Рассеяние электромагнитных волн на двух резонансных однородных магнитодиэлектрических сферах Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА.^^.,

УДК 621.371.3 РАССЕЯНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДВУХ РЕЗОНАНСНЫХ ОДНОРОДНЫХ

МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

СФЕРАХ

КОЗАРЬ А.И.________________________

Рассматривается решение задачи о рассеянии электромагнитных волн на двух малых резонансных магнитодиэлектрических сферах, находящихся на произвольном расстоянии друг от друга. Задача решается с помощью интегральных уравнений электродинамики. Получены выражения для рассеянных полей.

Полагаем, что проницаемости заполнения свободного пространства є°,р°, радиусы сфер aba 2 , а их проницаемости ^i,Mi;s2, Р2 . Вне сфер а / X << 1, но внутри их возможен резонансный случай а / X g ~1, где X, Xg — длины волн. Поля будем записывать в виде E(r,t) = E(r)eiwt, H(r,t) = H(r)elwt [1].

Рассеянное поле по известному внутреннему полю рассеивателей определим через электрический Пэ и магнитный Пм потенциалы Герца:

Ерасс = (W + k28°р°)ПЭ - /kp° [V, ПМ\,

I \ II (1)

H pace =(VV + k 28°р° РМ + ikso [v, ПЭ\.

Для отдельных сфер потенциалы Герца представим в виде [2]

Можно показать, что для внешних точек сферы (r > г') интеграл по ее объему от функции Грина для свободного пространства (2) имеет вид

e-i^j е°до\г-г'|

W (г) = f-

V I Г - r'\

—3 (sinkia - kia cos kia) Є

dV =

—ikir

г

где ki = kjє°р0 , k = 2ж/X а г — расстояние от центра до внешних точек сферы.

Внутреннее поле рассеивателей будем находить, опираясь на интегральные уравнения [2]. Вначале рассмотрим случай, когда a / Xg << i внутри и a / X << i вне сферы, а потом результаты вычисления внутреннего поля рассеивателей обобщим и на резонансный случай, когда a / X g ~i внутри сферы. Построим квазистационарные уравнения для определения внутренних полей двух сфер в виде системы из четырех неоднородных уравнений:

Е°1(г3t) -j1+3

3!-i

,є o ,

>E°(rt) -

-|(VV + k 28°p°)

4n

зі _ i

,є0 .

W2i(r )E°(rt) -

- ikM- 0

V,—

4л

f.

32 -1

Po ,

W2M (Г) H 20(Гt)

H oi(r', t) = ji + 3

— -1 У0 .

Hi0(rt) -

-|(W+k 2є °p °)—

32 -1

yo .

WMi(7) H °(rt) +

+ ik&r

V,— 4л

(r

32 -1

,eo ,

W2i(?) e2V t)

(3)

Пэ

П M

4л

4л

є0

_P_ M- 0

i)e V)f(\r - r\ )dV,

л

1 H V) f (|r - r

\)dV,

где f (| r - r ’ |) — решение уравнения

Af(I F -F' |) + k2є°р0f (1F -r’ |) =

= -4л5(| F - F' I),

которое удовлетворяет излучению на бесконечности и имеет вид

e-*л/^°Д0|г-г 'I

f ( \r - г’ I) = „ , (2)

| г - г I

а E V'), H V') — внутренние поля рассеивателей; V — объем рассеивателей.

Е02(г3t) - і1 + 3

32-i

,єо .

Е°(гt) -

-|(VV + k 2є°р 0)33

3L _ 1

є° .

Wi2(r) E° (rt) -

- % 0

f

4л

Hr_

M- 0

-1

W1M(F )H °(rt)

H 02 (Ft) = ji + 3

M- 2 M- 0

-1

H2°(Ft) -

/

-j (W + k 2 8 0 p - 1V1M (r)H 1° (r t) +

[ 4Л^р 0

+ ike °

4л

--1

є 0

Wi|(F )E° (rt)

/

i

i

i

4

РИ, 2002, № 4

здесь Ё01(Г',t), Hoi(r',t) И Ё02(Г', t), H02(r',t) -поля падающей волны в центрах первой и второй

сфер, а Ё0(г',t),Щ(7\t) И Ё0(г',t),H0(Ht) — внутренние поля сфер.

