CC BY
24Распространение ТМ и ТЕ электромагнитного поля в
сужающемся зонде ближнеполевой оптическои микроскопии с радиусом отверстия 50 нанометров
Арсланов Н.М. (narslan@mail.ru)(1), Моисеев С.А.(1,2)
(1)Казанский физико-технический институт КНЦ РАН, Сибирский Тракт 10/7,
Казань, 420029, Россия
(2)The Graduate School of Information and Communications, Inha University,
Incheon 402-751 S. Korea
Основываясь на методе поперечных сечений Каценеленбаума в работе развивается подход к расчету светового поля в зонде ближнеполевой микроскопии. Данный подход применен для изучения динамики распространения световых мод в зонде с учетом его сужения, и когда размер выходного отверстия оказывается значительно меньше длины волны света X в вакууме. Получены аналитические выражения для волнового числа мод сужающегося зонда, использование которых существенно облегчает анализ динамики светового поля. Определено влияние угла наклона стенки зонда на поведения амплитуд мод поля при возбуждении зонда монохроматическим источником света. Показано, что форма зонда может приводить к существенному изменению структуры светового поля в выходном отверстии зонда. Найдены соотношения между продольной и поперечными компонентами поля при изменении длины волны. Обнаружены спектральные области нормального и аномального поведения интенсивности поля при изменении длины волны. На основе развитого подхода проведено исследование распространения фемтосекундного импульса света длительность 50 фсек в сужающемся зонде.
Ключевые слова: сканирующая ближнеполевая оптическая микроскопия, оптика ближнего поля, зонд, продольная и поперечная поляризация света, нерегулярные волноводы и волокна.
PACS numbers: 07.79.Fc; 87.64.Xx; 42.25.Bs, 42.25.Gy
1. Введение
В изучении физических свойств поверхности вещества большое внимание привлекает техника сканирующей ближнеполевой оптической (СБО-) микроскопии [1-3]. В настоящее время методы СБО - микроскопии активно применяются в решении прикладных задач физики поверхности [4,5], микроскопии, литографии, записи и хранении информации [6-8], изучении полимеров [9], биологических систем [10-11], а также в изучении фундаментальных вопросов взаимодействия света с атомами и молекулами на поверхности различных веществ, квантовыми точками в полупроводниках [2, 12-15]. Существует ряд модификаций техники ближнеполевой микроскопии [16,17]. В одном из наиболее распространенных ее вариантов свет длиной волны X через оптоволокно попадает в зонд, представляющий собой конусообразное волокно, покрытое металлом. На конце зонда находится отверстие с
диаметром значительно меньшим X, что позволяет фокусировать свет на поверхность вещества с площадью Б << X2.
Диаметр такого выходного отверстия меньше, чем радиус отсечки большинства мод [3], возбуждаемых на входе в зонд, поэтому только малая часть входной энергии поля достигает образца. Как следствие, низкая пропускная способность зонда становится главным фактором, который как ограничивает дальнейшее увеличение разрешения СБО - микроскопа, так и влияет существенно на спектральные, поляризационные характеристики выходного излучения. Полученные первые экспериментальные результаты [18] измерения выходного поля в дальней зоне показывают, что свойства светового поля претерпевают сильное изменение пространственных свойств и поведение поляризации. Для правильной интерпретации информации получаемой из экспериментов по СБО-микроскопии необходимо хорошо понимать детали взаимодействия локализованного светового поля и образца. Для этого, прежде всего, следует знать пространственную структуру и поляризацию светового поля на выходе из зонда, в ближней зоне. Изучение закономерностей распространения излучения в сужающемся зонде и влияния формы зонда на параметры выходного излучения является особенно актуальным для развития этой техники. Исследование этих вопросов является темой настоящей работы. При последовательном теоретическом описании СБО -экспериментов ближнее и дальнее поле следует рассматривать в рамках единого подхода на основе решения уравнения Гельмгольца при граничных условиях, которые сильно усложняются геометрией СБО - микроскопии. Данные решения могут быть получены только с привлечением численных методов, требующих большого расчетного времени [19].
В первой части настоящей работы мы анализируем существующие подходы к проблеме. В теоретической части работы мы развиваем метод расчета пространственной структуры поля в зонде, основанный на теории поперечных сечений Каценеленбаума для нерегулярных волноводов [20], на основе которой в следующей части проводятся численные расчеты поведения светового поля для различных моделей зонда. В заключении обсуждаются основные результаты и вывода, позвляющие использовать полученные результаты для улучшения существующих возможностей ближнеполевой микроскопии.
2. Теоретические подходы к расчету световых полей в СБО-микроскопии
Первые теоретические работы [21-25], которые можно использовать для СБО-микроскопии, позволяли рассчитывать коэффициенты прохождения или дифракции поля через отверстие в тонком экране. Позднее, используя эти представления, было учтено влияние конечной толщины экрана из идеального металла с отверстием [26,27], но без учета сужения диаметра отверстия, которое оказывает принципиальное влиние на оптические процессы в зонде СБО-микроскопа. В последующих работах влияние данный вопрос стал предметом ряда исследований. В одной из первых работ [28] изучались особенности возбуждения различных мод в идеальном металлическом зонде под действием внешнего поля, попадающего в зонд через малое отверстие. В дальнейшем значительное внимание было уделено разработке численных методов. Авторами работ [29,30] был предложен разностный метод решения уравнений Максвелла в пространственно двумерной постановке к СБО-микроскопии, однако он не получил применения в силу вычислительных трудностей. В статьях [31-33] развивается общий подход к изучению электромагнитного поля в выходном отверстии зонда и его
окрестности, основанный на использовании функции Грина. Однако распространение излучения в самом зонде в рамках данного метода не изучалось. В работах [34-36] разрабатывается 2-х и 3-х мерные модели СБО-микроскопа, основанные на разложении поля в зонде в виде суперпозиции полей от конечного числа мультиполей, при этом основное внимание уделялось лишь изучению диаграммы направленности излучения из простейших двумерных моделей зонда.
