Факторизационная теорема Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

ББК

П 56

Р.Г. Письменный

Факторизационная теорема

(Рецензирована)

Аннотация

В работе рассмотрено развитие известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского

о представлении целой функции экспоненциального типа в виде произведения двух целых функций одинакового роста.

Ключевые слова: целая функция, экспоненциальный тип. уточненный порядок, факторизационная теорема, эквивалентные множители.

Обозначения и основной результат

Известная факторизационная теорема И.Ф. Красичкова-Терновского доказана в работе [3, теорема 4.2]. В статье B.C. Азарина [1] дано альтернативное доказательство этой теоремы и показано, что она остается справедливой при переходе к функциям конечного порядка р > 0. В данной статье приведено доказательство факторизационной теоремы для целых функций уточненного порядка p(t) —> р (0 < р < +оо). В принципиально важном случае р = 0. предполагая выполненным дополнительное условие fp(t) > AlnBt, А, В > 0. t > to.

Выберем неотрицательную функцию р. определенную на луче L > 0. Считаем, что она возрастает, стремится к +оо. дифференцируема в окрестности +ос и

p'(t)t , .

lim ——— = р < +оо. (1)

i^+oc p(t)

Отметим, что из условия (1) вытекает, что функция p(t) = является уточнённым

порядком. Верно и обратное, то есть для любого уточненного порядка p(t) —> р функция p(t) = tp^ удовлетворяет соотношению (1).

Две функции fi, /2 комплексной переменной называются р-эквивалентными (в

обозначениях Д ~ /2), если существует множество кружков Е = {е^} нулевой линейной

плотности такое, что In | f\ (z) \ — In |/2 (z) \ = о (p(\z\)) , z —> 00. z ^ E.

Пусть A = {Aj} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности. Последовательности Л соответствует каноническое произведение

G(z,p;A) = l[G(y,

,р

ГДС G (j, 0) = (1 - f) , G (4,р) = (l - f) exp {ft + ... + I (¿)'} .

Будем предполагать, что выбранная последовательность Л удовлетворяет условию

—^——-с/i < uj(t)р(т). (2)

где сo(t) интегрируема по Риману. равна нулю в некотором интервале [0, io) и подчинена

условию lim oj(t) < с (0 < с •

t—

кратностей) в круге {z : \z\ < t}.

условию lim oj(t) < с (0 < с < оо). Здесь n(t; Л) — число точек А* (с учетом их

t—>+00

Теорема 0.1 (факторизационная) Если последовательность А удовлетворяет условию (2), то ее можно разбить на две подпоследовательности А = {аи В = {б,} таким образом, что при р ^ N

<2(2,р; А) ~ С(г,р; В),

а при р € N и некотором а € С

С{г,р]А)еагР ~ С{г,р;В)е-агР.

Из этой теоремы, используя представление Адам ара для целых функций конечного порядка, получаем следующее утверждение.

Следствие 1 (теорема о расщеплении) Если последовательность Л = {А*} нулей целой функции / удовлетворяет условию (2) и

-— 1п1п М((г)

Ит —------< оо.

г^+оо 1п ЦУГ)

то функцию / можно расщепить на произведение двух эквивалентных множителей / = /1/2, где Л ~ /2.

Промежуточные результаты

Последовательность комплексных чисел Г = {72} называется д-близкой к последовательности Л = {А^ , если |7г — А^| < д|А*|, 'I = 1, 2....

Пусть Г — последовательность, (¿-близкая кЛ(0<^<|)иЛ удовлетворяет условию (2). Нетрудно показать, что Г удовлетворяет аналогичному (2) условию

^ П(^Г)^ < П(г)р(г). (3)

Множеством кружков Е называется объединение счетной совокупности кружков Oi = {г : \г — Ьг\ < р{\ (г = 1, 2....). причем предполагается, что в ограниченной части комплексной ПЛОСКОСТИ может содержаться ЛИШЬ конечное ЧИСЛО кружков 01. Множество кружков Е центрировано множеством Р. если каждая точка Р принадлежит по крайней мере одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит по крайней мере одну точку из Р. Переменной линейной плотностью множества кружков Е называется функция

Ре(г) = - ^2 рг (г > 0),

|/ц| <г

линейной плотностью множества Е называется величина

рЕ = Нш рЕ(г).

г—>•+ОО

Множество С называется а-удаленным от множества Р. если

т£ |/г — г\ > а Ы ИеР

для любой точки г Е С.

