О моделировании волновых процессов в пластически деформируемых средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.235: 532.59.001

О МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПЛАСТИЧЕСКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕДАХ

© 2013 г. Р.З. Камалян, С.Р. Камалян

Камалян Рубен Завенович - доктор технических наук, профессор, кафедра математики и вычислительных систем, Академия маркетинга и социально-информационных технологий, ул. Зиповская, 5, г. Краснодар, 350010, e-mail: imsit@imsit.ru.

Kamalyan Ruben Zavenovich - Doctor of Technical Science, Professor, Department of Mathematics and Computer Systems, Academy of Marketing and Social and Information Technologies, Zipovskaya St., 5, Krasnodar, Russia, 350010, e-mail: imsit@imsit.ru.

Камалян Самвел Рубенович - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и прикладной информатики, Краснодарский филиал Российского государственного торгово-экономического университета, ул. Садовая, 17, г. Краснодар, 350002, e-mail: info@kfgteu.ru.

Kamalyan Samvel Rubenovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Head of Department of Mathematics and Applied Informatics, Krasnodar Branch of the Russian State University of Economics and Trade, Sadovaya St., 17, Krasnodar, Russia, 350002, e-mail: info@kfgteu.ru.

Рассмотрены волновые процессы в пластически деформируемых средах. Проанализированы модели, описывающие физические процессы, происходящие при динамическом деформировании зажимающей среды. Поскольку зажимающая среда — сыпучая, то в изучении ее поведения при динамических нагрузках в большинстве случаев опираются на хорошо разработанный аппарат механики сыпучих и пластичных сред. Предложена модель деформации среды в одномерной постановке для решения задачи о взрывной отбойке горной породы в так называемой зажимающей среде. В рамках этой модели получено в замкнутой форме решение задачи о плоской ударной волне разгрузки в среде с естественной и искусственной неоднородностью, которая возникает при ее динамическом деформировании взрывами в предыдущих секциях. Показано примерное распределение деформации среды в этих областях.

Ключевые слова: напряжение, деформация, волновое движение, пластическая волна, ударная волна, неоднородная среда, зажимающая среда.

There are considered the wave processes in plastically deformable medium. There are analyzed models of the physical processes that occur during dynamic deformation of clamping medium. As the matter of fact the clamping medium is the loose. That is why in the most cases, studying its behavior under dynamic loads, basing on a well-developed apparatus of mechanics of loose and plastic medium, considering in the problems, the unsteady wave motion of the medium. There is offered a model of deformation of the medium in one-dimensional formulation for solving the problem of blasting rock in the so-called clamping environment. As part of this model is obtained in closed form solution to the problem of a plane shock wave discharge in the environment with natural and artificial heterogeneity, which occurs when its dynamic deformation bursts in the previous sections. There is shown the approximate distribution ofthe deformation of the medium in these areas.

Keywords: stress, deformation, wave motion, plastic wave, shock wave, inhomogeneous medium, clamp medium.

Приложение достаточно интенсивных нагрузок ко всем реальным средам вызывает их пластическое деформирование, а в специфических условиях - и уплотнение. Чем больше скорость изменения приложенной нагрузки, тем при неизменных размерах деформируемой области среды больше оснований говорить о волновом характере пластического деформирования и уплотнения. Все эти процессы, независимо от конкретных ситуаций, при их исследовании должны рассматриваться с достаточно общих позиций. Только такой подход позволяет вскрыть закономерности изучаемого явления.

Одним из таких конкретных процессов [1] является взрывное разрушение горного массива в сыпучей зажимающей среде (ЗС), пластическое деформирование и уплотнение последней [2].

Поскольку зажимающая среда - сыпучая, то в изучении ее поведения при динамических нагрузках можно опираться на хорошо разработанный аппарат механики сыпучих и пластичных сплошных сред. В общем случае взрыва в системе разработки деформирование ЗС происходит в условиях сложного напряженного состояния. Так как нагрузка, действующая на ЗС со стороны взорванного движущегося массива, быстропеременная, то имеет смысл рассматривать нестационарное волновое движение среды. Связанные с таким движением задачи рассмотрены, например, в [3-7]. Именно эти исследования позволяют в общих чертах описать процессы, происходящие при динамическом деформировании ЗС. Суть их состоит в следующем.