Зонд можно представить как сужающийся волновод, поэтому для расчета пространственной структуры продольно и поперечно поляризованного электромагнитного поля в зонде можно использовать работы, посвященные нерегулярным волноводам, в которых представлены различные варианты метода поперечных сечений. Теория нерегулярных волноводов активно развивалась в 50-60-х годах в работах [20,37-43] и других. В частности в работах [39-43] поле в зонде разлагается по мембранным функциям в регулярном волноводе данного сечения. Для коэффициентов этих разложений устанавливалась система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые затем исследовались по методу ВКБ. Похожий вариант этого метода недавно стал развиваться в работах [44-48]. Для одного вида сужения стенки зонда, когда связями между модами можно пренебречь, используя метод ВКБ, авторами найдено приближенное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений второго порядка для амплитуд разложения поля по сумме прямой и встречной волнам [48]. В данной работе анализируется поведение амплитуд разложения поля в зависимости от продольной координаты зонда. Однако, для произвольного сужения стенки зонда аналитическое решение не построено и численно не исследовалось. В работах [44-47] поле в зонде раскладывают по модам конуса, учитывая отражение от выходного отверстия. В этих работах не исследовалось влияние физических параметров свойств стенок и геометрии сужения зонда на пространственную структуру поля в зонде, в том числе вблизи выходного отверстия.
Отмеченные выше теоретические работы, не дают достаточно полного представления о поведении светового поля в зонде СБО - микроскопии, в том числе комопоненты поля, сильной связанной со стенками зонда (эванесцентного поля). В настоящее время хорошо известно, что эванесцентное световое поле на выходе зонда имеет большую продольную поляризацию [3]. Вместе с тем отсутствует последовательное описание поведения поперечно и продольно поляризованных компонент поля в поперечном сечении реалистических моделей зонда. Неизвестны важные для эксперимента зависимости пространственной структуры продольно и поперечно поляризованного выходного эванесцентного поля от размеров зонда и угла наклона стенок, длины волны излучения и физических параметров неидеальных зондов. В связи с чем остается неясной и вся физическая картина распространения и ослабления излучения в сужающихся зондах с различной геометрией, физическими параметрами стенок, что имеет важное значение в связи со значительным развитием экспериментальной техники. Изучение этих вопросов является основной задачей нашей работы.
В результате анализа вышеприведенных работ мы решили следовать методу, предложенному в работах Каценеленбаума [20,49] по изучению электромагнитного поля в нерегулярных волноводах. Данный метод Каценеленбаума (ниже мы введем сокращенное название - «К-метод»), на наш взгляд, может описывать физическую картину поведения поля в зонде с учетом реальных физических параметров зонда, влияющих на распространение излучения и удобен для проведения эффективных численных расчетов [50]. Как показывает анализ, важнейшей особенностью поведения поля в сужающемся зонде при расчете К-
методом является наличие сильного взаимодействия между соседними модами поля и затухание каждой из мод. Поэтому целью представленной работы явилось изучение эффектов взаимодействия мод и изменение пространственной структуры продольно и поперечно поляризованного светового поля вблизи выходного отверстия при различных физических параметрах зонда. В данной постановке изучаемая нами задача о поле в зонде реализуется в большинстве основных схемах СБО - микроскопии.
3. Основные уравнения метода поперечных сечений (К-метода)
Зонд ближнеполевой оптической микроскопии в К-методе рассматривается как закрытый нерегулярный волновод, с поперечным сечением, которое изменяется от большого диаметра на входе до очень малого диаметра на выходе зонда. При изложении К-метода ниже мы главным образом придерживаемся работы [20]. Основная идея К-метода состоит в том, что в любом сечении нерегулярного волновода поле представляется в виде суперпозиции волн обоих направлений, существующих во вспомогательном прямолинейном, регулярном волноводе того же сечения и с тем же распределением в и д по сечению. Задача об определении поля в сужающемся зонде ближнеполевой микроскопии сводится к задаче нахождения собственных мод поля в регулярном закрытом волноводе и к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд волн, входящих в суперпозицию общего решения.
Волноводом сравнения в этой задаче является регулярный волновод, в котором 8 и ц во всех сечениях представляют те же функции от х и у, что и в данном сечении нерегулярного волновода, то есть волноводы сравнения для разных сечений z различны. Координатную систему в волноводе сравнения обозначим через х, у, Поля собственных волн в волноводе сравнения зависят экспоненциально от £ согласно е^, как и в реальном зонде принимается зависимость от z в виде е^, где от z также зависит вид функций 8(х,у^) и ц(х,у^).
Зависимость от частоты примем в виде ехр(-^), тогда уравнения Максвелла приобретут
вид:
го1Ё = ¡кдЙ , гоШ = —¡квЁ . (1)
Разложения поля по прямым и обратным модам вспомогательного волновода [20] представляются в виде:
ТО ТО
Ё(2) = Х Р} (*)Ё] (2), Й (2) = Х Р] (2)Й} (2), (2)
— ТО —ТО
где поля Е, Н удовлетворяют на стенках нерегулярного волновода тем же граничным условиям, что и поля ЕJ и Н на стенках волноводов сравнения; в свою очередь, моды поля ортогональны в каждом поперечном сечении закрытого волновода [51] :
|.([ЙтЁ}] + [Й}Ёт]) = 2ккт5]т, (3)
5 ±
где hm -волновое число т-ой моды в волокне, подлежащее определению для каждого волновода.