Адаптируя доказательство теоремы В из [2]. получаем доказательство следующей теоремы. При р = 0 дополнительно предполагая, что для любых А, В > 0 при всех достаточно больших I выполняется неравенство

р{£) > А\о.В1. (4)

Теорема 0.2 Пусть /(г) — целая функция, удовлетворяющая условию

-— 1п М((г) , .

Ит -----А— < с (0 < с < оо),

т —>+оо ц(г)

и 0<а<1,0</3<1. Тогда любой целой функции д(г), удовлетворяющей условию

-— 1п1пМ„(г) пт —------< оо.

г^+оо 1п ¡1{Г)

(6)

с последовательностью корней Г = {7^} (г = 1, 2,...), д-близкой (0 < д < |) к последовательности корней А = {Аг} (г = 1,2....) функции /(-г), можно поставить в соответствие множество кружков Ед со свойствами:

1) множество Ед центрировано с множеством Г^Л,

2) линейная плотность множества Ед не превосходит ¡Зда .

3) при г ^ Ед

1п\д(г)\ -1п|/(г)| = ОД с)

1—а

а/З ят тга

если р ^ ]Ч, и

1п\д(г) \ -1п|/(г)| - Ие

= Ор(с)

д

1—а

ot.fi ят 7Г а

0<Л^<|г

МИ)>

7*

А;

если ре N.

Последовательность Г = {7г} называется эквивалентной последовательности Л = {А^}(в обозначениях Г ~ Л), если для любого е > 0 найдется номер г(е) такой, что 17* — | < £ |Аг| , при г > г(е). Отношение эквивалентности сохраняется при объединении

эквивалентных последовательностей.

Лемма 0.1 Пусть эквивалентные последовательности Г и А удовлетворяют условиям (2) и (3) соответственно. Тогда при р ^ N

а при р <Е N где

<2(2,р; Г) - С(г,р;А), С*(г,р-,Г\А)~С*(г,р;А),

С*(г,р;А)= П С

А,

-,Р

С*(г,р;Г\А)= П С(-,р- 1) П С (-

[А;|<|г|

[А;|>|г|

7*

,Р

Пусть (1п —> О (О < (1п < |) при п —У оо. Для любого номера п найдется номер кп такой, что урезанная последовательность = {7^} (г > кп) является (¿„-близкой к урезанной последовательности Акп = {Аг} (г > кп). Таким образом, согласно теореме 0.2.

существует множество кружков Е= |-Е,г'?г'1| линейной плотности не превосходящей 8п = /М"2. такое, что при 2 ^ Е:

|1п|в{г,р\Ткп)\ -1п\С{г,р;Акп)\\ < епц(\г\), (7)

если р ^ N. и

\\п\С*(г,р;Гкп\Акп)\ - 1п\в*(г,р; Акп)\\ < еп(л(\г\), (8)

если р € N. Здесь еп = Ор(с) ар™ттта ^ ПРИ п 00 • Если гп достаточно велико, то

при \г\ > гп

|1п|С(г,р;Г)| — 1н Г^))! < еф{\г\), (9)

|1п\С(г,р;Акп)\ - 1п\С(г,р; А)11 < епц(\г\),

если р ^ N. и

\1п\С*(г,р;А)\ - \п\С*(г,р; Акп)\\ < £пр(\г\), (10)

|1п \С*(г,р; Г|А)| — 1н |С*(г,р;Ткп\Акп)\\ < £пр(\г\),

если р € N. Пусть Еп = — множество кружков, полученное добавлением к Е^

круга \г\ < гп. Линейная плотность при этом не меняется и. значит, по-прежнему не превосходит 8п. Из неравенств (7). (8). (9) и (10) следует, что

|1п|<3(2,р;Г)|-1п|<3(2,р;Л)|| < Зепр(\г\), г е\п), (11)

если N. и

|1п|<3*(2,р;Г|Л)| -1п|<2*(2,р;Л)|| < Зеп(л(\г\), г е\п), (12)

если р ^ N. Теперь задача заключается в следующем: из "частей” множеств кружков Еп составить новое множество кружков Е = {енулевой линейной плотности, такое, что при 2 —> оо. ^ ^

|1п|С?(г,р;Г)| -1п|С?(г,р;А)|| < о(р(\г\)), (13)

если р£ N. и

|1п \С*(г,р\ Г|Л)| — 1п \С*(г,р\ Л)|| < о(р(\г\)) (14)

если р ^ N.

