Пневмонии при ревматических заболеваниях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Непрерывные отображения f1 и f2 называются (к—) гомеоморфными в MAP (соответственно, в TOPz ), если существует (к-) гомеоморфизм fi на f2 в MAP (соответственно, в TOPz )•

Теорема 1. Пусть отображения Fi: Xi ^ Zi совершенны Yi = Fi(Xi), fi = cor(Fi), i = 1, 2, и min{\Y1\,\Y2\} > 2. Тогда

(a) F1 и F2 к -гомеоморфны в MAP, если

(*) существует изоморфизмы ЧУ множеств i12x : V(X\) ^V(X2), i12z : V(Z1) ^

^V(Z2) и i12Y : V(Y\) ^ V(Y2), такие, что

(1) i12Y ° COr(\z1Y1 ) = COr(\z2Y2 ) ° i12Z и

(2) i12X ° f1 = f2 ° i12Y■

(в) Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в MAP влечет условие (к).

(y) Если Y1 и Y2 - к -пространства, то f1 и f2 гомеоморфны в MAP тогда и

только тогда, когда выполняется условие (к).

Для Z1 = Z2 = Z и i12z = idp(z) из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Пусть отображения Fi: Xi ^ Z совершенны, Yi = Fi(Xi), fi = cor(Fi), i = 1, 2, и min{\Y1\,\Y2\} > 2. Тогда

(a') F1 и F2 - к -гомеоморфны в TOPz, если

(-к1) существуют изоморфизмы ЧУ множеств i12x : V(X\) ^ V(X2) и i12Y : V(Y\) ^ ^ V(Y2), такие, что

(1') i12Y ° COr(\zYi ) = COr(\zY2 ) и (2) i12X ° f1 = f2t ° i12Y.

(в') Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в TOPz влечет условие (к').

(y') Если Y1, Y2 - к -пространства (это так для к -пространства Z), то гомеоморфизм f1 и f2 в TOPz равносилен выполнению условия (к').

Bludova I.V. EXTENSION OF MAGILL’S THEOREM FROM SPACES TO MAPPINGS In 1968 Magill proved (implicitly) that compacta X and Y are homeomorphic iff the partially ordered sets of all their continuous maps onto compacta are isomorphic. This theorem is extended to compact (=perfect) maps in categories of triangular and quadrangular commutative diagrams of continuous maps. Key words: perfect (= compact) mapping; homeomorphism.

УДК 517.929

МИНИМАЛЬНЫЕ ПЕРИОДЫ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЛИПШИЦЕВЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ © Е.И. Бравый

Ключевые слова: минимальные периоды; функционально-дифференциальные уравнения; уравнения высших порядков.

Получены неулучшаемые оценки минимальных периодов периодических решений функционально-дифференциальных уравнений высших порядков.

2453

Дж. Йорк в своей пионерской работе [1] получил неулучшаемую оценку периодов T непостоянных периодических решений системы автономных уравнений

X(t) = f (x(t)), t € R, x(t) € Rm,

с функцией f : Rm ^ Rm, удовлетворяющей условию Липшица с константой L относительно евклидовой нормы: T ^ 2n/L. Эта оценка дает минимальное время, требуемое объекту, описываемому системой липшицевых обыкновенных дифференциальных уравнений с константой Липшица L, для возвращения в исходное состояние. Для автономных уравнений n -го порядка

x(n)(t) = f (x((t)), t € R,

Дж. Мовен и В. Вальтер [2] получили аналогичную неулучшаемую оценку периода: T ^ ^ 2n/L1/n. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений неулучшаемые оценки минимального периода впервые даны в работе [3].

Оценки минимальных периодов неавтономных функционально-дифференциальных уравнений изучались, в частности, в работах [4-6]. А.А. Зевин получил неулучшаемую оценку периодов для уравнения

x(n)(t) = f (х(т(t)), t € R, (1)

при кусочно-непрерывной функции т : R ^ R и функции f : Rm ^ Rm, удовлетворяющей условию Липшица

max \fi(y) - fi(z)| ^ L max \yi - Zi\, y,z € Rm, (2)

i=1,...,m i=1,...,m

при n = 1 [5]: T ^ 4/L, и при произвольном четном n (совместно с М.А. Пинским [6]): T ^ ^ a(n)/L1/n, где наилучшие константы a(n) определялись с помощью решений некоторой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка.

