Распространение электромагнитных волн в магнетике с ферромагнитной спиралью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253). Физика. Вып. 11. С. 12-17.

И. В. Бычков, Д. А. Кузьмин

распространение электромагнитных волн в магнетике с ферромагнитной спиралью1

Получен спектр связанных спиновых и электромагнитных волн для геликоидальных магнетиков в фазе «ферромагнитная спираль». Показана возможность резонансного взаимодействия спиновых и электромагнитных волн. Рассчитаны коэффициенты отражения электромагнитных волн от пластины магнетика с ферромагнитной спиралью и эффект Фарадея при различных углах спирали.

Ключевые слова: спиновые волны, электромагнитные волны, ферромагнитная спираль, коэффициент отражения, эффект Фарадея.

В последнее время геликоидальные (спиральные) магнетики привлекают к себе внимание исследователей своими необычными физическими свойствами — наличием в них сильного магнитоэлектрического эффекта и обнаружением электромагнонов [1-3]. Спиральная магнитная структура вносит ряд особенностей в спектр как спиновых, так и электромагнитных волн: наблюдается зонная структура, проявляется принцип невзаимности, т. е. различие величины скорости распространения волн вдоль и против оси спирали. Ранее исследовались связанные электромагнитные и спиновые, электромагнитные, спиновые и упругие волны в спиральной магнитной структуре типа «простая спираль» [3-4]. Однако спектр и динамические свойства магнетиков в фазе «ферромагнитная спираль» до сих пор мало изучены. В настоящей работе исследуется спектр связанных спиновых и электромагнитных волн в магнитном диэлектрике со спиральной магнитной структурой типа «ферромагнитная спираль», рассматривается отражение электромагнитной волны от слоя магнетика с ферромагнитной спиралью в зависимости от угла ферромагнитной спирали 0, определяемого внешним магнитным полем. Рассмотрение проводится для двух типов спиралей — с обменным и релятивистским взаимодействиями. Исследования спектров связанных колебаний в модулированных структурах проводятся в приближении L >> а, где L = = 2п/q — период спирали; а — постоянная решётки; q — волновое число спирали.

Основное состояние магнетика в фазе «ферромагнитная спираль» определяется намагниченностью с компонентами:

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 1-02-12255-офи-м-2011.

M0x = M0 sin 0 cos qz, M0y =

= M0 sin 0 sin qz, M0z = M0 cos 0, (1)

где M0 — намагниченность насыщения; q — волновое число спирали; 0 — угол между направлением намагниченности и осью спирали z. Угол 0 определяется величиной внешнего магнитного поля. При 0 = п/2 магнетик из фазы «ферромагнитная спираль» переходит в фазу «простая спираль», а при 0 = 0 в ферромагнитную фазу.

Свободная энергия кристалла в фазе «ферромагнитная спираль» имеет вид

v -F = — а 2

+- в2 M4 2 z

гдМЛ

\дХ

M

H - 2 л(м2 - м 2),

(2)

где М — намагниченность кристалла; а, в — константы неоднородного обмена, анизотропии; Л — множитель Лагранжа, соответствующий условию М2 = М20 (М0 — намагниченность насыщения). Слагаемое ^н, которое обусловливает наличие неоднородной намагниченности в основном состоянии, для кристаллов с обменной спиральной структурой имеет вид

d2M

дх1 v °xi y

(3)

а для магнетиков с релятивистской спиральнои структурой

FH = ajMroíM,

(4)

где у и а1 — постоянные неоднородного обменного взаимодействия и неоднородного релятивистского взаимодействия. В (2) учтено, что внешнее магнитное поле направлено вдоль оси симметрии кристалла. Из условия минимума

2

свободной энергии и (1) получаем выражения для определения угла 0 через внешнее магнитное поле И.

Для спирали с обменным взаимодействием имеем, у > 0, а < 0, q = у]-а / 2у ,

M0 cos 0^Pj +в2M02 cos2 0- q2 (a + yq2)

= H.

В случае релятивистской спирали, а1 ф 0, а > 0,

q = а1/а,

M0 cos0[Pj +в2M02 cos2 0- q(aq - 2аг ) = H.

