Распространение интенсивной сферической волны в нелинейно-сжимаемой пластической среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Проведенные исследования показали эффективность применения комбинированной разделки отверстий при сборке неразъемного соединения труба-трубная решетка с энергией ЭВП по отношению к известным соединениям, собираемым по традиционным технологиям.

БИБЛИГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Определение параметров соударения при сварке труб с трубными решётками электрическим взры-

вом проводника/ В.Г. Дмитриев, В.П. Колмаков, В.М. Кудинов - Автомат. сварка, 1981, № 9, С. 3335.

2. Авторское свидетельство № 1269373. Способ холодной сварки труб/ В.П. Колмаков, В.Г. Дмитриев, В.Т. Платоненко и др. - 1984.

3. Способы выполнения соединения труба-решётка теплообменных аппаратов/ В. П. Колмаков, Е.М. Бузинаева, М.В. Гречнева. - В кн.: Технологическая механика материалов: сб. докл. Региональной НТК, Иркутск, изд-во ИрГТУ, 2007, С. 71-75.

УДК 531: 622.233: 622.235 Калимолдаев Максат Нурадилович,

д.ф.-м.н., профессор, директор Института проблем информатики и управления МОН

Республики Казахстан, e-mail: [email protected] Айдосов Галым Алаярбекович, д.т.н., профессор Казахской Академии транспорта и коммуникации им. Тынышпаева, e-mail: [email protected]

Тойбаев Серикбай Несипбекович,

к.т.н., доцент Алматинского технологического университета, e-mail: [email protected]

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИНТЕНСИВНОЙ СФЕРИЧЕСКОИ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНО-СЖИМАЕМОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

M.N. Kalimoldayev, G.A. Aidossov, S.N. Toibaev

DISTRIBUTION OF AN INTENSIVE SPHERICAL WAVE IN A NONLINEAR -COMPRESSIBLE PLASTIC MEDIUM

Аннотация. Рассмотрена задача о распространении интенсивной сферической взрывной волны в грунте под действием приложенной к границе каверны монотонно убывающей нагрузки высокой интенсивности, которая возникает в ближней зоне взрыва вследствие газо- и термодинамических процессов. На основе полученных аналитических формул проведены расчеты параметров среды на фронте ударной волны на ЭВМ и сопоставлены напряжения, массовые скорости пластической и упругопластической сред при малых и конечных деформациях.

Ключевые слова: сферическая взрывная волна, нагрузка, газо- и термодинамические процессы, фронт ударной волны, напряжение, массовые скорости, пластическая среда, упругопласти-ческая среда.

Abstract. The problem ofpropagation of an intensive spherical blast wave in the soil under the applied to the boundary of the cavity of a monotonically decreasing the load of high intensity, which arises in

the near zone of explosion due to gas and thermody-namic processes. On the basis of analytical formulas calculated the parameters of the medium at the front a shock wave on the computer and compares the stress, the mass speeds of the plastic and elastic-plastic media at small and finite deformations.

Keywords: spherical blast wave, load, gas and thermodynamic processes, front a shock wave, stress, mass speeds, plastic media, elastic-plastic media.

Рассматривается задача о распространении интенсивной сферической взрывной волны в грунте под действием приложенной к границе каверны с первоначальным радиусом r0 монотонно убывающей нагрузки ст0 (t) высокой интенсивности, которая возникает в ближней зоне взрыва вследствие газо- и термодинамических процессов. Грунт при уровне напряжений в несколько килобар моделируется либо «пластическим газом» [1], либо упругопластической средой с жесткой характеристикой разгрузки с учетом необратимых процессов

Современные технологии. Механика и машиностроение

и конечных деформаций. При изучении конечных упругопластических деформаций грунта, в отличие от [1-8], используется деформационная теория [9] с обобщенными определяющими функциями а = а(е) , аг = аг (е, si), где е, si, а, а - первые и вторые инварианты тензоров деформаций и напряжений. Причем необратимый процесс разгру-жения среды по интенсивности напряжений а согласно [10], принимается зависящим только от е{ по линейному закону с модулем Юнга Ег-. Кроме того, рассмотрен случай, когда а = а (а).