В результате приложения нагрузки в среде начинают распространяться волны напряжений. В зависимости от деформационных свойств среды, ее деформированного состояния и характера приложенной нагрузки это могут быть простые волны, волны сильных разрывов или ударные [6]. Поведение сыпучей среды при сложном напряженном состоянии отличает явление дилатансионного уплотнения или разуплотнения [8]. В зависимости от направления вектора скорости дилатансии в ЗС могут образовываться или не образовываться ударные волны. Особенность дальнейших процессов обусловлена пластическими свойствами среды, т.е. несовпадением кривых нагрузки и разгрузки, последняя из которых более крутая: в завершающей фазе процесса в среде начинают распространяться волны разгрузки [9].

Заметим, что круг рассмотренных нами работ сильно ограничен, так как внимание уделено только плоскому движению среды. Это связано с тем, что при взрывном разрушении горного массива с размерами от нескольких метров по горизонтали до нескольких десятков метров по вертикали движение ЗС, как, пожалуй, нигде в других условиях, приближается к плоскому одномерному.

Модели исследования волновых процессов

В большинстве известных решений принято, что на поверхности среды действует заданное во времени нормальное давление. В [10] - давление продуктов детонации (ПД) при их безволновом адиабатическом расширении. В [4, 7, 9, 11] решаются задачи о проникании и ударе твердых тел по поверхности среды. Во всех отмеченных работах рассматривается изоэнтро-пийное движение (в том числе и с ударными волнами) баротропных сред. В [4, 5, 7, 10, 12] использована модель среды с жесткой разгрузкой, получившая название «пластического газа» [13]. Модель жесткой разгрузки позволяет получать замкнутые формы решения даже в том случае, когда кривая диаграммы одноосного деформирования обращена своей выпуклостью к оси деформации, т.е. имеет участок с

ё V

äs1

> 0, где а - напряжение; s - деформация.

Удобства, доставляемые принятием жесткой разгрузки, отмечались в [13].

Модель «пластического газа» применена также в [14] для решения задачи об адиабатическом расширении в среде ПД и распространении ударной волны

разгрузки (УВР). Среда с

ä а

äs2

> 0 в области нагрузки

имела начальное упрочнение <у . Изменение плотности среды на фронте волны учтено приближенно: среда разбивалась на слои, в каждом из которых плотность считалась постоянной. Такой приближенный подход позволяет не конкретизировать аналитически модель и решать задачу для среды с любой диаграммой деформации.

В [7, 15] сделан общий анализ волнового движения среды, обладающей жесткой разгрузкой, для произволь-

ного вида нагрузочной ветви

а = iy{s), > 0, а_= 0.

äs

На границе среды задано внезапно приложенное и затем монотонно убывающее давление. Показано преимущество аппроксимации диаграммы одноосного сжатия степенной функцией [15], так как только в этом случае задача сводится к линейному дифференциальному уравнению для квадрата скорости фронта УВР. Рассмотрено отражение волны от жесткой и массивной подвижной преград, когда среда за последней физически линейна. В [5] исследована плоская пластическая волна, падающая нормально на плоскую границу раздела двух полупространств. Определены коэффициенты отражения и преломления.

С точки зрения взрывной отбойки в ЗС представляет определенный интерес задача о проникании в пластическую среду цилиндра с плоским срезом [7]. Элементарное решение найдено в предположении,

что плотность среды, изменяясь скачком на фронте УВР, остается до конца движения постоянной.

В [6] рассмотрено распространение УВР при постоянной деформации на фронте. Как только напряжение на фронте волны снизится до некоторого значения, среда становится упругой. В [10] использована аналогичная модель среды с той только разницей, что 0 , а давление на поверхности полупространства сначала монотонно возрастает, а затем также убывает.

В [16] получено в замкнутой форме решение задачи о плоской УВР для следующей модели среды:

при нагрузке:

а = Es,

если

0 <s<s„

а = ау + (а, - ау )(s - £у )(£ - sy, если £>£у;

при разгрузке для всех s > 0 s(x, t) = sm (x), если cr(x, t) <am (x), где sm и am - максимумы деформации и напряжения, испытанные точкой среды с координатой Лагранжа x в течение процесса нагрузки.

Распределение деформаций в области, занятой УВР, определено системой двух уравнений, в которых время играет роль параметра. Решение в [16] отличается от решения в [15] более сложной моделью среды.

Физические процессы, происходящие при взрывном деформировании ЗС, аналогичны процессам, происходящим при уплотнении грунтов трамбовками. Последнему вопросу посвящена работа [4], в которой решена задача об ударе жестким телом и распространении плоской волны разгрузки сильного разрыва в среде, описываемой моделью Прандтля с жесткой разгрузкой в пластической области. При этом фронт волны совпадает с прямолинейной характеристикой. Задача решена и для случая повторяющихся ударов, т.е. фактически рассмотрено распространение волны в неоднородной среде, неоднородность которой обусловлена явлением упрочнения.

