CC BY
32
РАДИОТЕХНИКА.^^.,
УДК 621.371.3 РАССЕЯНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДВУХ РЕЗОНАНСНЫХ ОДНОРОДНЫХ
МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СФЕРАХ
КОЗАРЬ А.И.________________________
Рассматривается решение задачи о рассеянии электромагнитных волн на двух малых резонансных магнитодиэлектрических сферах, находящихся на произвольном расстоянии друг от друга. Задача решается с помощью интегральных уравнений электродинамики. Получены выражения для рассеянных полей.
Полагаем, что проницаемости заполнения свободного пространства є°,р°, радиусы сфер aba 2 , а их проницаемости ^i,Mi;s2, Р2 . Вне сфер а / X << 1, но внутри их возможен резонансный случай а / X g ~1, где X, Xg — длины волн. Поля будем записывать в виде E(r,t) = E(r)eiwt, H(r,t) = H(r)elwt [1].
Рассеянное поле по известному внутреннему полю рассеивателей определим через электрический Пэ и магнитный Пм потенциалы Герца:
Ерасс = (W + k28°р°)ПЭ - /kp° [V, ПМ\,
I \ II (1)
H pace =(VV + k 28°р° РМ + ikso [v, ПЭ\.
Для отдельных сфер потенциалы Герца представим в виде [2]
Можно показать, что для внешних точек сферы (r > г') интеграл по ее объему от функции Грина для свободного пространства (2) имеет вид
e-i^j е°до\г-г'|
W (г) = f-
V I Г - r'\
—3 (sinkia - kia cos kia) Є
dV =
—ikir
г
где ki = kjє°р0 , k = 2ж/X а г — расстояние от центра до внешних точек сферы.
Внутреннее поле рассеивателей будем находить, опираясь на интегральные уравнения [2]. Вначале рассмотрим случай, когда a / Xg << i внутри и a / X << i вне сферы, а потом результаты вычисления внутреннего поля рассеивателей обобщим и на резонансный случай, когда a / X g ~i внутри сферы. Построим квазистационарные уравнения для определения внутренних полей двух сфер в виде системы из четырех неоднородных уравнений:
Е°1(г3t) -j1+3
3!-i
,є o ,
>E°(rt) -
-|(VV + k 28°p°)
4n
зі _ i
,є0 .
W2i(r )E°(rt) -
- ikM- 0
V,—
4л
f.
32 -1
Po ,
W2M (Г) H 20(Гt)
H oi(r', t) = ji + 3
— -1 У0 .
Hi0(rt) -
-|(W+k 2є °p °)—
32 -1
yo .
WMi(7) H °(rt) +
+ ik&r
V,— 4л
(r
32 -1
,eo ,
W2i(?) e2V t)
(3)
Пэ
П M
4л
4л
є0
_P_ M- 0
i)e V)f(\r - r\ )dV,
л
1 H V) f (|r - r
\)dV,
где f (| r - r ’ |) — решение уравнения
Af(I F -F' |) + k2є°р0f (1F -r’ |) =
= -4л5(| F - F' I),
которое удовлетворяет излучению на бесконечности и имеет вид
e-*л/^°Д0|г-г 'I
f ( \r - г’ I) = „ , (2)
| г - г I
а E V'), H V') — внутренние поля рассеивателей; V — объем рассеивателей.
Е02(г3t) - і1 + 3
32-i
,єо .
Е°(гt) -
-|(VV + k 2є°р 0)33
3L _ 1
є° .
Wi2(r) E° (rt) -
- % 0
f
4л
Hr_
M- 0
-1
W1M(F )H °(rt)
H 02 (Ft) = ji + 3
M- 2 M- 0
-1
H2°(Ft) -
/
-j (W + k 2 8 0 p - 1V1M (r)H 1° (r t) +
[ 4Л^р 0
+ ike °
4л
--1
є 0
Wi|(F )E° (rt)
/
i
i
i
4
РИ, 2002, № 4
здесь Ё01(Г',t), Hoi(r',t) И Ё02(Г', t), H02(r',t) -поля падающей волны в центрах первой и второй
сфер, а Ё0(г',t),Щ(7\t) И Ё0(г',t),H0(Ht) — внутренние поля сфер.