Собственные моды волновода сравнения Ё\х,у^) и Ы^х,у^) для данного z, удовлетворяют уравнениям Максвелла в регулярном волноводе сравнения, где z выступает фиксированным параметром. Используя уравнения для мод поля в волноводе сравнения,
уравнения Максвелла для поля в нерегулярном волноводе сводятся к следующей системе уравнений для коэффициентов разложения Р| , входящие в поле (2) :
"'>(Ь-=-РЪИ'> - н& -)=-р>>1- _ ю
где по повторяющимся индексам проводится суммирование. После умножения на Нхт,-Нут, -
Ет т^ т
х , Еу и интегрирования по поперечному сечению зонда с учетом условия ортогональности (3), система уравнений (4) приобретает вид: с—
— р (2) - ,к} (2)Р] (2) = X^ т (2)Рт (2) , (5)
где - коэффициенты связи мод на стенках нерегулярного волновода сравнения:
Б т =Г —Б (Е X — И т - Е1—Ит + Ет—И> - Ет—И£) (6)
]т 2 кк] Б —2 у у —2 х х —2 у у —2 х
Значения коэффициентов Р^) в начале и в конце нерегулярной части волновода равны амплитудам соответствующих волн в регулярной части. Дальнейшее развитие теории связано с нахождением величин и Ь|, и анализом системы уравнений (5).
4. Основные соотношения для волновода переменного сечения с неидеальными
стенками
Непосредственное применение метода поперечных сечений к волноводам переменного сечения связано с трудностью, которая состоит в том, что в рядах типа (2) поля Е,Н и поля Ет,Нт удовлетворяют различным граничным условиям. Чтобы не оперировать с рядами, неравномерно сходящимися вблизи границы и учесть влияние граничных условий на распространение светового поля в работе [20] волноводу переменного сечения сопоставляется вспомогательный волновод большего постоянного сечения, заполненный материалом с постоянными вид. При этом свободной от этого материала области соответствует внутренняя область волновода переменного сечения. Для выбранного большего волновода с нерегулярным заполнением применение К-метода дает результаты, которые справедливы для любых значений в и д материала. В предельном переходе вспомогательный волновод
становится тождественным исходному волноводу переменного сечения с идеально проводящей стенкой. При этом влияние граничных условий сводится к нахождению коэффициентов связи мод, входящих в общее уравнения данной теории. Для сужающихся волноводов с постоянным диэлектрическим заполнением выражение (6) для коэффициентов связи можно преобразовать в более простое, где интеграл берется уже только по границе перехода сердцевина-стенка [20]. Для учета реальных физических параметры стенки зонда используем граничные условия Леонтовича [52], которые в цилиндрической системе координат принимают вид:
Еф=£И2, Е2=-£Иф, (7)
где = у]д/в волновое сопротивление стенок, ц, 8 магнитная и электрическая проницаемость стенок соответственно, получим для (6):
5]т = 2к ^ _ т ) С-ВуИ - ИИ +8,ЕЕ ь (8)
где учитывалось, что зонды ближнеполевой микроскопии можно считать немагнитными д0=д=1, г, ф, z цилиндрические координаты, у(ф) тангенс угла наклона стенки зонда к продольной оси.
При вычислении коэффициентов связи можно воспользоваться тем [49, 53], что для электрических мод ее магнитная часть имеет второй порядок малости при разложении в ряд по волновому сопротивлению стенок которое значительно меньше единицы, так как диэлектрическая проницаемость металлического покрытия |8|>>1. Для магнитных мод уже электрическая компонента поля является второго порядка малости по Таким образом, для получения коэффициента связи в первом порядке по можно использовать моды идеального волновода [54,55], а волновое число мод находить в первом порядке по Поля в цилиндрическом волноводе с идеальными стенками с однородным диэлектрическим заполнением во можно выразить через потенциалы Герца [54]. Для поперечно-магнитных ТМ мод и электрических ТЕ мод поля выражаются через потенциалы Пе и Пт в виде:
ЙТМ = —¡к0в0гоПе, Ёш = Шго1Пе, (9)
ЙТЁ = ШгоПт , ЁТЁ = ¡к0гоПт, (10)
где ко волновое число света в свободном пространстве. Сами потенциалы удовлетворят уравнению
Д± Пп +а1 Пп = 0 (11)
и условию нормировки:
аП | . Пп™ ПГ = 1, а2п { . ПпТЁПпТЁ = -, (12)
где аП = к2в0 — Ь2П собственное значение соответствующей моды. Для идеального волновода а ТЁ = Д nJ / a , а ТМ =у nJ / a , а - радиус волновода, у^, д^ -J-ые нули функции Бесселя п-го
порядка и ее производной.
После интегрирования (8), учитывая (9)-(11) для симметричного сужения волновода, коэффициенты связи прямых и обратных мод идеального волновода примут вид:
} ™ =(1 -В ^ ^а^—5'-т т ), (13)
е) к] (к] — кт )а
}т < п 7Ч V },т ' ~}-т)
1 е I к (к] — кт )а
.2.2 ,2 ч„2
} ,ТЁ = , 1 — ^ 1 "" ' } У'" - (5},т — 5},—т) , (14)
I е) к} (к} — ктЦд1} — п24дДт — п2 а
= ^ — -В ) ^ 2 — (—} +5]--m)- (15)
I е)} } п2 а где J^m- так что При J=m коэффициент связи будет:
атД,гт + (к,кт — к0е0)п V
1 ¿к,
= ——---. (16)
}} 2к} ¿2
Таким образом, мы упростили коэффициенты связи мод поля волновода, выразив их через волновые числа мод регулярного волновода. Эти волновые числа являются решением трансцендентного уравнения, полученного из граничных условий для мод поля на металлических стенках регулярного волновода [56]:
в0 р^^ +ваК^ ¿п (аа) Кп (ра)
/п (аа) + аКП(Ра)
¿П (аа) Кп (ра)
к2п2к1д(в0 - 8)2
2 2 2 а р а
где штрих - это производная по аргументу функции, а - радиус волновода, во, в диэлектрическая проницаемость сердцевины и покрытия, -р2=к028 - к2, ¿(х), К(х) - обычная и модифицированная функции Бесселя.