В [11] использована модель Прандтля с упругой разгрузкой. Получены формулы для распределения остаточных деформаций по глубине грунта и для остаточной осадки его поверхности. Согласно этим формулам, глубина уплотнения и остаточная осадка грунта прямо пропорциональны массе трамбовки. При постоянной массе трамбовки построена зависимость остаточной осадки U от скорости удара V.

Эта зависимость такова, что

d 2U dVn2

> 0.

а , среда остается абсолютно жесткой, а при возникновении пластической волны напряжение на ее фронте постоянно и равно а .

В [19] предлагается математическая модель, соединяющая в себе процессы взрывного разрушения массива и деформирования ЗС. Процесс разрушения массива рассматривается в рамках модели [20], что необходимо для создания связи между параметрами взрыва одиночного цилиндрического заряда и деформациями ЗС. Отбитый слой массива рассматривается как поршень, который перемещает параллелепипед ЗС. Принято, что напряжения в ней не зависят от пространственных координат, т.е. одинаковы во всей деформируемой зоне. Ценой этого, несомненно спорного, допущения учтены затраты энергии на дилатанси-онное разуплотнение ЗС, происходящее на гранях её параллелепипеда как результат его сдвига относительно остальной неподвижной массы ЗС. И, наконец, принято постоянным отношение величины смещения контакта массива с ЗС к глубине зоны уплотнения. На основе баланса общих затрат энергии получено дифференциальное уравнение для скорости смещения контакта. На рис. 1 приведена зависимость скорости движения первого слоя от величины его смещения.

U, м/с

В [12, 17, 18], где применяется кусочно-линейная аппроксимация диаграмм деформации, рассматривается в том числе и жесткая разгрузка. В [17] приведены исследования распространения волны в неоднородной среде, описываемой моделью Прандтля с жесткой разгрузкой в пластической области. Неоднородность среды такова, что наклон линии пластического нагружения зависит от координаты Лагранжа.

Еще раньше распространение упругопластических волн в среде с переменным пределом упругости исследовано в [9]. В этой связи упомянем еще раз [4], где рассматривалось распространение упругопластических волн в среде с искусственной [17] неоднородностью.

В исследованиях пластических деформаций сред известен [9] жесткопластический анализ, когда при напряжениях, не превышающих некоторого предела

Рис. 1. Зависимость скорости П движения слоя от величины его смещения П при диаметре скважины 1 - 170; 2 - 100 мм [19]

Общие замечания и модель среды

Зажимающая среда, как, впрочем, и все реальные среды, представляет собой некоторую пространственную упаковку относительно твердых зерен различных размеров и форм. Поэтому её деформирование носит статистический характер. К попытке учесть это свойство реальных сред относится [21]. Однако в случае одноосной деформации решения [21] теряют свою специфику. Если встать на традиционный путь замены дискретной среды сплошной, то мы столкнемся с таким же традиционным вопросом обоснования этой замены: она возможна при достаточно большом отношении характерного размера рассматриваемой области к размеру зерна. Допустим, что это условие удовлетворяется, т.е. будем рассматривать ЗС как сплошную. Затем необходимо учесть, что пластические деформации в ней развиваются только в том

случае, если приложенная нагрузка превысит некоторый предел и что по мере сжатия среды предел этот возрастает, т.е. для ЗС характерно упрочнение. Явление прострела скважин при взрывании в ЗС свидетельствует о том, что зернистая структура среды может прийти к состоянию предельной упаковки. Таким образом, третье положение, которое необходимо учесть, это наличие предельного (асимптотического) значения деформации.

С практической точки зрения интерес представляют распределение остаточных деформаций в ЗС после взрыва и величина смещения контакта массива с ЗС. В этом плане наиболее приемлемыми для использования оказываются решения из [14, 16]. Однако в [16] не учитывается наличие асимптоты деформации, а в [14] предполагаются громоздкие вычисления. Оба же решения не учитывают в данном случае того, что заряды взрывной волны воздействуют на ЗС через массив - значительно более жесткий монолитный слой горной породы.

Обратимся к процессам, происходящим в ЗС. Распространение преломленной волны зависит от механических свойств ЗС и напряженного состояния, в котором среда находится. Её пластические деформации, сопровождающиеся в общем случае дилатанси-онными явлениями, начинаются с отделением взрываемого слоя от массива.