Функции а(е) и аг (е, ег) в процессе на-гружения среды представляются в виде [10]

а(е) = « - «2е)е, аг (е, ег) = ан (ег) -(а(е) + 25) ^ н

[аг(ег ) -а, (е, )]

, (1)

15

при е < 0,

а(е) = («1 + «2е)е, аг (е, ег) = аг (ег) + (а(е) + 25) ь лл

[аг (ег) -а, (е,)]

(2)

15

при е > 0,

а е)=е—ОО) ь- "■°4) .20,04 -

0,02 0,03

(е - 0,01) (е - 0,04)

+

0,02 0,01 (е - 0,01) (е - 0,03) 0,03 0,01

• 27,18 +

• 28,54

(3)

(е ) = (е - 0,03) (е- 0,04) • 12,84 -0,02 0,03

(е - 0,01) (е - 0,04)

+ -

0,02 0,01 (е - 0,01) (е - 0,03) 0,03 0,01

• 17,23 +

• 18,84

(4)

при 0,01 <ег < 0,03,

аЬ (е ) = 27,69 + 170,2108(е - 0,033) аН (е ) = 17,7 + 170,2108(е - 0,033) при si > 0,033,

где ах, а2 - заданные положительные постоянные коэффициенты.

Для решения задачи применяется аналитический подход, который отличается от используемых в работах [1, 9] методов и позволяет свести задачу к решению интегродифференциального уравнения относительно скорости фронта ударной

волны Я(г). Решение задачи построено для заданной произвольно убывающей нагрузки а0 (г) .

На основе получаемых аналитических формул проводятся расчеты параметров среды на фронте ударной волны (УВ) на ЭВМ и сопоставления напряжений, массовой скорости пластической и упругопластической сред при малых и конечных деформациях, а также при е*(г) = е* .

Пусть на первоначальную границу сферической каверны г = г0 приложена интенсивная, монотонно убывающая нагрузка а0 (г) .

В случае рассмотрения задачи в рамках модели «пластического газа» при выполнении первого уравнения (1) с учетом

а(е) = агг = аее=а„ = Р, е(1 -Р0> Р) > 0 , (Р -давление, р0 - начальная плотность среды) в грунте будет распространяться сферическая УВ г = Я(г), на фронте которой грунт мгновенно нагружается нелинейным образом, а за ним в области возмущения происходит необратимая жесткая разгрузка среды, и деформация е зависит только от координаты г и не зависит от времени, т.е. е = е*(г) .

Уравнения движения, неразрывности, состояния среды, соотношения на фронте г = Я(г) и граничное условие (начальные условия нулевые) в переменных Лагранжа имеют вид [9]

Р

д2 и ( г + и Л2 дР 1 д

0 д*2

-,--(г + и)3 = г \

г ) дЯ 3 дг Р

(5)

е = 1 = е (г) > 0, Р

и*(г) = Я(1)е\ Р* =р0 и*(г) Я(г),

Р * =«е* +а2е*2, ( Я(г) = дЯ

(6)

при г = Я(г),

Р(г, г) = а0 (г), при г = г, г > 0, (7)

где и - перемещение, р - плотность, Р - давление; параметры среды, относящиеся к фронте, обозначены сверху звездочкой.

Подставляя третье уравнение (5) во второе и интегрируя по г , получим

Г г 11/3

и(г, г) = Ы[1 -е*(г)]г2^ +с(гП - г . (8)

Интегрирование первого уравнения (5) по г от г = г до г = Я(г) с учетом (7) и (8) дает

г

0

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

P*(t) -a0(t) =

Р0

9 [c

R(t) I Г [c(t)\2 J Г 2 Ы[1 -8(Г)\Г

dr + c(tU dr - (9)

r0 I r0

_шш^

s*(t), поверхность сферической волны г = R(t) в первом приближении представляется уравнением г = R(t) « Г + R(0)t • (13)

Справедливость данного приближения (13) подтверждена в [11] расчетами аналогичной задачи в случае малой деформации грунта и результатами предлагаемой работы.

Кроме того, при необходимости выражение (13) может быть уточнено с помощью метода последовательных приближений.

Таким образом, из (11) с учетом третьего где штрих сверху означает производную по аргу- уравнения (6) (12) (13) и стига^ что

менту. £*( + R(q)t) = s*(t), получим интегро-

Учитывая, что на фронте волны г = R(t) пе- 0

дифференциальное уравнение вида

ремещение u(r, t) = 0, из (8) имеем

cЧО

3

R(T )

J Г2 Ы[1 - s * (r)\r2dr + c(t)

dr

R(t )

c(t) = R3(t) - 3 J[1 -s*(r)]r 2dr .

Го

Тогда (9) с учетом (10) принимает вид

dR(t) _ dt

{- P(t )-ao(t ) + 2 R4 (t ) R(t )sn (t ) *

= Ро_

R2(t)(s\t) + R(t)£s) J r2{R3(t) -

д R ro

R (t) R (t)

* J r2 {R3 (t) - 3 J [1 - s* (r)]r2dr}-113 dr

ro_ro_

R (t )

-3 J [1 - s (r)]r2dr}-413dr

r0

2 R (t) R (t)

2R(t)R (t)s*(t) J r2{R3(t) -3 J [1 -

(10)

R2(t)(s*(t) + R(t) dS-) J r2{R3(t)■ д R ro

-s*(r)]r dr j 4 3 dr

R (t ) .

