Расщепление целых функций конечного порядка на эквивалентные множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5 ББК 22.161.5 П 35

Письменный Р.Г.

Преподаватель кафедры математики и .методики ее преподавания Славянска-на-Кубани государственного педагогического института, тел. (86146) 3-14-72, e-mail: [email protected] Шишкин А.Б.

Доктор физико-матшаттеских наук, профессор, зав. кафедрой математики и .методики ее преподавания Славянска-на-Кубани государственного педагогического института, тел. (86146) 3-1472, e-mail: [email protected]

Расщепление целых функций конечного порядка на эквивалентные множества

(Рецензирована)

Аннотация

Статья содержит развитие известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении целых функций экспоненциального типа на случай уточненного порядка. При этом охватывается ситуация с нулевым порядком. Доказательство осуществляется по той же схеме и основано на факториза-ционной теореме Адамара.

Ключевые слова: факторизационная теорема Адамара, расщепление целых функций, теорема И.Ф. - , , .

Pismennyi R.G.

Lecturer of Mathematics and Technique of Teaching Department of Slavyansk-on-Kuban State Pedagogical Institute, ph. (86146) 3-14-72, e-mail: [email protected] Shishkin A.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Mathematics and Technique of Teaching Department of Slavyansk-on-Kuban State Pedagogical Institute, ph. (86146) 3-14-72, e-mail: [email protected]

Decomposition of final order entire functions to equivalent multipliers

Abstract

The paper contains the development of the well-known I.F. Krasichkov-Ternovsky theorem about decomposition of the exponential type entire functions to an event of the proximate order. Herewith the zero order is covered. The proof is realized by the same scheme on the basis of Hadamard factorized theorem.

Key words: Hadamard factorized theorem, decomposition of entire functions, Krasichkov-Ternovsky theorem, zero order, Valiron’s conditions.

Неотрицательную функцию I, определенную в окрестности , будем называть уточненным весом порядка p (0 < p <+то), если она возрастает, дифференцируема и

lim I(r) = ~, limMiLp.

r —r —In r

Если I - уточненный вес порядка p, то функция p(r) = ln l(r) является

ln r

уточненным порядком, то есть выполняются условия Валирона

lim p(r) = p, lim rp'(r )ln r = 0.

Пт р{г) = Пт = р.

г^+оо г^+ос 1п Г

При этом Птг^+001п р(г) = +оо. значит, по известному правилу

, и!(г)г 1п и(г)

гр (т) 1п г = ------>• 0.

р(г) тг

если г —> +оо. При р > 0 верно и обратное, то есть для любого уточненного порядка р{г) —> р функция р(г) = грявляется уточненным весом порядка р. Действительно, при р > 0 функция грвозрастает в окрестности +оо. гр(г) —> +ос и = р(г) —> р

при г —> +оо.

Множество Е С С называем нуль-множеством, если множество {|г| : 2 € Е} имеет нулевую относительную меру, то есть при любом г > 0 множество {\г\ : г € 1?}("'|[0,г] измеримо по Лебегу и

Ит теэ ({\г\ : г Е Е} П [0,г]) = о

г—>+ос г

Две функции /1; /2 комплексной переменной называются эквивалентными (в обозначениях Д ~ /2); если вне некоторого пуль-множсства

1п1Л Ш - 1п 1/2 (2)1 = о(/1(\г\)) ,г -»• оо.

Введенное отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно; оно сохраняется при умножении на эквивалентные функции: если /1 ~ /г, <71 ~ <72; т0 Л <71 ~ /2^2•

Пусть Л = {Аг} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности. ?г(£; Л) — считающая функция, р = [р] — целая часть числа р.

°{Ьр) = {1-^)еЛЬ+--+\Ш

С (л7’^) = (■*■ — л7)’ (*(г,р;А) = (а"’р) — каноническое произведение.

Теорема 1 Если

^ п(г^А)^ ^ ^

где ш{£) интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, £о) и подчинена условию Пт си(£) < с (0 < с < +оо). то последовательность А можно

расщепить на две подпоследовательности А = {а*} и В = {^} таким образом, что

С{г,р] А) ~ С(г,р; В)

при р ^ N.

С{г,р;А)еагР ~ <2(2, р; В)е~агР при р € N и некотором а; € С.

Для случая р{£) = 1п1^г') = р = 1 этот результат получен И.Ф. Красичковым-Терновским [1, теорема 4.2] и в дальнейшем он неоднократно развивался различными авторами и в разных направлениях, при этом всегда предполагалось, что р > 0. Вместе с тем. доказательство И.Ф. Красичкова-Терновского может быть адаптировано к случаю р{£) = 1п1^гг') —> р > 0. Процедура адаптации частично осуществлена Р.Г. Письменным в работе [2]. Ниже приводится полное доказательство теоремы о расщеплении.

