Распространение одной теоремы Магилла со случая компактов на случай совершенных (=компактных) отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для уравнений (1) с небольшим числом параметров область Go допускает аналитическое и графическое описание. В этих случаях применение теоремы 2 оказывается особенно эффективным.

П р и м е р 1. Пусть в уравнении (1) n = 1. Приведем условия однозначной разрешимости в Do(R) уравнения

x(t) = -ax(t — h), t € R. (4)

Следствие! Уравнение (4) имеет в D0(R) только тривиальное решение тогда и только тогда, когда параметры a = \а\вг^ и h таковы, что — П ^ф ^ П, 0 ^\a\h ^ П, — \ф\-

П р и м е р 2. Пусть в уравнении (1) n = 2, hi =0. Приведем условия однозначной разрешимости в Do(R) уравнения

x(t) = —ax(t) — bx(t — h), t € R, (5)

где a,b € R.

Следствие 2. Уравнение (5) имеет в D0(R) только тривиальное решение тогда и только тогда, когда параметры ah и bh таковы, что —ah ^ bh ^ site, где в — наименьший положительный корень уравнения ah = —в ctg в, 0 ^ в <п.

Область G0 для примера 1 получена в [2], для примера 2 в [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 29-32.

3. Андронов А.А., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 13-01-96050).

Balandin A.S. ON SOLVABILITY SOME CLASSES OF DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS ON THE LINE

The solution of some differential-difference equations on the line is obtained. For this equations the solvability on the line problem is associated with stability on the half-line problem.

Key words: differential-difference equations; solvability; stability.

УДК 515.12

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ МАГИЛЛА СО СЛУЧАЯ КОМПАКТОВ НА СЛУЧАЙ СОВЕРШЕННЫХ (= КОМПАКТНЫХ)

ОТОБРАЖЕНИЙ

© И.В. Блудова

Ключевые слова: совершенное (компактное) отображение; гомеоморфизм.

В 1968 г. Магилл доказал (неявно), что компакты X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда частично упорядоченные множества всех их непрерывных отображений на компакты изоморфны. Эта теорема распространяется на компактные (= совершенные) отображения в категориях треугольных и четырехугольных коммутативных диаграмм непрерывных отображений.

2451

Результаты этого сообщения получены совместно с Э.Н. Беляновой.

Ниже под пространством понимается топологическое Т2 -пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

Непрерывные отображения «на» Л и ц пространства X будут отождествляться при помощи (однозначно определенного) гомеоморфизма Н: ЛХ /лХ, если таковой существует. После такого отождествления мы получаем множество С (X), элементы которого также будут называться непрерывными отображениями "на" рассматриваемого пространства X. Для Л еС^) положим 1т(Л) = Л(X).

Для Л, л еС(X) будем считать Л < л, если существует непрерывное отображение Н : 1т(л) ^ 1т(Л), такое, что Л = Н о ц. Очевидно, С(X) есть частично упорядоченное (=ЧУ) множество. В дальнейшем V(X) обозначает ЧУ подмножество всех совершенных отображений из С(X).

В 1968 г. К.Д. Магилл (неявно) доказал теорему (кратко, ТМ) о том, что два компакта X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ЧУ множества С(X) и С (У) . Ниже ТМ распространяется на компактные (= совершенные) отображения как в категории TOPz (треугольных коммутативных диаграмм), так и в категории МАР (четырехугольных коммутативных диаграмм).

Напомним, что взаимно однозначное (возможно, не непрерывное) отображение пространств д : X X' называется к -гомеоморфизмом, если для любых компактов С С X и О С У ограничения д\с и д-1\о являются топологическими вложениями. Напомним еще, что пространство X называется к -пространством, если замкнутость Г С X в X равносильна тому, что для любого компакта С в X пересечение Г П С замкнуто в С. Очевидно, любой к -гомеоморфизм к -пространств является гомеоморфизмом.

В 2001 г. Блудова, Нордо и Пасынков, обобщая ТМ, доказали следующее утверждение: Для пространств XI, X2 существует к -гомеоморфизм Нг : XI ^ X2, если существует изоморфизм ЧУ множеств г: V(XI) (X2). Для гомеоморфных пространств XI, X2

ЧУ множества V(XI), V^2) изоморфны. Гомеом,орфность к -пространств XI и X2 равносильна изоморфности ЧУ множеств V(XI) и V(X2).

Пусть У есть подпространство пространства 2.

