CC BY
43
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 198 2
№ 3
УДК 534.4
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКА В КАНАЛАХ С ИМПЕДАНСНЫМИ СТЕНКАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗДУШНОГО ПОТОКА
Часть II. ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАТУХАНИЯ ЗВУКА В КАНАЛАХ*
А. Ф. Гладенко, Е. А. Леонтьев
Приведены результаты исследования затухания звука в цилиндрическом и кольцевом капалах с равпомерным осевым потоком. Получены и решены с помощью ЭВМ уравнения, позволяющие находить оптимальные значения импеданса степок капала. На примере пизших по порядковому номеру мод проаиализировапа зависимость оптимального импеданса от числа М потока, безразмерной частоты и отношения внутреннего диаметра канала к внешнему. Исследована зависимость затухания от частоты для различных мод цилиндрического канала, когда на заранее выбранной частоте для определенной моды достигается оптимум затухания, т. е, при оптимальном импедансе стенок.
На оспове анализа простейшей модели генерации звука с помощью точечного источника в цилиндрическом канале с импеданс-ными стенками показано, что оптимальные импедансы являются предпочтительными с точки зрения увеличения затухания не только отдельных мод, ио и суммарного затухания.
При решении задачи снижения шума авиационных двигателей исследование распространения звука в каналах направлено прежде всего на выбор той или иной звукопоглощающей облицовки каналов. Возникает вопрос, какими критериями руководствоваться при выборе импеданса стенок канала, который должен быть реализован с помощью конкретной ЗПК, Одним из них может быть критерий, основанный на оптимизации затухания звуковых волн в канале.
Суть оптимизации затухания можно пояснить следующим образом. Акустическая энергия распространяется по каналу в виде волноводных мод, которые различаются своей пространственной
* Часть II работы представляет собой переработку доклада, сделанного авторами на совещании смешанной советско-французской подгруппы по аэродинамике, авиационной акустике и прочности в Париже в июле 1976 г.
структурой, скоростью распространения и величиной затухания. При условиях, характерных для каналов авиационных двигателей, количество мод, эффективно переносящих энергию, может быть достаточно большим (многомодовый режим). Величина суммарного затухания звуковой мощности, вычисляемая через поток энергии с учетом всех мод, определяется степенью возбуждения отдельных мод и их затуханием.
Делается существенное предположение, что при оптимизации суммарного затухания способ возбуждения канала, т. е. источник звука или падающее поле в отсутствие стенок, считается заданным—нет обратного влияния на источник. В то же время коэффициенты возбуждения отдельных мод, вообще говоря, зависят от импеданса стенок канала даже в том случае, если источник звука остается фиксированным. В достаточно длинном канале (или при равномерном распределении энергии по модам) затухание звуковой мощности определяется затуханием наименее затухающей моды из числа мод, возбуждаемых источником. Как только моды с большим затуханием по амплитуде становятся много меньше наименее затухающей, они перестают давать вклад в суммарное затухание. В подобной ситуации увеличить суммарное затухание звука в канале возможно путем увеличения затухания наименее затухающей моды, подбирая подходящий для этого импеданс стенок канала.
Иное положение в случае короткого канала, где значительно большее число мод дает вклад в суммарное затухание. Последнее определяется модой, которая наиболее сильно возбуждена, причем она не обязательно совпадает с наименее затухающей модой. Увеличение затухания наиболее возбуждаемой моды есть способ увеличения суммарного затухания звуковой мощности в коротком канале. Под коротким каналом следует подразумевать канал длины /, при котором амплитуды наименее затухающей и наиболее возбуждаемой мод соизмеримы по амплитуде. Эти качественные соображения, естественно, не учитывают концевые эффекты, а также характеристики направленности излучения из открытого конца канала.
Исследования, проведенные в работах [2—4], показывают, что имеются такие значения импеданса, при которых образуются так называемые двойные моды. Они получаются из слияния двух простых мод, когда импеданс принимает соответствующее оптимальное значение. При этом затухание двойной моды всегда больше, чем затухание менее ослабляемой из двух простых мод, которые могут образовать двойную моду.
