Распространение звука в каналах с импедансными стенками при наличии воздушного потока часть 1. Затухание звуковых волн в каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 9

№ 2

УДК 534.4

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В КАНАЛАХ С ИМПЕДАНСНЫМИ СТЕНКАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗДУШНОГО ПОТОКА

ЧАСТЬ 1. ЗАТУХАНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В КАНАЛАХ

Е. А. Леонтьев, А. Г. Мунин

В работе изложены результаты исследования затухания звука и оптимизации этого затухания в цилиндрическом и кольцевом каналах с однородным осевым потоком. Получены и решены с помощью ЭВМ уравнения, позволяющие находить оптимальные значения импеданса стенок канала. На примере низшнх по порядковому номеру мод проанализирована зависимость оптимального импеданса от числа Маха потока, безразмерной частоты, отношения внутреннего диаметра канала к внешнему. Исследована зависимость затухания от частоты для различных мод цилиндрического канала, когда на заранее выбранной частоте для определенной моды достигается оптимум затухания, т. е при оптимальном импедансе стенок.

На основе анализа простейшей модели генерации звука с помощью точечного источника в цилиндрическом канале с иммедансными стенками показано, что оптимальные импедансы являются предпочтительными с точки зрения увеличения затухания не только отдельных мод, но и суммарного затухания.

Снижение шума, создаваемого самолетами на местности, — одна из основных задач, направленных на улучшение условий жизни людей, на защиту окружающей среды. Определяющим источником шума современных самолетов является силовая установка. В свою очередь источниками, определяющими шум применяемых в настоящее время на самолетах пассажирской авиации реактивных двигателей, являются струя, компрессор-вентилятор и турбина. В зависимости от типа двигателей может преобладать один из указанных источников; в турбореактивном двигателе определяющим является струя, а в двухконтурном турбореактивном двигателе (ТРДД) с большой степенью двухконтурности — вентилятор. В связи с тем что на новых дозвуковых пассажирских самолетах все большее применение находят ТРДД с большой степенью двухконтурности, важ-

ной задачей для авиационной акустики стала проблема снижения шума вентилятора. Шум вентилятора может быть снижен как в самом источнике, так и по пути его распространения, т.. е. в каналах двигателя. Несмотря на значительные успехи по уменьшению шума в источнике, пока не удается создать достаточно малошумный вентилятор двигателя, обеспечивающий требуемый уровень шума самолета на местности. Вследствие этого в силовой установке самолета применяются звукопоглощающие конструкции (ЗПК), обеспечивающие снижение шума вентилятора, распространяющегося из воздухозаборника и выхлопного тракта двигателя. Следует отметить, что такие конструкции с успехом применяются и для снижения шума турбины. В ряде случаев ЗПК является наиболее рациональным средством, позволяющим снизить шум самолетов до регламентируемого уровня. Так, например, шум самолетов Б-747, ДС-9 был снижен до уровня требований стандарта* в результате применения ЗПК в мотогондоле двигателей. Звукопоглощающие конструкции обычно выполняются в виде наружных перфорированных панелей и непроницаемого жесткого основания, разделенных заполнителем с сотовыми ячейками.

Определение затухания звука в канале с поглощающими стенками при наличии однородного воздушного потока сводится к решению волнового уравнения Блохинцева [1] с граничными условиями, для формулировки которых необходимо знание акустического импеданса ЗПК, определяющего взаимодействие звуковых волн со стенками канала. Практически решение задачи о затухании звука в канале направлено прежде всего на выбор эффективной звукопоглощающей облицовки и тем самым на определение геометрических параметров ЗПК по заданному импедансу, обеспечивающему наибольшее снижение шума. В связи с этим возникает задача оптимизации затухания звука в канале, т. е. определения импеданса, обеспечивающего максимальное снижение шума при фиксированной длине облицовки.

Задача о распространении звука в акустически облицованных каналах как с потоком, так и без него достаточно широко рассмотрена в литературе. Подробный перечень ссылок можно найти, например, в обзоре [2]. Впервые критерии выбора импеданса стенок при решении задачи о затухании звука в двумерном канале без потока были сформулированы Кремером [3], затем детально изучены Тестером [5]. В работе [6] было сделано обобщение результатов Тестера на цилиндрический и кольцевой канал без учета воздушного потока. Влияние воздушного потока на затухание звука в каналах рассмотрено в работе [7—11].