Напомним, что для отображения Л еС(2) а) коограничение еот(Л\у) его ограничения на У есть отображение У на ЛУ, такое, что сог(Л\у)(г) = Л(г) для всех г е У, а Ь) его кограничение согЛ есть cor(Л\z).

Для замкнутого множества У в 2 определим отображение cor(\zу): V(2) -^V(У), полагая сог(\^ )(Л) = сог(Л\у), Л еV (2).

Пусть отображение Г: X 2 совершенно. Тогда для любого Л еV (2) определено отображение Г *(Л) = сог(Л о Г) из V (X) и, следовательно, определено отображение Г *: V (2) ^ V(X). (Отметим, что Г*(Л) = Л о Г), если Г есть отображение "на".) Положим V(X,Г) = Г*^(2)) и гР = согГ*.

Объектами категории МАР являются все непрерывные отображения и для непрерывных отображений /г: XI У%, г = 1, 2, морфизм /1 в /2 есть пара (Л, л) непрерывных отображений Л: XI ^ X2 и л : У1 ^ У2, таких, что л ◦ /1 = /2 о Л. Пара (Л, л) (к-) гомеоморфизмов Л: XI X2 и л: У1 У2 называется (к-) гомеоморфизмом /1 на /2 в МАР, если ц, о /1 = /2 о Л.

Объектами категории TOPz являются все непрерывные отображения в пространство 2 и для непрерывных отображений /г: XI 2, г = 1, 2, морфизм /1 в /2 есть непрерывное отображение Л : Xl X2, такое, что /1 = /2 о Л. Соответственно, (к-) гомеоморфизм Л : X1 ^ X2 есть (к-) гомеоморфизм /1 на /2 в TOPZ, если /1 = /2 о Л.

2452

Непрерывные отображения f1 и f2 называются (к—) гомеоморфными в MAP (соответственно, в TOPz ), если существует (к—) гомеоморфизм fi на f2 в MAP (соответственно, в TOPz ).

Теорема 1. Пусть отображения Гг: Хг ^ 2г совершенны Уг = Рг(Хг), fi = cor(Fi), i = 1, 2, и min{\y1\, \У2\} > 2. Тогда

(a) F1 и F2 к -гомеоморфны в MAP, если

(*) существует изоморфизмы ЧУ множеств i12x : P(Х1) ^P(Х2), i12z : P(Z1) ^

^P(Z2) и i12Y : P(У1) ^P(У2), такие, что

(1) i12Y ° COr(\z1Y1 ) = COr(\z2Y2 ) ° i12Z и

(2) i12X ° f1 = f2 ° i12Y■

(в) Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в MAP влечет условие (*).

(7) Если У1 и У2 - к -пространства, то f1 и f2 гомеоморфны в MAP тогда и

только тогда, когда выполняется условие (*).

Для Z1 = Z2 = Z и i12z = idp(z) из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Пусть отображения Fг: Хг ^ Z совершенны, Уг = F.iX^, f = cor(Fi), i = 1, 2, и тт^У^, \У2\} > 2. Тогда

(a') F1 и F2 - к -гомеоморфны в TOPz, если

(*') существуют изоморфизмы ЧУ множеств i12x : P(Х1) ^P(Х2) и i12Y : P(У1) ^ ^P(У2), такие, что

(1') i12Y ° COr(\zYi )= COr(\zY2 ) и

(2) i12X ° f1 = f2t ° i12Y■

(в') Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в TOPz влечет условие (*').

(7') Если У1, У2 - к -пространства (это так для к -пространства Z), то гомеоморфизм f1 и f2 в TOPz равносилен выполнению условия (*').

Bludova I.V. EXTENSION OF MAGILL'S THEOREM FROM SPACES TO MAPPINGS

In 1968 Magill proved (implicitly) that compacta X and Y are homeomorphic iff the partially ordered sets of all their continuous maps onto compacta are isomorphic. This theorem is extended to compact (=perfect) maps in categories of triangular and quadrangular commutative diagrams of continuous maps.

Key words: perfect (= compact) mapping; homeomorphism.

УДК 517.929

МИНИМАЛЬНЫЕ ПЕРИОДЫ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЛИПШИЦЕВЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

© Е.И. Бравый

Ключевые слова: минимальные периоды; функционально-дифференциальные уравнения; уравнения высших порядков.

Получены неулучшаемые оценки минимальных периодов периодических решений функционально-дифференциальных уравнений высших порядков.

2453