Полученные решения для внутреннего поля сфер (4) справедливы, когда a / Х<< 1 и a / Xg << 1. Но их можно обобщить на резонансный случай a / Xg ~1, если вместо проницаемостей єс и ц ввести эффективные проницаемости [3]
Величины W'21(r), W2i(r) ИЩЭ2(Г), W{2(r) имеют вид
4п e~ik1r21
W2i(r) = — (sink^2 -k^2 cosk^2)-------------
kf r21 ’
^ 4 n e~ik1r21
W21(r) = —-(sink^2 -кщ2 cosk^)--------------
kf r21 ’
4n e~ik1r12
W\2(r) = ~r (sin ka - ka cos k^)------------
к- Г12 ’
~ik1r12
4n e
W$(r) = —-(sin k1a1 - k1a1 cos k^)—
r12
I 2 2 2
где r21 = r12 = \(x20 ~x10) + (y20 ~y10) + (z20 _z10) •
Здесь (x10,У10, z10) И У20,z20) коордиНаты
центров первой и второй сфер.
Первые слагаемые справа в уравнениях (3) связаны с внутренним полем соответствующей сферы без учета влияния противоположной сферы, а вторые слагаемые определяют влияние на данную сферу другой сферы.
Для определения внутреннего поля сфер имеется система из четырех векторных неоднородных уравнений или же для x—, yz - составляющих-две-надцати уравнений с двенадцатью неизвестными.
Для внутреннего поля конкретной сферы решение системы уравнений (3) имеет вид
ё0(г t)
1
дЭМ
Ш/Ё0С(ПО+РҐЩС(ПО), (4)
С=1
1
H0 (Г',t) = — Z ОТ H0c (rt) + gMc Ё0С (rt)),
С—1
дам
где
"g3c' oxxc g3c' Sxyc g3C'" xzc вэс' xxc вэс' xyc вэс '" xz
gf = g^' Syxc gэс' &yyc gэс' yzc ; Г' = вэс' yxc В эс' yyc вэс' yz
g3c' S zxc g30' Szyc gэс' Szzc вэс' г zxc вэс' zyc вэс' rzzc
эмс
3С
пмс' xxc пмс' xyc пмс' xzc " мс' xxc О м' xyc О м'~ xzc
пмс' пмс' пмс' Амс' О мс' О мс О мс
Рyxc yyc Pyzc ; gc = о yxc yyc byzc
пмс' пмс' пмс' о мс О мс О мс
Р zxc zyc Pzzc о zxc zyc bzzc
а дэм — детерминант основной матрицы системы уравнений (3). Индекс с определяет выделенную сферу, а индекс с принимает значение с = 1,2 .
где
£сэф ^сF(ka^ ) , (5)
Мсэф ~ ЄсF(kac V''сУс ) ,
F(kacy]єсРс ) =
2(sinkacJєСцС -ka^JєСцС coska^JєСцС)
(k2a^ec^c - 1)sinkacєСцС + kacy]єcpc coskacєСцС
Если пренебречь взаимодействием между сферами, то обобщенные выражения (4) примут вид (5)
Ёс0(Г t) =-
3б</
(^сэф + 2^0) + ®1с^сэф + Нс (^сэф + 2^0 )
Ё0с (Г',0
H°(F,t)=-----------23Р0^-------------H0c (И t)
(Мтэф + 2М-0 ) + 01сйсэф+% (Мтэф+2Й0 )
где 01c = ka^Jє0р0 .
Потенциалы Герца Пэ и Пм рассеянного системой из двух сфер поля по известному внутреннему полю (4) отдельных рассеивателей представим в виде суперпозиции потенциалов Герца первой и второй сфер (5):
Пэ (г, t) =
2 1
= X-Hsin Vc
c=1k1
f
k1ac cosk1ac)
V
єсэф є0
-1
Ёс0(г', t) -
~ik1rc
(6)
Пм (r, t) =
21
= — X г (sinka
c=1k3
k1ac cosk1 ac)
Г^сээф A
M0
HcV, t)e
~ik1rc
где Гс = д/(x - xC0)2 + (y - УС0)2 + (z - zc0)2 — координаты ( x, y, z ) определяют точку наблюдения поля, рассеянного системой из двух сфер, а координаты (xc0, yc0, zc0) — точку нахождения центра соответствующей сферы.