В работе дана методика расчета импеданса ЗПК с учетом нелинейных эффектов и на отдельных примерах приведено сравнение расчетных и экспериментальных данных. Получена система уравнений, позволяющая но заданным геометрическим параметрам, уровню звукового давления и скорости потока определять значение импеданса. Другая система уравнений позволяет решать обратную задачу, т. е. находить коэффициент перфорации и глубину полости по заданному импедансу при известных остальных геометрических параметрах (толщина панели, диаметр отверстий), уровне звукового давления и скорости потока. Поскольку в самом общем случае полученные системы уравнений достаточно сложны для аналитического решения, вычислительная процедура реализована в виде программ, написанных для ЭВМ.

В результате оказалось возможным по известному звуковому полю в канале с равномерным воздушным потоком определять конструктивные параметры звукопоглощающих стенок канала, обеспечивающие максимальное затухание звука на единицу длины канала, и определять длину канала, необходимую для обеспечения требуемого снижения шума.

В первой части работы сформулированы основные уравнения, описывающие распространение звука в цилиндрическом и кольцевом каналах с однородным потоком и получены приближенные аналитические решения этих уравнений в случае, когда импеданс и частоты таковы, что имеется малый параметр, по которому можно получить разложение.

1. Основные уравнения. Рассмотрим распространение звуковых волн в цилиндрическом и кольцевом каналах с однородным по сечению осевым потоком. Из линеаризованных уравнений сохранения массы, импульса и уравнения состояния

р^с* р (1.1)

получим для акустического давления р волновое уравнение, которое в цилиндрических координатах г, э, г имеет вид

с3 ^ ' дг) г — г дг Г дг ) ^ П д^ ' дг= ' >

где с — скорость звука, V—-постоянная скорость воздушного потока вдоль оси г, 1/<с. Как обычно, решение уравнения (1.2), соответствующее волнам, распространяющимся вдоль оси г, запишем в виде

Р=Р(г, ¥)ехр{*(и>г — к,г)}, (1.3)

где —постоянная распространения вдоль оси канала.

Для звукового поля на стенках канала необходимо поставить граничные условия. Их можно задать в виде линейной связи между давлением и нормальным компонентом акустической скорости, как это обычно делается в классической акустике путем задания импеданса стенки. Будем предполагать, что физические свойства стенки таковы, что давление и нормальная скорость связаны локально. Усложнение по сравнению с классической акустикой при формулировке граничных условий связано с наличием скользящего потока около стенки. В этом случае необходимо использовать условие непрерывности давления и нормального компонента суммарной скорости среды на границе раздела (а не только одной акустической скорости).

Поскольку по предположению скорость невозмущенного потока постоянна по всему сечению канала, то, поступая аналогично тому, как это сделано в [11], можно получить следующие граничные условия для амплитуды звукового давления р(г, <р):

-\-Иг$[\—~ м|2/? = 0, г = а, (1.4)

—— ЬА^'р = 0, г = Ь, (1.5)

где £ = <о/с, ^\ = v|c, |М1< 1.

Условие (1.4) относится к внешней стенке канала, радиус которой г = «, а условие (1.5) — к внутренней (г == Ь). Здесь р = [3(и>) —безразмерный акустический адмитанс (величина обратная импедансу). В случае цилиндрического канала граничное условие (1.5) должно быть опущено и оно заменяется условием конечности решения при г = 0.

Разделение переменных в уравнении (1.2) и граничных условиях (1.4) и (1.5) приводит к следующему виду решения (1.3) для отдельной моды

р (г, <?) = Атп [Ут (*тя г) + Втп Ут (у.тл г)) е1т\ (1.6)

где Jm(x) и Ут (х) — соответственно функции Бесселя и Неймана целого порядка т, который определяет число осцилляций поля по азимуту, искомая постоянная *тл определяет число осцилляций по радиусу, Атп — произвольная постоянная, характеризующая звуковое поле в начальном сечении канала, а постоянная Втп определяется из граничных условий (1.4) и (1.5) и равна нулю в случае цилиндрического канала. Решение (1.6) с фиксированным числом т называется азимутальной модой т-то порядка. Различным значениям я будут соответствовать различные радиальные моды.