Полученные решения для внутреннего поля сфер (4) справедливы, когда a / Х<< 1 и a / Xg << 1. Но их можно обобщить на резонансный случай a / Xg ~1, если вместо проницаемостей єс и ц ввести эффективные проницаемости [3]

Величины W'21(r), W2i(r) ИЩЭ2(Г), W{2(r) имеют вид

4п e~ik1r21

W2i(r) = — (sink^2 -k^2 cosk^2)-------------

kf r21 ’

^ 4 n e~ik1r21

W21(r) = —-(sink^2 -кщ2 cosk^)--------------

kf r21 ’

4n e~ik1r12

W\2(r) = ~r (sin ka - ka cos k^)------------

к- Г12 ’

~ik1r12

4n e

W$(r) = —-(sin k1a1 - k1a1 cos k^)—

r12

I 2 2 2

где r21 = r12 = \(x20 ~x10) + (y20 ~y10) + (z20 _z10) •

Здесь (x10,У10, z10) И У20,z20) коордиНаты

центров первой и второй сфер.

Первые слагаемые справа в уравнениях (3) связаны с внутренним полем соответствующей сферы без учета влияния противоположной сферы, а вторые слагаемые определяют влияние на данную сферу другой сферы.

Для определения внутреннего поля сфер имеется система из четырех векторных неоднородных уравнений или же для x—, yz - составляющих-две-надцати уравнений с двенадцатью неизвестными.

Для внутреннего поля конкретной сферы решение системы уравнений (3) имеет вид

ё0(г t)

1

дЭМ

Ш/Ё0С(ПО+РҐЩС(ПО), (4)

С=1

1

H0 (Г',t) = — Z ОТ H0c (rt) + gMc Ё0С (rt)),

С—1

дам

где

"g3c' oxxc g3c' Sxyc g3C'" xzc вэс' xxc вэс' xyc вэс '" xz

gf = g^' Syxc gэс' &yyc gэс' yzc ; Г' = вэс' yxc В эс' yyc вэс' yz

g3c' S zxc g30' Szyc gэс' Szzc вэс' г zxc вэс' zyc вэс' rzzc

эмс

3С

пмс' xxc пмс' xyc пмс' xzc " мс' xxc О м' xyc О м'~ xzc

пмс' пмс' пмс' Амс' О мс' О мс О мс

Рyxc yyc Pyzc ; gc = о yxc yyc byzc

пмс' пмс' пмс' о мс О мс О мс

Р zxc zyc Pzzc о zxc zyc bzzc

а дэм — детерминант основной матрицы системы уравнений (3). Индекс с определяет выделенную сферу, а индекс с принимает значение с = 1,2 .

где

£сэф ^сF(ka^ ) , (5)

Мсэф ~ ЄсF(kac V''сУс ) ,

F(kacy]єсРс ) =

2(sinkacJєСцС -ka^JєСцС coska^JєСцС)

(k2a^ec^c - 1)sinkacєСцС + kacy]єcpc coskacєСцС

Если пренебречь взаимодействием между сферами, то обобщенные выражения (4) примут вид (5)

Ёс0(Г t) =-

3б</

(^сэф + 2^0) + ®1с^сэф + Нс (^сэф + 2^0 )

Ё0с (Г',0

H°(F,t)=-----------23Р0^-------------H0c (И t)

(Мтэф + 2М-0 ) + 01сйсэф+% (Мтэф+2Й0 )

где 01c = ka^Jє0р0 .

Потенциалы Герца Пэ и Пм рассеянного системой из двух сфер поля по известному внутреннему полю (4) отдельных рассеивателей представим в виде суперпозиции потенциалов Герца первой и второй сфер (5):

Пэ (г, t) =

2 1

= X-Hsin Vc

c=1k1

f

k1ac cosk1ac)

V

єсэф є0

-1

Ёс0(г', t) -

~ik1rc

(6)

Пм (r, t) =

21

= — X г (sinka

c=1k3

k1ac cosk1 ac)

Г^сээф A

M0

HcV, t)e

~ik1rc

где Гс = д/(x - xC0)2 + (y - УС0)2 + (z - zc0)2 — координаты ( x, y, z ) определяют точку наблюдения поля, рассеянного системой из двух сфер, а координаты (xc0, yc0, zc0) — точку нахождения центра соответствующей сферы.

