Рассеяние электромагнитных волн линейной решеткой резонансных магнитодиэлектрических сфер Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА/^^.,

ж ▼ л

УДК 621.371.3 РАССЕЯНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЛИНЕЙНОЙ РЕШЕТКОЙ РЕЗОНАНСНЫХ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СФЕР

КОЗАРЬ А.И._______________________________

Предлагается решение задачи о рассеянии электромагнитных волн линейной решеткой резонансных магнитодиэлектрических сфер, с учетом влияния решеточных структурных резонансов на внутренние поля сфер решетки. Описываются выражения для рассеянных полей для ближней и дальней зон, а также выражения для резонансных условий компонент внутренних полей сфер решетки.

1. Введение

Определенный интерес представляет исследование рассеяния электромагнитных волн на пространственных решетках, у которых структурное электромагнитное взаимодействие между рассеивающими элементами решеток и сами рассеивающие элементы обладают резонансными характеристиками.

Целью работы является решение задачи о рассеянии электромагнитных волн линейной решеткой одинаковых малых однородных резонансных магнитодиэлектрических сфер [1-3]. В данной задаче длина рассеиваемой волны может быть сравнима с посто -янной решетки, что позволяет учесть влияние решеточных структурных резонансов электромагнитного взаимодействия между сферами на внутренние резонансы сфер решетки и их тонкую структуру, а также исследовать области аномальной дисперсии решетки. Будем использовать результаты решения задачи, рассмотренной в работе [3].

2. Постановка и решение задачи

Рассмотрим линейную решетку узлов, порождаемую в декартовой системе координат координатным представлением вида [3] (xp,s = xs; yp,t = yt):

xs = [s -{(-l)s -l}o,5]d -(-l)s-1 xs =0 (s = 0, +1, +2,...),(1)

yt = yt=o = 0 zp = zp=o = 0,

где величина d определяется условием x = 0 , x = d , а xs=o,yt=o, Zp=o — координаты узла, порождающего решетку и находящегося внутри области (рис. 1):

0 < xs=o ^ d yt=o = 0 zp=0 = 0 . (2)

Координаты xs, yt = Zp = 0 задают положения узлов вне области (2), координата xs является функцией значений координаты xs=0 . В координатное 4

представление (1) можно ввести зависимость от времени, если координату узла xs=0 внутри области (2) считать некоторой функцией времени. Каждому узлу решетки сопоставляется число s , выделенному узлу решетки—число s' . Задавая максимальное значение числа s , можно рассматривать конечные и бесконечные решетки.

Если координаты узла для области (2) удовлетворяют условию xs=0 = d/2, yt_0 = 0 , Zp=0 = 0 , то возникает эквидистантная линейная решетка, где d — ее постоянная.

Можно перестраивать пространственную конфигурацию решетки, изменяя положения узла, находящегося в пределах области (2).

В узлы решетки (1) помещаем центры малых однородных резонансных магнитодиэлектрических сфер с проницаемостями є, ц и радиусом сфер a . Расстояние между центрами сфер s и s' представим (см. рис. 1)

rss ’ _ К _ xs'| . (3)

Рис. 1. Линейная решетка и геометрия задачи

Проницаемости заполнения пространства вне сфер — Є0, р-0 . Поля будем записывать в виде

Е(г, t) = Е(r)eirot; H(r,t) = H(r)eirot.

Вне сферы a / X << 1 и может быть d/X~ 1, но внутри сфер возможен резонансный случай a / Xg ~1, где X —длина рассеиваемой волны вне сфер, а Xg — длина волны в сфере.

Полагаем, что на линейную решетку сфер падает плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении оси z (см. рис.1). При решении данной задачи нужно рассматривать два случая поляризации падающей волны относительно оси 0x, когда векторы Eox или H0y параллельны оси 0x (см. рис. 1). Общий случай произвольной поляризации падающей волны сводится к этим двум случаям. Так как способ решения обеих задач одинаков, то ограничимся рассмотрением только первого варианта.