Учитывая (5), (6), находим рассеянное на двух сферах поле (1):
- 2 1
Ёрас<сг ,0=X-HsnVc - ka coskac) *
c—1k3
I Sсэф
HS0
ЦМГ) -ikp0
Мсэф
, M0
1
1^(-1)/C/H0(r')
У
,i(wt~k1rc )
(7)
РИ, 2002, № 4
5
- 2 1
Hpacofct) = E-^srnkia,. -kiacooskiac)>
^М-еэф 1^ ^0 .
c=ikf
(-1)ЬсЙС(Т')+ik80
^есэф i^
s0
0(p') Li(wt-kirc)
PcEO(T')
где Lc и Pc — функциональные матрицы вида
xxc ч* xyc xz 0 zc m0 yc
II W А yxc yyc W yz с II ш0 т zc 0 xc
zxc Ч* zy zzc 1 m0 xc 0
.(8)
Величины, входящие в функциональные матрицы (8), имеют вид
1 2
^xxc ~ k Є0Р0 +
3(x- Хсо)2 -rC
- к{
2 (Х - Хсо)
+ /kl
3(x - Хсо)2 -r
1 2
^yyc = k Є0Й0 +
3(У - yc0)2 - rC
_ k2(y - yc0) + ik1
3(y-yc0)2 -rC
1 2
^zzc ~ k s0^0 ^
3(Z - Zc0)2 - rC
- k2(Z Z3c0) + ikx
3(z - Zc0 )2 - г;2
r
r
c
r
r
r
c
r
r
r
c
r
r
Поле в произвольной точке пространства, лежащей вне сфер, определим в виде
E (г, t) = E0 (г, t) + E расс (F, t),
где E0(r, t) — невозмущенное поле падающей волны.
Из детерминанта системы уравнений (3) определяются резонансные условия для случая, когда a / X g ~ 1 внутри сфер.
При условии, что в выражениях (4), (7) индекс с принимает значение с = 1, соотношения (7) будут определять поле рассеянное, резонансной магнитодиэлектрической сферой в свободном пространстве, и для случая, когда 01с << 1, иметь вид
- 3
Ерасс(r ,t) =Тз (smk1a - k1acosk1a) X k13
щ(7)-%0 Ы 2° (-1)P^H0(r')
|^эф + 2є0 Мэф + 2Mfl
(9)
kf'
Нрасс(Г,t) = 7T (sink1a - k1acosk1a) X
М-эф M-0 , іУ 5эф S0
[М"эф ^ 2M"0
H)LH0(r ’) + ik30
&эф + 2є0
PE0(r ')k
i(wt~kr)
где L и P — функциональные матрицы (8), величина
:V(X“X0)
2 +(y _ y0)2 + (z _ z0)2
щ щ =
А xyc х yxc
3( x - x;0)( y - Ус0)
k2 (x-xc0)(y-Ус0) , k 3(x-xc0)(y-Ус0) - k1 ------3--------+ ik1----------------
rc rc
3( x - x;0)( Z - Z;0 )
Щ Щ =
xzc zxc
k2 (x - xc0)(z - zc0) , k 3(x - xc0)(z - zc0) - k1 --------3-------+ ik1-------------------
rc
rc
^ =
yzc zyc
cc 3(y -Ус0)(z - zc0)
r
’ S'
- k1
2 (У - Ус0)(z - zc0) + ik 3(У - Ус0 )(z - zc0)
Щ = (x - xc0) + . (x - xc0) ^0 T xc 3 ™1 2 , * yc ~ * yc ,
m0 _ _m m _
xc xc zc
(z ~ Zco) + ik,(z ~ Zco)
(У - Ус0) , (У - Ус0)
yc
yyc = ——+ ikx——~'C0/ щ 0 =_щ
1 9 ? I -7Г I -7Г *
2 zc
r
r
r
r
r
r
r
c
определяет точку наблюдения (x, y, z) вне сферы рассеянного поля по отношению к центру рассеивающей сферы (x0, y0, z0), а E0(r'), H0(г') - поле падающей волны в центре сферы [3].
Из (9) для одиночной сферы можно получить условия для электрического и магнитного резонансов в виде (5) [1,2]:
F (kaJep) = - F (kaj^) = -
є ’ Ц '
Литература: 1.Козарь А.И., Хижняк Н.А. Отражение электромагнитных волн от резонансной диэлектрической сферы в волноводе // Укр.физ.журн. 1970. Т.15. С.847-849. 2. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев.: Наук. думка. 1986. 279с. 3. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд.-во иностр. лит., 1954. 216с.
Поступила в редколлегию 29.05.2002
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Кулагин Н.А.
Козарь Анатолий Иванович, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. 23 Августа, 39, кв. 51, тел. 33-61-43 дом., 40-93-45 раб.
РИ, 2002, № 4
6
