CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 511.3
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-123-139
Распределение значений функции Жордана в классах вычетов
Громаковская Лариса Александровна — старший преподаватель, Петрозаводский государственный университет (г. Петрозаводск). e-mail: gromak_la@mail.ru
Широков Борис Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент, Петрозаводский государственный университет (г. Петрозаводск). e-mail: bmshir@mail.ru
Понятие равномерного распределения целозначных арифметических функций в классах вычетов по модудю N было введено И. Нивеном [3]. Для мультипликативных функций более удобным оказалось понятие слабо равномерного распределениия по модулю М, которое было введено В. Наркевичем [6].
В работах о распределении в классах вычетов обычно приводятся асимптотические формулы для числа попаданий значений функции в тот или иной класс, содержащие лишь главные члены, что объясняется применением к производящим функциям тауберовой теоремы X. Деланжа [12], хотя эти производящие функции обладают лучшими аналитическими свойствами, чем это нужно для теоремы X. Деланжа.
В настоящей работе рассматривается распределение значений функции Жордана ^(п). Для натурального числа п значение ^(п) есть количество попарно несравнимых между собой примитивных по модулю п пар целых чисел. Доказывается, что ^(п) слабо равномерно распределена по модулю тогда, когда N взаимно просто с числом 6. Кроме того, работа содержит асимптотическую формулу, представляющую собой асимптотический ряд, что достигается применением леммы 3, являющеся теоремой тауберова типа, заменяющей теорему X. Деланжа.
Ключевые слова: тауберовы теоремы, рапределение значений, классы вычетов
Библиография: 17 названий.
Для цитирования:
Л. А. Громаковская, Б. М. Широков. Распределение значений функции Жордана в классах вычетов // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 123-139.
Л. А. Громаковская, Б. М. Широков
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
UDC 511.3
DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-123-139
Distribution of values of Jordan function in residue classes
L. A. Gromakovskava, В. M. Shirokov
Gromakovskaya Larisa Aleksandrovna — senior lecturer, Petrozavodsk State University
(Petrozavodsk).
e-mail: gromak_la@mail.ru
Shirokov Boris Mikhailovich — candidate of physics-mathematical Siences, associate Professor, Petrozavodsk State University (Petrozavodsk). e-mail: bmshir@mail.ru
Abstract
The concept of a uniform distribution of integral-valued arithmetic functions in residue classes modulo N was introduced by I. Niven [3]. For multiplicative functions, the concept of a weakly uniform distribution modulo N, which was introduced by V. Narkevich [6], turned out to be more convenient. In papers on the distribution in residue classes, we usually give asymptotic formulas for the number of hits of the values of functions in a particular class containing only the leading terms, which is explained by the application to the generating functions of the Tauberian theorem of H. Delange [12], although these generating functions have better analytical properties, which is necessary for the theorem of H. Delange. In this paper we consider the distribution of values of the Jordan function J2(n). For a positive integer n, the value of J2 (n) is the number of pairwise incongruent pairs of integers that are primitive in modulo n. It is proved that J2 (n) is weakly uniformly distributed modulo N if and only if N is relatively prime to 6. Moreover, the paper contains an asymptotic formula representing an asymptotic series, which is achieved by applying Lemma 3, which is a Tauberian theorem type that replaces the theorem of H. Delange.
Keywords: tauberian theorem, distribution of values, residue classes
Bibliography: 17 titles.
For citation:
L. A. Gromakovskaya, В. M. Shirokov, 2019, "Distribution of values of Jordan function in residue classes" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 123-139.
1. Введение
Работы, связанные с конгруэнциальными свойствами целочисленных арифметических функций, стали появляться с середины 20 века. В них, как правило, устанавливались асмпто-тические формулы для количества значений функций, удовлетворяющих некоторым условием конгруэнтности, в основном, по простому модулю ([1, 2]).
В 1961 году И. Нивен [3] ввел понятие равномерного распределения в классах вычетов по произвольному модулю и в кольце Z. Эта работа положила начало изучению условий наличия равномерного распределения в классах вычетов. Учияма [5] получил критерий равномерного распределения последовательности по заданному модулю и установил двойственность этого понятия понятию равномерного распределения последовательности по модулю 1 (см. также [4, глава V]). В 1967 году В. Наркевич [6] перенес понятие равномерного распределения функций на группу приведенных вычетов по некоторому модулю N и назвал его слабо равномерным распределением (с.р.р.) по модулю N. Это понятие оказалось более удобным для мультипликативных функций. В работах [6, 7] изучается с.р.р. по модулю N для некоторого класса мультипликативных функций.
В статье О. М. Фоменко [8] установлено с.р.р. по простому модулю для некоторых функций, не попадающих в класс В. Наркевича. В работе Б. М. Широкова [9] перенесена теория В. Наркевича на более широкий класс функций, а в [10, 11] приведены необходимые и достаточные условия на модуль N для с.p.p. по модулю N некоторых функций, не попадающих в класс полиномоподобных.
Отметим, что в работах о распределении значений функций в классах вычетов приводятся асимптотические формулы для количества значений функций, попадающих в заданный класс вычетов, которые содержат только главный член асимптотики. Это объясняется тем, что для используемых при этом производящих функций применяется тауберова теорема Де-ланжа [12]. Но эти производящие функции обладают лучшими аналитическими свойствами, чем необходимо для применения этой теоремы.