Для этой цели воспользуемся процедурой из работы [2. доказательство леммы]. Пусть Дх столь велико, что Ре^г) + Ре2{т) < 2(<5х + 82) при г > Я1 и. кроме того, окружность \г\ = не пересекает кружки из Е\ и Е2. Такое Г\ всегда можно подобрать. если ¿1, 82 достаточно малы. Обозначим через множество кружков из Е\. принадлежащих кругу \г\ < Я\. Выбираем теперь так. что

Рд,(г) + Ре2(г) + Рвз(г) < 2(82 + 53) при г > Д2

И окружность \z\ = i?2 НС псрссскаст кружки ИЗ Е2 и Е3. Пусть Q2 — множество кружков из Е2, принадлежащих кольцу Ri < \z\ < i?2- Подбираем R3 так. что

PQ1 (г) + Pq2 (г) + РЕз (г) + Ре4 (г) <2(¿3 + ¿4) при г > R3

и окружность |^| = R3 не пересекает кружки из Е3 и Е4. Пусть Q3 — множество кружков

ОС

из Е$, принадлежащих кольцу R2 < \z\ < R3. и т.д. Рассмотрим объединение Е = UQi-

г—1

Линейная плотность этого множества кружков равна нулю. Действительно, при Ri < г < Ri+1 имеем

Ре(г) < PQl (г) + • • • + PQi+1 (г) <

< PqA1') 1~ РЯг-Аг) + РеА'г) + Р*+1(г) < 2(¿г + 5j+l).

Значит Ре(г) —> 0 при г —> оо. Проверим оценки (13). (14). Пусть z ^ Е и < |z| < Rn. Тогда z $ Еп, и, значит, при этих 2 имеют место оценки (11), (12). Так как это имеет место при всех п. то отсюда и следуют оценки (13). (14). Лемма доказана.

Доказательство факторизационной теоремы. Приступим к доказательству теоремы о расщеплении. Суть дальнейших построений сводится к следующему: комплексная плоскость специальным образом разбивается на "малые" ячейки; каждая группа точек попадающих в отдельную ячейку, разбивается на две части, различающиеся по числу содержащихся в них членов самое большее на единицу: одна из

этих частей относится к А, другая к В: последовательности А и В составленные таким образом будут искомыми.

Приступим к реализации намеченного плана. Подбираем убывающую последовательность ап, 1 > ап > 0 такую, чтобы

ОС

^2crnan+i < сю. (15)

П— 1

При натуральном р предполагаем дополнительно, что

ос п

+<т*)<00■ (16)

п~1 г=1

Можно, например, положить оп = п~ч (| < q < 1). Действительно.

п ( п \ ( п

П (1 + <7.rf = exp \ £ In (1 + С<) \ < ехр I £ Г«

i=1 I i=l J I г=1

ос п

Е^Ш1+<*)“* -

п—1 г=1

оо ( п Л 00

< exp I Г* > < Е п" ехР { - 4} ■

п=1 I. г=1 ) п=1

Пусть

Го = 0, fi = i(l + аг),..., rn = t(l + (Ji) • • • (1 + ап),....

Параметр I > 0 подбирается так. чтобы окружности \z\ = гп не пересекали точек АЭти окружности разбивают комплексную плоскость на кольца Rn = {z : rn < \z\ < rn+1},

i = 0,1,.... Отрезками лучей, исходящими из начала, разбивается каждое кольцо Rn на [а“1] одинаковых кольцевых секторов, причем так. чтобы стороны этих секторов не пересекали точек Aj. Эти кольцевые секторы будем называть ячейками. Перенумеруем ячейки внутри колец и обозначим через AS;(? q-ую ячейку s-ro кольца. Исследуем свойства такого разбиения.

а) Пусть ds — диаметр ячеек s-ro кольца. Расстояние между окружностями s-ro

кольца равно rs+i — rs = rs( 1 + crs+i) — rs = as+\rs < osrs; большая дуга сектора AS)(?

равна 2^nt! = 0(asrs). Таким образом для диаметра ds имеем оценку ds = 0(asrs) (s —> oo).

б) Обозначим через число точек содержащихся в к-ом кольце. Утверждаем.

