Распределение простых чисел в ряду натуральных Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗдЕл III

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА СОВРЕМЕННОГО ШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 311.555

Глушков Валерий Федорович

Доктор педагогических наук, профессор кафедры «Физика» Сибирского государственного университета путей сообщения, [email protected], Новосибирск

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В РЯДУ НАТУРАЛЬНЫХ

Glushkov Valery Fyodorovich

Doctor of Pedagogy, Professor of Physics Department Siberian State University of Railway Communication, [email protected], Novosibirsk

DISTRIBUTION OF PRIME NUMBERS IN A SERIES OF NATURAL ONES

В теории чисел практически важной проблемой является поиск возможной закономерности расположения простых чисел. Целесообразно понять, существует ли такая закономерность их нахождения в ряду натуральных чисел.

Для решения этой задачи для каждого простого числа определим разность соседних простых чисел и число цифр, расположенных между ними. Например, х131 = 37 - 31 = 6. z = 5 (числа 32; 33; 34; 35; 36). Вычислим разности Ax1 = x 1+1 - x 1 , а также разность цифр Az1 = z 1 - z 1-1 . В результате

Axi Л

получим, что для всего ряда простых чисел выполняется правило —L = 1.

Azi

В таблице № 1 приведены результаты вычислений для простых чисел. Аналогичные результаты получаются и для других простых чисел.

Раскрывая значения Ax1 и Az1 получим, что в ряду простых чисел выполняется следующее соотношение:

x і+1 - 2x і + x i - 1 = 1 (1)

Azi

Из (1) следует, что любое простое число можно вычислить по формуле:

X 1+1 = з(х 1 - х 1 - 1) + х 1 - 2 (2)

Как показывает расчет для ряда простых отрицательных чисел формула (2) также справедлива, а с учетом знака чисел принимает вид:

Х 1 + 1 = 3(х 1 - 1 - Х 1)-Х 1 - 2 (3)

Таблица 1

Результаты вычислений для простых чисел

число 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53

3 1 3 1 3 5 1 5 3 1 3 5

^+1 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6

^і-! 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6

Д2і 3 1 3 1 3 5 1 5 3 1 3 5

А^ +2 -2 +2 -2 +2 +2 -4 +4 -2 +2 -2 +2

Д^ +2 -2 +2 -2 +2 +2 -4 +4 -2 +2 -2 +2

отношение 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Следует отметить, что тернарная проблема Гольдбаха предполагает, что «каждое нечетное число больше 7 можно представить в виде суммы трех нечетных простых чисел». Из соотношений (2) и (3), как видим, простое число можно действительно получить из трех простых чисел.

Получить ряд простых чисел с использованием формулы (1) можно, выделяя в качестве исходных два числа с разностью, равной шести. Например, на основе чисел 29; (31; 37) можно получить следующий числовой ряд 47; 61; 79; 101; 127; 157; 191; 229; 271; 317; 367; 421; 479; 541; 607; 677; 751; 829; 911; 997 и т. д. (при этом следует учитывать, чтобы для исходных чисел разность Ах;и Дzi равнялась только четырем (таблица 1)).

Для получения расширенного ряда простых чисел в качестве исходных чисел X і; X і _ 1; X і _ 2 для получения числа X і + 1 можно использовать любые числа (например, числа х і = 101, в качестве X і _ 1 = 79; 61; 47; 37; 31; 29; X і _ 2 = 61; 47; 37; 31; 29. В результате получим в ряду новые дополнительные числа - 127; 167; 199; 223; 229 и т. д.

Необходимо заметить, что в ряду простых чисел существуют особые критические области (числа), нарушающие это правило. Для устранения ложных чисел при вычислении следует применять некоторые правила:

1) в случае сопряжения двух подмножеств, связанных определенной закономерностью типа [(433; 439); (443; 449)]; [(73; 79); [(83; 89)], для вычисления числа X і + 1 принимая за основу X і число 443, нельзя брать за X і _ 1 число 439; X і _ 2 = 433. В этом случае равенство (1) нарушается.

Для вычисления ряда за X і ; X і _ 1; X і _ 2 следует выбирать другую последовательность чисел, например X і = 449; X і _ 1= 439; X і _2 = 433. В результате получим в ряду новые простые числа. Для получения другой последовательности ряда простых чисел за основу можно брать числа из других, подобных подмножеств, типа [(73; 79); [(83; 89)] и т. п.;

2) нельзя в качестве числа X і _ і брать число, стоящее справа от подмножества, состоящего из двух чисел, разность которых равна шести (если это не два соседних подмножества типа (23 - 29) ^ (31 - 37) и Дxi = Д7- = 4);

3) в случае пересечения двух подмножеств, состоящих из чисел, разность которых равна 6, за X і следует брать число, принадлежащее одновременно каждому подмножеству.

Пример: (47 53 59); (251; 257; 263; 269) (т. е. числа 53; 257; 263)

4) числа, стоящие справа от этих чисел, т. е. 59, 269 не следует брать в качестве исходных X і , X і _ і, X і _ 2 ;

В заключение следует отметить, что требуется дополнительное исследование формулы (2) и особенностей ее применения в области всего ряда простых чисел.

Рассмотренные примеры, в целом, свидетельствуют о возможности использования формулы (1) для вычисления неограниченного ряда простых чисел, в том числе с использованием программных генераторов как основы для получения случайных простых чисел.