Ключевую роль при выводе асимптотических формул в нашей работе играет лемма 3, которая представляет собой теорему тауберова типа и является более точной формой таубе-ровой теормы 1 работы [13]. Проф. Е. В. Подсыпании обратил наше внимание на то, что в этой теореме не отражена зависимость асимптотики в случае нецелого показателя z от числа п, количества слагаемых асимптотики и не ясно, можно ли считать асимптотику асимптотическим рядом. Лемма 3 содержит более точный результат, чем упомянутая выше теорема
п
доказательством.
Основные обозначения и определения. N, a, b, d, i, j, к, т, п, г целые числа; р, q — простые числа; х — действительное число, большее 1; s = и + it — комплексное число; (ai,..., ak) — наибольший общий делитель чисел ai,..., G(N) — группа вычетов, взаимно простых с N; X и h — характеры Дирихле по модулю N; f(n) — мультипликативная целознач-ная функция; |М| — количество элементов конечного множества М; S(x,r, f) — количество чисел п ^ х, для которых f (п) = г mod N, или S(x, г), когда из контекста ясно, о какой функции f(n) идет речь; для некоторой постоянной cq > 0
a(t) = max |3,1 - t\>+2)\' , Q = {sla(t) <a, Kt<
п) — функция Эйлера; Г(«) — гамма-функция Эйлера;
* = П^; ;(» = ^^ £ хС -1).
Определение 1. Функция f(п) называется слабо равномерно распределенной по модулю если для любых а иЪ, взаимно простых с N,
Б(х, а, /) = х-+оо в(х, Ь, /) ,
при условии, что множество {п | ( ¡'(п),М) = 1} бесконечно.
Определение 2. Пара чисел а и Ь называется примитивной по модулю если (а, Ь, N) = 1.
Количество несравнимых между собой по модудю п примитивных пар обознается через ^(п) и называется функцией Жордана. В дальнейшем будем обозначать ее ■] (п). Она мультипликативна и
](») = »» п О -1).
д\п
Свойства этой функции и некоторых ее обощений изучались в работах [14, 15, 16]. В нашей работе рассматривается распределение значений функции Жордана в классах вычетов по модулю N и доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Функция 3(п) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда (Ы, 6) = 1.
Теорема 2. Если (Ж, 6) = 1; то для любого натурального п и для любого г € О(Ж) при х ^ ж для функции 3(п) справедлива асимптотика
о(г г) = 1 х у ^ Ш , ( , ) <р(Ж)(1пх)1-л^=0 Г(к -\)Ыкх
, 1 у^ Xi^x yi ак(х) + / жг(та + 3 - А) \ ^ (lnx)1-^ f= г(к - z(x))\nkx \Rn (ln x)n+1-X )
причем, |-г(х)| < А для любого x = Xo, где ак(x) и R 0 < R < 1, — постоянные, не зависящие от, п, и константа в сим,воле О тоже не зависит, от, п.
2. Доказательство теоремы 1
Для доказательства теоремы нам потребуется следующие леммы.
Лемма 1. Если ( N, 6) = 1 и для характера х по модулю N справедливо равенство
£ X(f2 - 1)=<P(N) П Г-1, (1)
reG(N) g\N
то х — главный характер по модулю N.
Доказательство. Пусть сначала N = qk и q > 7. Вычет г е G(N) представим в виде r = aq + Ь, 0 ^ а < qk-1 - 1, 1 q- 1. Равенство х(г2 - 1) = 0 верно тогда и только тогда, когда
г2 - 1 = 0mod q,
т. е. г2 = 1 mod q. Значит, г = aq + 1 или г = aq + q - 1,0 ^ а ^ qk-1 - 1. Количество таких вычетов равно 2qk-1. Поэтому количество ненулевых слагаемых в сумме, стоящей в равенстве (1), равно
qk) - 2qk-1 = v(qk) 3,
т. е. правой части равенства (1) при N = qk. Так как |х(и)| = 1 ПРИ условии, что х(п) = 0, то для ненулевых слагаемых суммы в равенстве (1) имеем: х(г2 - 1) = 1- Дальше доказательство
а
Пусть а = 0. Если г = 2, то х(1) = х(3) = 1- Вычет г = 3 приводит к равенству х3(2) = 1. При г = 7 получаем х(48) = х(3)х4(2) = х(2) = 1-
Итак, х(1) = х(2) = 1- Если для г < q - 1 верны равенства х(г - 1) = х(г) = 1) т0 из х( 2 - 1) = 1 х( + 1) = 1
неравенству 1 ^ г ^ q - 1 мы получили х(г) = 1-
Допустим, что для всех вычетов г ^ aq + q - 1, а < qk-1 - 1 выполняется равенство х( ) = 1
а = а + 1
х( а + 1) = х( а + 2) = 1. Если а нечетно, то а q2+l ^ o,q + q - 1. Следовательно,
х(а^ + 1)=х(2)х( аЛ2+1) =1.