В цилиндрическом и кольцевом каналах моды различаются азимутальными и радиальными числами, причем при фиксированном азимутальном числе гп могут быть слнты любые две соседние радиальные моды (и, п-1-1). Это могут быть как наименее ослабляемая, так и наиболее возбуждаемая моды. Таким образом, на языке отдельных мод под оптимизацией понимается, слияние мод, т. е. образование двойных или даже тройных мод, которое происходит при определенных дискретных значениях импеданса г°п\ называемых оптимальными.
Есть все основания предполагать, что выбор оптимальных значений импеданса является предпочтительным с точки зрения их реализации с помощью конкретной звукопоглощающей обли-
цовки канала. Однако определенный выбор импеданса из множества оптимальных (а следовательно, и выбор ЗПК) в случае каналов авиационных двигателей определяется условиями возбуждения, т. е. источником. Этот вопрос должен решаться на основе анализа зависимости суммарного затухания, а также характеристик направленности излучения от импеданса из множества оптимальных.
1. Двойные моды. Характеристическое уравнение для определения постоянной распространения звуковых волн в каналах имеет вид (см. [1]):
/<с,р)=0, (1)
где функция / зависит от геометрии канала, С — характеристический корень; акустический адмитанс р в (1) является параметром.
Пусть адмитансу р0 соответствует корень С0, т е. /(С0> р0) = 0. Легко видеть, ЧТО если Производные /с (Со, Ро) и /р(С0, Ро) отличны от нуля, то С0 — простой корень уравнения (2.1). Если /р(С0, Ро) ф О, а /:(чи (У — 0, то С0 будет двойным корнем уравнения (2.1) В этом случае при р ->- р0 два простых корня сливаются, образуя двойной корень*.
Характеристический корень С как функция комплексного переменного р имеет особенность (точку ветвления) при Р = Р0. Легко показать разложением в ряд Тейлора, что в случае двойного
корня функция С в окрестности р0 имеет ВИД С — С0'-'“']/ГР — Ро- При
р -> Ро производная ^С0/^Р обращается в бесконечность ^£/*/(3 =
- I дс)'
Система из двух уравнений (1) и уравнение
/с (Со, Ро) = 0 (2)
позволяют найти все значения адмитанса ро и соответствующие им двойные корни Со. Моды в этом случае называются двойными, а значения адмитанса р0 — оптимальными. Это название связано с затуханием, поскольку для затухания справедлив следующий результат [2]: затухание менее затухающей моды из двух, которые могут быть слиты, достигает максимума при оптимальном значении адмитанса Р = Р0. Это и есть оптимизация затухания отдельных мод.
2. Оптимальный импеданс. Для плоского, цилиндрического и кольцевого каналов функция /(С, Р) имеет соответственно внд:
/к =
/л = £1гс + рсг(с),
/ц = СУ;(С) + рО(С)Ут(С), су * с) + тт с) и т т - 8сут (до
:у'тс) + №Ут (0
(3)
(4)
(5)
* Вообще говоря, может быть слияние большего числа простых корней и образование тройных и более высокого порядка корней, но для этого необходимо, чтобы в точке Со, обращались в нуль производные /по С до некоторого /г-го порядка.
а —внешний радиус канала, <2 ~~ отношение внутреннего радиуса к внешнему.
Далее более подробно будет рассмотрен случай кольцевого канала. Уравнение (2) для этого случая имеет вид:
д/ 2 ( дад': — С2 + т? ~ (рб)2
д: ~ -с ( [{т. + т Гт (С) - Ут+1 (С)]* +
•’1" (?■[(*/<?-ро)уя(<гс)-сут+, (00]* г К )
где в соответствии с (6)
ЯП 1д1 = М С (1 — М кк1Щ ^
! /(^-;2(1-м2)' }
Система уравнений (1), (5) и (8) позволяет определить оптимальные адмитансы (30 и соответствующие им характеристические корни Со для двойных мод кольевого канала. Легко получить аналогичные уравнения для цилиндрического канала.