РИ, 2004, № 2

Рассеянное поле по известному внутреннему ПОЛЮ рассеивателей определим через электрический П и магнитный Пм потенциалы Герца:

( о \ —- э —► м

Ерасс = VV + k2є°ц0 П - ikMv,П ],

- \ 2 \-м . -э (4)

Hрасе — + k в о р °j П + iks o[V, П ].

Потенциалы Г ерца рассеянного поля в предположении, что поле падающей волны

здесь координаты (x,y,z) определяют вне сфер точку наблюдения поля, рассеянного линейной решеткой сфер, а координата xs — точку нахождения центра рассеивающей сферы решетки (1)(см. рис. 1), ь эф, й эф — эффективные проницаемости [3, 4]

є эф = є • F(kajs^), Ц эф = ц • Р(к^/єц),

Е ox (z, t) = Е oei(wt _kiz); Hoy (z, t) = Hoei(wt “ k>z) внутри сфер решетки и внутреннее поле сфер решетки E (г',t); H (г',t) имеют соответственно одинаковые значения для всех сфер решетки, представим в виде [3]

э ^ 1

П (r,t) = —(sin^a - k1acosk1a) х k1

ьэф

s0

E0(r',t)I

s e-ik1rs

м1

П (r,t) = —^(smkia -k1acosk1a)x k1

й эф

Й0

-1

H0(r ',t)2

s e“ik1rs

(5)

ІЖ rs =

yj(x - xs)2 + y2 + z2 ,

(6)

F(k^/g^) = 2 2(sinkWi^-cosfa^) .

(k2a2 єд -1) sin kaysg + kayqu cos kayqu

Для линейной решетки одинаковых сфер, расположенных вдоль оси x (см. рис.1), внутреннее поле

сфер Е (r',t); Н (r',t) (5) найдем из алгебраической системы уравнений, которую для данного случая представим в матричной форме (рис. 2) [3].

Основная матрица системы уравнений (см. рис.2) содержит сведения об особенностях электромагнитного взаимодействия сфер линейной решетки.

На рис.3 представлены особенности поведения Re F(0) (сплошная кривая) и ImF(0) (пунктирная кривая) в зависимости от Re 0 при разных значениях тангенса угла диэлектрических потерь tg 5Є, здесь 0 = ka^/єр .

^x(s=0)(r )

0

0

0

Нoy(s=0)(r )

_ 0 _

+ V xx 0 0 0 0 0 Е x(s=0)(O

0 W yy + W yy 0 0 0 V M Е °(s=0)(r;)

0 0 э0 э V zz ^ V zz 0 v xx0 0 Е °(s=°)(r')

0 0 0 v xx+v Mx 0 0 Е x(s=0)(O

0 0 v x0 0 w мУ0+v My 0 Е °(s=°)(r;)

0 v x 0 0 0 Vzz°+ Mz_ _ Е °(s =0)(r')

Рис. 2. Система уравнений

РИ, 2004, № 2

5

Элементы основной матрицы системы уравнений (см. рис. 2), входящие в строку, связанную с еХ(8=о)(г') , представим в виде

(v XX +v Xx) =

= A° - AsВ £ [(CxxCoskirss,+ axxSinkjrssO +

—s

(s*s'=0)

+i(axx Coskir>s' -Cxx sinkir,sO].