Последовательность Г = {7^} называется эквивалентной последовательности Л = {Аг} (в обозначениях Г ~ Л), если для любого е > 0 найдется номер г(е) такой, что \li~W < в | Л* | , при 'I > г(е). Это отношение является рефлексивным, симметричным. транзитивным. Если Гх ~ Лх, Г2 ~ Л2, то при соответствующием упорядочении объединенных последовательностей Г = ГхУГ2. Л = ЛхУЛ2 будем иметь Г ~ Л. Таким образом отношение эквивалентности сохраняется при объединении эквивалентных последовательностей. Доказательство теоремы 1 опирается на следующую лемму [2, лемма 4].

Лемма 1 Если последовательность А = {А*} удовлетворяет неравенству (1). а последовательность Г = {72} эквивалентна последовательности А, то

при р ^ ]Ч, при р € N. где

<2(2, р; Г) - С(г,р;А) С*(г,р-,Г\А)~С*(г,р;А)

С*(г,р;Л)= Д С(-,р-1) П С(рР),

|Аг|<|г| ' 1 ' |А<|>|2| ' *

е-(г,кГ|Л)= П е(рР-1) П с(рг>

[\ 1/1 I \ I Ъ / [л 1.1 I \ / 2

I I ^\^\ 1-^г | ^ \2\

Приступим к доказательству теоремы 1. Подберем последовательность оп. 0 < оп <

1. такую, что

ОС

Нт тп = оо, апап+1Ь(гп) < +оо,

п^-оо А

п—1

ос

^(т^Рп* < +°°, (2)

П— 1

где рп = (1 + <7х) • • • (1 + оп), гп = 1рп, I > 1, Ь(г) = тах |1, — медленно растущая

функция. Можно, например, положить

ах = 1, оп =------ п = 2, 3,...,

где | < (/ < 1. Действительно, в этом случае гп —> оо, так как при достаточно большом значении параметра £ имеем

2 ^ , ПГ, Г [ I 2 ^ кдг1 ,

к=2 к^и Ь{Гк-1) ) К к=2 «-1

=ехр ^ £ 4^} - £ Фехр {з^'11"

где £ = р(-11~<г'> > 0. Значит. р&п\прп > п1~ч —> ос и гп = —> оо. Таким образом, для

достаточно больших п

1

с 1 / 1 \ <5 1-д

рп>р£п1прп> —п д,Рп>1 — ] т ,

где 5 = > в. При этом

^ ^ Ч ^ 1 / Цгп)

> апап+1Ь (гп) => . , 1ЧЛ/77-----Г < +°°;

так как -.^Гп-> = ь((1+СГп)г”-1) 1 ПрИ п ос и 2д > 1. Кроме того, при достаточно

Ь{Гп—1) ^{Гп— 1)

больших п

ап1Рп 2 = пя\!1(гп-г)рп 2 < г£пярп 2 <

<г£п<1(—^ п^(е_2) = ^ Г—У м п9+1^(£-2)

\4^/ \4^/

и (/ + (е — |) = — < —1. Следовательно, ряд (2) сходится.

Параметр I > 1 подбирается так, чтобы окружности \г\ = гп, п = 1,2,..., не пересекали точек Л^. Эти окружности разбивают комплексную плоскость на кольца Лп = {% '■ гп < \г\ < гп+1} , п = 1,2,.... Отрезками лучей, исходящими из начала, разбивается каждое кольцо на [ст"1] одинаковых кольцевых секторов, причем так, чтобы стороны ЭТИХ секторов не пересекали точек Лг- Эти кольцевые секторы будем называть ячейками. Перенумеруем ячейки внутри колец и обозначим через Д8;(? д-ую ячейку 5-го кольца. Исследуем свойства такого разбиения.

а) Пусть <13 — диаметр ячеек 5-го кольца. Расстояние между окружностями 5-го

кольца равно г3+\ — г3 = г8(1 + 0^+1) — г3 = а3+\Г3 < а8г8: большая дуга сектора Д8;9 равна = 0(а8г8). Таким образом, для диаметра с13 имеем оценку с13 = 0(а8г8)

(в —> оо).

б) Обозначим через := п(гк+1, Л) — п(г^,Л) число точек содержащихся в к-ом

ОС

кольце. Утверждаем, что при натуральном р выполняется неравенство ^ < +00.

к=1 Гк

Используя преобразование Абеля, имеем:

СЮ ОО /

ак / 4\сг1 , / * \ ( °к-1 ак

ЕЛГ^ = -п(гьЛ)4 + 1]^(^5Л) . к=1 к 1 к=2 Гк

( Л^1 I ( Л^ [ ак-1{ак + 1)Р С/с\

= п{т\, Л — + 2^ щгк, Л ---------------------- -----------р =

П ^ \ гк гк)

<Уі

= п(т\, Л) —р +

00

Е

к=2

п(гк,А)

&к-1

Р

Е

і=і

+ ^-1 - СГк І <

< —п

(гьЛ)4 + Е

&=2

п(га,,Л)

РІ,гк)

(2Р - 1)ак_гакЬ(гк) + ак_1 - ак

Последний ряд СХОДИТСЯ, ибо ряды ^ ак-1(7кЬ(гк) И ^ {(Ук-1 — сгк) сходятся и отношение

п(гъ ,Л)

^1) ограничено.