Аналитическое решение уравнения (17) получить затруднительно, для чего в работах [36,55] использовались численные методы. Однако, для решения системы уравнений (5) и анализа поведения мод поля при изменении основных параметров зонда, таких как радиус сечения, проницаемость стенок зонда и оптоволокна, а также длины волны излучения, желательно иметь аналитическое выражение для волновых чисел с достаточной степенью точности разложения по волновому сопротивлению. Ниже мы найдем подобное решение для волнового числа мод НЕ и ЕН типов в виде разложения в ряд по волновому сопротивлению стенок, следуя методу, предложенному в работе [49]. При этом полученные аналитические решения с высокой точностью согласуются с ранее полученными численными результатами работ [36,55].
5. Волновое число в волноводе с неидеальными стенками
Для определения волновых чисел мод Ьп в волноводе с неидеальными стенками воспользуемся граничным условием Леонтовича (7), при этом собственные значения разложим в ряд по степеням £<<1:
а= а02+£а/+ к2 = к0280-а =к02-£а/
(18)
Запишем, участвующие в граничном условии (7) компоненты полей через потенциалы и получим условия, связывающие значения этих функций на контуре сечения:
дП^ дПт ^ 2ТТт ,к--,к0д0-= £а П ,
гдф
а1 Пе = -£
дг
(
дПе дП' ,к0е0--+,к-
Л
V
(19)
(20)
дг г дф
Для определения волнового числа магнитных волн вводят вспомогательную функцию
Ф =ИП . Тогда будем иметь систему уравнений:
I
дФе дПт 2 --,к0 — = £а Пт,
гдф а2Фе = -£
дг
(
,к080
дФе дг
2 дП'
Л
гдф
АФе +а2Фе = 0, АПт +а2 Пт = 0.
Функции Ф и П разложим в ряды:
ф=ф0е + £Ф1е+..., Пт=Пот+£П]т+...,
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
и решая систему уравнений (21)-(24), ограничиваясь первым порядком по используя
2
формулу Грина НсС5(и - ШУ) = I сЬ\ V — - и—
С \ дп дп
находим следующее выражение для а1
(
а, = ■
к о^о
- а041 гсСр • П0ш2 + й021 гсСр • ПО
д 2 П % Л г 2 Эр2
(27)
Аналогичная схема вычислений имеет место и для электрических волн, проделывая которые находим:
а,2 = -¡к0£0 | гСр
(
дП0 ^
дг
В итоге получим: 1) ТЕ моды: й2- = ,
2а
+ #-2-2-
к0(Мп; - 2 )
( 4
Н + К
2
2 2
02 а
/
й2- = К) +Е,2\к0е0/а .
(28)
(29)
(30)
2) ТМ моды
где ^-волновое число соответствующей моды в идеальном волноводе.
Представленные на рис.1 и рис. 2 графики описываются найденными решениями (29), (30). Как показало сравнение, данные решения с большой точностью совпадают с численными результатами работы [36]. Отметим, что отличия аналитических решений (29), (30) от численных решений, приведенных на рис.1, 2. не проявляются в масштабе рисунков и становятся заметными лишь за пределами области существования мод. Отметим, что световые моды существуют в зонде, если их волновое число удовлетворяет условиям [36]: 2Яе И*1тИ<1те, Яе к2-1ш й2 >Яе а. (31)
В частности для моды НЕ11 отличия заметно проявляются при радиусе а< 5 нм, а для моды НЕ21 - при а< 8 нм, Для мод ЕН отличия волновых чисел ^ вычисленных по формулам (29), (30) от численно найденных становятся заметны только для мнимых значений к Вместе с тем аналитические решения для реальной компоненты волнового числа данных мод ЕН совпадают с численным решением на всей области изменении радиуса, что, очевидно, отражает и качественные отличия распространения данных мод в зонде, особенности их взаимодействия со стенками. Вместе с тем, данное сравнение с численными расчетами также указывает на высокую точность выполнимости условий Леонтовича для рассматриваемых задач СБО - микроскопии.
Полученные аналитические выражения (29) и (30) для волновых чисел мод поля существенно облегчают анализ светового поля в зонде ближнеполевой микроскопии и значительно снижают время счета для решения системы дифференциальных уравнений, рассматриваемого ниже для ряда конкретных случаев.
2
а
Ц.4 .2 1
H
0
0.2
Яе h/Ko
01 НЕ21 EH.1Î-ТЕ01
a,nm
a,nm
100 150 200 250
300
0.Û1
Рис. 1. Зависимость реальной части волнового числа Рис 2 Зависимость мнимой части волнового числа < от радиуса. радиуса.
6. Поведение амплитуд ТМ0м: и ТЕ^ мод поля в сужающемся зонде
На основе численных расчетов нами был изучен характер распространения света в сужающемся зонде, для чего также было проведено сравнение распространения светового поляс учетом взаимодействия между модами и без него. В качестве модели зонда мы взяли диэлектрический волновод с в0=2.16, д0=1 линейно сужающийся от начального радиуса 500 нм до конечного радиуса 50 нм с алюминиевым покрытием s=-34.5+8i и толщиной больше чем скин-слой, составляющий ^6 нм. [36]. При решении системы дифференциальных уравнений (5) учитывались моды, удовлетворяющие только условиям распространения в зонде (31) и с волновым числом соответствующих мод идеального зонда Ь02>0. Другие пространственные моды быстро затухают в зонде из-за наличия большого поглощения, которое определяется слагаемым -¡кР в (5). После достижения модой сечения, где условия ее существования (31) не выполняются, она не учитывалась в межмодовых взаимодействиях. Связь между магнитными и электрическими модами (15) для п=0 отсутствует.
