CC BY
27
Непрерывные отображения f1 и f2 называются (к—) гомеоморфными в MAP (соответственно, в TOPz ), если существует (к-) гомеоморфизм fi на f2 в MAP (соответственно, в TOPz )•
Теорема 1. Пусть отображения Fi: Xi ^ Zi совершенны Yi = Fi(Xi), fi = cor(Fi), i = 1, 2, и min{\Y1\,\Y2\} > 2. Тогда
(a) F1 и F2 к -гомеоморфны в MAP, если
(*) существует изоморфизмы ЧУ множеств i12x : V(X\) ^V(X2), i12z : V(Z1) ^
^V(Z2) и i12Y : V(Y\) ^ V(Y2), такие, что
(1) i12Y ° COr(\z1Y1 ) = COr(\z2Y2 ) ° i12Z и
(2) i12X ° f1 = f2 ° i12Y■
(в) Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в MAP влечет условие (к).
(y) Если Y1 и Y2 - к -пространства, то f1 и f2 гомеоморфны в MAP тогда и
только тогда, когда выполняется условие (к).
Для Z1 = Z2 = Z и i12z = idp(z) из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Пусть отображения Fi: Xi ^ Z совершенны, Yi = Fi(Xi), fi = cor(Fi), i = 1, 2, и min{\Y1\,\Y2\} > 2. Тогда
(a') F1 и F2 - к -гомеоморфны в TOPz, если
(-к1) существуют изоморфизмы ЧУ множеств i12x : V(X\) ^ V(X2) и i12Y : V(Y\) ^ ^ V(Y2), такие, что
(1') i12Y ° COr(\zYi ) = COr(\zY2 ) и (2) i12X ° f1 = f2t ° i12Y.
(в') Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в TOPz влечет условие (к').
(y') Если Y1, Y2 - к -пространства (это так для к -пространства Z), то гомеоморфизм f1 и f2 в TOPz равносилен выполнению условия (к').
Bludova I.V. EXTENSION OF MAGILL’S THEOREM FROM SPACES TO MAPPINGS In 1968 Magill proved (implicitly) that compacta X and Y are homeomorphic iff the partially ordered sets of all their continuous maps onto compacta are isomorphic. This theorem is extended to compact (=perfect) maps in categories of triangular and quadrangular commutative diagrams of continuous maps. Key words: perfect (= compact) mapping; homeomorphism.
УДК 517.929
МИНИМАЛЬНЫЕ ПЕРИОДЫ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЛИПШИЦЕВЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ © Е.И. Бравый
Ключевые слова: минимальные периоды; функционально-дифференциальные уравнения; уравнения высших порядков.
Получены неулучшаемые оценки минимальных периодов периодических решений функционально-дифференциальных уравнений высших порядков.
2453
Дж. Йорк в своей пионерской работе [1] получил неулучшаемую оценку периодов Т непостоянных периодических решений системы автономных уравнений
x(t) = f (x(t)), t € R, x(t) € Rm,
с функцией f : Rm ^ Rm, удовлетворяющей условию Липшица с константой L относительно евклидовой нормы: Т ^ 2n/L. Эта оценка дает минимальное время, требуемое объекту, описываемому системой липшицевых обыкновенных дифференциальных уравнений с константой Липшица L, для возвращения в исходное состояние. Для автономных уравнений n -го порядка
x(n)(t) = f (x((t)), t € R,
Дж. Мовен и В. Вальтер [2] получили аналогичную неулучшаемую оценку периода: Т ^ ^ 2n/L1/n. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений неулучшаемые оценки минимального периода впервые даны в работе [3].
Оценки минимальных периодов неавтономных функционально-дифференциальных уравнений изучались, в частности, в работах [4-6]. А.А. Зевин получил неулучшаемую оценку периодов для уравнения
x(n)(t) = f (х(т(t)), t € R, (1)
при кусочно-непрерывной функции т : R ^ R и функции f : Rm ^ Rm, удовлетворяющей условию Липшица
max \fi(y) - fi(z)\ ^ L max \yi - zi\, y,z € Rm, (2)
i=1,...,m i=1,...,m
при n = 1 [5]: Т ^ 4/L, и при произвольном четном n (совместно с М.А. Пинским [6]): Т ^ ^ a(n)/L1/n, где наилучшие константы a(n) определялись с помощью решений некоторой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка.