Зависимость H(0) для характерных значений постоянных в случае релятивистской спирали (а ~10 12 см2, Р1 ~1, а ~10-8 см, q ~104 1/см) показана на рис. 1. Для обменной спирали зависимость H(0) практически такая же, что и для релятивистской.

Для получения спектра связанных спиновых и электромагнитных волн будем использовать уравнение Ландау—Лифшица и систему уравнений Максвелла:

dM

~dt

= g

[m, H

eff

H

eff _

5F

5M!

rotE = --—(H + 4nM ) rotH = Є—,

с дГ ’ c dt

div (eE ) = 0, div (H + 4nM ) = 0.

(5)

Решая систему уравнений (5) методом малых колебаний, проводя линеаризацию и переходя к циркулярным компонентам, получим дисперсионное уравнение связанных спиновых и электромагнитных волн в магнетике в фазе «ферромагнитная спираль» для отрицательной поляризации

^2ю2 (2 - v2k2) +(2 - v2k2)+ -х(ш sin2 0 - 2юcos 0) х х 2ю2 (2 - v2 ( - 2q )'

+ (( - v2 (k - 2q)2 )" х (1M sin2 0 + 2® cos 0) J - QJm sin4 0 х х(к°^2 -v2k2)+ -ю2юм)х х((2 -v2 (k-2q)2 -ю2ю,,,)) = 0.

(6)

Здесь введены обозначения: V = с / л/є — скорость распространения электромагнитной волны в магнетике; є — диэлектрическая проницаемость, юМ = 4^М0 — магнитостатическая частота;

&■=:

gM0 (a(q2 -(k - 2q)

+Y (qk ((k - 2q)4 ) - 2aj (k - q) Q = gM0 (a(q2 - k2) + +y((( - k4) + 2a! (( - q)), Ц = gM0 (Pj + 3P2M0 cos2 0--a(q2 -(( - q)2) +

+y(q4 -( -q)4) + 2a

Н, Э

Рис. 1. Зависимость угла спирали в от величины внешнего магнитного поля для релятивистской спирали (1 — в2 = 0 Э-2, 2 — в2 = 10-7 Э-2, 3 —в2 = 5*10-7 Э-2)

В выражениях О+, О- для обменной спира-

ли необходимо положить а1 = 0, а при рассмотрении релятивистской спирали у = 0 .

Для получения дисперсионного уравнения волн положительной поляризации достаточно в (6) сделать замену k = k + 2q.

Используя характерные значения постоянных для магнетиков с обменной спиралью g = = 2107 с-1 Э-1, М0 ~103 Э, у ~10-28 см4, а ~-10-14 см2, q ~107 1/см, а в случае релятивистской спирали а ~10 12 см2, в1 ~1, а ~10 8 см, д ~104 1/см, е ~10, из уравнения (6) получим спектры связанных электромагнитно-спиновых волн. Изменяя 0 в диапазоне 0 < 0 < п /2 , можно рассчитать спектры для ферромагнитной спирали. На рис. 2 показаны зависимости ю(£) для разных углов в случае релятивистской спирали.

При любых значениях угла спирали кроме 0 = 0 для спектра характерна зонная структура. На определённых частотах наблюдается запрещённая зона (окно непрозрачности). Данная запрещённая зона появляется за счёт резонансного взаимодействия спиновых и электромагнитных волн в магнетике. Из рис. 2 можно заметить, что с уменьшением угла 0 зона сдвигается в сторону низких частот, а её ширина уменьшается. Расчёты показывают, что в случае обменной спирали зона непрозрачности намного уже, чем в случае релятивистской спирали. Отметим также, что величина взаимодействия спиновых и электромагнитных волн зависит от угла 0.

Зависимость ширины запрещённой зоны от угла спирали представлена на рис. 3.