ОС

что при натуральном р выполняется неравенство Y2 2&Ж < ^ Пусть n(t) обозначает

к=1 г'к

число точек Ai в круге \z\ < t. Используя преобразование Абеля имеем:

СЮ ОО /

к=1 Гк Г1 к=2 V к-1 к

/ 'i(Tl I ( \ (°k-l{ak + 1)Р ак

= -п [П — + > п (гк) ----------------------

п V п гк

= -»(*)£+(<*-. Е (;) «г- <*) <

fl fc=2 Г* V J = 1 /

< -n(ri)^ + E ((2P “ + ak-L - CTk) ■

Г! k=2 Гк

Последний ряд СХОДИТСЯ, ибо ряды ^2 CTfc-lOk И 'Yh {°к-1 — СГ*) сходятся и отношение

ограничено.

‘ к

в) Выберем в каждой ячейке Д8;(? по одной точке zSyq ф 0. Утверждаем, что при натуральном р ряд ^ \zs,q\~2 сходится. В самом деле в s-ом кольце содержится [сг“1]

s,g

ячеек; поэтому принимая во внимание неравенства \zs^q\ > rs и условие (16) имеем:

Е \ь*г* ^ - \ Y1 а°г +ai^f • • • (х+< °°-

S,0 S S

Разбиваем последовательность Л на группы Л8;(? точек принадлежащих ячейкам As,q. Каждую группу As^ разбиваем на части , Л" , Л"' , требуется при этом, чтобы выполнялись условия: если группа ASj(? содержит четное число, скажем 2к. точек, то группы A's К." q содержат каждая по к точек, а группа А"' — пустая. Если группа As,q содержит нечетное число 2к + 1 точек, то группы A's , A" q содержат каждая по к точек, а группа А"' содержит одну точку. Из групп A's q. А" , A"s'q составим три последовательности А' = UЛ',,, A" = UA"g, А'" = U-Asg- Так как каждая ячейка содержит одинаковое число точек как из Л' так и из Л", то эти две последовательности можно занумеровать таким образом, чтобы точки А'. А" из этих последовательностей с одинаковыми индексами принадлежали одной и той же ячейке. Так как в силу свойства а) разбиения, диаметр ячейки Д8;(? равен O(osrs) и as —> 0 при s —> оо. то последовательности Л' и Л" эквивалентны. Поэтому по лемме 0.1

G(z,p-,A')~G(z,p;A")

п(гк)

при р ^ N. и

G*(z,p;A'\A") ~ G*{z,p; А")

G(z,p-Л')

при р Є N. Рассмотрим отношение G(z ’рд») при р Є N. Имеем

In

G(z,p;A')

G(z, р; Л"

+ {1п|С*(г,р;Л,|Л")|-1п|^(^р;Л")|}.

По доказанному, второй член вне некоторого множества кружков нулевой линейной плотности равен о(р(\г\)). Мы утверждаем, что ряд в первом члене абсолютно сходится. В самом деле, учитывая, что А'. А" принадлежат одной и той же ячейке, имеем

Е

(А 'Г (А'У

Еід"-

ЕД( ЮЧКГ1-1

=Еіл"-л;і

і

Y,(Kf-p(.K)-’

j=о

-7-1

,.f+i

fc Гк

(KX"Y

Nkdk ^ ^NkUk^j

к

В силу неравенства б) разбиения последний ряд сходится. Итак, заключаем, что £(*р’л")

(12.Р

е , где

о

а =

Е

і

і

р ^ \ (MY (УУ

при р $ N. при р Є N.

Рассмотрим теперь каноническое произведение С (г,р; А'") . Каждая ячейка Д8;(? содержит не более одной точки из Л'". Поэтому при р Є N. как следует из свойства в)

_£

разбиения, ряд ^ | А"' | 2 сходится. Привлекая известный факт из теории целых функций конечного порядка, заключаем, что С (г,р; А'1') ~ еЬгР. где

О при р $ N.

Ъ = * \ Е (¿у при р Є N.

Из вышеизложенного следует, что

С('г’о(^А")А ^ ~ <^а+Ь)*Р . Таким образом, если обозначить через А объединение Л' и Л'", а через В — последовательность Л" и положить а = то будем иметь С (г; А) еагР ~ С (г; 5) е~ахР. Тем самым теорема доказана.

Примечания:

1. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Математический сборник. 1973. Т.90. №2. С. 229 - 230.

2. Красичков И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Математический сборник. 1966. Т.70(112). №2. С. 198-230.

3. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Математический сборник. 1972. Т. 87(129). № 4. С. 459 - 489.