в) Выберем в каждой ячейке Д8;9 по одной точке г8у(] ф 0. Утверждаем, что при

__2_

натуральном р ряд ^ |г3)9| 2 сходится. В самом деле в 5-ом кольце содержится [а^ ] ячеек, поэтому, принимая во внимание неравенства г8 < \г8^\ и условие (2). имеем:

Е

и Г2 <

Еі

_-іі

(У.

< +оо.

Разбиваем последовательность Л на группы Л8;(? точек принадлежащих ячейкам Д5;(?. Каждую группу Л8разбиваем на части . Л"0. Л"'а. при этом требуется, чтобы

Э,д-

выполнялись условия: если группа Л8;(? содержит четное число, скажем 2к. точек, то группы А'3 . А"д содержат каждая по к точек, а группа Л'Д пустая. Если группа Л8;(? содержит нечетное число 2к +1 точек, то группы А'3 , А" д содержат каждая по к точек, а группа Л'" содержит одну точку. Из групп А'3 , А" , А"' составим три последовательности Л' = и К,д; Л" = 1М"д; А'" = Так как каждая ячейка содержит одинаковое

число точек как из Л', так и из Л", то эти две последовательности можно занумеровать таким образом, чтобы точки А'. А" из этих последовательностей с одинаковыми индексами принадлежали одной и той же ячейке. Так как в силу свойства а) диаметр ячейки Д8;9 равен 0(а8г8) и а8 —> 0 при в —> +оо. то последовательности Л' и Л" эквивалентны. Поэтому по лемме С(г,р; Л') ~ С(г,р; Л") при р $ N. и С* (г, р; Л'|Л") ~ С* (г, р; А") при р € N. Рассмотрим отношение д^’рл"') ПРИ Р ^ Имеем

1п

С{г,р-А')

<3(2, р; Л")

= Ие

Р

Е

(А

1\Р

К'|<к

+ {1п\0*(г,р]А'\А")\-1п\0*(г,р;А")\}.

По доказанному, второй член вне некоторого множества кружков нулевой линейной плотности равен о(/і(|г|)). Мы утверждаем, что ряд в первом члене абсолютно сходится. В самом деле, учитывая, что А'. А" принадлежат одной и той же ячейке, имеем

Е

(л;у (Л'Г

Е

г

|А"-А'|

(А'А"Г

Щдк ^ /Мкак\

Е

І

|А"-А'|

< Р

гр+1 к 'к

\ Р I

\ Гк /

Т.му-чкг’-1

j=о

В силу свойства б) последний ряд сходится. Итак, заключаем, что д^р.’л") ~ еагР. где

О при р ^ N.

а = 'Ч 1 ^ / 1 1

£

А'

при р Є N.

Рассмотрим теперь каноническое произведение С (г,р; А'1') . Каждая ячейка Д8;(? содержит не более одной точки из А'". Поэтому при р € N. как следует из свойства в).

-ЛЧ-ИХЪ ис - ±и и^/ДСМ 111У1С1Ь у С ^ ±->} с . ±С1У1 ЬС11У1Ы1У1 1СирС1У1с1 ±

доказана.

Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Адамара для целых функций конечного порядка, легко получить следующее утверждение

Теорема 2 Если целая функция / удовлетворяет условию

а последовательность А = {А*} ее нулей удовлетворяет условию (1), то функцию / можно представить в виде произведения двух эквивалентных множителей / = /1/2, где Л ~ /2.

В статье B.C. Азарина [3] эта теорема доказана для случая p(t) =tp.p> 0. Доказательство B.C. Азарина является альтернативным и опирается не на факторизационную теорему, а на его результаты по аппроксимации субгармонических функций логарифмами целых функций. По всей видимости, приводимый в данной работе результат можно получить иначе, если опереться на результаты исследований зависимости возмущения субгармонической функции от возмущения ассоциированной с ней меры, полученные Б.Н. Хабибуллиным. например, в [4]. Однако, по мнению авторов, рассмотренное здесь доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.

1. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях. / Матем. сб. 1972. Т. 87(129). № 4. С. 459-489.

2. Письменный Р.Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные

тика». 2009. Т. 9. № 1. С. 19-30.

3. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост. // Матем. сб. 1973. Т. 90. № 2. С. 229-230.

4. Хабибуллин Б.Н. Сравнение субгармонических функций по их ассоциированным мерам. // Матем. сб. 1984. Т. 125(167), № 4(12). С. 522-538.

_£_

ряд ^ |А"'| 2 сходится. Привлекая известный факт из теории целых функций конечного порядка, заключаем, что С(,г,р; А'") ~ еЬгР, где

при р N. при р Е N.

Примечания:

множители // Известия Саратовского университета. «Сер. Математика. Механика. Информа-