связанные с E^(s=o)(r') представим

(ч> у0 +^Уу) =

o s г

= AE - AsВ X [(CyyCoskirss'+ ayy sinkir,sO +

—s

(s *s'=0)

+i(ayy Coskirss' - Cyy sin kills') ],

s

=-k^0A цВ Z (-i)[(CxCoskirss'- axslnkirssO -—s

(s*s=0)

_i(ax Coskirss' + Cx SlnkirssO];

связанные с E^(s=o) (r') запишем

(УZ0 + Vzz ) =

= A 0 - A 8B Z [(CZZCoskirss' + azzsinkirssO +

—s

(s *s'=0)

+i(azz Coskirss' - Czz sinkirssO] =

o s

= kPoA^B Z (-i)[(CxCoskirss'- axsinkirssO -—s

(s*s'=0)

-i(axCoskirss'+ Cx sinkirssO]-

Элементы основной матрицы системы уравнений

(см.рис.2), входящие в строку, связанную с НX(s=o) (г') , представим в виде

(V Mx0 +v XX) =

o s

= A^- AцВ Z (_1)[(схх Coskirss' + axxsinkirssO + —s

(s *s'=0)

+i(axx Coskirss' -Cxx sinkirssO] =

связанные с нУ(8=о) (г') , представим

o s

W X = ksoAs В X (-i^(Cx Coskirss'- axsinkirssO -

—s

(s*s'=0)

-i(aXCoskirss'+ Cx sinkirssO] =

(V МУ0 +^My) =

o s г

= A Ц- A ЦВ Z (-i) L(CyyCoskirss' + ayy sinkirssO +

—s

(s*s'=0)

+ i(ayy Coskirss' - Cyy sinkirssO],

связанные с ^(8=о)(г') запишем

s

уX = -kSoAєВ X [(CxCoskirss'- ax sinkilss') --s

(s *s'=0)

-i(ax Coskirss' + cx sinkirssO],

(Д zMz0 + V zz) =

0 s

= A^- A^ Z (-i)[(czzcoskirss'+ azzsinkirssO + -s

(s *s'=0)

+i(azz Coskirss' - Czz sinkirss')]-

Здесь (1), (3), (7) k = 2%/7, kj2 = k^Po,

(

Ae =

єзф

0

-1

vs0 у

AP=

ГМзф ^ Mo у

В ^-3(sink1a - k1acosk1a), 02 = k2a2є0p0

A 0 (єзф + 2є0 ) + 61 єзф + i61 (єзф + 2є0 ) А? —---------------

ЗєоЄ101

A0 Фзф + 2До) + 0!Рэф + ^i Фзф + 2Po)

3poei9i Ass1 |xs xs'=

Cxx = ki - + 2 k2-—

lss r3 ss' r^s

о II о N N II k2 i + rss' i " Уд ss ,

, 2 i i

axx =V ’’ ayy azz = ki 2~ , ax - If

r ss ' rs2s r ss

4

Cx = ki —•

rss'

Для сферы s линейной решетки решение системы уравнений (см.рис.2) имеет вид

(r ,t) __Зм( g3Eox(r0 + P3Hoy(r'))

irat

H0(r',t) = -^( PMHoy(r') + gMEox(E)) eifflt (8)

где Дзм — определитель основной матрицы системы уравнений.

Для случая, когда электромагнитным взаимодействием между сферами решетки можно пренебречь, выражения для внутреннего поля произвольной сферы решетки (8) приобретают вид

(7):

Е (г'Д) =-

Зєоє101

Н (г'Д) =-

(єзф + 2є0 ) + ®i єзф + ^i (єзф + 2є0 )

Зц0єІЄі

(Мзф + 2Po ) + 02 Рзф + ^i (Мзф + 2Й0)

-Eox(z',t)

-Hoy(z',t)

6

РИ, 2004, № 2

а потенциалы Герца рассеянного поля (5) запишем в виде

—- Э — 3

П (r,t) = — (sinkja - kjacoskja) х k3

(еэф “є0)еіЄі

х-------------2-----:-----------х

(S эф + 2So) + 01 Є эф + i01 Фэф + 2Єо)

_ s e-ikirs

xEox(z',t)2------,

-s rs

—■■ м — —3

П (r,t) = —(sin^a-kiacoskia)x k3

10

(Рэф “P0)e 1

x--------------2-----:------------x

(Pэф + 2P0 ) +9l Pэф +$1 (Pэф + 2Ро)

_ s e-ik1rs

xHoy(z',t)2-----.

r

-s As

На рис. 4 представлены зависимости Re, Im, модуля

м

и аргумента ф выражения

^М =__________(4эф -4оУ91___________

(Р эф + 24о) + 024 эф + ^ДР эф + 24 о) входящего выше в состав формулы для Пм (r, t) , от длины падающей волны в области первого внутреннего резонанса сфер магнитного типа, когда a = 0,1145 см, є = 174 , Р = 1, Ро = є0 = 1.