Определение деформаций ЗС связано, вообще говоря, с решением системы нелинейных уравнений гиперболического типа, или системы из большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В последнем случае появляется возможность учесть дискретность среды, но значительно возрастают математические трудности. Поэтому в подавляющем большинстве работ рассматриваются уравнения в частных производных, т.е. дискретная среда заменяется сплошной.

Как уже было отмечено, условия взрывной отбойки позволяют рассмотреть одномерную задачу, когда по ЗС проходит плоский фронт возмущений, и она находится в состоянии одноосной деформации. На рис. 2 приведена диаграмма одноосного сжатия песка. Если заметить значительно более крутую линию разгрузки, то можно говорить о диаграмме для нелинейно-упрочняющейся же-

ё 2ап

■ > 0, где а0 - компо-

стко-пластической среды с

äs:

нента напряжения в направлении одноосного сжатия; S - одноосная деформация.

Такая модель имеет известные преимущества [13, 16] при рассмотрении волны разгрузки. Введем начальное упрочнение среды <г, т.е. при напряжениях, меньших а_, среда остается абсолютно жесткой. Допустим, что среда однородна по плотности и по а_ .

Аналитически диаграмму одноосной деформации нелинейно-упрочняющейся жестко-пластической среды с асимптотой деформации sa (рис. 3) можно аппроксимировать следующим образом: при нагрузке: <г0 = Esn¡sb, n > 1, при разгрузке:

s0 «£„,<0 <<* = E(s* +s_y(l-s„/sa)-1, (1)

<_ = ES , s=s0 +s_ , sb = 1-So/ Sa .

Здесь Е - коэффициент с размерностью давления; а_ - начальное упрочнение среды, при котором она имеет плотность р0; а,, е, - максимальные напряжение и деформация, достигнутые в результате прохождения волны через некоторую точку среды с координатой Лагранжа х.

<т, кг/см2

40

20

15

20

25

е103

Рис. 2. Диаграмма одноосного сжатия песка [22]

Рис. 3. Диаграмма одноосного сжатия принятой модели зажимающей среды (1)

Вообще говоря, при а0 <а_ в среде распространяются упругие волны. Однако эти волны (а при а0 > а - пластические волны) связаны с принципиально разными движениями зернистой среды. В первом случае имеем упругое движение в материале зерен, во втором - относительные перемещения самих зерен. Допущение об абсолютной жесткости среды при а0 < а_ имеет тот недостаток, что, например, при

ударе некоторого тела по такой среде в ней всегда будут развиваться пластические деформации. Понятно, что чем выше модуль упругости среды при

а0 <а- и больше разность а0тах "а- ( а0тах - начальное максимальное напряжение на волне разгрузки), тем меньше количественно отличаются решения для упруго- и жестко-пластической моделей. С другой

стороны, модель (1) позволяет отразить такую характерную сторону процесса упрочнения среды, как уве-

й&г.

личение

dsn

с ростом а_

So =0

Заметим, что в рамках модели (1) были решены задачи об ударном уплотнении грунтов и сыпучих тел [2] и о взрыве плоского заряда в двухслойной среде [23].

Удар по непрерывно неоднородному полупространству

Грунты и горные породы обладают неоднородностью, которая может характеризоваться непрерывным распределением параметров либо проявляться в виде более или менее резких границ раздела [5]. Кроме того, неоднородность может быть естественной или искусственной, связанной с проведением, например, взрывов, вызвавших то или иное изменение свойств среды [17]. Естественная неоднородность обладает статистическим характером и, очевидно, первична. Заметим, что распространение плоских волн разгрузки в среде с неоднородностью в виде границ раздела и в непрерывно неоднородной среде исследовано в [5, 17]. В [5] моделью среды служил пластический газ, а в [17] - тело Прандтля с жесткой разгрузкой в пластической области. Задача, аналогичная последней, решена в [4], где рассмотрение повторных ударов свелось фактически к изучению распространения упруго-пластической волны в среде с искусственной неоднородностью, вызванной изначально первым ударом.

Можно говорить о неоднородности двух видов. Неоднородность первого вида - когда от точки к точке среды меняется вид связи между компонентами напряжения и деформации, т.е. когда хотя бы один из параметров, входящих в физическое уравнение, зависит по крайней мере от одной координаты Лагранжа. Неоднородность второго вида имеет место, когда меняется величина упрочнения или предела упругости среды. Так, в [17] рассматривалась неоднородность первого (от координаты Лагранжа зависел наклон прямой пластического нагружения), а в [4, 9] - второго видов. Возможна также комбинация этих двух видов неоднородности.