Далее, одно из чисел a'q + 2, a'q + 4 a'q + 6 делится та 3. Если это a'q + 2, то
X(a'q + 2)=x(3)x( ) = 1. Если это aq + 4, то аналогично находим, что x(a'q + 4) = 1. Но
X(a'q + 2)x(a'q + 4) = 1.
x( a + 2) = 1
a + 6 x( a + 4) = 1 x( a + 2) = 1
a = 0 x( a + ) = 1
таких значений b, что 1 ^ b ^ q — 1.
Если же a четно, то одно из чисел a'q + 1 a'q + 3 a'q + 5 делится на 3. Тогда рассуждая так
x( a + 1) = 1 a + 2
x( a + 2) = 1 a = 0 x( a + ) = 1
для всех значений Ь, удовлетворяющих неравенству 1 ^ b ^ q — 1.
Пусть теперь q = 5 ми q = 7. При г = 2 имеем: 22 — 1 = 3 и x(3) = 1- Но 3 — первообразный корень по модулю (^.Поэтому x = Xq-
Если N = ■ ■ ■ q^1, qi > 3, то, в силу китайской теоремы об остатках, каждому г £ G(N) взаимно однозначно соответствует такой набор (гi,..., fi), Ti £ G(), что г = r% mod . Кроме того, характер x определяется как произведение характеров Хг трупп G(q^). Следовательно,
Х(г2 — 1) =x(г2 — 1) ■■■xi— 1)
Подставим это в равенство (1). Обозначая G% = G(q^) и N = q^, получим
i i 3 Ex (r 2 — 1) ■■■xitf — 1) = ПЕ xi(r? — 1) = n^N) fbJ.
reG i=1 ri^Gi i=1 Уг
Как показано выше, для каждой суммы в произведении справедливо неравенство
Ai — 3
Е xi(ri — 1)
ri£Gi
< <p(N)
Qi — 1'
Следовательно для каждого г, 1 ^г
^Ur 2 — 1) = <f(Ni) f—J.
По доказанному отсюда следует, что для любого г характер xi — главный. Тогда и характер x тоже главный. Лемма доказана. □
Введем дополнительные обозначения: R(N, f) — множество тех вычетов г £ G(N), для которых существует такое простое число р, (р, N) = 1, что f(p) = г mod N; Л(N, f) — подгруппа G(N), порожденная множеством R(N, f). Для функции Жордана положим R(N) = R(N,J) и Л(^ = Л(^ J).
Функция f (п) называется полиномоподобной, если для любого натурального к существует такой многочлен Pk (х) степей и к с целыми коэффициентами, что для любого простого числа Р f (Рк) = Pk (р).
Лемма 2. Если для плиномоподобной мультипликативной функции f (п) выполняется равенство Л^, f) = G(N), то функция f (п) слабо равномерно распределена по модулю N.
Доказательство. Эта лемма есть непосредственное следствие теоремы 1 работы В. Нар-кевича [6, с. 270]. □
Приступим к доказательству теоремы 1.
Доказательство. Итак, пусть (N, 6) = 1. Допустим, что Л( N) = G(N). Тогда существует неглавный характер % по модулю N, равный 1 на подгруппе Л(^). Если г £ G(N) и простое число р = г mod N, то J(р) = г2 — 1 mod N. Значит, множество
R(N) = {а|а = г2 — 1 mod N, г £ G(N), (г2 — 1,N) = 1}. Так как R(N) С Л(^), то
£ Х(г2 — 1) = |R(N)| =<p(N) П .
reG(N) qlN ^
Тогда из леммы 1 следует, что % — главный характер и Л(^) = G(N). В виду леммы 2 функция J(п) с. р. р. то модулю N.
Нам осталось убедиться, что если N делится на 2 или на 3, то функция J(п) не обладает слабо равномерным распределением по этому модулю. Покажем, что в этом случае множество М = {п|(J(n),N) = 1} конечно.
N
Если существует р > 2, делящее п, то р2 — 11J(п) и J(п) четно и п £ М. Если же п = 2т, то J(п) ^^^^^^а только при т = 0 или 1, т. е. множество М содержит не больше двух чисел.
N
Если п = 3fcп1 и (п1, 3) = 1, то при к > 1 число J(п) на 3 и п £ М. Пусть п = п
или п = 3пь Если щ четно, то в обоих сучаях 31J(п) и п £ М. Если п1 нечетно и не равно 1, то существует р ^ Ъ, делящее пь Тогда из трех чисел р — 1, р, р + 1 одно делится на 3 и это не число р, т. е. 31J(п) и п £ М. Остается только две возможности: п = 1 и п = 3, т. е. М конечно.
Таким образом, если ( N, 6) > 1, то множество М конечно и функция J(п) не обдадает с.
N □
3. Доказательство теоремы 2
Нам потребуется лемма, которая представляет собой теорему тауберова типа для рядов Дирихле. Именно эта лемма заменит теорему Деланжа, о которой шла речь во введении.
Лемма 3. Пусть для арифметической функции f (п) существуют т,акие постоянные А > 0 и В > 0 что | Дп)| ^ В(1пп)^ и определенная при а > 1 функция
F (в) =
п=1
^f (п)
удовлетворяет условиям:
1) существует такая регулярная в О. и непрерывная на ее границе функция С (в), что при а > 1 для некоторого г € С
Р(8)=С(8)(8 - 1Г, (2)
1п( - 1)
2) для продолжения Р(в) в облает,и О существует такая постоянная А\ > 0; что ^(з) = 0(1пА1 (|*| +2)^ Щ > 1.