Исходя из вида граничных условий для амплитуд мод поля ТМ0т и ТЕ0т на разных концах зонда, были построены алгоритмы нахождения фундаментальной системы решения (5). Искомое решение определялось как линейная комбинация фундаментальной системы решений с коэффициентами, удовлетворяющими условию возбуждения первой моды ТМ01
или ТЕ01 на входе зонда. При численном расчете использовался метод Рунге-Кутта-Фельберга
12
с автоматическим изменением шага для сохранения относительной точности 10 , с которой находилась фундаментальная система решений (5) и определялись величины амплитуд волн. Дальнейшее увеличение точности не приводило к заметному изменению получаемой картины.
В силу быстрого изменения граничных условий в зонде, условия существования мод в произвольном сечении зонда и режимы их взаимодействия между собой сильно изменяются, влияя на физическую картину распространения светового поля. Анализ поведения мод поля при данных параметрах излучения позволил установить некоторые общие закономерности распространения мод в этой области пространства (см. рис 3, 4). На Рис. 5 и Рис. 6 приведено решение системы (5) без учета взаимодействия между модами (то есть при условии 8^=0),
I
которое имеет вид Р-(1)=ехр{г1к-)с~} для зонда с а=450 и длиной 450 нм. Расчеты показали,
0
что взаимодействие между модами приводит к значительной модификации коэффициентов прохождения мод. Сравнение с рис. 3 и рис. 4 показывает, что взаимодействие между модами всегда выравнивает их амплитуды и существенно изменяет картину распространения поля в зонде. Расчеты показали также, что общее прохождение мод начинает быстро уменьшаться после достижения основной модой критического сечения в соответствующем идеальном зонде. При этом суммарная величина энергии поля становится меньше, чем в случае отсутствия взаимодействия между модами.
Для сравнения на рис.7 приведено поведение амплитуд различных ТМ мод при распространении в зонде с углом сужения 250. В этом случае длина зонда составляет 965 нм. Приведенные на рисунке графики показывают, что увеличение угла наклона стенки зонда приводит к сильному увеличению коэффициентов прохождения ТМ и ТЕ мод на выходе из зонда. При этом форма зонда будет определять интегральную величину взаимодействия
между модами на всем протяжении зонда, влияющего на распределение энергии по модам в зонде, которые в свою очередь, влияют на трансформацию пространственной структуры выходящего света [57].
Учитывая данные результаты можно сделать вывод, что при использовании СБО-микроскопии для изучения свойств микрочастиц на поверхности ввещества следует принимать во внимание координаты частицы (молекулы или атомы), в пределах поперечного сечения выходного отверстия зонда. В силу значительного ихменения параметров светового поля в поперечном сечении зонда, взаимодействие света с частицей будет очень сильно изменяться при изменении координы частицы в пределах сечения зонда. Данное сильное изменение интенсивности поля по сечению зонда можно использовать для повышения разрешающей способности техники ближнеполевой оптической микроскопии. Такое управление структурой света в ближней от отверстия зоне при изменении формы зонда представляет интерес для отдельной работы [57].
Рис. 3. Амплитуды ТМ0т мод для а=45 . Стрелками с цифрами обозначены критические сечения соответствующих мод в идеальном волноводе. е=-34.5+8^ е0=2.16, Х0=500 нм, al=500 нм, a2=50 нм.
Рис. 4. Амплитуда ТЕ0т мод для а=45 . Стрелками с цифрами обозначены критические сечения соответствующих мод в идеальном волноводе.
Рис. 5. Амплитуда ТМ0т мод для а=450 без учета взаимодействия между модами.
Рис. 6. Амплитуда ТЕ0т мод для а=450 без учета взаимодействия между модами.
—ТМ01 —«— ТМ 02 ТМ 03
'■'14 пш
Рис. 7. Амплитуда ТМ0т мод для а=25 .
7. Спектральные и временные зависимости прохождения света через зонд ближнеполевой микроскопии
Представляет интерес применить развитый выше метод для изучения спектральных и временных закономерностей прохождения света через сужающуюся субволновую часть зонда. Учет поляризации поля позволяет получить дополнительную информацию при изучении свойств поверхности образца и отдельных молекул на ней [3]. В ближней зоне зонда большой вклад в поле вносится эванесцентным полес, которое не входит в распространяющуюся мощность. Важной составляющей эванесцентного поля является продольное поле. При построении методов деконволюции и точной интерпретации получаемых изображений необходимо иметь теоретическую оценку поведения продольной и поперечной интенсивностей поля в ближней зоне [3] субволнового отверстия зонда.
С учетом представления поля рядом мод (1) и соотношения ортогональности мод
интенсивность светового поля в зонде Ц| Е |2 dS , переносимой модами имеет вид:
£
I™ =М0 X \р}(ф}(2)\2, (32)
]
I™ =0 X \Р3(г)а3(1)2 (33)
]
11Е=к2цо2еоX \РМ2, (35)
1ТЕ=о. (36)
Для расчета отношения интенсивностей были использованы выражения волновых чисел и собственных значений мод с учетом импеданса стенок зонда (17), (28), (29). Для попадающего в зонд поля выполняется условие ka=2пa/X>>1, поэтому оно имеет преобладающую поперечную компоненту 1г(0)/1^(0)=62 и в основном распространяется вперед. При продвижении поля в сужающуюся часть зонда, соотношение между интенсивностью продольной I и поперечной (радиальной) 1г компонентами электрического поля значительно меняется. Соизмеримость величин продольного и поперечного поля в зонде
для малых отверстий (к^^) отмечается в ранних работах [3], однако реальное соотношение между такими компонентами поля в зонде оставалась неизученной.