Рис. 4. Зависимость величины лм от длины волны X

Рассеянное решеткой сфер поле получим из (4), (5):

- - s 1

Брасс (r, t) = £— (sink1a - k1acosk1a) x -s kj

эф

A

-1

xe

Vs0 )

i(rat-k1rs)

LSE (r,) - ikP0

Рэф

P0

-1

(-1)PSH (r') j>x

1

H расе (r, t) = £—(sin k1a - k1a cos k1a) x -s kj

(9)

xe

^

P0 у i(“t-k1rs)

(-1)LSH (r') + iks0

эф

A

-1

v b0 ;

PSE (r')U

где Ls и Ps — функциональные матрицы, которые

ss

имеют вид

А XX xy xz 0 z m 0 " Ty

L s = yx yy yz ;Ps = *6 N О 0 1 x

А zx zy * N N т y m 0 x 0

• (10)

Величины, входящие в функциональные матрицы (10), запишем в виде (1), (6):

^ xx = 1k2 +

3(x - xs)2 -rs2 _k2 (x - xs)2

+ik1

3(x - xs)2 - rs2

T yy = -^k2 +

s

3y2 - rs2 k2 y2

____k2^_

5 1 3

r r

+ ik1

о 2 2

3y - rs

^zz - _ k2 +

r

3z2 _r2 z2

3z k k2 z

5 k1 T

r5 r3

+ ik1

-,2 2 3z r

Щ =Щ =

1 xy 1 yx

Щ =Щ =

xz zx

3(x - xs)y _ k2 (x - xs)y

3(x - xs)y

+ ik

щ =щ =

yz zy

k2(x - xs )z 1 ikl 3

1 r3

3yz k2 yz * ik!3?

— k1“3

Г r

T =

1 x

+ ib+ybl, т0. = -t„

щ = —+ifc — Щ0

y 3 1 2 ’ ^y ’

rs rs

= 4 + ik1-4 ^0 =-Yz. r3 r2

Поле в произвольной точке пространства, лежащей вне сфер решетки, представим в виде

s

r

H(r, t) — Hoy (z, t) + Нрасс (r, t) .

Для случая, когда можно пренебречь электромагнитным взаимодействием сфер, компонента рассеянного поля Hy расс(r,t) (9) конечной решетки для ближней зоны имеет вид (7) (e_ik1rs и 1):

РИ, 2004, № 2

7

Нурасс (r, t) = — (sin kja - kja cos kja) >

ki3

(4эф “40)e

І01

(4эф + 240 ) + 01 4эф + i01(4эф + 240 )

<Ho I

,2 2 3У - rs

^_L k

r5 + i 1r4 ,

V s As J

(11)

- ike0

(еэф s0)e

101

E0

(еэф + 2є0) +01еэф + ^Оыф + 2є0) -s

irat

а для дальней зоны представим ее как

Нурасс (r, t) =—(sin Ца - k1a cos k a) x k3

-kl

(4эф - 40)e

i01

<H0 E

—s

(4 эф + 2M-0 ) + ^1 4 эф + $1 (4 эф + 240)

e ik'rs + k1kp0

(12)

ie,

(еэф є0)e 1

-E0 E z

s e_ik1rs

(еэф + 2є0) +01 еэф + ^Фэф + 2є0) -s rs2

-ifflt

Из определителя (8) системы уравнений (см. рис. 2) находятся резонансные условия для случая, когда a / Xg ~ 1 внутри сфер. Если є, р одинаковых сфер решетки действительны, то резонансные условия для индуцированных в сфере по осям х, у, z компонент внутреннего поля получим из выражения

det Re 11 aij ||= 0 , (13)

разрешая его относительно функции F(ka^/sp) (7) для выделенной сферы, где || Ojj || — основная матрица системы уравнений (см. рис. 2).

