Рассеяние электромагнитных волн на анизотропных плоских структурах Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 537.87

Т.М. Заборонкова, Н.Ф. Яшина

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛОСКИХ СТРУКТУРАХ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

В работе рассматривается прохождение электромагнитных волн сквозь плоские слои анизотропных и би-анизотропных композитных сред при наличии у слоев диэлектрических стенок конечной толщины. На основании полученных выражений для коэффициентов отражения и прохождения обсуждается возможность диагностики свойств композитных материалов.

Ключевые слова: коэффициенты отражения и прохождения, анизотропные среды, би-анизотропные

среды.

Целью работы является выявление особенностей прохождения плоских электромагнитных волн сквозь композитные слои различной геометрии с последующим применением результатов для диагностики электродинамических свойств искусственных композитных материалов [1-2].

Рассмотрим нормальное падение электромагнитной волны на плоский неограниченно протяженный вдоль осей Оу и Oz анизотропный слой ширины dx (рис. 1). Слой расположен в вакууме и с обеих сторон ограничен параллельными диэлектрическими стенками конечной толщины с проницаемостью s . Будем рассматривать два случая ориентации оси гиротро-пии по отношению к границам слоя: продольную и поперечную.

Рис. 1. Анизотропный слой с диэлектрическими стенками

Рассмотрим сначала продольную ориентацию оси гиротропии, т.е. ось параллельна стенкам слоя (рис. 1). Анизотропная среда внутри слоя описывается тензором диэлектрической проницаемости вида

© Заборонкова Т.М., Яшина Н.Ф., 2015.

8 =

Ге± - ig 0^ ig 8± 0 0 0 л

J

магнитная проницаемость в слое [л = 1.

Пусть на слой нормально падает электромагнитная волна Е-поляризации:

Е = г0 Е0ехр /(ш/ - к0 х) , Н = - у0 Е0 ехр /(ш/ — к0 х), где к0 = шл/е0р,0 .

шр, 0

В гиротропном слое компоненты поля волны записываются следующим образом

Е12 = г0Е12ехр/(ш/ + кЕх), Н12 = — у0 ———Е12 ехр /(ш/ + кЕх), где—Е = шл/е^л .

' ' ' шр,0 '

Выражения для коэффициентов отражения и прохождения имеют вид

Ц(8, е±, л, ^

Re =

A,(8 ,8±,л ,d, 2

T = eik0(d1+2d2) --y •■__(2)

E A1(8 8±, л, di,2 ) '

^ - (л — 82 )sin2 kd2)SinhEd1 + ^8I| (I - 8)sin2kd2 cusu El

где Д = (s(1 - л) cos2 kd2 - (л - s2 )sin2 kd2 ) sinhE d1 + -^/s^(1 - s) sin 2kd2 coshE d1, к = k0 Ve ,

A! = [2ёд/л cos 2kd2 coshE d1 - (s + л)л/ё sin 2kd2 sinhE d1 ] + ¡{^¡щ (s +1) sin 2kd2 coshE d1 +

+ [s(1 + л)cos2 kd2 - (s2 +л)sin2 kd2]sin2 hEd1}. При нормальном падении на слой электромагнитной волны H- поляризации:

H = z0 H0exp i(wt - k0 x), EE = y0—^ H0 exp i(wt - k0 x)),

ws 0

составляющие электрического и магнитного поля в слое запишутся следующим образом: H12 = z0 H12exp i(wt + hHx),

E1,2 = x0-igh1U 2ч H1,2exPi(wt + hHx) E1,2 = y0-s±2hH 2ч H1,2exPi(wt + hHXУ

ws 0(si.- g) ws 0(s!- g)

где = ш

'V

80^0

(8Í— g 2)

8±

(1)

При той же ориентации оси гиротропии выражения для коэффициентов отражения и прохождения соответственно имеют вид:

/А2 (е е1, &, л, ^1,2)

^Н =-,

А 2 (е, е1, &, Л, ^

Т = е'к0 (dl+2d2) 2еУе1 (е 1 — &2) (3)

Н А 2 (е е1, &, ^ ^'

где

2 2 2 * 2 2 2 2 = (81 - п - 8_|_8 ) sin kd2 sinh// d + 8(8± - g - 8_|_) cos kd2 Sin^ d +

+ ^/b^S^SY-g2)(s -1)sin 2kd2 coshH d1, A2 = 2s^/sL(s_ - g2) cos 2kd2 coshH d1 - Vs(s_ - g2 + 8_s)sin 2kd2 sinhH d1 +

0 0 O OOOO

+ z{s(8__ - g + ) cos kd2 sinhH d1 - (s_l - g + s2s ) sin kd2 sinhE d1 + + 8_8(8_ - g2)(s +1)sin 2kd2 coshH d1}.

Отметим, что для продольной оси гиротропии в случае Е- поляризованной волны функции Л\ и Д1 не зависят от параметра гиротропии g.