Поперечная и продольная нормированная интенсивность имеют вид:
т™ (2)
_Т^ (2)__(37)
Т™ (2) + Т™ (2)' У '
Т™ (2)
(30)
Т™ (2) + Т1М (2) ^ ;
На рисунках 8, 9 показано поведение продольной и поперечной нормированной интенсивностей для ТМ0т и БН1Ш мод в конце зонда z=L в зависимости от длины волны распространяющегося света для разных форм зонда: экспоненциального сужения, прямолинейного, формы сужения вида:
«(2) = А (К А + С2гС^ ), (39)
С А
оптимальной формы зонда [58]. Из полученных графиков видно, что, как и следовало ожидать при ka>>1 поперечное поле преобладает над продольным полем, а при ka<1, независимо от формы зонда в выходном излучении вклад продольной составляющей электрической компоненты ТМ0т поля преобладает над вкладом поперечной компоненты. (см. рис.9). Отметим, вместе с тем, что в в области ka~1 при уменьшении длины волны света (то есть при росте до ka>1 ) преобладание продольной компоненты света даже начинает увеличивается по сравнению с поперечной. Такое поведение светового поля не очень понятно и требует более подробного исследования.
При этом из рис. 9 видно, что в зонде с экспоненциальной формой распространяющееся поле приобретает большую продольную структуру. То есть увеличение области зонда, где выполняется условие ka<1 приводит к росту продольной компоненты проходящего света.
1
0.8
0.4 (1.2
_А,пт
400 5(111 ЗШ> 71Н1 800 91 И) ¡000*
Рис. 8. Продольные и поперечные нормированные интенсивности света на входе в зонд. Зеленый цвет -ТМ1т моды, желтый ТМ0т моды. Тонкие линии обозначают поведение поперечной компоненты интенсивности. Приведено соотношение продольной и поперечной интенсивности на выходе из зонда без учета взаимодействия между модами красным (ТМот) и темно-красным (ТМ1т) цветом для сравнения с рис. 9.
Рис. 9. Продольные и поперечные нормированные интенсивности света на выходе из зонда. Цветом обозначено: Желтый цвет для экспоненциальной формы зонда, синий цвет - линейная форма сужения, зеленый цвет - для сужения (39), красный цвет для оптимального вида сужения. Тонкие линии обозначают поведение поперечной компоненты интенсивности. Темные линии -ТМ1т моды, светлые-ТМ0т моды.
Для определения степени влияния зонда с определенными параметрами на параметры распространяющийся свет необходимо знать коэффициент прохождения и характер пространственной трансформации этого света при изменении его параметров. На рисунках 10, 11 представлено прохождение суммарной поперечной и продольной суммарной интенсивности трех мод по отношению к начальной интенсивности
iTm (0)+!^ (0) = \a1(0)\z+\h1(0)\z для TMom, EHim и If (0)=k2So\Pi(0)\z=kzs0 для ТЕот, НЕ
r TM
TE
\2_i2.
Лт
мод в зависимости от длины волны распространяющегося света.
-0.5
-1.5
Igl™
A, tun
400 500 600 700 800 400 ШН1
Рис.10 Коэффициенты прохождения интенсивности продольной и поперечной компонент поля для ТМ0т и ТМ1т мод по отношению к начальной интенсивности
iTM(0)+i im (0)
Ч 1"/ 1 ±_
нм до 1000 Контуром выделена
а1(0)\ +\h1(0)\ в диапазоне от 300 нм в логарифмическом масштабе. область, которая приведена
___ЩИ
450 500 550 60(Г
Рис.11 Коэффициенты прохождения интенсивностей продольной и поперечной компонент поля для ТМ0т и ТМ1т (EH1m) мод (по отношению к начальной
интенсивности I
TM
(0)+ I™ (0) = \a1(0)\2+\h1(0)\2)
подробно на рис. 11 для сравнения с ТЕ(НЕ) модами. Цветом обозначено: Желтый цвет для экспоненциальной формы зонда, синий цвет -линейная форма сужения, зеленый цвет - для сужения (39), красный цвет для оптимального вида сужения. Тонкие линии обозначают поведение поперечной компоненты интенсивности. Темные линии - ТМ1т (БИ1т) моды, светлые-ТМ0т моды.
сравнении с ТЕ1т модами (по отношению к начальной
ТЕ 2 2 2
интенсивности I ^ (0)=к е0|Р1(0)| =к е0) в диапазоне от 400 нм до 600 нм (в логарифмической шкале). Цветом обозначено: Желтый цвет для экспоненциальной формы зонда, синий цвет- линейная форма сужения, зеленый цвет - для сужения (39), красный цвет для оптимального вида сужения. Тонкие линии обозначают поведение поперечной компоненты интенсивности. Темные лини - БИ1т и ИБ1т моды, светлые-ТМ0т моды.
Как видно из рис.10, при изменении длины волны света коэффициент прохождения света имеет разный характер поведения в различных спектральных областях. Распространяющийся через зонд свет имеет нормальную спектральную зависимость от длины волны, где прохождение света экспоненциально возрастает при уменьшении X (то есть при росте ka). Например, для зонда с линейной формой сужения с углом наклона стенки а=450 есть линейный участок в диапазоне длин волн 450 < X < 540 нм. В других аномальных спектральных областях поведение проходящего излучения меняется с изменением длиня волны, сопровждаясь возникновением максимума. Например, для линейного зонда в диапазоне длин волн 540 < X < 600 максимум приходится на X « 565 нм. Похожее поведение параметров света можно найти в работе [59] где данное поведение объяснялось тем, что при увеличении длины волны света возникают области критических сечений для распространяющихся мод и моды переходят в затухающие. Тем не менее, полученное
спекральное поведение интенсивности проходяшего черех зонд света остается не полностью ясным и требует дальнейшего изучения.
Если попадающий в зонд свет имеет широкий спектральный состав, то в зависимости от формы зонда и области спектра света свет, выходящий из субволнового отверстия, может изменить свою спектральную форму, если его спектр попадет в область сильной неоднородности прохождения. В частности, вызывает большой интерес распространение фемтосекундных импульсов в таких зондах, так как спектральное изменение таких импульсов может быть значительным. Отметим, что изучение оптической ближнеполевой микроскопии с использованием фемтосекундной спектроскопии представляет большой интерес для исследования динамики отдельных квантовых объектов на временах 10-15 сек меньших, чем характерные периоды колебаний молекул.