Здесь мы для неавтономного функционально-дифференциального уравнения, более общего, чем уравнение (1), в явном виде находим неулучшаемые константы в оценках минимальных периодов периодических решений.
Рассмотрим эквивалентную периодическую краевую задачу для системы m функционально-дифференциальных уравнений n -го порядка
x(n)(t) = (Fx)(t), t € [0,Т], x(i)(0) = x(i)(T), i = 0,...,n - 1, (3)
где решение x принадлежит пространству ACn_1([0,T], Rm). Для этой задачи находим условия, при которых существует непостоянное решение. Эти условия, в силу эквивалентности задачи (3) и соответствующей задачи о периодических решениях на оси, дают возможность оценить минимальный период непостоянных периодических решений исходной задачи.
Будем предполагать, что для оператора F : С([0,Т], Rm) ^ Ьте([0,Т], Rm) существует такая положительная постоянная L € R, что для всех функций x € С([0, Т], Rm) выполнено неравенство
max vraisup (Fx)i(t) - vraiinf (Fx)i(t)\ ^ L max I max xi(t) - min xi(t)} . (4)
i=1,...,m\ tG[0,T] te[0,T] I i=1,---,m \t£[0,T] t€[0,T] )
Если в задаче (3) оператор F определен равенством (Fx)(t) = f (x(t(t))), t € [0,Т], где т : [0, Т] [0, Т] измеримая функция, то из условия (4) следует, что функция f : Rm Rm
является липшицевой и удовлетворяет неравенству (2).
2454
Определим рациональные константы Kn, n = 1, 2,..., равенствами
^ (2n+l - 1)\Bn+1\ „ \En,
Kn =---------—------ —, если n нечетное, Kn =------- , если n четное,
n 2n-1(n + 1)! n 4nn!
где Bn — числа Бернулли, En — числа Эйлера.
Константы Kn связаны с известными константами Фавара. Имеем [7]: K1 = 1/4, K2 = = 1/32, K3 = 1/192, K4 = 5/6144, K5 = 1/7680, K6 =61/2949120.
Т е о р е м а 1. Если оператор F удовлетворяет неравенству (4) и периодическая задача (3) имеет непостоянное решение, то
Т ^ (LKn)1/n.
Константы Kn в неравенстве (5) неулучшаемые. Также получены неулучшаемые оценки периодов решений для операторов F, действующих в пространство суммируемых функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yorke J. Periods of periodic solutions and the Lipschitz constant // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 22. P. 509-512.
2. Mawhin J., Walter W. A General Symmetry Principle and Some Implications // J. Math. Anal. Appl. 1969. V. 186. P. 778-798.
3. Lasota A., Yorke J.A. Bounds for periodic solutions of differential equations in Banach spaces // J. Differential Equations. 1971. V. 10. P. 83-91.
4. Ronto A. A note on the periods of periodic solutions of some autonomous functional differential equations // Proc. 6th Coll. Qualitative Theory of Diff. Equ., Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2000. V. 25. P. 1-15.
5. Зевин А.А. Точные оценки периодов и амплитуд периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Доклады АН. 2007. Т. 415, № 2. С. 160-164.
6. Zevin A.A., Pinsky M.A. Minimal periods of periodic solutions of some Lipschitzian differential equations // Appl. Math. Lett. 2009. V. 22. P. 1562-1566.
7. Бравый Е.И. О наилучших константах в условиях разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 6. P. 773-780.
Braviy E.I. MINIMAL PERIODS OF PERIODIC SOLUTIONS TO NON-AUTONOMIC FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH LIPSCHITZ NONLINEARITIES
Unimprovable estimates of minimal periods of periodic solutions to functional differential equations are obtained.
Key words: minimal periods; functional differential equations; higher order differential equations.
УДК 517.968.4
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ © Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, А.И. Шиндяпин
Ключевые слова: интегральные уравнения УоЬегга с запаздыванием; интегральные неравенства.
Исследуется интегральное уравнение с запаздыванием относительно суммируемой функции, определенной на бесконечном промежутке «времени», и возможно неограниченном множестве «пространственных» переменных. Данное уравнение описывает нейронную модель коры головного мозга. Получено утверждение о неравенстве, гарантирующее существование решения, меньшего заданной суммируемой функции.
2455