Анализ решения (8) системы уравнений (см. рис. 2) показывает, что компоненты внутреннего поля E0(г',t), Н0(г',t) сфер решетки по осям системы координат x,y,z (см. рис. 1) имеют разные резонансные условия, что приводит к возникновению тонкой резонансной структуры внутреннего поля сфер и расщеплению резонансных кривых.

Если электромагнитным взаимодействием между сферами решетки пренебречь, то условия для резонансов внутреннего электрического и внутреннего магнитного полей произвольной сферы решетки из (13) имеют вид

F(ka^/sp) = —

S

F(kaA/sp) =---

4

Порядок уравнения (13) можно понизить, если в нем слагаемыми, связанными с rot, пренебречь в силу их малости. Тогда (13) распадается на шесть

2s0(cos 01 +01 sin 01)

(1 + 02 ) COs 01 +01 sin ©1)

2p0(cos 01 +01 sin 01)

(1 + ©2) cos 01 +01 sin 0A

независимых уравнений первого порядка, из которых можно найти искомые резонансные условия для компонент внутреннего поля сфер (8). Но при таком упрощении в выражениях для компонент внутреннего поля сфер (8) теряется некоторая информация о тонкой резонансной структуре внутреннего поля сфер.

В этом приближении условия для резонансов коїм -понент внутренних полей EX(s=0)(r') и Нy(s=0)(r') решетки имеют вид (13) (01 << 1:

где

F(ka-y/ep) = -

є0

2(1 + 01 ) +тХ

F(k^/ep) = -

1э

2(1 + 01 ) + туу

є(1 + 101 -т хх)

40 .....^ 1 ~м

4(1 + 20f -тУУ)

(14)

тХх = — (sink1a - k1acosk1a) х

k3

< Е

-s

(s *s'=0)

VL

k21 +

k2 —

X cosk1rss' + k1 ~^sink1rss'

3

xyy =_y(sink1a - ^acos^a) x

(15)

x E (-1)

-s

(s+s'=0)

x cosk1rss' + k1

-

1) kf-+ 1 “ r3' ss'

V r Ass’

sink1rss-

r

r

Если разложить функцию F(ka^sp) (7) в выражениях (14) в ряд Тейлора в окрестности резонансных условий для свободной сферы [5], то из (14) можно получить резонансные условия для сфер линейной решетки в более простом виде.

Для диэлектрической сферы (р = 1) для первого низшего резонанса компоненты eX(s=0) (r'), когда

є = 40 , и n-го резонанса компоненты НУ(я=0) (r') резонансные условия представим как

4,384 = ^5-+20

ш = •

2ircaVc

т

2(1 + 02) +тэхх

,э хх

--2

1 + 202 -Т

2(1 + 02)++уу і+2©2 — хУУ

1

/

0,472 ’

- 2

40 2 лп

где n=1,2,3 —порядок внутренних резонансов магнитного типа. Величины туу (15) учитывают

структурное электромагнитное влияние сфер решетки на выделенную сферу s' = 0 (рис. 5).

8

РИ, 2004, № 2

На рис. 5 представлена зависимость (15) от длиныгвдающейволны X для случая, коїда радиус сферы a = 0,15 см, постоянная решеїкий = 2,3 см, xs=0 = 1,15 см.

Из выражения (15) и рис. 5 следует, что коїда длина рассеиваемой волны соизмерима с постоянной решетки X ~ d , то в решетке возникают решеточные структурные резонансы электромагнитного взаимодействия сфер двух типов — электрического и магнитного.