Тогда, существует такая постоянная с € (0,1), что при х ^ ж
а) если z = 1, 0, -1, -2,...; то
S(х) = Е f (п) = v{z)G{1)x + О(хе),
п^х
где v(z) = 1, если z = 1 и v(z) = 0 в прот,ивном, случае;
б) если z (// Zu { = Rez; то для любого натурального п
w (lnx)1-z ln1 хГ(к - z) \ Rn (In x)n+1-J '
где ak — коэффициенты Тейлора, функции G(s)s-1 в точке s = 1, а R — произвольное положительное число, меньшее 1 и радиуса, регулярности этой функции в точке s = 1, и константы ai и в символе О не зависят, от, п.
Доказательство.
Обозначим = ln-1 х и ао = 1 + 2. На основании теоремы П.3.1 в книге К. Прахара [17] существует такая постоянная Bi > 0, что для полуцелого х > 1
<Г0+гТ 0
Ел/ ч 1 [ ч ^ , ^ (х 1п01 х\ . .
/(п) = 2Й Р (8) 7Л + (3)
П^Х -гр 4 7
Используя продолжение функции Р(,§) влево от прямой а = 1, заменим контур интегрирования.
Пусть г ^ 1 — целое число. Опишем дополнительные контуры. Р+ : а(Т) ^ а ^ а0, г = Т, Р- : а(Т) ^а ^ а0, £ = -Т; Р+ : а = а(г), ^ t ^ Т; Р- : а = а(£), -Т < £ < -; Рз : а = а(), ^ Р = Р+ и Р+ и Р3 и Р- и Р-. Обозначим для некоторого контура Г
1 С xs
/(Г) = 2Д F(a)TdS-
г
В случае а) функция Р(в)1хв либо регулярна в П, если -г ^ 0, либо содержит один простой полюс при = 1, если г = 1. Поэтому
ао+г Т
I Р(8)х!^ = ф)С(1)х + о(|/(Р)|). (4)
ао-г Т
Далее,
о"0
< И 1 F(s)lIOiX"£fi
а(Т)
Из условия 2) леммы следует, что существует такая постоянная С\ > 0, что при Т = е^
л ао
х 1пл1 ТС Мл /—
|/(Р+)| <С1— ха<1а = 0((1пх)- 1хе^1пх). (5)
а(Т)
Оценка по контуру L- будет такой же, так как интегралы по этим контурам комплексно сопряжены.
Перейдем к оценке I(L+). Пусть t0 = max{e4co — 2, 0}. Если t0 > 0 и 0 ^ t ^ t0, то A a(t) = f; если t ^ t 0, то A a(t ) = 1 — . Если t0 > 0, то ö < t о при достаточно большом
ж. Представим /(L+) следующим образом
L+) = 1_ 1 F(3/4 + it)xi/4:+it + х_ J FИ^ + ^Ь^-! 1(L2 2i J 3/4 + it M + 2iJ a(t) + it X
S to
В первом интеграле функция AF^| + it^j ограничена, поэтому он имеет оценку 0(ж3/4). Во
втором — можно считать, что F (s) = ö(\nAl (t + 2)) (условие 2) леммы), так как при |i| ^ 1 это условие равносильно ограниченности F(<r(t) + it), что справедливо. Так что для второго интеграла найдутся такие постоянные С2 > 0 и С3 > 0, что при T = е^^^ он не превосходит
J
-с0 lnx (ln(T + 2))^1 + !
С2Х [ ыЛ1 (* + 2)х-^ 1п(т+2^ <С2хеВДГ
У ^ + 2 А
< С3х(1пх)^1+1 е~(С0^)/2. Соединяя полученные две оценки, получим
/(Ь+) = 0(х(1пх)^1+1 е-^0^^2). (6)
Для контура Ьз при 7 = шт 11, 1ПО31 справедлива оценка
1(Ьз) = 0(х1-^),
которая поглощается предыдущими, поэтому в дальнейшем ее можно не учитывать. Выберем с > 0 так, чтобы с < 1 и с < Со/2. Тогда правые части неравенств (5) и (6) оценятся как 0(хе), Подставим полученные оценки в формулу (4), затем — в равенство (3) и получим утверждение пункта а) леммы.
тегрировании по новому контуру мы не должны пересекать полупрямую £ = 0, —те < а ^ 1, поэтому в контуре Ь заменим контур Ьз на контур Г, состоящий из трех частей: Ь+ : а (5) ^а < 1, Ь = б; Ь5 : 8 — 1 = 5ё*, —тт/2 < ж/2\ Ь- : а(5) ^а < 1, £ = —5.
Ь Ь
1(Ь') = 7(Ь+) + 1( Ь+) + /(Г) + /( Ь-) + /( Ь-) = /(Г) + 0(хе ), (7)
так как оценки интегралов по контурам Ь± Ь± остаются те же, что и в случае 1).