Если перейти к пределу (2-*-0, то будем иметь случай цилиндрического канала. При этом в уравнении (1) функция (5) переходит в (4), а уравнение (8) эквивалентно обращению в нуль числителя первого члена в фигурной скобке:
СрдС/Л - С2 + т} — {\Юу - 0. (10)
Решая уравнение (10) относительно р с учетом (6), (7) и (9), будем иметь
г ? мч;
ка% = (1 - М Аг/£)-2 У С* - т»- (1 - МАг/£)'
мс2
— / (1 — М */А)-з-------- - 0 ---- (11)
ка ]/ (ка? — (I < 1.М2)
Подставляя соотношение (11) в уравнения (1) и (4), получим
/и+г^о) т , /ч , ,,ч1М
+(1_МЛ./Й)
Л»(ЗД Со “ ка у цшу,_ Й(| - М*)
+ у Со-яг2 — (1 —М*,/*)-2------------------------------- . (12)
у (*Л)2 [<*а)=—с§(1 — лг=>)]
Уравнение (12) определяет двойные моды цилиндрического канала,- .а (11) — соответствующий им оптимальный адмитанс.
Система уравнений (1), (5) и (8) для двойных мод кольцевого канала, а также уравнение (12) для цилиндрического канала при произвольных значениях параметров ка, М, могут быть решены только с использованием численных методов.
Можно, однако, указать такую область частот, для которой аналитически получаются приближенные формулы, позволяющие выразить оптимальный импеданс при отличном от нуля потоке через оптимальный импеданс при М = 0. Эта область может быть физически интересна, поскольку частоты, на которые настраиваются звукопоглощающие облицовки входных каналов авиационных двигателей, достаточно велики. При этом может быть выполнено условие
6а»|С0ЦЛ-М2. (13)
При этом условии из формулы (7) получается приближенное соотношение
к
1 + м
(14)
Величина (5, определяемая соотношением (6), при этом принимает вид
^ = (1 4-мр 5 05)
а производную дС/дС можно просто положить равной нулю.
Учитывая соотношения (14) и (15), уравнения (1), (5) и (8) для кольцевого канала можно переписать в следующем виде:
[т + 1к4) ]т С) ~ ит+1 С) (то/с? ~ 1ка 3) 1т (<?;> - Ут+1 ((?;) ^ [т-Ы№$]Ут(:)-гУт+1(:) («/<? - 1*«?) Ут т - У.Ут^т ’ ( }
т? — С2 + (кар)2 . (0':р — т? 4- (£а?0)2 п „ ^
[(т + гад гт(;)-:гот+1с)р дч(да/<з-г&1&) к*
где введено обозначение
?-Р/(1+М)а. (18)
С другой стороны, если в уравнениях (5) и (8) положить М —О, то легко видеть, что получаются те же самые уравнения (16) и (17) с той лишь разницей, что в них войдет адмитанс р. Отсюда следует, что при выполнении условия (13) должно быть выполнено уравнение
р = р/(1 + М)3 —р (М — 0), (19)
20Р( (М) = 2ор1 (М = 0)/(1 + М)2. (20)
Это соотношение справедливо при любом (3, следовательно, оно справедливо и для цилиндрического канала при (2 = 0, что независимо может быть получено из уравнений (И) и (12).
Результаты численного определения оптимального импеданса и соответствующего затухания для цилиндрического и кольцевого каналов представлены на рис. 1—3 для случая слияния пары низших радиальных мод т —0, /г= 1,2. На рис. 1 и 2 представлены два семейства кривых, отображающих поведение реальной и мнимой части оптимального импеданса в зависимости от числа М и отношения диаметров (3 при значениях безразмерной частоты
5 — .Ученые записки ЦАГИ“ № 3 65
/=»£а/1г = 1 и 5. С ростом отношения Q от нуля до 0,5 при любом фиксированном числе М наблюдается монотонное убывание реальной части оптимального импеданса. При этом мнимая часть сначала убывает, а затем, достигнув минимума, начинает возрастать. Изменение оптимального импеданса в зависимости от числа <3 при М = 0 согласуется с результатами работы [3].