Учитывая (5), (6), находим рассеянное на двух сферах поле (1):

- 2 1

Ёрас<сг ,0=X-HsnVc - ka coskac) *

c—1k3

I Sсэф

HS0

ЦМГ) -ikp0

Мсэф

, M0

1

1^(-1)/C/H0(r')

У

,i(wt~k1rc )

(7)

РИ, 2002, № 4

5

- 2 1

Hpacofct) = E-^srnkia,. -kiacooskiac)>

^М-еэф 1^ ^0 .

c=ikf

(-1)ЬсЙС(Т')+ik80

^есэф i^

s0

0(p') Li(wt-kirc)

PcEO(T')

где Lc и Pc — функциональные матрицы вида

xxc ч* xyc xz 0 zc m0 yc

II W А yxc yyc W yz с II ш0 т zc 0 xc

zxc Ч* zy zzc 1 m0 xc 0

.(8)

Величины, входящие в функциональные матрицы (8), имеют вид

1 2

^xxc ~ k Є0Р0 +

3(x- Хсо)2 -rC

- к{

2 (Х - Хсо)

+ /kl

3(x - Хсо)2 -r

1 2

^yyc = k Є0Й0 +

3(У - yc0)2 - rC

_ k2(y - yc0) + ik1

3(y-yc0)2 -rC

1 2

^zzc ~ k s0^0 ^

3(Z - Zc0)2 - rC

- k2(Z Z3c0) + ikx

3(z - Zc0 )2 - г;2

r

r

c

r

r

r

c

r

r

r

c

r

r

Поле в произвольной точке пространства, лежащей вне сфер, определим в виде

E (г, t) = E0 (г, t) + E расс (F, t),

где E0(r, t) — невозмущенное поле падающей волны.

Из детерминанта системы уравнений (3) определяются резонансные условия для случая, когда a / X g ~ 1 внутри сфер.

При условии, что в выражениях (4), (7) индекс с принимает значение с = 1, соотношения (7) будут определять поле рассеянное, резонансной магнитодиэлектрической сферой в свободном пространстве, и для случая, когда 01с << 1, иметь вид

- 3

Ерасс(r ,t) =Тз (smk1a - k1acosk1a) X k13

щ(7)-%0 Ы 2° (-1)P^H0(r')

|^эф + 2є0 Мэф + 2Mfl

(9)

kf'

Нрасс(Г,t) = 7T (sink1a - k1acosk1a) X

М-эф M-0 , іУ 5эф S0

[М"эф ^ 2M"0

H)LH0(r ’) + ik30

&эф + 2є0

PE0(r ')k

i(wt~kr)

где L и P — функциональные матрицы (8), величина

:V(X“X0)

2 +(y _ y0)2 + (z _ z0)2

щ щ =

А xyc х yxc

3( x - x;0)( y - Ус0)

k2 (x-xc0)(y-Ус0) , k 3(x-xc0)(y-Ус0) - k1 ------3--------+ ik1----------------

rc rc

3( x - x;0)( Z - Z;0 )

Щ Щ =

xzc zxc

k2 (x - xc0)(z - zc0) , k 3(x - xc0)(z - zc0) - k1 --------3-------+ ik1-------------------

rc

rc

^ =

yzc zyc

cc 3(y -Ус0)(z - zc0)

r

’ S'

- k1

2 (У - Ус0)(z - zc0) + ik 3(У - Ус0 )(z - zc0)

Щ = (x - xc0) + . (x - xc0) ^0 T xc 3 ™1 2 , * yc ~ * yc ,

m0 _ _m m _

xc xc zc

(z ~ Zco) + ik,(z ~ Zco)

(У - Ус0) , (У - Ус0)

yc

yyc = ——+ ikx——~'C0/ щ 0 =_щ

1 9 ? I -7Г I -7Г *

2 zc

r

r

r

r

r

r

r

c

определяет точку наблюдения (x, y, z) вне сферы рассеянного поля по отношению к центру рассеивающей сферы (x0, y0, z0), а E0(r'), H0(г') - поле падающей волны в центре сферы [3].

Из (9) для одиночной сферы можно получить условия для электрического и магнитного резонансов в виде (5) [1,2]:

F (kaJep) = - F (kaj^) = -

є ’ Ц '

Литература: 1.Козарь А.И., Хижняк Н.А. Отражение электромагнитных волн от резонансной диэлектрической сферы в волноводе // Укр.физ.журн. 1970. Т.15. С.847-849. 2. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев.: Наук. думка. 1986. 279с. 3. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд.-во иностр. лит., 1954. 216с.

Поступила в редколлегию 29.05.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Кулагин Н.А.

Козарь Анатолий Иванович, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. 23 Августа, 39, кв. 51, тел. 33-61-43 дом., 40-93-45 раб.

РИ, 2002, № 4

6