Полученные выше результаты позволяют определить параметры фемтосекундного импульса света на выходе зонда. При проведении численных расчетов в качестве модели зонда использовалась модель зонда с прямолинейным сужением с углом наклона стенки а=450 и начальном возбуждении на переднем торце зонда ТМ01моды. Амплитуда Р^) электромагнитного поля светового импульса на входе в зонд выбиралась в виде гауссова профиля с длительностью 8t = 50 фсек:
и несущей длиной волны Х0 = 500 нм попадающей в диапазон однородности 450 < X < 540 нм (см. рис.10). При выбранных условиях [57] световое поле выходного импульса определяются главным образом параметрами первой пространственной моды ТМ01.
На рис. 12 изображено поведение во времени интенсивности первой моды на выходе из зонда. Из рисунка видно, что форма выходного импульса заметно не деформируется. При типичной входной энергии 5-10"9 дж фемтосекундного импульса и длительности 50 фсек, что соответствует « 10 фотонов, в излучении, проходящем через зонд, энергия уменьшается примерно в 103 раз, что соответствует 107 фотонов на выходе зонда с линейной формой сужения. То есть затухание фемтосекундного импульса оказывается не так велико, чтобы препятствовать распространению большого числа фотонов через зонд.
Численные расчеты в случае несущей длины волны Х0 = 800 нм также показывают отсутствие значительной деформации формы 50 фсек импульса света, что находится в хорошем согласии с экспериментальными результатами работы [60].
Р^) = ехр(—2 /%2) • )
(40)
Рис. 12 Амплитуда моды ТМ01 на входе и выходе из зонда в условных единицах.
8. Заключение
В настоящей работе исследовано поведение светового поля в зонде ближнеполевой оптической микроскопии, когда диаметр выходного отверстия зонда становится меньше длины волны света X. Результаты, полученные в нашей работе основаны на использовании метода теории поперечных сечений [20] и учитывают реальные физические свойства материала зонда. Проведенное исследование стало возможно благодаря нахождению аналитического выражения для волнового числа мод в виде разложения в ряд по волновому сопротивлению стенок % = , где д, 8 магнитная и электрическая проницаемость стенок
соответственно, которые с высокой точностью совпадают с численными решениями, полученными ранее авторами [36]. Используя полученные аналитические решения, были построены алгоритмы, моделирующие распространение ТМ0т, ЕН1т, ТЕ0т, НЕ1т мод поля в зонде. На основе проведенных численных расчетов получены основные закономерности распространения продольно и поперечно поляризованного светового поля через сужающийся зонд.
Проведенное нами численное моделирование описывает световое поле в самом зонде и в непосредственной близости от выходного отверстия, где поле приобретает сложную пространственную структуру, включающую зоны с продольной и поперечной поляризацией светового поля [57], зависящую от величины начального и конечного радиусов зонда. Полученные результаты указывают на то, что форма зонда может также значительно влиять на структуру светового поля на выходе зонда.
Полученные результаты позволяют сделать следующие важные выводы. Отметим, что продольно и поперечно поляризованные компоненты поля различным образом будут «выходить» в свободное пространство из зонда. Поэтому найденное нами спектральное соотношение между продольной и поперечной компонентами светового поля будет определять характер и силу взаимодействия ближнеполевого света с объектами, расположенными в непосредственной близости от зонда. Следует отметить, что, подбирая геометрические параметры зонда, можно управлять пространственной структурой выходного поля, и, следовательно, изменять пространственное разрешение, величину и характер взаимодействия поля с образцом (особенно с наночастиицам на его поверхности). Таким образом, предсказываемое сильное изменение пространственной структуры светового поля в зонде, в зависимости от формы зонда и спектра света, очевидно, ставит новые задачи в изучении взаимодействия поля зонда с поверхностью. Изучение данных вопросов на наш взгляд должно позволить, в частности, существенно повысить пространственное разрешение метода СБО микроскопии, особенно при разработке соответствующих методов деконволюции.
Полученные нами результаты [50] также показывают, что при определенных параметрах зонда и несущей длины волны света, попадающей в нормальную спектральную область, фемтосекундные импульсы не испытывают сильных искажений проходя к выходному отверстию через сужающуюся часть зонда. Это позволяет надеяться на разработку теории и техники фемтосекундной спектроскопии малого числа квантовых объектов (одиночных атомов и молекул), основанной на использовании зондов СБО микроскопии, не изменяющих существенно параметры фемтосекундных световых полей на всем протяжении зонда.
Развиваемый в работе подход отличается достаточной общностью и дает возможность рассчитывать поля при различных физических и геометрических параметрах зонда, что
делает этот метод более пригодным для численных расчетов, обычно требующих очень большого времени.
Работа поддерживалась грантами РФФИ №№ 03-03-96214, 00-15-97410, грантом НИОКР № 06-6.3-343/2005, НШ -1905.2003.2.
Литература
1. D.W.Pohl, W.Denk, and M.Lanz, Appl.Phys.Lett. 44, 651 (1984).
2. E.Betzig, R.J.Chichester, Science 262, 1422 (1993).
3. B.Hecht, B.Sick, U.P.Wild, V.Deckert, R.Zenobi, O.J.F.Martin, D.W.Pohl, J.Chem.Phys. 112, 7761 (2000).
4. Y.-K.Kim, P.M.Lundquist, J.A.Helfrich, J.M.Mikrut, G.K.Wong, P.R.Auvil, J.B.Ketterson, Appl.Phys.Lett. 66, 3407 (1995).