Пусть К1 — радиус круга регулярности функции С(в) с центром в точке 5 = 1. Выберем К < 1 так, чтобы 0 < К < К'. Можно считать, что точка 8 = а(5) + г5 пересечения контуров Ь+ и Ь+ находится в к руге — 1| < К. В противном случае добавим контур, лежащий на прямой £ = 5, от этой точки до точки а' + г5, лежащей в левом полукруге — 1| < К, причем интеграл по этому контуру оценится как 0(ха ), а' < 1.
Итак, контур Г находится внутри круга |з-1| ^ Д, в котором функция С(в)8-1 регулярна. Выберем произвольно натуральное число п ^ 1. Пусть аи и КП(в) — коэффициенты и остаточный член в формуле Тейлора для функции С (в) в-1 в кру г е — 1| < Я. Для интеграла по Г
Т) = 2Д £ ак /с — + / х—^ <8>
к—0 г Г
Г
Г+: —те <а < а(5), í = б; Г-: —те <а < а(5), 4 = —5. Обозначим Н = Г+ и Г и Г-. Тогда
2- i(s - 1)k-xsds = 2L ( I - I - I ) (8 - 1)k-xsds. (9)
(/—/—
г г+ г- 7
В интеграле по используем преобразование в — 1 = и обозначим через Н контур, в который переходит контур Благодаря представлению Ханкеля для Г-функции, получим
1 Г х£к+1-г г х 1
J(k ZeCd( = (lnx)k+1
2^ J ( S 1) x dS 2™ J ъ " ^ (lnx)k+1-2; Г(,г -к)' я5 я
Оценим интеграл по контуру Г+, обозначая его величинv через Ik'-
a(S)
Л /"(s - 1)k-xsdS < i |(а - 1 +iö)k-zIxada. (10)
2ti% J 2ж J
k=
Пусть z = £ + гт]. Ввиду закрепления главной ветви ln(s - 1) на Г+, с некоторой постоянной С4 > 0 справеждиво неравенство
|(s - 1)-г| = |s — 1|-arg(s-1) < C4|s - 1|-. (11)
В последнем интеграле положим 1 - а = 5и. Тогда
оо
1к ^ ^k+1- [ с-и(и + 1)k-4u. 2ж J
(1-а(&))/&
а( )
1 ^ • J 1 со I ^ • J 1 со I Def
1 - а(о) = min < -, —-— > ^ min < -, -— > = е.
w [4' ln(2 + ö)j [4' ln3 J
Так как 5 = (lnx)-1, то (1 - a(ö))/ö ^ elnx. Следовательно,
оо
Ik < —5k+1-x [ е-и(и + 1)k-du. 2n J
£ In X
' ''
ство с'и < и + 1 < с''и. Поэтому найдется такая постоянная С5 > 0, что
те
л < ^ /
е\пх
Пусть [£] = т, £ = т + а и I = к — т. Так к ак 0 < к <п — 1, то — т <1 < п — т — 1. Если I < 0, то
те
С5х_ [ и-е-"аи < <с5х1~£
(1пх)к+1- У 1п х
е 1п х
Если I > 0, то
4 = 1г+т <п <5* и1-ае< (12)
— Р
х
У и1-ае~иЛи < (! + 1)!(1пх).
£ 1п X
С некоторой постоянной Сб > 0 это приводит к оценке
1-
1к = Ь+ш <Сбххпх+1)!. (13)
Оценка по контуру Г- будет такой же. Пусть ДМ = шах|5-1|=д |С(з)«-1|. Тогда |ак| < МК-к. № формул (10), (12) и (13) с некоторой постоянной С7 > 0 следует
!>(/+/)
¿У,ак( 1+1 )(* — 1)к-хЧз
< С х1 £ (к — т + 1)! <
< 7 Шх ^ Кк <
к= ш
< С х1 £ . (п — т)(п — т)! < с х1- . Г(п + 3 — £) (14)
< 7 1п х ^ Кп < 7 1п х ^ Кп . ()
Нам осталось оценить интеграл от остаточного члена Кп(,в), который будем рассматривать как остаток ряда Тейлора. Его коэффициенты удовлетворяют неравенству |йк | < МК-к. Следовательно,
М|в — 1|п ^ |в — 1|к
)| <
Кп К к
к=0
Так как контур Г целиком лежит внутри круга |з —1| = К, то существует такое положительное число р < К, что дл я во. Г справедливо нераве нство — 1| < р. Поэтому с некоторой положительной постоянной С% имеем:
I ч — 11п |Кп( 5 )| <С8 | |
п
К
Учитывая, что неравенство (11) справедливо и для контура Г, с некоторой постоянной С9 > 0 получим
— I Кп(з)х3(8 — 1)-^ < Со[ е-иип-йи = С9 Гп+'1 Л] (15)
о_„- / п ) \ > ^ 9 Кп У 9 (1пх)п+1-Кп К '
1
2к%
Оценка по контуру Ь- такая же.
На контуре L5: s- l = bé^; поэтому |(s-l)—-iv| = ew ^ s-ÜRn(s) = 0(ón)R-n; величина Xs-1 ограничена. С некоторой постоянной С10 > 0 справедливо неравенство
J Rn(s)(s - 1)-zxsds
< Cwxôn+1-R-n. (16)
Ьь
Из равенств (8) и (9) и оценок (14), (15) и (16) получаем
т(Г) = x V ак + п(хГ(п +3 -
( ) (ln х)1—z 2-jJ (lnx)fcT(z - к) + ^ (\nx)n+1-RnJ .