-3 J [1 - s (r)]r2dr}-413dr

* R (t )

(11)

Из (6) после некоторых преобразований

имеем

1 ■ 2

s\t) = — [Ро R (t) -ai] • a9

(12)

Для того, чтобы подставить (12) в правую часть (11), вместо подынтегральной функции

dR(t )

dt

axs(t ) + Œ2s*2(t ) -&o(t ) + Ро

* R (t)

R2(t)(s\t) + R(t)ds-) J r2{R3(t)

д R ro

R (t)

2R4(t)R(t)s*2(t) J r2{R3(t) -3R(0)*

( R(t )-ro)/R(0)

-3R(0) J [1 -s*(t)-\(r{

+

(r-ro)/R (0)

( R (t )-ro)/R (0)

*

J [1 - s* (t)\(r + R(0)t f dt}-1'3 dr

(r-Г0)/R (0)

+R(0)t )2 dt}-4'3 dr

2 R (t)

2R(t) R (t~)s*(t) J r2{R3 (t)

R2(t)(s*(t) + R(t)s) J r2{R3(t)

д R r

* R (t)

( R (t )-r0)/ R (0)

-3R(0) J [1 -s\t)\(r{)

+

(14)

(r-Г0)/ R (0)

( R (t )-r0)/ R (0)

-3R(0) J [1 -s(t)\(r0

(r-Г0)/ R (0)

+R(0)t )2 dt}-4/3 dr

+R(0)t )2 dt}-4/3 dr

r

0

r

0

r

Уравнение (14) решается численно на ЭВМ методом Кутта-Мерсона при выполнении начальных условий

R(0) = r0, R(0) = Ro,

где R o определяется из соотношения (6) с учетом (7) при t = 0.

Если предположить в (6) а2, что соответствует распространению в грунте сферической волны с постоянной скоростью R(t) = a0 = / р0 ,

то из (9) после некоторых преобразований имеем интегродифференциальное уравнение относитель-

* / ч

но s (t), которое также решается численно.

В случае s*(t) = s0 = const уравнение (11), в

отличие от предыдущего случая, вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение.

После вычисления координаты R(t) и скорости R(t) фронта волны в зависимости от времени t, из соотношений (6) определяются u* (t),

s*(t) и P*(t) на фронте сферической ударной волны. Далее с использованием (8) и (10) находится перемещение u(r, t), а с учетом первого уравнения (5) - давление P(r, t) среды в области возмущения.

Аналогичные исследования проведены в случае, когда уравнение состояния среды при на-

гружении представляется в виде полинома четвер-

*

той степени относительно s (t) .

БИБЛИГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рахматуллин Х.А., Степанова Л.И. О распространении ударной волны взрыва в грунтах. //Вопросы теории разрушения пород действием взрыва. - М.: Издательство АН СССР, 1958.

2. Лунц Я.Л. Распространение сферических упруго-пластических волн //ПММ, Т. 13, № 1.

3. Зволинский Н.В. Об излучении упругой волны при сферическом взрыве в грунте //ПММ, 1960, - Т. 24, № 1.

4. Григорян С.С., Пачевский Я.А. О действии сильного подземного взрыва в плотной горной породе //ДАН СССР. - 1973, - Т. 212, № 2.

5. Механический эффект подземного взрыва //под ред. М.А. Садовского. - М., 1971.

6. Коротков П.Ф., Просвирнина Б.М. Численное исследование взрыва в упругопластической среде и некоторые вопросы моделирования //ДАН СССР, 1976, - Т.228, № 1.

7. Якупов Р.Г. Сферическая взрывная волна в грунтах //ФГВ, 1976, Т.12, № 5.

8. Сагомонян А.Н., Гарбер П.М. Взрыв сферического слоя заряда в пластически сжимаемой среде //Вестник МГУ. Серия 1. Математика и механика, 1974. № 3.

9. Рахматуллин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев Н.А. Вопросы Динамики грунтов. - М.: Изд-во МГУ, 1964.

10. Ломизе Г.М., Крыжановский А.Л., Петрянин В.Ф. Исследование закономерностей развития напряженно-деформированного состояния песчаного основания при плоской деформации //Основания, фундаменты и механика грунтов, 1972, № 1.

11. Атабаев К., Абдужалилов Ш.Г., Тураев Н.М. О распространении одномерных волн в среде с нелинейной разгрузкой //ДАН Уз.ССР. - 1988, - № 9.

12. Броуд Г.Л. Расчеты взрывов на ЭВМ. Подземные взрывы. - М.: Изд-во МИР, 1975.