Постановка (1.3) и (1.6) в уравнение (1.2) устанавливает связь между постоянными распространения кг и хт„

— т + У& — %1„ ( — м») £<тл> =-——-—---П 7)

г 1—М2 ■

Знак реальной части корня в формуле (1.7) определяет направление распространения волны (потока энергии), а через мнимую часть выражается затухание Д/. — — 8,681т кг. Знак корня можно выбрать так, чтобы затухание всегда было положительным. Одинаковые знаки числа М и реальной части корня соответствуют распространению волны по потоку, противоположные — против потока.

Если подставить (1.3) и (1.6) в граничные условия (1.4) и (1.5) и из полученных таким образом двух уравнений исключить постоянную Втп, то получается характеристическое уравнение для определения собственных значений -/.тп, которое можно записать в виде

_ :4 о + вол,, (о ит т - т _ о

где С = *тла, = Ь/а — отношение внутреннего радиуса канала к внешнему, (?<1. Величина С определяется уравнением

0 = Ига[\-^ м)\ (1.9)

Используя формулы дифференцирования для цилиндрических функций, уравнение (1.8) для кольцевого канала можно переписать следующим образом

(ш -4- РО) Уж (С) — (С) (тЮ-т^т-Ут+гт ^

(т 4- 80) Ут (С) - С Ут+1 (С) (т/0 - Ут (ОС) - С Ут+1 (ОС)

Для цилиндрического канала, используя уравнения (1.4), (1.6) и условие Втп = 0, получим

(т + 30) /т (С) - ит+1 (С) = 0. (1.11)

Уравнения (1.10) и (1.11) совместно с (1.7) и (1.9) являются трансцендентными уравнениями, решения которых полностью определяют нормальные моды кольцевого и цилиндрического каналов. Аналитически решения (1.10) и (1.11) могут быть получены только в предельных случаях, когда параметр велик либо мал.

2. Решение уравнений. Для цилиндрического канала уравнение (1.11) можно записать в виде

ит (С) + ^У„,(С) = 0. (1.12)

Величину О в соответствии с формулами (1.9) и (1.7) можно переписать следующим образом:

1-м ]/ са (1-м») У (каГ-

ika

JM2

1 -М2

(1.13)

Рассмотрим случай |Р<3|С1. который, как будет видно из дальнейшего [см. (1.34)], (1.39)], соответствует распространению звука в канале с квазижесткими стенками или с другими стенками, но для случая распространения достаточно малых частот.

Если ¡3 = 0, то корни С уравнения (1.12) совпадают с корнями производной функции Бесселя Ут(С0) = 0. Если параметр ¡ЗС мал, но конечен, то очевидно, что корни уравнения нужно искать в виде

С = С0 + РОС, +--------(1.14)

С учетом (1.14) первый член в левой части уравнения (1.12) можно представить в виде

г у ш (С) = Со ■/ » - Ч (1 - ^ (С0) РОС,. (1.15)

Тогда из (1.12) и (1.15) в первом приближении следует

с=с0 + ро 7 1 м,ч. (1.16)

1 т» \

'•о

Возведем (1.16) в квадрат. Отбрасывая квадратичные по рО члены, получим

C2 = Co-f 2pGfl - — Г' . (1.17)

г* -О

Из уравнений (1.13) и (1.17) получается квадратное уравнение относительно С2 вида

Л2С4 - 2£CS + C = 0, (1.18)

где

А = чЕ + (1.19)

В = т£Со Л + 2 Щ (ka) Е (1 + М2) + 4 р2 М2, (1.20)

С = [т£СЗ-2 /р(£а)]2 + 8гр(£а)£Со, (1.21)

причем

7=1— М2, (1.22)

£■=1— (1.23)

Ч>

Интересующее нас решение уравнения (1.18) имеет вид

? = Цв ~ 4 *Р (*«) ЕМ |/ 1 - т _ 2 [ 1 + (А)2 ]}.(1.24)