Из этого равенства и формул (3), (7) и (8) следует второе утверждение леммы. Лемма доказана. □
Перейдем к доказательству теоремы 2.
Доказательство. Пусть N — фиксированное натуральное число, взаимно простое с 6. Используя свойство ортогональности характеров, представим сумму S(х, г) в виде
^ Е 1 = (п))-
п^х г ^ ' X П^Х
J(n) = r mod N
Обозначим
S (х,х) = E^(J (п))-
П^Х
Это сумматорная функция для коэффициентов ряда
Г С.Х) = Е^- (17)
П=1
Таким образом, задача свелась к применению леммы 3 к ряду Дирихле (17). Для применения леммы нужно изучить аналитические свойства функции F(s, х) и ее аналитического продолжения в области Q.
Функция x(J(п)) мультипликативна, а ряд (17) абсолютно сходится при а > 1, поэтому
F (,x) = IIU + + xi№ +
п fi + хШ) + + ...).
11 у pS pis J
Так как %(J(pk)) = x(p2k-2(p2 — 1)) = x(p2 — 1)x2k-2(p) T0
- (. ,x)=1! (i+p^-xm ).
Обозначим
\ -1
H (s ,x)= \\ 11 — X(P2 — 1)
п (i -
>,n) = 1 \ 1 J
pa
(p,N) = 1 \
Умножим и разделим F(s,x) на H(s,x) и представим в виде
F (s ,x) = A(s ,x)H (s ,x).
Через , х) обозначена функция
,х) = (1 + х(3>(х2(2) -х(зл п 1 + х(р2 -D |х
( ,х) 1 2'(2' -х2(2)) JiL\ р' 1
)В(1 + ^)
п Л + х(р2 - 1)(х2(р) -х(р2 - 1))\ УД + г (ps -х2(р)) )
Функция А(з, х) регулярна и ограничена при а ^ 3/4. Для конечного произведения по простым числам, делящим Ж, и р = 2 это ясно. Проверим это для произведения по всем р > 2, не делящим N. В виду неравенства
х(р2 - 1)(х2(р) -х(р2 -1))
р'(р' - х2(р))
2 4
^ -;-г ^
Р° (ра - 1) р3/2'
это произведение сходится абсолютно и равномерно в указанной области, а его значение ограничено. Таким образом, чтобы продолжить Р(в, х) в область О, нужно найти продолжение Н(в, х)■ Для этого рассмотрим ЬпН(в, х), выбирая ту ветвь, для которой при а > 1 справедливо равенство
1п Н (.,х) = — Е 'Ч1 — ^У
(р^)=1 4 У /
Равенство будет верно, если при хр = х(Р2 — 1)р~я абсолютно сходятся ряды
Y^ In11 - zv\ и ^ arg(1 - zp). (p,N) = l (p,N) = l
Первый ряд абсолютно сходится в виду оценки
1
\ ln\1 - %\\ ^^^ <
Zp
1 -\ 2pp р- -1"
Так как |,гр| < р а, то выбираем ту ветвь, для которой справедливо неравенство
<| г\ < 1 |1 + < |^ < р°
kg(1 - Zp)\ < arctg p ^ \ Zp\ ^ —.
Для выбранной ветви
1пН(.,х)= Е + Е Е ■ (18)
(р, N )=1 У (р, ю = 1 к'^2 У
Обозначим второе слагаемое в формуле (18) через В(,в,х)- Эта функция регулярна и ограничена в области а ^ 3/4. Это следует из неравенства
Е
хк (Р2 -1)
кр' к>2 1
к
1
-г < 2р ~3/2.
ра (ра - 1)
Преобразуем первое слагаемое в равенстве (18) следующим образом
Е ^ = Ех(Г2 -1) Е р"
(p, N) = 1 р r€G(N) p=r (mod N)
= E ^ E хС - E h-f.
h mod N r<EG(N) P
X
Ряд по простым числам свяжем с L-функцией L(s,h) с помощью равенства
= £ ^ + ££ Ш •
р Р к'^2 1
где ветвь логарифма выбирается аналогично тому, как это сделано на с. 134. Обозначим
с(*,h) = - ЕЕ Ш и z{x,h) = Jrn £ Ж2 - «').
Функция С(s, h) так же, как и 5(s, x), регулярна и ограничена в области Q. Тогда из равенства (18) получим
In Я(s,x) = B(s, х) + Е z(*,h){ lnL(s,h)+C(s,%)).