Рассмотрим распространение плоской волны разгрузки, вызванной ударом жесткого слоя по поверхности полупространства жестко-пластической упрочняющейся среды, обладающей неоднородностью второго вида. Рассмотрение плоских волн предполагает априори одномерную плоскую неоднородность среды, так как в противном случае волна перестает быть плоской.

Модель неоднородной среды определим следующим образом. Исключим асимптоту деформации из (1). Тогда модель примет вид

при нагрузке ст0 = Е[е_ (х) + е0~\, п > 1,

при разгрузке

s0=s,, а0< e[s_ (x) + s,]n, (2)

P(x) = Po 1 + s° -S_ (x)]l = Pof2 (x) ,

где е (х), р(х) - деформация и плотность среды в плоскости с координатой Лагранжа х до прихода в нее фронта волны; р0 - плотность среды, когда ее деформация равна е •

Заметим, что если бы в (2) было бы еще и Е=Е(х) (а вообще и п=1)), то имела бы место комбинация первого и второго видов неоднородности. Условия удара допускают, что до взаимодействия с ЗС [1] слой массива приобрел некоторую скорость, а затем наносит удар по поверхности полупространства [2]. Для второго и следующих слоев массива так и случается, ибо при короткозамедленном взрывании между слоями образуется узкая щель. Эту же постановку можно приближенно использовать и для первого слоя, если в период его ускорения процесс деформирования ЗС получает незначительное развитие [19]. Далее предполагается, что в течение некоторого времени по полупространству (2) идет (при п > 1) УВР. Тогда уравнение движения, как это показано в [2], можно свести к уравнению для деформации на фронте этой волны.

С учетом (2), из условий динамической и кинематической совместности на фронте УВР [6] определим скорость фронта в0 и массовую скорость V относительно неподвижной среды перед фронтом:

в =e(s" -s"f2lf(x)s$,

Vo =-в

S sn-sn

f (x),

(3)

(4)

е=е0+е_, в = Е/ р0.

В (3) и (4) подразумевается зависимость е0 ,в0, У0 и е от х •

Подстановка (2) - (4) в уравнение движения [2, формула (8)] приводит его к следующему виду:

S -S

+ ns"

' + n(s"-1 -sn-1 S _ 2(sn -s_ )f'(x)jf (x) =

= -2sn f 2(x)| ,u + j f 2(x)dx

(5)

справедливому для ударной волны разгрузки в полупространстве (2). Начальным условием для его решения служит (4) при V(0) = V •

Непрерывную неоднородность среды можно описать различными на интервалах х гладкими функциями е (х) и /(х). Тогда на каждом из этих интервалов уравнение (5) будет иметь соответствующий вид. Это связано с очевидной заменой функций е (х) и /(х) на каждом интервале и с тем, что интеграл в правой части (5) преобразуется в сумму интегралов.

Возможны различные случаи неоднородности среды. В [24] исследован случай гладкой неоднородности, когда функции е (х) и /(х) и все их производные непрерывны при х > 0. Рассмотрим неоднородность, при которой dе_|dx терпит разрыв первого рода на плоскостях х — х1, х3:

s-(x) =

f -2( x) =

_\s ,0 < x < x, x > x3

-m(x2 - x)2, x1 < x < x3;

1,0 < x < x, x > x3, 1 + s0 -sx +®(x2 - x)2, x < x < x;

(6)

(7)

— хх^ I х^.

Тогда уравнение (5) (также при п — 1) на интервале [х1, х3 ] примет вид

s

s

0

1 + s0 — sx + co(x2 —x)2= co(x2 —x)- [a(x2 —x)2 + + sx + s0]|^ + Xj +[ffl(l + s° —sx)] 72[arctgVffl(x2 — Xj):

:(l +s° — sx) 72 — arctg4m(x2 — x)(l +s0 —sx

Здесь в точках х = х1, х3 ёе0/ёх и ёе /ёх терпят, в отличие от [24], разрыв первого рода. Для омывания волной разгрузки неоднородности (6), (7) напряжение на фронте волны должно в десяток раз превосходить величину Ее"_ (х2). При постоянных параметрах удара, ех и ю это превосходство может быть тем слабее, чем меньше х, что обязано увеличению ёе0/ ё^ _ 0.

Если на неоднородности (6), (7) возникнет волна нагрузки, то она будет взаимодействовать с подвижной преградой - более плотным и жестким слоем среды, причем его толщина будет изменяться в процессе взаимодействия.