Далее рассмотрим нормальное падение волн обеих поляризаций на гиротропный слой с диэлектрическими стенками в случае, когда ось гиротропии ориентирована нормально к границам слоя (тогда волновой вектор падающей волны в вакууме будет параллелен оси гиротропии).

Коэффициенты отражения и прохождения Е- поляризованной волны определяются выражениями:

к, = ЛзМ^лА^ Т = Л4(В е±, ^ Л, ¿12) Е Дз(е е±, g, Л, ¿1,2)' Е Д 4(В , g, Л, ¿1,2). Для Н- поляризованной волны соответствующие коэффициенты несложно получить в результате замены: Я'н = —Я'Е и Т'н = Т'Е. Следовательно, для поперечной оси гиротропии в рассматриваемом случае коэффициенты отражения и прохождения не зависят от типа поляризации волны. При конечной толщине стенок выражения для функций Л34 и Д3 4 имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.

Приведенные ранее соотношения позволяют исследовать еще один практически важный случай геометрии задачи. Далее рассмотрим гиротропный слой, расположенный в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е . Коэффициенты отражения и прохождения волн могут быть получены из соотношений (2)-(4) при условии к04вй2 ^да (т.е. анизотропный слой, ограниченный «толстыми» диэлектрическими стенками). В результате указанного предельного перехода для случая продольной ориентации оси гиротропии могут быть получены следующие выражения для коэффициентов ЯЕН и ТЕН : 1) при нормальном падении электромагнитной волны Е-поляризации

/(в — Л$}®кЕё

КЕ =

2^/s^coshEd + i(s + ^)sinhEd

т = ^Vsnexp (ikd)

2A/sqcoshEd + i(s + ^)sinhEd '

2) при нормальном падении Н-поляризованной волны

2 „2

R« =

i(s2 - g2 -ss2)sinhHd

2yjss±(s2 -g2)coshHd + i(ss2 + s2 -g2)sinhHd

zjs±s(si - g2)exP (ikd)

TH = I i „ —--т-:-л-• (6)

2Vss2(s2 - g2 )coshHd + i(ss 2 + s2 - g2 )sinhHd

В соотношениях (5), (6) введены обозначения d = d1, hE = кол{ц , hH = k0^(s2 - g2)s2 1 •

В случае поперечного направления оси гиротропии в слое получаем следующие соотношения для коэффициентов отражения и прохождения:

r'e = I3, TE= A4eikd; RH =-REE, T'H = TE. (7)

Выражения для функций Л34 и Д3 4, входящие в соотношения для R^ H и T'E H записываются в виде

Л3 = (h1h2 - k2 )[(h1h2 + k2 )(l - cos (hi + h2 )d)-ik (hi + h2 )sin(hi + h2 )dj, Л4 = k [2k(k2s± + hh )coshjd + cosh2d) + i(h + h )(hh + k2 )(sin^d + sinh2d )j,

Д = Д = 2(k (h + h )cos(h + h )d + i(hh + k 2)sin(h + h )d

где к12 = к0Л/е± + £ - постоянные распространения волн в слое.

Рассмотрим область частот, где постоянные распространения кЕ н и к1 2 являются

действительными величинами. Из выражений для коэффициентов отражения не сложно получить следующие условия безотражательного режима. Для случая продольной и поперечной ориентации оси гиротропии соответственно получаем

Бт^. нё = 0; Бт(к + к2 )ё = 0.

При условии малости гиротропии (| £ |<< е± |) для тонкого анизотропного слоя (кЕНё <<1), выражения для коэффициентов КЕ н и ТЕ н существенно упрощаются. В случаях продольной и поперечной ориентациях оси гиротропии из представленных выше выражений (5)-(7) нетрудно получить соотношения между коэффициентами отражения Е- и Н- поляризованных волн:

Ъ „ (В-Л) --1 (8)

Кн (е-е±)' Я'н ' '

Таким образом, проводя измерение коэффициентов отражения для двух типов поляризованных волн (Е- и Н-), на основании соотношений между коэффициентами отражения (8) можно определить тип ориентации оси гиротропии в композитном слое. В случае продольной оси (при известном значении е ) формула (8) позволяет оценить соотношение между значениями диагональных компонент тензора ( е± и л ).

Ниже исследуем случай композитного би-анизотропного слоя, расположенного в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е. Би-анизотропная среда внутри слоя описывается тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости с ненулевыми диагональными компонентами [3]

в =

0 0 ^ 0 е± 0

V 0 0 е и J

Ц±

0 0 ^

,. Ц = 0 ц± 0 . (9)

0 0

Компоненты электромагнитного поля в слое представляются в виде:

— - — — — кЕ _

Е1 2 = 10Е1 2 ехр ¡(Ш + кЕх), н1 2 = -у0-Е—Е1 2 ехр ¡(Ш + кЕх) - при падении волны

' ' ' шц '

¿-поляризации,

— — ки _ — — _

Е1 2 = Уо —н—н1 2 ехр гШ + кнх), н1 2 = 10н1 2 ехр + кнх) - при падении волны

' ШВ 0е± ' ' '

^-поляризации.