Анализируя резонансные условия, найдем, что при сближении сфер решетки резонансные значения длин волн для внутренних электрических резонансов сфер увеличиваются, адля внутренних магнитных резонансов сфер уменьшаются относительно аналогичных резонансных значений длин волн одиночной сферы.

УДК 621.396.2.: 621.316.2

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРЕДСКАЗАНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

ТИХОНОВ В.А., ДОРОВСКИЙв.в,

ГОРЕЛОВ Д.Ю., ЛИХОШЕРСТОВ Е. С.________

Приводится способ расчета параметров моделей авторегрессии и скользящего среднего по заданной СПМ случайного процесса или АЧХ линейной системы. Описываются системы уравнений для расчета параметров моделей. Анализируются возможности применения такого метода оценки параметров моделей для различных форм СПМ или АЧХ.

Модели авторегрессии (АР) и скользящего среднего (СС) широко применяются в анализе коррелированных слу-чайныхпроцессов, например, при подавлении коррелированных помех [1], для коррекции каналов связи [2], в системахкодирования-декодирования речевых сигналов в цифровых системах связи [3]. Модели АР и СС используются в параметрическом спектральном анализе, который имеет ряд преимуществ над класси-

3. Заключение

Полученное в данной задаче решение учитывает влияние структурных резонансов электромагнитного взаимодействия магнитодиэлектрических сфер решетки на внутренние резонансы сфер, входящих в соответствующие резонансные зоны сфер [5], и их совместное влияние на рассеянное поле, что рассмотрено впервые.

Это решение может быть полезно при создании композиционных материалов с сильной дисперсией c использованием области аномальной дисперсии решеток, изучении влияния дефектов решетки на рассеяние и распространение полей, а также для разработки устройств по управлению полем излучения электромагнитных излучателей, в которых используются тонкие эффекты взаимодействия решеточных структурных резонансов и внутренних резонансов сфер решетки.

Литература: 1. Козарь А.И., Хижняк Н.А. Отражение электромагнитных волн от резонансной диэлектрической сферы в волноводе // Укр. физ. журн. 1970. Т. 15. С. 847-849. 2. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наук. думка, 1986. 279 с. 3. Козарь А.И. Рассеяние электромагнитных волн системой плоских однослойных решеток резонансных магнитодиэлектрических сфер // Радиотехника. 2002. Вып. 130. С.42-53. 4. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. 216с. 5. Козарь А.И. Рассеяние электромагнитных волн в волноводе с однородными магнитодиэлектрическими сферами // Радиофизика и электроника. Харьков: Ин-т радиофизики и электроники НАН Украины. 2002.

7. Спец. выпуск. С. 183-189.

Поступила в редколлегию 08.01.2004 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Стороженко В.А.

Козарь Анатолий Иванович, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики ХНУРЕ. Научные интересы: радиофизика. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. 23 Августа, 39, кв. 51, тел. 33-61-43 дом., 702-13-45 раб.

ческими методами спектрального оценивания при анализе выборок конечной длины [4]. Классическим примером успешного применения модели АР является анализ солнечной активности [5].

Параметры моделей АР и СС находятся по известным выборкам сигналов [5], функциям корреляции или параметрам СПМ случайного процесса [6,

7]. Однако проблема оценки параметров модели линейного предсказания по заданным спектральным отсчетам, как правило, не рассматривается. Вместе с тем, при решении ряда задач необходимо оценить параметры моделей АР или СС, если известны отсчеты СПМ процесса или заданы значения АЧХ некоторой линейной системы. Найденные таким образом параметры моделей можно использовать для анализа случайных процессов или систем с известными спектральными характеристиками, для построения моделей линейного предсказания, для синтеза формирующих или обеляющих фильтров. С помощью формирующих фильтров получают имитационные случайные процессы с заданными статистическими характеристиками.

Целью работы является создание методики расчета параметров моделей АР и СС по известным значениям СПМ.

РИ, 2004, № 2

9