При подземной разработке месторождений системами с массовым обрушением искусственная неоднородность ЗС возникает при ее динамическом деформировании взрывами в предыдущих секциях. При последующем выпуске разрушенного массива вновь образуется область с естественной неоднородностью. Таким образом, при разрушении следующей секции ее массив взаимодействует с ЗС, имеющей последовательно расположенные области с естественной и искусственной неоднородностью. Примерное распределение е = е (х) в этих областях показано на рис. 4, где x\ -толщина взорванной секции; xm - максимальная ширина фигуры выпуска (на самом деле в интервале 0 < х < хш распределение е = е (х) непостоянно [25]); xr - максимальная ширина фигуры разрыхления.

Пунктиром обозначено распределение деформаций в ЗС после взрывной отбойки секции, занимавшей перед этим область 0 < х < х1 .

С точки зрения волнового взаимодействия распределения (6) и показанное на рис. 4 аналогичны, т.е. в последнем случае также будет иметь место взаимодействие волны с подвижной преградой переменной массы.

Рис. 4. Примерное распределение е = е(х) в ЗС при последовательной отработке секций массива

Литература

1. Камалян Р.З., Королев К.Д. О математическом моделировании и оптимизации геометрических параметров выпуска руды // ФТПРПИ. 1990. № 3. С. 102 - 107.

2. Королев К.Д. К ударному уплотнению грунтов и сыпучих тел // ФТПРПИ. 1984. № 1. С. 24 - 31.

3. Гениев Г.А., Эстрин М.И. Динамика пластической и сыпучей сред. М., 1972. 216 с.

4. Григорян С.С. Об ударном уплотнении лессовых грунтов // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. № 6. С. 127 - 130.

5. Зволинский Н.В., Рыков Г.М. Отражение плоской пластической волны и преломление ее на границе двух полупространств // ПММ. 1965. Т. 29, вып. 4. С. 672 - 680.

6. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М., 1978. 307с.

7. Сагомонян А.Я. Проникание (проникание твердых тел в сплошные сжимаемые среды). М., 1974. 299 с.

8. Николаевский В.Н., Лившиц Л.Д., Сизов И.А. Механические свойства горных пород. Деформации и разрушения // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. 1978. № 11. С. 123 - 250.

9. РахматулинХ.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М., 1961. 399 с.

10. Shieh R.C., Hegemier G.A., Prager W. Closed-from solutions to problems of wave propagation in rigid, workhardening, locking road // Defense Atomic Support Agency Technical Report. 1968. № 1. P. 112 - 113.

11. Ставницер Л.Р. Деформации оснований сооружений от ударных нагрузок. М., 1969. 126 с.

12. Ляхов Г.М., Полякова Н.И. Волны в плотных средах и нагрузки на сооружения. М., 1967. 232 с.

13. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев Н.А. Вопросы динамики грунтов. М., 1964. 239 с.

14. Сагомонян А.Я. Распространение плоской ударной волны в грунте // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 5. С. 64 - 71.

15. Зволинский Н.В., Рыков Г.М. Отражение пластической волны от преграды // ПММ. 1963. Т. 27, вып. 1. С. 91 - 108.

16. Shieh R.C. On certain closed-form solutions to problems of wave propagation in a strain-hardening rod // Quart. Appl. Math. 1970. Vol. 27, № 4. Р. 461 - 472.

17. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. М., 1974. 192 с.

18. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М., 1982. 286 с.

19. Абрамов В.Ф., Горбунов В.А. К вопросу определения подвижки зажимающего материала при отбойке руды в зажиме // ФТПРПИ. 1978. № 2. С. 40 - 48.

20. Юхансон К., Пирсон П. Детонация взрывчатых веществ. М., 1973. 352 с.

21. Кандауров И.И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. М.; Л., 1966. 317 с.

22. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск, 1977. 260 с.

23. Камалян Р.З., Камалян С.Р. О взрыве плоского заряда в двухслойной среде // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. 2002. № 1. С. 63 - 66.

24. Камалян Р.З., Камалян С.Р. Распространение плоской волны разгрузки, вызванной ударом жесткого слоя по поверхности полупространства // Обозрение прикл. и про-мышл. математики. 2006. Т. 13, вып. 2. С. 322 - 324.

25. БалхавдаровХ.А. Движение и истечение руды при выпуске. Л., 1975. 108 с.

Поступила в редакцию

8 апреля 2013 г

2