Рис. 2. Спектры колебаний при разных значениях угла в

Рис. 3. Зависимость ширины запрещённой зоны (Ктар) от угла спирали

Исследуем теперь отражение электромагнитной волны от слоя магнетика, находящегося в фазе «ферромагнитная спираль», толщиной I . Рассмотрим нормальное падение электромагнитной волны А||^||г. Ограничимся случаем малых волновых чисел ^<д. Система граничных условий включает в себя условия непрерывности нормальных компонент индукций магнитного и электрического полей, тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей, равенства нулю производной намагниченности на границах магнетика:

Н(е> = Н{,> Е(ее = Е('> &е> = В{1} D{e> = Dw---пк = 0.

т т ? т т ? п п ? п п ? ж к

дхк

Индексами (е) и () обозначены величины вне и внутри магнетика соответственно; п — вектор нормали к поверхности образца. С учётом количества корней дисперсионного уравнения в рассматриваемом приближении в циклических компонентах магнитного поля система граничных условий имеет вид (7):

Поля , кТ± определяют соответственно отражённую от поверхности магнетика и про-

шедшую через магнетик волну;

—

решения

дисперсионного уравнения, индексами (1) и (2) обозначены волны, распространяющиеся вдоль и против оси г соответственно.

Решая (7) совместно с (6), найдём коэффициент

отражения электромагнитной волны Rí =

К

К

На рис. 4 приведены частотные зависимости коэффициента отражения электромагнитной волны от слоя магнетика с ферромагнитной спиралью релятивистского происхождения для разных углов 0. Отметим, что в случае обменной спирали частотные зависимости коэффициента отражения качественно соответствуют случаю релятивистской спирали, но ширина частотного диапазона, в котором коэффициент отражения близок к единице, значительно меньше.

Из частотной зависимости при разных углах 0 видно, что при увеличении угла 0 ферромаг-

h + h =У h (1) + h (2)'

0± К± ¿и , ± ™± ’

І =1

2 к (1) т к (2)

•0 7 —h (1) + h

0± К± 7- „ І±

К - К =У

0± К±

(2)

І=1 к0є І ± к0Є

0

X к

І=1

(1)

/

І±

V

2 2 (1) ^ І , (1) , (2)

ю — V к к + к

І і ± / І і ± ±

2 2( (2)\2 І (2) ю — V (к І І к = 0;

(1)

К ±=Х

2 і(і7±(1)-ко')‘ (1) і(к±т -к0)1 (2)

І=1

к. + е

І±

2 к (1) (1) і (2) (2) к±(2’; к,т ± ^±- е‘ і± ’к., <■> + к-±- е‘ (‘± -К'ік.

т ± ^ І Р І=1 кор

і ± к р

о

(7)

X к

І=1

(1) ( 2 2/ (1)\2 ) ‘(кі± ю - V І к ±

І±

V

~ко)‘ (1) , (2)

кІ ± + к±

2

2 2/, (2)'2 ю - V к,

‘(к+<2>(2) „ г к, = 0.

2

Я

Рис. 4. Частотные зависимости коэффициента отражения для различных углов в при толщине пластины I = 0,01 см (1 — в = к/2, 2 — в = к/4, 3 — в = к/150, 4 — в = 0)

нитной спирали (а следовательно, и увеличение величины внешнего магнитного поля) происходит увеличение запрещённой зоны (окна непрозрачности) и сдвиг её в область более высоких частот.

На рис. 5 представлена зависимость коэффициента отражения от толщины пластины при

0 = п/4. Видно, что увеличение толщины пластины приводит к расширению частотного диапазона, в котором коэффициент отражения близок к единице, что связано с интерференцией падающей и отражённой волн. При более высоких частотах наблюдаются осцилляции коэффициента отражения, что связано с размерными резонансами и интерференцией. Отметим, что при рассмотрении распространения волн и отраже-

ния в области частот ю > 1013 с-1 необходимо учитывать частотную зависимость диэлектрической проницаемости.

Перейдём теперь к рассмотрению эффекта Фарадея, т. е. зависимости угла поворота плоскости поляризации от величины внешнего магнитного поля. Пусть на магнетик в фазе «ферромагнитная спираль» падает линейно поляризованная волна. Её можно представить в виде суперпозиции двух волн различной круговой поляризации. Из (6) для волн разной поляризации получаем различные волновые векторы (рис. 6).