Легко показать, что формула (1.24), определяющая корни характеристического уравнения для канала с однородным потоком, справедлива также для кольцевого и плоского канала. Для этого в ней необходимо произвести небольшие изменения. В случае кольцевого канала корни характеристического уравнения (1.8) определяются формулами (1.19) и (1.24) с той лишь разницей, что в качестве вместо нулей производной функции Бесселя следует понимать корни уравнения

У ш (Со) Ут (<&,) - /т (С^о) У т (Со) = 0 (1.25)

и вместо (1.23) для величины Е необходимо пользоваться формулой

/ 7П1 \ / ГП2

-тгт—— ■ <'-26)

где

^ = Со)/У«(ОСо). (1.27)

При /л = 0 для низшей радиальной моды (0, 1) кольцевого канала формула (1.26) упрощается

Е— 1 — <3. (1.28)

Аналогично обстоит дело в случае плоского канала ширины Ь, у которого одна стенка жесткая, а другая импедансная. Для этого в формулах (1.19) — (1.24) следует положить Е= 1, а = Ь/2, С0 = ■=ш\Ь (п = 0, 1, 2 . . . ). Для низшей моды плоского канала в отсутствие потока (М = 0, п = 0) согласно этим формулам имеем

« = ¿р (Щ (1.29)

и для затухания на калибре, г. е. на длине Ь в соответствии с (1.29) получается

М0 = - 8,681ш УЩ^ЩШ). (1.30)

Предполагая, что выполняется также условие

|Нер|«|^ + 1т{3| , для затухания (1.30) будем иметь

¿¿0 = 4,34 Не^/^^р, (1.31)

что совпадает с выражением, полученным в работе Г. Д. Малю-жинца [4].

Формула (1.24) для корней С уравнения (1.19) отличается от известных формул теории возмущений для цилиндрического кана-

ла .тем, что она равномерно справедлива во всей области значений параметра ка, лишь бы было выполнено условие 1.

Если частота намного превышает критическую частоту, т. е. выполнено условие ¿2>ХтпО— М2) в уравнении (1.7)

Ы > 1, (1.32)

Ср — М2

то формула (1.24) значительно упрощается и для С2 будем иметь

г2 _ г2 Л, 2 11

- (Г+щГЕ ■

Условие 1 в данном случае означает

]'?'(ка\ «1. (1.34)

(1 + М)

Таким образом, при условиях (1.32) и (1.34) справедлива формула (1.33).

Затухание отдельной моды, выраженное в дБ/калибр, определяется через мнимую часть кг согласно формуле

1ш V (&х)2— -М2)

Мтп=- 17,37 --- . (1.35)

Если подставить в эту формулу выражение (1.33), и в соответствии с условием (1.32) разложить корень, сохраняя члены, пропорциональные 3, то будем иметь

Мтп = 17,37--,(*а)Ке'5 _, (1.36)

(1 + Мр ЕУ (ка)2 - 4т" п) 2П -М2)

где Со"1 —корень функции /т (С0).

Из формулы (1.40) следует, что при условиях (1.32) и (1.34) затухание против потока больше затухания по потоку в отношении

(1 + 1*4)' (1 - I м !)-' •

Если частота близка к критической, что означает, что

_С0^О, (1.37)

Со /1 - М2 0 г

то формула (1.24) для корней С принимает вид

С2 = Й + 2 /р + 0 (Р3'2 {каУ'Т]' ^ '38>

3 условие 1 в данном случае может быть переписано в виде

(ГЗ^«1- <К39)

Согласно формуле (1.38) затухание вблизи критической частоты может быть записано следующим образом:

— 17,37 {е ' 4 ?1!2}- (1-40)

Оно по порядку величины значительно превышает затухание, соответствующее частотам выше критической (см. формулу (1.36)), и не зависит от направления распространения волны по отношению к потоку.

Случай Ему соответствует распространение звука

в канале с мягкими стенками или с любыми стенками, но для достаточно больших частот распространяющегося звука (см. формулу (1.46)).