5. J.D.Pedarning, M.Sprecht, W.M.Heckl, T.W.Hansch, J.Appl.Phys.A 55, 476 (1993).
6. E.Betzig, J.K.Trautman, Science 257, 189, (1992).
7. E.Betzig, J.K. Trautman etc, Appl. Phys. Lett. 61, 142 (1992).
8. S Hosaka, A Kikukawa, H Koyanagi, T Shintani, M Miyamoto, K Nakamura, K.Etoh, Nanotechnology 8, A58 (1997).
9. L.L'eger, H.Hervet, G.Massey, E.Durliat, J. Phys.: Condens. Matter 9, 7719 (1997).
10. E.Monson, G.Merritt, S.Smith, J.P.Langmore, R.Kopelman, Ultramicroscopy 57, 257 (1995).
11. R.C.Dunn, E.V.Alen, S.A.Joyce, G.A.Anderson, X.S.Xie, Ultramicroscopy 57, 113 (1995).
12. S.-K.Eah, W.Jhe, Y.Arakawa, Appl.Phys.Lett. 80, 2779 (2002).
13. W.E.Moerner, T.Plakhotnik, T.Irngartinger, U.P.Wild, D.W.Pohl, B.Hecht, Phys. Rev. Lett. 73, 2764 (1994).
14. A.Miura, K.Matsumura, X.Su, N.Tamai, Acta Physica Polonica A 5, 835 (1998).
15. A.Rahmani, P.C.Chaumet, F.de Fornel, Phys.Rev. A 63, 023819 (2001).
16. D.Courjon, C.Bainier, Rep.Prog.Phys. 57, 989 (1994).
17. V.I.Safarov, V.A.Kosobukin, C.Hermann, G.Lampel, C.Marliere, J.Peretti, Ultramicroscopy 57, 270 (1995).
18. E.Betzig, J.K.Trautman, Appl.Opt. 31, 4563 (1992).
19. C.Girard, A.Dereux, Rep. Prog. Phys. 59, 657 (1996).
20. Б.З.Каценеленбаум, "Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами", издательство АН СССР, (1961).
21. H.A.Bethe, Phys. Rev. 66, 163 (1944).
22. C.J.Bouwkamp, Philips Res.Rep. 5, 321 (1950).
23. C.J.Bouwkamp, Philips Res.Rep. 5, 401 (1950)
24. C.J.Bouwkamp,. Rep.Prog.Phys. 17, 35 (1954)
25. C.J.Bouwkamp, H.B.G.Casimir, Physica 20, 539-54 (1954).
26. A.Roberts, Opt.Soc.Am. A 4, 1970 (1987).
27. A.Roberts, J.Appl.Phys. 65, 2896 (1989).
28. A.Roberts, J.Appl. Phys. 70, 4045 (1991).
29. D.A.Christensen, Ultramicroscopy 57, 189 (1995).
30. J.L.Kann, T.D.Milster, F.Froehlich, R.W.Ziolkowski, J.Judkins, Ultramicroscopy 57, 251 (1995).
31. C.Girard, D.Courjon, Phys.Rev B 42, 9340 (1990).
32. C.Girard, X.Bouju, J.Opt.Soc.Am.B 9, 298 (1992).
33. C.Girard, A.Dereux, Phys.Rev. B 49, 11344 (1994).
34. L.Novotny, D.W.Pohl, P.Regli, J.Opt.Soc.Am. A 11, 1768 (1994).
35. L.Novotny, D.W.Pohl, P.Regli, Ultramicroscopy 57, 180 (1995).
36. L.Novotny, C.Hafner, Phys. Rev. E 50, 4094 (1994).
37. Г.В. Кисунько "Электродинамика полых систем", Издательство ВКАС, (1949).
38. Л.А.Вайнштейн, ЖТФ 27, 2109 (1957).
39. A.Stevenson, J.Appl.Phys. 22, 1447 (1951).
40. S.Shelkunoff, BSTJ 34, 995 (1955).
41. А.Г. Свешников, Доклады .АН СССР 110, 197, (1956).
42. Г.Я. Любарский, А.Я.Певзнер, ЖТФ 29, 170 (1959).
43. А.Л.Гутман, Радиотехника 12, 20 (1957).
44. T.I.Kuznetsova, V.S.Lebedev, J. of Russian Laser Research 24, 458 (2003).
45. Т.И.Кузнецова, В.С.Лебедев, Квантовая электроника 33, 931 (2003).
46. Т.И.Кузнецова, В.С.Лебедев, Письма в ЖЭТФ 79, 70 (2004).
47. T.I.Kuznetsova, V.S.Lebedev and A.M.Tsvelik, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 6, 338 (2004).
48. Т.И.Кузнецова, В.С.Лебедев, Квантовая электроника 32, 727 (2002);
49. Б.З.Каценеленбаум, Доклады АН СССР 88, 37 (1953).
50. N.M.Arslanov, S.A.Moiseev, Proceedings of SPIE, v 5402, 25 (2003).
51. Л.А.Вайнштейн, "Электромагнитные волны", издательство "Радио и связь", (1988).
52. М.А.Леонтович, сб. "Исследования по распространению радиоволн", ч.П, АН СССР (1948).
53. Я.Л.Альперт, ЖТФ 10, 1358 (1940).
54. М.Борн, Э.Вольф, "Основы оптики", М.:Физматлит, (1970).
55. B.Prade, J.Y.Vinet, J. of Lightwave Technology 12, 6 (1994).
56. Д.Маркузе, "Оптические волноводы", М.:Мир (1974).
57. N.M. Arslanov and S.A.Moiseev "Ultrahigh interference spatial compression of light inside the subwavelength aperture of a near-field optical probe" Preprint physics /0509187 (2005), отправлено в печать.
58. N.M.Arslanov "Optimal form of scanning near-field optical microscopy probe", preprint physics/0509209 (2005), отправлена в печать.
59. Л.А.Вайнштейн "Теория дифракции и метод факторизации", издательство "Советское радио", Москва, 1966 г.
60. S.Smith, B.G.Orr, R.Kopelman, T.Norris, Ultramicroscopy 57, 173 (1995).