ft mod N
Я( • х)
Я (s ,x)= eB( s'x) П (L(s ,h) ec( s^)z(^
h mod N
Следовательно, для F(s, x) имеем:
\z(X,h)
^ ........Ц VL(S• h)
h
Так как |z(x,h)l ^ 1, то множитель
F(s,x) = A(s,x)eB{s'x) П ez{x'h)C{S'h) • П (L(s,h))z(x'h). (19)
B(s,x) TT pz(x,h)C(s,h)
A(s, x)eB(-)П
е н
как показано выше, есть регулярная и ограниченная при а ^ 3/4 функция. Произведение .¿-функций то характерам к в равенстве (19) запишем в виде
{В - 1)-<*>(.(*,ко)(а - 1))г(х) П (.( в,к)У{Х,Н\
Н=Но
где г(х) = -г(х, ко). Функция (з — 1).(5, ко) регулярна в области О и не обращается там в 0. В произведение по характерам к = ко входят ¿-функции, которые регулярны в области О и, если к2 = ко, то и не обращаются там в 0. Возможный для вещественного характера так называемый зигелевский нуль можем считать лежащим вне области О, так как модуль характеров к фиксирован, и на основании теоремы Зигеля уменьшением постоянной со можно
О
Так как выбор ветви 1п.(з, к) уже сделан на с. 135, то для каждого к = ко функция (Ь(з,к))также регулярна в области О. Итак, функция
С(з, х) =
= А(з,х)еВ(З'х) П ^(х'н)с(3н) • №,ко)(з — 1))"(х) П №,к)У(х>Н)
Н Н=Но
О
С(8 ,х)
F (8, x) =
(s - 1)z(X)
функция Р(в, х) продолжается аналитически в область О, причем для 1п(з — 1) закреплена главная ветвь.
Покажем, что Р(в, х) удовлетворяет условию 2) леммы 3. Для этого используем представление Р(в, х) равенством (19). Произведение
А(в, х)ев(^ П ^(х,К)СН н
ограничено на всей области О. Для Ь-функций Ь(,в, К) в области О при Щ ^ 1 справедлива оценка Ь(8,К) = 0{ 1п(|*| +2)) [17, Глава IV]. Обозначим т = argЬ(s, К). В виду выбора ветви 1пЬ(з, К) на с. 135, величина т ограничена. Если положим г(х, К) = £ + щ, то
(Ь( 8 ,К)) х(х,н) = |Ь(в ,К)|? е-^.
Если 0, то при Щ ^ 1
(Ь(з КУ(*,Н) =0( 1п(|<| +2)).
Если £ < 0, то нужна оценка Ь-1(з, К) = 0(1пв Щ + 2) с некоторой постоянной В > 0. Для К = К0 она следует го такой же оценки для С-1(з ) [17, с. 83]. Еели К = К0 то она доказывается аналогично.
Р( , х) х
Р( , х) = ( х)
показатель ,г(хо) = А. Если х = хо) т°) в СИЛУ леммы 1, |-г(х)| < А, а тогда и его действительная часть £(х) € (—А, А). Обозначая через ак(х) коэффициенты ряда Тейлора функции С(в, х)з-1 в точке в = 1, с некоторым числом К, 0 < К < 1, получим
5(х,х) = ак(1к +0(Г(п +3 — е(х))х
У-ак(х) к +0(
к=0 Г(к — г(х))1пкх V Подставим величины Б(х, х) в формулу
(1пх)1-г(х) к=0 Г(к — ,г(х))1пкх \Кп(1пх)п+1-«М
5(х,0 = ^^(г)5(х,х).
Из ) входящих в правую часть остатков выберем один с показателем А. Так как (1пх)^(х) = 0((1пх)Л), то, выделяя слагаемое с х = хо5 получим
о(х г) = 1 х пр ак (х0) .
( , ) <р(Ж)(1пх)1-Лк= Г(к — А)1пкх +
V х(г) х V ак(х) | 0 (Г(п + 3 — А))х^
+ ) сН=хох( )(1пх)1--(х) к=0 Г(к — ^(х))1пкх + \ Кп(1пх)п+1-Л у . Доказательство теоремы 2 завершено. □
4. Заключение
Приведенная в работе теорема 2 показывает, что производящие функции, с помощью которых выводятся асимптотические формулы для распределения значений функций в классах вычетов, обладают свойствами, позволяющими получать более точные асимптотические
формулы, чем при применении теоремы Деланжа. Например, в работе В. Наркевича [6] для функции Эйлера <р(п) доказывается утверждение:
Если N взаимно просто с 6, то при х ^ те с некоторой постоянной С
Сх
1 ' (1пх)!-л'
где
л = П ^.
Этот результат может быть усилен при более детальном изучении соответствующей производящей функции. Пусть
*(Х) = ( — Х(—1)Т(И) П(9 — 1)-1,
д1М
где ш(п) — количество простых делителей п без учета кратности. Можно доказать, что
если ( N, 6) = 1, то при х ^ те с некоторыми постоянными Си С (х) справедливо следующее равенство
Сх -ч—л С (x)x ( х \
Ь (X,r,V) = inF4 + ^ (lnx)l-z (X) (1пх)2-^ .
Это равенство дает лемма 3 при выборе п = 1. Но можно выбрать любое п ^ 1 и получить более точное равенство.
Такому же уточнению могут быть подвергнуты все асимптотические формулы, встречающиеся в работах [1, 2, 6, 8].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sathe L. G. On a congruence property of the divisor functions // Amer. J. Math. 1945. V. 67. P. 397-406.
2. Rankin R. A. The distribution of divisor functions // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1961. V. 5. No 1. P. 35-40.
3. Niven I. Uniform distribution of sequences of integers // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 98. P. 52-61.
4. Kuipers L., Niederreiter H. Uniform distribution of sequences. New-York: Wiley-Interscience, 1974. Русский перевод: Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.