Здесь мы для неавтономного функционально-дифференциального уравнения, более общего, чем уравнение (1), в явном виде находим неулучшаемые константы в оценках минимальных периодов периодических решений.

Рассмотрим эквивалентную периодическую краевую задачу для системы m функционально-дифференциальных уравнений n -го порядка

x(n\t) = (Fx)(t), t € [0,T], x(i)(0) = x(i)(T), i = 0,...,n - 1, (3)

где решение x принадлежит пространству ACn_1([0,T], Rm). Для этой задачи находим условия, при которых существует непостоянное решение. Эти условия, в силу эквивалентности задачи (3) и соответствующей задачи о периодических решениях на оси, дают возможность оценить минимальный период непостоянных периодических решений исходной задачи.

Будем предполагать, что для оператора F : C([0,T], Rm) ^ Lœ([0,T], Rm) существует такая положительная постоянная L € R, что для всех функций x € C([0, T], Rm) выполнено неравенство

max vrai sup (Fx)i(t) — vrai inf (Fx)i(tM ^ L max I max xi(t) — min xi(t)} . (4)

i=1,...,m\ tG[0,T] t€[0,T] I i=1,...,m \ t&[0,T] t£[0,T] )

Если в задаче (3) оператор F определен равенством (Fx)(t) = f (x(t(t))), t € [0,T], где

т : [0, T] [0, T] измеримая функция, то из условия (4) следует, что функция f : Rm Rm

является липшицевой и удовлетворяет неравенству (2).

2454

Определим рациональные константы Kn, n = 1, 2,, равенствами

^ (2n+l - 1)\Bn+i\ т, \En,

Kn =---------—------ —, если n нечетное, Kn =-------- , если n четное,

n 2n-l(n + 1)! n 4nn!

где Bn — числа Бернулли, En — числа Эйлера.

Константы Kn связаны с известными константами Фавара. Имеем [7]: К\ = 1/4, K2 = = 1/32, K3 = 1/192, K4 = 5/6144, K5 = 1/7680, K =61/2949120.

Т е о р е м а 1. Если оператор F удовлетворяет неравенству (4) и периодическая задача (3) имеет непостоянное решение, то

Т ^ (LKn)1/n. ^

Константы Kn в неравенстве (5) неулучшаемые. Также получены неулучшаемые оценки периодов решений для операторов F, действующих в пространство суммируемых функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Yorke J. Periods of periodic solutions and the Lipschitz constant // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 22. P. 509-512.

2. Mawhin J., Walter W. A General Symmetry Principle and Some Implications // J. Math. Anal. Appl. 1969. V. 186. P. 778-798.

3. Lasota A., Yorke J.A. Bounds for periodic solutions of differential equations in Banach spaces // J. Differential Equations. 1971. V. 10. P. 83-91.

4. Ronto A. A note on the periods of periodic solutions of some autonomous functional differential equations // Proc. 6th Coll. Qualitative Theory of Diff. Equ., Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2000. V. 25. P. 1-15.

5. Зевин А.А. Точные оценки периодов и амплитуд периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Доклады АН. 2007. Т. 415, № 2. С. 160-164.

6. Zevin A.A., Pinsky M.A. Minimal periods of periodic solutions of some Lipschitzian differential equations // Appl. Math. Lett. 2009. V. 22. P. 1562-1566.

7. Бравый Е.И. О наилучших константах в условиях разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 6. P. 773-780.

Braviy E.I. MINIMAL PERIODS OF PERIODIC SOLUTIONS TO NON-AUTONOMIC FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH LIPSCHITZ NONLINEARITIES

Unimprovable estimates of minimal periods of periodic solutions to functional differential equations are obtained.

Key words: minimal periods; functional differential equations; higher order differential equations.

УДК 517.968.4

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ © Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, А.И. Шиндяпин

Ключевые слова: интегральные уравнения УоЬегга с запаздыванием; интегральные неравенства.

Исследуется интегральное уравнение с запаздыванием относительно суммируемой функции, определенной на бесконечном промежутке «времени», и возможно неограниченном множестве «пространственных» переменных. Данное уравнение описывает нейронную модель коры головного мозга. Получено утверждение о неравенстве, гарантирующее существование решения, меньшего заданной суммируемой функции.

2455