics in Quantum Electronics. 2006. V. 12. N. 6. P. 1175-1182.

Поступила в редколлегию 11.09.2012

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Носич А.И.

Сахненко Наталия Константиновна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика, моделирование оптоэлектронных устройств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

РИ, 2012, № 3

7