Выражения для коэффициентов отражения и преломления К'Е н и ТЕН представляются в виде:

1) при падении на слой Е-поляризованной волны В коэффициенты имеют вид

( „ Л

г

Ке =

е

II

е-

V ц±.

$ткЕ ё

Ц =

-2оо$кЕ ё + г

е +

V

'-II

$ткЕ ё

Те =

ее

— 2ехр (гкё)

ВВ

(

II

2соБкЕ ё + г

е + -

В

Л

(10)

II

$'ткЕ ё

ВВII

2) при падении на слой № поляризованной волны ( Й = г0Е0 ехр ¡(^ — к0х) ) коэффициенты записываются следующим образом

Í \

i

Rh =

1 -

sUII

si J

sinhff d

2coshH d + i

f sU ^ Y su ii

si

si J

sinhH d

Th =

V

su

ii

2exp (ikd)

V

SUiL 2coshH d

Í \

(11)

+1

su

ii

1 +

V si J

sinhff d

где к'Е = и к"Н = 11 постоянные распространения в композитном слое. В

случае би-анизотропного слоя также возможен безотражательный режим прохождения электромагнитной волны, который реализуется при условии:

ъткЕ н d = 0.

В приближении тонкого слоя ( Ь"еН d <<1) можно получить следующее соотношение между коэффициентами отражения КЕ и К'Е :

RE ^ (sUi-sii)

(12)

RH (s±-sU|ii)

Следовательно, в случае тонкого анизотропного слоя ( hEH d <<1), заключенного между электрически «толстыми» стенками ( k0 Vsd2 >> 1) при известном значении величины диэлектрической проницаемости стенок (слоя по результатам измерения коэффициентов отражения RH иR"H для двух поляризаций волн (E- и H-) можно заключить является ли среда би-анизотропной. Кроме того, выражение (12) позволяет оценить соотношения между компонентами тензоров, описывающих композитную среду: 1) при больших значениях s - между компонентами магнитного тензора u_i_, Un; 2) при малых s - между компонентами диэлектрического тензора s±, sii.

Полученные соотношения для коэффициентов отражения были применены для оценки компонент тензора диэлектрической проницаемости графеносодержащего углекомпозит-ного материала [4]. Было определено направление оси гиротропии, а также соотношение между диагональными элементами тензора. Показано, что величины продольной и поперечной проводимостей материала зависит от концентрации в нем графеновых структур. Результаты расчетов были подтверждены данными экспериментальных исследований.

Библиографический список

1. Третьяков, С.А. Электродинамика композитных сред; киральных, биизотропных и некоторых бианизотропных сред // Журнал радиотехники и электроники. 1994. Т. 39. С. 1457-1468.

2. Неганов, В.А Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементамими / В.А. Неганов, Осипов О.В. - М.: Радио и связь, 2006. - 277 с.

3. Ilin, N.V. Features of surface modes in metamaterial layes / N.V. Ilin, A.V. Smirnov, I.G. Kondrat'ev // Metamaterials. 2009. Vol. 3. P. 82-89.

s

i

s

i

4. Zaboronkova, T.M. Microwave horn antenna made of a grapheme-containing carbon composite material / T. Zaboronkova., N. Dugin, E. Myasnikov // Proceeding of EuCAP 9th European Conference on Antennas and Propagation. Lisbon. Portugal. 2015. P. 160.

Дата поступления в редакцию 06.05.2015

T.M. Zaboronkova, N.F. Yashina

SCATTERING OF ELECTROMAGNETIC WAVES BY ANISOTROPIC

PLANE STRUCTURES

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: It is the purpose of the present paper to discuss the main properties of reflection and transmission coefficients of the plane electromagnetic waves in the case of the scattering of electromagnetic waves by layer of anisotropic composite medium.

Method/approach: We consider the anisotropic layer which may be described by both the permittivity and permeability tensors. The direction of girotropic axis of the layer is parallel or perpendicular to the layer walls. We analyze two types of polarization of incident waves, which are H- and E- waves. The treatment given here is restricted to what is necessary for the problem at hand.

Results: We obtained the expressions for reflection and transmission coefficients for different cases of anisotropic composite layers and estimated the influence of widths of the layer walls of the scattering fields. Our study has showed the possibilities to apply the theoretical calculations to the estimation of the tensor elements which are described the composite medium.

Range of application: The present study has been already applied for estimation of conductivity of grapheme-containing carbon composite material and provides a starting-point for future research.

Key words: reflection and transmission coefficients, anisotropic media, bianisotropic media.