5. Uchivama S. On the uniform distribution of siquences of integer // Proc. Japan Acad. 1961. V. 37. P. 605-609.
6. Narkievicz WT. On distribution of values of multiplicative functions in residue classes // Acta Arithm. 1967. V. 12. No 3. P. 269-279.
7. Sliva J. On distribution of values of а(п) in residue classes // Colloq. Math. 1973. V. 27. No 2. P. 283-271.
8. Фоменко О. М. Распределение значений мультипликативных функции по простому модулю // Записки науч. сем. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 218-224.
9. Широков Б. М. Распределение значений арифметических функций в классах вычетов // Записки науч. сем. ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 176-186.
10. Широков Б. М. Распределение d(n, ш) в классах вьпщетов // Труды ПетрГУ. Серия математика. 1995. Вып. 2. С. 136-144.
11. Широков Б. М. Распределение значений обобщенной суммы делителей // Труды ПетрГУ. Серия математика. 1996. Вып. 3. С. 176-189.
12. Delange H. Sur la distribution des entiers ayant certaines propriétés // Ann. Sci. Ecole norm, super. 1956. V. 73. No 1. P. 15-74.
13. Shirokov B. M., Gromakovskaya L. A. Distribution of values of the sum of unitary division in residue classes // Issues of Analysis. 2016. V. 5(23). No 1. P. 31-44.
14. Sandor J. Note on Jordan's arithmetical function // Octogon Math. Mag. 1993. V. 1. P. 1-4.
15. Shulte J. Uber die Jordansche Verallgemeinerung der Eulerschen Funktion // Resultate der Mathematik. 1999. V. 36. No. 3/4. P. 354-364.
16. Andrica D., Piticarv M. On some extensions of Jordan arithmetic Functions // Acta. Univ. Apulensis Math. Inform. 2004. V. 7. P. 13-22.
17. Прахар К. Распределение простых чисел. M.: Мир, 1967. REFERENCES
1. Sathe, L. G. 1945, "On a congruence property of the divisor functions Amer. J. Math., V. 67, pp. 397-406.
2. Rankin, R. A. 1961, "The distribution of divisor functions Proc. Glasgow Math. Assoc., V. 5, No 1, pp. 35-40.
3. Niven, I. 1961, "Uniform distribution of sequences of integers Trans. Amer. Math. Soc., V. 98, pp. 52-61.
4. Kuipers, L., Niederreiter, H. 1974, Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience, New-York, 390 pp.
5. Uchivama, S. 1961, "On the uniform distribution of siquences of integer Proc. Japan Acad., V. 37, pp. 605-609.
6. Narkievicz, W. 1967, "On distribution of values of multiplicative functions in residue classes Acta Arithm., V. 12, No 3, pp. 269-279.
7. Sliva, J. 1973, "On distribution of values of a(n) in residue classes Colloq. Math., V. 27, No 2, pp. 283-271.
8. Fomenko, О. M. 1980, "Distribution of values of the multiplicative fubctions prime modulo" f"Raspredelenive znachenv multiplikativnvch funktsv po prostomu modulvu"], Zapisky nauch. sem. LOMI, V. 93, pp. 218-224.
9. Shirokov, В. М. 1983, "Distribution of values arithmetical functiones in residue classes" f"Raspredelenive znachenv arifmeticheskich funktsv v klassach vvchetov"], Zapisky nauch. sem. LOMI, V. 121,'pp. 176-186.
10. Shirokov, В. M. 1995, "Distribution of d(n, ш) in residue classes" ["Raspredelenive d(n, ш) v klassach vvchetov"], Tudy PetrSU. Ser. Math., Issue 2, pp. 136-144.
11. Shirokov, В. M. 1996, "Distribution of values of the extended sum of divisors" ["Raspredelenive znachenv obobshonnov summv delitelev"], Tudy PetrSU. Ser. Mathematic., Issue 3, pp. 176189.
12. Delange, H. 1956, "Sur la distribution des entiers ayant certaines propriétés", Ann. Set. Ecole norm, super., V. 73, No 1, pp. 15-74.
13. Shirokov, B. M., Gromakovskava, L. A. 2016, "Distribution of values of the sum of unitary division in residue classes" , Issues of Analysis, V. 5(23), No 1, pp. 31-44.
14. Sandor, J. 1993, "Note on Jordan's arithmetical function" , Octogon Math. Mag., V. 1, pp. 1-4.
15. Shulte, J. 1999, "Uber die Jordansche Verallgemeinerung der Eulerschen Funktion" , Resultate der Mathematik, V. 36, No. 3/4, pp. 354-364.
16. Andrica, D., Piticarv, M. 2004, "On some extensions of Jordan arithmetic Functions" , Acta. Univ. Apulensis Math. Inform,., V. 7, pp. 13-22.
17. Prachar, K., 1967, "Raspredelenie prostvkh chisel." ,(russian) [Distribution of prime numbers] Translated from Deutsch by A. A. Karacuba. Edited by A. I. Vinogradov. With two supplements by M. B. Barban and A. I. Vinogradov, and N. M. Korobov Izdat. "Mir", Moscow 512 pp.
Получено 7.12.2017 г.
Принято в печать 12.07.2019 г.