Так как у волн волновые векторы различны, то и показатели преломления тоже будут различны, следовательно, будет наблюдаться вращение плоскости поляризации на величину

Рис. 5. Частотные зависимости коэффициента отражения для различных толщин пластины при в = к/4 (1 — I = 10 мкм, 2 — I = 100 мкм, 3 — I = 1 мм, 4 — I = 5 мм)

ю, с 1

Рис. 6. Зависимость k от т для волн разной круговой поляризации (1 — отрицательная поляризация, 2 — положительная поляризация). На вставке — область перед запрещённой зоной

Н, Э Н, Э

Рис. 7. Зависимость угла вращения плоскости поляризации от величины внешнего магнитного поля: слева — выше зоны непрозрачности, справа — ниже зоны непрозрачности

Дф = Дк1, где М = —------. Исходя из решения

(6) (см. рис. 6) Дк зависит от частоты падающей волны и достигает наибольших значений вблизи зоны непрозрачности. Зависимость угла вращения плоскости поляризации от величины внешнего магнитного поля для слоя магнетика толщиной 1 см представлена на рис. 7.

Для линейной зависимости можно вычислить постоянную Верде (V). На частоте ю = 21011 с-1 VI = 0,01396 Э -1см-1, при ю = 1012 с-1 IV! = 0,01327 Э-1см-1. Дальнейшее увеличение частоты не приводит к значительным изменениям постоянной Верде.

Исследования связанных спиновых и электромагнитных волн в магнетиках со спиральной магнитной структурой, определяемой неоднородным обменным и релятивистским взаимодействиями, находящихся в фазе «ферромагнитная спираль», показали, что спектр связанных волн является зонным. Величина запрещённой зоны зависит от угла ферромагнитной спирали, а следовательно, и от внешнего магнитного поля. Увеличение угла (магнитного поля) приводит к росту величины запрещённой зоны, максимальная величина запрещённой зоны (окна непрозрачности) наблюдается при 0 = п/2, т. е. при фазовом переходе магнетика «ферромагнитная спираль — простая спираль». Показана возможность резонансного взаимодействия спиновых и электромагнитных волн. Величина взаимодействия спиновых и электромагнитных волн зависит от 0. Рассчитаны частотные зависимости коэффициента отражения электромагнитных волн от пластины магнетика с ферромагнитной спиралью при различных углах спирали. При уве-

личении угла растёт и область непрозрачности и её сдвиг в область высоких частот. Увеличение толщины пластины приводит к расширению частотного диапазона, в котором коэффициент отражения близок к единице, что связано с интерференцией падающей и отражённой волн. Показано, что угол вращения плоскости поляризации возрастает вблизи запрещённой зоны. На низких частотах наблюдается пик вращения плоскости поляризации, который сдвигается в область меньших полей при приближении частоты к нижней границе зоны непрозрачности. Для высоких частот вычислено значение постоянной Верде.

Список литературы

1 . Kobayashi, S. Universal Hysteresis Scaling for Incommensurate Magnetic Order in Dysprosium / S. Kobayashi // Phys. Rev. Letters. 2011. Vol. 106. P. 057207.

2 . Michael, T. Excitation spectrum of multiferro-ics at finite temperatures / T. Michael, S. Trimper // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 83. P. 134409.

3 . Kenzelmann, M. Retrospective—Electroma-gnons offer the best of two worlds / M. Kenzelmann // Physics 4. 2011. Vol. 88.

4 . Манжос, И. В. Электромагнитно-спиновые волны в кристаллах с простой спиральной магнитной структурой / И. В. Манжос, И. Е. Чупис // Физика низких температур. 1988. Т. 14. С. 606611.

5 . Buchelnikov, V. D. Coupled magnetoelastic and electromagnetic waves in uniaxial crystals having spiral magnetic structure / V. D. Buchel’nikov,

I. V. Bychkov, V. G. Shavrov // J. of magnetism and magnetic materials. 1992. Vol. 118. P. 169-174.