Из приближенной формулы (20) следует, ЧТО модуль 20р1 при
Рис. 2
Рис. 3
фиксированных С} и / монотонно убывает с ростом числа М от отрицательных значений к положительным. Главное отличие рис. 1 и 2 состоит в зависимости от числа М при фиксированном <3. На рис. 2 эта зависимость выражается в виде прямых, как и должно быть в соответствии с формулой (20) при достаточно больших р. При значении /== 1 условие (13) не выполняется и соответствующее семейство на рис. 1 отличается от прямых.
При отличном от нуля Q поведение оптимального импеданса кольцевого канала качественно подобно поведению в случае цилиндрического канала, различие — количественное.
На рис. 3 показана зависимость оптимального затухания от числа Q при М = —0,3 и различных значениях безразмерной частоты. Оптимальное затухание, по крайней мере для низших значений азимутального числа т, очень быстро растет с ростом отношения диаметров Q. На рис. 4 представлена зависимость оптимального затухания низшей моды (0,1) от безразмерной частоты f=Dl\ для Q = 0, т. е. для цилиндрического канала. С ростом / оптимальное затухание падает обратно пропорционально безразмерной частоте. При достаточно больших / эта зависимость для моды (0,1) выражается формулой
М^2\Л //7 (21)
Заметим, что оптимальное затухание не зависит от числа М, а определяется отношением D/Х и Q.
Приведем также численное значение оптимального импеданса для М = 0 и моды (0,1) в цилиндрическом канале
Zopt (т = 0, п = 1,2) = (0,89 - i 0,38) . (22)
Отметим общее правило: для всех распространяющихся мод мнимая часть оптимального импеданса отрицательна, что при выбранной зависимости от времени exp (tcof) соответствует импедансу, носящему характер упругости.
На рис. 5 приведены значения оптимального импеданса, соответствующие различным азимутальным и радиальным модам для цилиндрического канала при М = — 0,36, /=£)/Х = 9,5. Можно видеть, что все точки лежат около одной общей кривой. Поло-
жение точек на кривой определяется не совокупностью азимутальных и радиальных чисел (т, п), а критическим параметром
;л = (ka)i I и ПI УТ^М\ (23)
где Cmn — двойной корень характеристического уравнения для моды (от, п).
Оптимальные импедансы для различных т, п могут совпадать, и если это происходит, то для них также совпадают значения параметра Однако различным значениям всегда соответствуют разные импедансы и возрастанию р соответствует движение вдоль общей кривой слева направо. По мере уменьшения критического параметра ^ и приближения его к единице, что соответствует критическим частотам для избранных мод (левая часть кривой), точки на кривой начинают сгущаться. Наличие общей кривой, а также сгущение точек служат указанием в выборе импеданса.
В заключение необходимо отметить, что используемая в данной работе модель бесконечного канала с однородным потоком является упрощением, поскольку не учитываются конечная толщина пограничного слоя, конечная длина облицованного участка канала, дифракция на открытом конце канала. Эти обстоятельства следует иметь в виду и при конкретных рекомендациях необходимо оценивать роль этих факторов. В частности, при условиях, когда длина волны становится соизмеримой с толщиной пограничного слоя, модель с однородным потоком перестает быть справедливой, по крайней мере для мод с большим значением критического параметра р..
ЛИТЕРАТУРА
1. Леонтьев Е. А., Му нин А. Г. О распространении звука в каналах с импедансными стенками при наличии потока. Ч.1., -„У'ченые записки ЦАГИ\ т. X, № 2, 1979.
2. Tester В. J. The propagation and attenuation of sound in lined ducts containing iniform or „plug“ flow. „J. Sound and Vibration*, 28(2),
1973.
3. Zorumski W. E., Mason J. P. Multiple eigenvalues of soundabsorbing circular and annular ducts. „J- Acoust. Soc. Am.*, vol. 55, N 6, 1974.
4. Леонтьев E. А., Яворский В. H. Затухание звуковых волн в акустически облицованном цилиндрическом канале с потоком и его оптимизация. Труды ЦАГИ (в печати).
Рукопись поступала I6j VII 1978 г. Г1ереработанный вариант поступил It/XI 1981 г.