Если попытаться в этом случае применить процедуру, подобную (1.14) — (1.17), то в результате получим алгебраическое уравнение относительно С2 более высокой степени, которое не решается в радикалах, и мы должны поступить иначе.

Если импеданс равен нулю, т. е. 3 -» со, то корни уравнения (1.12) совпадают с корнями функции Бесселя Уш (Е0) = 0. Когда параметр ¡30 велик, естественно искать корни в виде

' = + • • ■ • (Ь4,1)

Подставляя (1.41) в уравнение (1.12) и разлагая функции Бесселя в ряд, при сравнении одинаковых степеней (36 получим ^ == —

= (1.42)

где 2 = р-1 — безразмерный удельный акустический импеданс. С уравнением (1.42) можно проделать итерационную процедуру. В нулевом приближении С2 = Ео-В первом приближении

= (1.43)

0('4)

В следующем приближении

, 2 гй

= —-Ъгт- О-44)

>2 £

При условии (1.32), т. е. для частот значительно превышающих критическую для данной моды, из (1.43) и (1.13) для корней С3 получим формулу

= Й + +М)2, (1.45)

которая справедлива при условии

М(1+М)3«1. (1.46)

Затухание отдельной моды, отвечающее формуле (1.45), получим из уравнения (1.35)

М = 17,37 Яег (1-47)

Таким образом, для частот выше критической при условии (1.46) имеем обратную ситуацию по сравнению с предыдущим предельным случаем: волна затухает по потоку сильнее, чем против пото-

/ 1 4- | М 1 \2

ка, причем отношение первого ко второму равно I } _ | м 1 •

Вблизи критической частоты, т. е. при условии (1.37) из формул (1.43) и (1.13) следует

С2 = & + 21г т2 + О (г^ Мт< ?0), (1.48)

т. е. как и ранее в разложении появляются полуцелые степени импеданса. С учетом только старшего члена разложения для затухания отдельной моды из формулы (1.48) получаем

Вблизи критической частоты затухание, как и ранее, не зависит от направления распространения волны.

Полученные аналитические формулы для корней характеристического уравнения и затухания могут быть использованы для приближенной оценки затухания, а также для получения исходного приближения при численном решении соответствующих характеристических уравнений.

В случае произвольного импеданса эти приближенные формулы неприменимы и задача определения корней уравнений (1.10) и (1.11) должна решаться численными методами с использованием ЭВМ.

1. Блохи н цев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М. —Л., Гостехиздат, 1946.

2. Л а п и н А. Д. Звукоизоляция в волноводах. Акустический журнал, т. XXI, вып. 3, 1975.

3. С г е ш е г L. Theorie der Luftschalldämpfungim Rechteckkanal mit Schluckender Wand und das sich dabei ergebende höchste Dämpfungsmaß. „Acustica", N 3, 1953.

4. Малюжинец Г. Д., Филиппова Р. Д. Расчет затухания звуковых волн низких частот в прямых облицованных каналах. „Промышленная аэродинамика", вып. 18. М., Оборонгиз, 1960.

5. Tester В. J. The propagation and attenuation of sound in lined ducts containing uniform or „plug" flow. J. Sound and Vibration", 28(2), 1973.

6. Zorumski W. E., Mason J. P. Multiple eigenvalues of sound-absorbing circular and annular ducts. .J. Acoust. Soc. Am.", 55, N 6, 1158-1165, 1974.

7. P r i d m о v e-B г о w n D. C. Sound propagation in a fluid flowing through the attenuating duct. .J. Fluid Mechanics", vol. 4, 1958.

8. P и m с к и й-К о р с а к о в А. В., К о лев Н. Г. О распространении звука в цилиндрической трубе с импедансными стенками при наличии потока. В сб. .Физика аэродинамических шумов". М., »Наука", 1967.

9. Mungur P., Qladvell Q. М. L. Acoustic wave propagation in sheared fluid contained in duct. „J. Sound and Vibration", 9(1), 1969.

10. M у h и н А. Г., С в и щ е в Г. П., Соболев А. Ф, Влияние потока воздуха на затухание звука в прямом канале со звукопоглощающими стенками. Труды ЦАГИ, вып. 1806, 1976.

11. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1954.

(1.49)

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила П\1 1978 г.